2023年湖南省岳陽縣高考數(shù)學四模試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

(X—1)乃

sin—______1<x<3

1.已知函數(shù)./■(》)=《2，一一、，若函數(shù)/(x)的極大值點從小到大依次記為4；%?%，并記相應的極

2/(x-2),3<x<100

大值為4也，?則￡(4+4)的值為()

/=1

A.25°+2449B.25°+2549C.249+2449D.249+2549

2.若。=0.5°$,b=0.6°5,C=2°5，則下列結論正確的是()

A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a

3.過拋物線>2=4x的焦點廠的直線交該拋物線于A，B兩點,。為坐標原點.若IA月=3,則直線AB的斜率為()

A.±72B.-72C.272D.±272

4.在空間直角坐標系。-七yz中，四面體。45c各頂點坐標分別為：

O(0,0,0),A(0,0,2),B(gj5,0,01c(0,16,0).假設螞蟻窩在0點，一只螞蟻從0點出發(fā)，需要在AB,AC上

分別任意選擇一點留下信息，然后再返回。點.那么完成這個工作所需要走的最短路徑長度是()

'?272B.711-V21C.75+721D.273

5.記單調遞增的等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，若%+%=10，。2%包=64,則()

,,+l

A.S?+,-S?=2B.6,=2"C.S“=2"—1D.Sn=2"-'-\

6,若函數(shù)/(x)=2sin(x+26>cosx(0<^<y)的圖象過點(0,2),則()

A.函數(shù)y=/(x)的值域是[0,2]B.點是y=/(x)的一個對稱中心

147

C.函數(shù)y=/(x)的最小正周期是2萬D.直線x=?是y=/(x)的一條對稱軸

7.已知點尸不在直線/、,〃上，貝！1“過點尸可以作無數(shù)個平面，使得直線/、〃?都與這些平面平行”是“直線/、，”互相

平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.若i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z=-sin《-+icosT，則三在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.已知拋物線C:：/=8x的焦點為廠，A8是拋物線上兩個不同的點，若|A/|+|BE|=8,則線段AB的中點到丁

軸的距離為（）

3

A.5B.3C.-D.2

2

10.已知z=i（3-2z）,則zG=（）

A.5B.75C.13D.V13

11.設數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，4+4+%=6,%=6.則這個數(shù)列的前7項和等于（）

A.12B.21C.24D.36

12.在邊長為2的菱形ABCD中，6。=2百，將菱形A8C。沿對角線AC對折，使二面角B—AC—。的余弦值為

-,則所得三棱錐A-BCD的外接球的表面積為（）

3

A.等B.2zrC.47D.6兀

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（2一七）的展開式中x的系數(shù)為.

X3

14.在平面直角坐標系X。），中，曲線y=e'在點P（Xo，e*°）處的切線與x軸相交于點A,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

若點B（x°,O）,AE48的面積為3,則.％的值是.

j-22

15.已知雙曲線。：之—v、=1（4為＞0）的左右焦點為片，瑪，過工作X軸的垂線與c相交于A5兩點，與），軸

a~b~

相交于。.若則雙曲線C的離心率為.

16.農歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習慣，粽子又稱粽棉，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會品

嘗的食品，傳說這是為了紀念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1

的正三角形構成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為—；若該六面

體內有一球，則該球體積的最大值為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)萬眾矚目的第14屆全國冬季運動運會(簡稱“十四冬”)于2020年2月16日在呼倫貝爾市盛大開幕，期

間正值我市學校放寒假，寒假結束后，某校工會對全校100名教職工在“十四冬”期間每天收看比賽轉播的時間作了一

次調查，得到如圖頻數(shù)分布直方圖：

男女合計

冰雪迷20

非冰雪迷20

合計

(1)若將每天收看比賽轉播時間不低于3小時的教職工定義為“冰雪迷”，否則定義為“非冰雪迷”，請根據(jù)頻率分布直

方圖補全2x2列聯(lián)表；并判斷能否有90%的把握認為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關；

(2)在全校“冰雪迷”中按性別分層抽樣抽取6名，再從這6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運動知識講座.記其中女職

工的人數(shù)為4,求的4分布列與數(shù)學期望.

