2019-2020學年浙江省寧波市慈溪市九年級（上）期末數(shù)學試卷 （解析版）

2019-2020學年浙江省寧波市慈溪市九年級（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（共12小題）.

1.（4分）如圖，從左邊的等邊三角形到右邊的等邊三角形，經(jīng)過下列一次變化不能得到的

C.繞某點旋轉(zhuǎn)D.先平移再軸對稱

2.（4分）如圖所示，若AABC-ADEF,則/E的度數(shù)為（）

A.28°B.32°C.42°D.52°

3.（4分）下列事件中是隨機事件的是（）

A.校運會上立定跳遠成績?yōu)?0米

B.在只裝有5個紅球的袋中，摸出一個紅球

C.慈溪市明年五一節(jié)是晴天

D.在標準大氣壓下，氣溫3。。時，冰熔化為水

4.（4分）如圖，一中，點。，A分別在劣弧BC和優(yōu)弧BC上，ZBDC=130°,BOZBOC=（

A.120°B.110°C.105°D.100°

5.（4分）在RtAABC中，ZC=90°,AB=5,AC=3,則下列等式正確的是（）

3334

A.sinA=—B.cosA=—C.tanA=—D.cosA=—

5555

6.（4分）如圖顯示了用計算機模擬隨機拋擲一枚硬幣的某次實驗的結(jié)果

50100150200250300350400"拋擲次數(shù)

下面有三個推斷：

①當拋擲次數(shù)是100時，計算機記錄“正面向上”的次數(shù)是47,所以“正面向上”的概率

是0.47；

②隨著試驗次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率總在0.5附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可

以估計“正面向上”的概率是0.5；

③若再次用計算機模擬此實驗，則當拋擲次數(shù)為150時，“正面向上”的頻率一定是0.45.

其中合理的是（）

A.①B.②C.①②D.①③

7.（4分）下列命題是真命題的是（）

A.在同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等

B.平分弦的直徑垂直于弦

C.在同圓或等圓中，等弦所對的圓周角相等

D.三角形外心是三條角平分線的交點

8.（4分）在平面直角坐標系中，把拋物線y=2無2繞原點旋轉(zhuǎn)180。，再向右平移1個單位,

向下平移2個單位，所得的拋物線的函數(shù)表達式為（）

A.J=2（X-1）*2-*782B.y=2（x+l）2-2C.y=-2（x-l）2-2D.j=-2（x+l）2-2

9.（4分）如圖，在兇2（7中，D,E,F分別為BC,AB,AC上的點，且EB/ABC,FD//AB,

則下列各式正確的是（）

月

E

BDC

AAECD°EFAECEF_DF口AE_BD

A.——=——B.——=

EBBDBCDFBC~ABAB~BC

10.（4分）把球放在長方體紙盒內(nèi),球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知

EF=CD=4cm,則球的半徑長是（）

A-----XFD

5：’

A.2cmB.2.5cmC.3cmD.4cm

11.（4分）已知，當一1領k2時，二次函數(shù)y=根（冗一1）2-5根+1（相w0,根為常數(shù)）有最小

值6,則根的值為（）

A.-5B.-1C.-1.25D.1

12.（4分）如圖，已知，M,N分別為銳角NAQB的邊04,03上的點，ON=6,把AQMN

沿MN折疊，點O落在點。處，MC與OB交于點、P,若MN=MP=5,則PN=（）

O1n

A.2B.3C.-D.—

33

二、填空題（每題4分，共24分）

13.（4分）寫出一個圖象的頂點在原點，開口向下的二次函數(shù)的表達式—.

14.（4分）若兩個相似三角形的周長比為2:3,則它們的面積比是—.

15.（4分）己知，」的半徑為6,若它的內(nèi)接正〃邊形的邊長為6亞，則w=—.