附表及公式：

p-k。)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-be)

K9=-------————-----------n=a+b+c+d

(4+-)(c+d)(4+c)(b+d)

八x=2cosa

18.(12分)在直角坐標系中，曲線G的參數(shù)方程為〈cc.為參數(shù)，以坐標原點。為極點，x軸

y-2+2sina

的正半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標系，曲線C?的極坐標方程為夕=4COS9.

(1)求曲線G的極坐標方程和曲線的普通方程

TT

（2）設射線0P：6=—與曲線G交于不同于極點的點A，與曲線C交于不同于極點的點8,求線段A8的長.

6

19.（12分）已知函數(shù)/'（x）=|2x+a|-|x-3］（ae/?）.

⑴若『=一1,求不等式/（幻+1>0的解集；

（2）已知。>0,若/（x）+3a>2對于任意xwR恒成立，求。的取值范圍.

20.（12分）已知/（力=,一4+卜+磯a〉0,/?>0）.

（I）當。=8=1時，解不等式/（X）48-1；

（II）若“X）的最小值為1,求長+5的最小值.

21.（12分）如圖，在三棱柱ABC—4AG中，已知四邊形A&GC為矩形，A4,=6,AB=AC=4,

ZBAC=NB/以=60°,ZA,AC的角平分線AZ）交CG于。.

（1）求證:平面84￡）_L平面用6。；

（2）求二面角A-BC-A的余弦值.

22.（10分）某百貨商店今年春節(jié)期間舉行促銷活動，規(guī)定消費達到一定標準的顧客可進行一次抽獎活動，隨著抽獎

活動的有效開展，參與抽獎活動的人數(shù)越來越多，該商店經理對春節(jié)前7天參加抽獎活動的人數(shù)進行統(tǒng)計，》表示第x

天參加抽獎活動的人數(shù)，得到統(tǒng)計表格如下：

X1234567

y58810141517

（1）經過進一步統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)y與“具有線性相關關系.請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出）'關于x的線

性回歸方程y-bx+a；

（2）該商店規(guī)定：若抽中“一等獎”，可領取600元購物券；抽中“二等獎”可領取300元購物券；抽中“謝謝惠顧”，則

沒有購物券.已知一次抽獎活動獲得“一等獎’'的概率為,，獲得“二等獎”的概率為2.現(xiàn)有張、王兩位先生參與了本

63

次活動，且他們是否中獎相互獨立，求此二人所獲購物券總金額X的分布列及數(shù)學期望.

參考公式：b,a=y-bx,=364,2x,2=140.

i=l

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

對此分段函數(shù)的第一部分進行求導分析可知，當x=2時有極大值/（2）=1,而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán),

而值域則是每一次前面兩個單位長度定義域的值域的2倍，故此得到極大值點。“的通項公式4=2〃，且相應極大值

bn=2"-',分組求和即得

【詳解】

當時，/'（幻=185（萬*；萬）,

顯然當x=2時有，r（x）=0,

...經單調性分析知

x=2為/（X）的第一個極值點

又???3<x4100時，/（x）=2/（x-2）

.*?x=4?x=6>x=8,…，均為其極值點

?；函數(shù)不能在端點處取得極值

/.an=2/7,1<?<49,〃eZ

對應極值"=2"T,l<n<49,nwZ

巡3+幻=如遜道+兇9=2”+2449

?〃21-2

故選：c

【點睛】

本題考查基本函數(shù)極值的求解，從函數(shù)表達式中抽離出相應的等差數(shù)列和等比數(shù)列，最后分組求和，要求學生對數(shù)列

和函數(shù)的熟悉程度高，為中檔題

2.D

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質，取得a/,c的取值范圍，即可求解，得到答案.

【詳解】

由指數(shù)函數(shù)的性質，可得1>0.6°5>0.5°，5>0.5°6>0,即1>6>。>0,

又由c=2">l，所以c>6>a.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了指數(shù)幕的比較大小，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質，求得“，仇c的取值范圍是解答的關鍵，著重考

查了計算能力，屬于基礎題.

3.D

【解析】

根據(jù)拋物線的定義，結合|A/q=3,求出A的坐標，然后求出A尸的斜率即可.