16.（4分）如圖，某營業(yè)大廳自動扶梯AB的傾斜角為31。，AB的長為12米，則大廳兩層

之間的高度8c為米.（參考數(shù)據(jù)：sin31°=0.515,cos31°=0.857,tan31°=0.601）

17.（4分）如圖，-0過正方形網(wǎng)格中的格點A,B,C,。，點E也為格點，連結(jié)BE交

于點尸，尸為C。上的任一點，貝hanP=.

18.（4分）若二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點和頂點構(gòu)成等邊三角形，則稱這樣的二次

函數(shù)的圖象為標準拋物線.如圖，自左至右的一組二次函數(shù)的圖象7；,T2,T3……是標準

拋物線，且頂點都在直線>=事》上，7；與x軸交于點4（2,0）,A（4在A右側(cè)），7；與x軸

交于點4,4，心與X軸交于點4，4，……，則拋物線（的函數(shù)表達式為—.

三、解答題（第19、20題各7分，第21題8分，第22?24題每題10分，第25題12分,

第26題14分，共78分）

19.（7分）解下列兩題：

（1）已知3=3,求"土亞的值；

b4a

（2）已知為銳角，_S.2A/3sina=4cos30°-tan60°,求的度數(shù).

20.（7分）如圖，轉(zhuǎn)盤A中的4個扇形的面積相等，轉(zhuǎn)盤8中的3個扇形面積相等.小明

設計了如下游戲規(guī)則：甲、乙兩人分別任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A、2一次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，

將指針所落扇形中的2個數(shù)相乘，如果所得的積是偶數(shù)，那么是甲獲勝；如果所得的積

是奇數(shù)，那么是乙獲勝.這樣的規(guī)則公平嗎？為什么？

21.（8分）如圖是四個全等的小矩形組成的圖形，這些矩形的頂點稱為格點.AABC是格

點三角形（頂點是格點的三角形）

（1）若每個小矩形的較短邊長為1,則8C=—；

（2）①在圖1、圖2中分別畫一個格點三角形（頂點是格點的三角形），使它們都與AABC

相似（但不全等），且圖1,2中所畫三角形也不全等）.

②在圖3中只用直尺（沒有刻度）畫出AABC的重心（保留痕跡，點M用黑點表示，

并注上字母M）

22.（10分）如圖,二次函數(shù)以渥+笈+c過點A（-l,0）,8（3,0）和點C（4,5）.

（1）求該二次函數(shù)的表達式及最小值.

（2）點尸（加,〃）是該二次函數(shù)圖象上一點.

①當〃z=-4時，求w的值；

②己知點P到y(tǒng)軸的距離不大于4,請根據(jù)圖象直接寫出n的取值范圍.

23.（10分）如圖1,是一種自卸貨車.如圖2是貨箱的示意圖，貨箱是一個底邊AB水平

的矩形，A8=8米，8C=2米，前端檔板高。E=0.5米，底邊離地面的距離為1.3米.卸

貨時，貨箱底邊4B的仰角a=37。（如圖3）,求此時檔板最高點￡離地面的高度.（精確到

01米，參考值：sin370~0.60,cos37°?0.80,tan37°~0.75）

24.（10分）某商品市場銷售搶手，其進價為每件80元，售價為每件130元，每個月可賣

出500件；據(jù)市場調(diào)查，若每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣2件（每件售價不能

高于240元）.設每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）每件商品的漲價多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

（3）每件商品的漲價多少元時，每個月的利潤恰為40000元？根據(jù)以上結(jié)論，請你直接寫

出x在什么范圍時，每個月的利潤不低于40000元？

25.（12分）定義：連結(jié)菱形的一邊中點與對邊的兩端點的線段把它分成三個三角形，如果

其中有兩個三角形相似，那么稱這樣的菱形為自相似菱形.

（1）判斷下列命題是真命題，還是假命題？

①正方形是自相似菱形；

②有一個內(nèi)角為60。的菱形是自相似菱形.