【詳解】

解：拋物線的焦點尸(1,0),準線方程為％=-1,

設A(x,y),貝！J|AF|=x+l=3,故x=2,此時y=±2&,即A(2,±20).

則直線AF的斜率k=絲也=±2A/2.

2-1

故選：D.

【點睛】

本題考查了拋物線的定義，直線斜率公式，屬于中檔題.

4.C

【解析】

將四面體。45。沿著。4劈開，展開后最短路徑就是八4。。的邊OO',在中，利用余弦定理即可求解.

【詳解】

將四面體。LBC沿著。4劈開，展開后如下圖所示:

A

最短路徑就是AAOO'的邊OO'.

易求得40AB=ZO'AC=30°,

由AO=2,=知=

33

AC=-y[3,BC=yj0B2+0C2=-A/6

33

AB?+AC?一5c2

=cosABAC=

2ABAC

16+16_8

3333

44

2x4

V3XV3

由余弦定理知OO"=AO2+AO'2-2AO-AO'cosZOAO'

其中AO=AO'=2,cosZOAO'=cos(60°+ABAC)=

???OO〃=5+同=OO,=55+01

故選：c

【點睛】

本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內容，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.

5.C

【解析】

先利用等比數(shù)列的性質得到知的值，再根據(jù)叼，“4的方程組可得。2，牝的值，從而得到數(shù)列的公比，進而得到數(shù)列的通

項和前"項和，根據(jù)后兩個公式可得正確的選項.

【詳解】

因為&｝為等比數(shù)列，所以故嬉=64即。3=4,

+ClA—10Q,--2Q,--8、a)—2

由'y可得■。或-C，因為｛%｝為遞增數(shù)列，故'。符合.

%。4=16[a4=8[%=2[a4=8

此時42=4,所以4=2或q=-2(舍，因為｛4｝為遞增數(shù)列).

rt

故區(qū),=2/-3=4*2"-3=2"-1s=Mkl￡)=2-l.

"1-2

故選C.

【點睛】

一般地，如果｛《,｝為等比數(shù)列，s”為其前”項和，則有性質：

若建

(l)n^,n,p,qGN*,m+=p+q,則aman=apaq；

(2)公比時，則有S“=A+3q",其中A,8為常數(shù)且A+3=0；

(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2l?-為等比數(shù)列3Ho)且公比為q".

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(x)的圖像過點(0,2),求出。，可得/(x)=cos2x+l,再利用余弦函數(shù)的圖像與性質，得出結論.

【詳解】

由函數(shù)”x)=2sin(x+26)-cosx(0<8<g)的圖象過點(0,2),

可得2sin26=2,即sin26=1,

.?.2，=工，6=-,

24

故/(x)=2sin(x+26))-cosx=2cos2x=cos2x+l,

對于A,由-1VCOS2XM1,則0</(x)W2,故A正確；

對于B,當％=工時，/田=1，故B錯誤；

對于C,7=4=乃，故C錯誤；

2

對于D,當》=工時，=故D錯誤；

4<4；

故選：A

【點睛】

本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質，需熟記性質與公式，屬于基礎題.

7.C

【解析】

根據(jù)直線和平面平行的性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【詳解】

???點尸不在直線/、加上，

二若直線”互相平行，則過點P可以作無數(shù)個平面，使得直線/、〃?都與這些平面平行，即必要性成立，

若過點P可以作無數(shù)個平面，使得直線/、機都與這些平面平行，則直線/、相互相平行成立，反證法證明如下：

若直線/、機互相不平行，則/,〃，異面或相交，則過點尸只能作一個平面同時和兩條直線平行，則與條件矛盾，即

充分性成立

則“過點P可以作無數(shù)個平面，使得直線/、機都與這些平面平行''是"直線/、加互相平行”的充要條件，

故選：C.

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合空間直線和平面平行的性質是解決本題的關鍵.

8.B

【解析】

首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復數(shù)化為z=-3-，3求出i，再利用復數(shù)的幾何意義即可求解.

22

【詳解】

...2乃.2%V31.

?z=-sin---Fzcos——=--------1，

3322

-V31.

Z=----F-—Z，

22

則三在復平面內對應的點的坐標為一一，；，位于第二象限.

I22)

故選：B

【點睛】

本題考查了復數(shù)的幾何意義、共甄復數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎題.

9.D

【解析】

由拋物線方程可得焦點坐標及準線方程,由拋物線的定義可知IApI+18/q=占+2+々+2=8，繼而可求出

%+々=4,從而可求出AB的中點的橫坐標,即為中點到）’軸的距離.

【詳解】

解：由拋物線方程可知，20=8,即p=4,.?./（2,0）.設4（石,%）,3（工2，%）

貝!j|AF|=X]+2,忸月=々+2,BPIAF\+\BF|=+2+x2+2=8,所以4+%=4.

所以線段AB的中點到V軸的距離為土土土=2.

2

故選:D.

【點睛】

本題考查了拋物線的定義，考查了拋物線的方程.本題的關鍵是由拋物線的定義求得4B兩點橫坐標的和.

10.C

【解析】

先化簡復數(shù)z=i（3—2i）,再求三，最后求z。即可.

【詳解】

解：z=z（3-2z）=2+3z,2=2-3/

2-z=22+32=13?

故選：C

【點睛】

考查復數(shù)的運算，是基礎題.

11.B

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質可得知，由等差數(shù)列求和公式可得結果.

【詳解】

因為數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，4+4+%=6,

所以3a3=6,即%=2，

又叫=6,

所以“二%——=1,4=%-21=0,

7-3

故跖=7（。;%）=2]

故選：B

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，性質，等差數(shù)列的和，屬于中檔題.

12.D

【解析】

取AC中點N,由題意得NHVD即為二面角3—AC—￡＞的平面角，過點8作于O,易得點。為AADC的

中心，則三棱錐A-BCD的外接球球心在直線80上，設球心為。一半徑為「，列出方程上-r+王=r：

13JI3J

即可得解.

【詳解】

如圖，由題意易知AABC與AAOC均為正三角形，取AC中點N,連接BN,DN,

則BN_LAC,￡W_LAC,NBND即為二面角B—AC—O的平面角，

過點8作8OJ_DV于0,則3O_L平面ACD,

由BN=ND=5COSNBND=1可得ON=BNcosZBND=—,0D==^~,3-|—|=—

33RI3J3

ON=；ND即點0為AAOC的中心，

???三棱錐A—8C0的外接球球心在直線B0上，設球心為。i，半徑為r,

：.BO、=DO\=r,OO、=當一r,

."4組”血，邛,

2.3

???三棱錐A—3C。的外接球的表面積為S=4萬r=4萬x—=6萬.

2

故選：D.

X：

【點睛】

本題考查了立體圖形外接球表面積的求解，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.80.

【解析】

只需找到(2-%2)5展開式中的￡*項的系數(shù)即可.

【詳解】

(2-/)5展開式的通項為&1=仁25-，(—/)，=(一1)'仁25-52,，令r=2,

則7；=(-l)2C；23x4=80/,故Q一r)的展開式中x的系數(shù)為80.

%3

故答案為：80.

【點睛】

本題考查二項式定理的應用，涉及到展開式中的特殊項系數(shù)，考查學生的計算能力，是一道容易題.

14.In6

【解析】

對>=，求導，再根據(jù)點P的坐標可得切線方程，令y=0,可得點A橫坐標，由的面積為3,求解即得.

【詳解】

由題，?.?>'=1,...切線斜率左=*，則切線方程為y-*=e~(x-Xo),令y=0,解得/=七一1,又的

面積為3,5AMB=gxlxe*=3,解得.%=ln6.

故答案為：In6

【點睛】

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的切線，難度不大.

15.百

【解析】

由已知可得A6=45=生，結合雙曲線的定義可知質可―|AK|=Z=2a,結合o2="+62,從而可求出離心

率.

【詳解】

解：?.?舊0|=優(yōu)0|,0?！ㄓ檬隙Ｖ?。卻,又???AD_L3耳,貝(J|A周=|A6|=2|A局.

2222

*:\AF2\=—9:.AF}=AB=^-9:AAF]\-\AF2\=—=2atBPb=2a=c-a

"aaa

解得c—y/3a,即e=s/s-

故答案為：73.