③如圖1,若菱形4BCD是自相似菱形，ZABC=a（0°<a<90°）,E為3C中點，則在AABE,

AAED,AEDC中，相似的三角形只有AABE與AAEZ）.

（2）如圖2,菱形ABC。是自相似菱形，NABC是銳角，邊長為4,E為中點.

①求AE,的長；

②AC,8D交于點O,求tanNDBC的值.

圖1圖2

26.（14分）如圖，A3是半圓。的直徑，C為半圓弧上一點，在AC上取一點。，使8C=C。,

連結(jié)并延長交一p于E,連結(jié)AE,。￡■交AC于尸.

（1）求證：AAED是等腰直角三角形；

(2)如圖1,已知的半徑為百.

①求CE的長；

②若。為E8中點，求BC的長.

(3)如圖2,若A尸：尸D=7:3,且BC=4,求一O的半徑.

AOB

圖1圖2

參考答案

一、選擇題（共12小題，每小題4分，滿分48分）

1.（4分）如圖，從左邊的等邊三角形到右邊的等邊三角形，經(jīng)過下列一次變化不能得到的

A.軸對稱B.平移

C.繞某點旋轉(zhuǎn)D.先平移再軸對稱

解：從左邊的等邊三角形到右邊的等邊三角形，可以利用平移或繞某點旋轉(zhuǎn)或先平移再軸對

稱，只軸對稱得不到,

故選：A.

2.（4分）如圖所示，若AABCsADEF,則/E的度數(shù)為（）

C

A.28°B.32°C.42°D.52°

解：ZA=110°,ZC=28°,

ZB=42°,

NABCs\DEF,

NB=NE.

ZE=42°.

故選：C.

3.（4分）下列事件中是隨機事件的是（）

A.校運會上立定跳遠成績?yōu)?0米

B.在只裝有5個紅球的袋中，摸出一個紅球

C.慈溪市明年五一節(jié)是晴天

D.在標準大氣壓下，氣溫3。。時，冰熔化為水

解：“校運會上立定跳遠成績?yōu)?0米”是不可能事件，因此選項A不符合題意；

“在只裝有5個紅球的袋中，摸出一個紅球”是必然事件，因此選項3不符合題意；

“慈溪市明年五一節(jié)是晴天”可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是隨機事件，因此選項C符合題

思；

“在標準大氣壓下，氣溫3。。時，冰熔化為水”是必然事件，因此選項0不符合題意；

故選：C.

4.（4分）如圖，-0中，點。，A分別在劣弧5c和優(yōu)弧5c上，N50C=13O。，則

A.120°B.110°C.105°D.100°

解：四邊形AADC為圓內(nèi)接四邊形

.?.ZA+ZBPC=180°

=130°

二.NA=50。

NBOC=2NA=100。

故選：D.

5.（4分）在RtAABC中，ZC=90°,AB=5,AC=3,則下列等式正確的是（）

3334

A.sinA=—B.cosA=—C.tanA=—D.cosA=—

5555

解：如圖所示：

ZC=90°,AB=5,AC=3f

BC=4,

sinA=—,故A錯誤；

5

3

cosA=—,故3正確；

5

4

tanA=—；故C錯誤；

3

cosA=—9故。錯誤；

5

故選：B.

6.（4分）如圖顯示了用計算機模擬隨機拋擲一枚硬幣的某次實驗的結(jié)果

,A“正面向上”的頻率

__^_1_________i________I________I_____

O\50100150200250300350400馳擲次數(shù)

下面有三個推斷：

①當拋擲次數(shù)是100時，計算機記錄“正面向上”的次數(shù)是47,所以“正面向上”的概率

是0.47；

②隨著試驗次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率總在0.5附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可

以估計“正面向上”的概率是0.5；

③若再次用計算機模擬此實驗，則當拋擲次數(shù)為150時，“正面向上”的頻率一定是0.45.