【點睛】

h2

本題考查了雙曲線的定義,考查了雙曲線的性質.本題的關鍵是根據(jù)幾何關系，分析出|46|=幺.關于圓錐曲線的問題,

一般如果能結合幾何性質，可大大減少計算量.

166

8后r

10.---

6729

【解析】

(1)先算出正四面體的體積，六面體的體積是正四面體體積的2倍，即可得出該六面體的體積；(2)由圖形的對稱性得，

小球的體積要達到最大，即球與六個面都相切時，求出球的半徑，再代入球的體積公式可得答案.

【詳解】

(1)每個三角形面積是S=-Xlx^-=手，由對稱性可知該六面是由兩個正四面合成的，

(22J4

可求出該四面體的高為二旦,故四面體體積為立x邁=立，

V3J334312

因此該六面體體積是正四面體的2倍，所以六面體體積是在；

6

(2)由圖形的對稱性得，小球的體積要達到最大，即球與六個面都相切時，由于圖像的對稱性，內部的小球要是體積最

大，就是球要和六個面相切，

連接球心和五個頂點，把六面體分成了六個三棱錐設球的半徑為R,

所以-^=6x—x——xR=^>R=——,所以球的體積

6(34J93

故答案為：也；遏.

6729

【點睛】

本題考查由平面圖形折成空間幾何體、考查空間幾何體的的表面積、體積計算，考查邏輯推理能力和空間想象能力求

解球的體積關鍵是判斷在什么情況下，其體積達到最大，考查運算求解能力.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17.(1)列聯(lián)表見解析，有把握；(2)分布列見解析，

【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖補全2x2列聯(lián)表，求出％2々2.778>2.706,從而有90%的把握認為該校教職工是否為“冰雪

迷”與“性別，，有關.

4020

(2)在全?！氨┟浴敝邪葱詣e分層抽樣抽取6名，則抽中男教工：6x二=4人，抽中女教工：6*二=2人，從這

6060

6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運動知識講座.記其中女職工的人數(shù)為g,則J的可能取值為0,1,2,分別求出相應

的概率，由此能求出自的分布列和數(shù)學期望.

【詳解】

解：(1)由題意得下表:

男女合計

冰雪迷402060

非冰雪迷202040

合計6040100

2的觀測值為黑蕊言;寸2.706

所以有90%的把握認為該校教職工是“冰雪迷”與“性別”有關.

(2)由題意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男職工，2名女職工,

所以的可能取值為0,1,2.

且它。吟44尸5=罟啥ND*三

所以的分布列為

012

281

P

1515

9Q

E（^）=0x-+lx-j1+21102

X—=——=—

15153

【點睛】

本題考查獨立性檢驗的應用，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法，考查古典概型、排列組合、頻率分布

直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題.

18.（1）p=4sin9；（x-2）2+/=4（2）2百一2

【解析】

（1）曲線C的參數(shù)方程轉換為直角坐標方程為d+（y-2>=4.再用極直互化公式求解，曲線G的極坐標方程用極

直互化公式轉換為直角坐標方程（x-2）2+V=4.

（2）射線。尸與曲線G的極坐標方程聯(lián)解求出8=2,射線0P與曲線的極坐標方程聯(lián)解求出。2=26，再用

|AB|=3一221得解

【詳解】

1—2coscc

解：（1）曲線G的參數(shù)方程為cC.（￡為參數(shù)，轉換為直角坐標方程為/+3-2）2=4.把％=夕<：056,

[y=2+2sina

x=psin。代入得：夕=4sin。

曲線的極坐標方程為夕=4cose.轉換為直角坐標方程為（X-2）2+y2=4.

（2）設射線0P:6=￡與曲線C交于不同于極點的點A,

6

所以6,解得8=2.

/=4sin。

與曲線C2交于不同于極點的點B,

所以，~~6,解得夕2=2百，

/=4cos。

所以|AB|=|q-川=26_2

【點睛】

本題考查參數(shù)方程、極坐標方程直角坐標方程相互轉換及極坐標下利用「和。的幾何意義求線段的長.（1）直角坐標

方程化為極坐標方程只需將直角坐標方程中的X，）分別用Qcos。，。sin。代替即可得到相應極坐標方程.參數(shù)方程

化為極坐標方程必須先化成直角坐標方程再轉化為極坐標方程.（2）直接求解，能達到化繁為簡的解題目的；如果幾

何關系不容易通過極坐標表示時，可以先化為直角坐標方程，將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題加以解決.

19.(1){x[x<-l或%>1}；(2)(2,+00).

【解析】

(1)。=-1時，分類討論，去掉絕對值，分類討論解不等式.

(2)。>0時，分類討論去絕對值，得到/(x)解析式，由函數(shù)的單調性可得/(x)的最小值，通過恒成立問題，得

到關于?的不等式，得到?的取值范圍.

【詳解】

C1

—x—2,x<一

2

(1)因為Q=—1,所以“x)=v3x—4,一<x<3,

2

x+2,x>3

xx<——%>3

所以不等式〃z力+1>()等價于｛2或｛2或｛o1n

-x-2+l>0[3x-4+l>01*+2+1>°

解得x<-l或x>l.

所以不等式/(x)+l>0的解集為{x|x<-l或x>l}.

—X—ci—3,x<----

2

(2)因為。>0,所以/(力=，3x+。-3,—《光〈3

2

x+a+3,x>3

根據(jù)函數(shù)的單調性可知函數(shù)/(x)的最小值為f=4-3

因為/(%)+3。>2恒成立，所以一葭一3+3。>2,解得a〉2?

所以實數(shù)。的取值范圍是(2,+s).

【點睛】

本題考查分類討論去絕對值，分段函數(shù)求最值，不等式恒成立問題，屬于中檔題.

3+也

20.(I)[-2,2]；(II)

42

【解析】

2Mx>1),

(I)當a=匕=l時，〃x)=k-l|+k+l|~2(-1Wl),令g(x)=8-/,作出/(x),g(x)的圖像，結合圖像即

-2x(x<-1).

可求解;

（II）結合絕對值三角不等式可得/（冷=卜-4+卜+6閆（》+。）-。-。）|=|。+可=。+匕=1,再由“1”的妙用可拼湊為

W+5+W+京（"D+句，結合基本不等式即可求解;

【詳解】

2x(x>1),

(I)/(x)=|x-1|+卜+1|=<2(-IKE),

—2x(x<—1).

令g（x）=8-x=作出它們的大致圖像如下:

由8-VuZxnxnZ或x=-4（舍），得點8橫坐標為2,由對稱性知,

點A橫坐標為-2,

因此不等式f（x）＜8-x2的解集為[—2,2].

(II)f(x)=|x-a|+|x+/?|>|(x+/?)-(x-a)|=|a+/?|=?+=1.

1111ha+111z3不3夜

+----+-----+—)>—(—+V2)=—+——

。+12b2tz+12blJ2a+\2/?22242

a—3—2^2,

取等號的條件為二=答，即°+1=血，聯(lián)立。+匕=1得

。+12b8=20-2.

因此￡+5的最小值為%冬

【點睛】

本題考查絕對值不等式、基本不等式，屬于中檔題

21.（1）見解析；（2）竺Z

17

【解析】

(1)過點。作。E//AC交441于E,連接CE,BE,設4。0?！?。，連接80,由角平分線的性質，正方形的性

質，三角形的全等，證得CELBO,CEA.AD,由線面垂直的判斷定理證得CE_L平面84。，再由面面垂直的判

斷得證.

(2)平面幾何知識和線面的關系可證得80,平面A4,GC，建立空間直角坐標系。-孫z,求得兩個平面的法向量，

根據(jù)二面角的向量計算公式可求得其值.

【詳解】

(1)如圖，過點。作。E//AC交A4于E,連接設公>nCE=。，連接BO,■.-AC±AAi,.-.DEA.AE,

又4。為NAAC的角平分線，四邊形AEOC為正方形，

又?.?AC=A￡,ZBAC=ZBAE,BA=BA,:.^BAC^BAE,:.BC^BE,又「O為CE的中點，:.CE±BO

又?.?4),3Ou平面84。，4)。8。=。，.