其中合理的是（）

A.①B.②C.①②D.①③

解：①當拋擲次數(shù)是100時，計算機記錄“正面向上”的次數(shù)是47,“正面向上”的概率不

一定是0.47,故錯誤；

②隨著試驗次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率總在0.5附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可

以估計“正面向上”的概率是0.5,故正確；

③若再次用計算機模擬此實驗，則當拋擲次數(shù)為150時，“正面向上”的頻率不一定是0.45,

故錯誤.

故選：B.

7.（4分）下列命題是真命題的是（）

A.在同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等

B.平分弦的直徑垂直于弦

C.在同圓或等圓中，等弦所對的圓周角相等

D.三角形外心是三條角平分線的交點

解：A、在同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等，是真命題；

2、平分弦（弦不是直徑）的直徑垂直于弦，故原命題是假命題；

C、在同圓或等圓中，等弦所對的圓周角相等，弦對著兩個圓周角，故是假命題；

￡（、三角形外心是三條邊垂直平分線的交點，故是假命題；

故選：A.

8.（4分）在平面直角坐標系中，把拋物線y=2f繞原點旋轉(zhuǎn)180。，再向右平移1個單位,

向下平移2個單位，所得的拋物線的函數(shù)表達式為（）

A.y=2（x-l）2-2B.y=2（x+Y）2-2C.y=-2（x-l）2-2D.y=-2（x+l）2-2

解：把拋物線y=2d繞原點旋轉(zhuǎn)180。，

二.新拋物線解析式為：y=-2/,

再向右平移1個單位，向下平移2個單位,

平移后拋物線的解析式為y=-2（尤--2.

故選：C.

9.（4分）如圖，在入42（7中，D,E,尸分別為BC,AB,AC上的點，且//BC,FD//AB,

則下列各式正確的是（）

AECD「EFAEEF_DFAEBD

-----=------B.-----=-------D.

EBBDBCDFABBC

解：EF//BC,FD//AB,

四邊形EBDF是平行四邊形,

:.BE=DF,EF=BD,

EF//BC,

AE_AFAEEF_AF

BE~FC'AB~BC~AC

AE—,故2錯誤，。正確;

ABBC

DFIIAB,

AFBDDFFC

FCDCABAC

AE

―,故A錯誤;

BEDC

EFAFDF

―,故c錯誤;

BCACABAC

故選：D.

10.（4分）把球放在長方體紙盒內(nèi),球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知

EF=CD=4cm,則球的半徑長是（）

D

B

A.2cmB.2.5cmC.3cmD.4cm

解：E廠的中點M,作MN_LA。于點取MN上的球心O,連接。尸，

四邊形A5CD是矩形,

ZC=ZD=90°,

二.四邊形CDMN是矩形,

...MN=CD=4,

設。產(chǎn)=x,則ON=O/，

:.OM=MN-ON=4-x,MF=2,

在直角三角形OM/中，0M2+"尸2=。/2

即：（4—x）2+22=f

解得：x=2.5

故選：B.

11.（4分）已知，當-啜k2時，二次函數(shù)〉=〃心-1）2-5〃Z+1（〃ZRO,根為常數(shù)）有最小

值6,則“2的值為（）

A.-5B.-1C.-1.25D.1

解：當-1麴k2時，二次函數(shù)>=/71（%-1）2-57〃+1（相/0,根為常數(shù)）有最小值6,

m>0,當x=l時，該函數(shù)取得最小值，即-5根+1=6,得機=-1（舍去），

〃z<0時，當x=-l時，取得最小值，HPm（-l-1）2-+1=6,得〃z=-5,

由上可得，力的值是-5,

故選：A.

12.（4分）如圖，已知，M,N分別為銳角/AO8的邊。4,08上的點，ON=6,把A0MN

沿MN折疊，點O落在點C處，MC與OB交于點、P,若MN=MP=5,則PN=（）

o1n

A.2B.3C.-D.—

33

解：MN=MP,

/./MNP=ZMPN,

ZCPN=ZONM,

由折疊可得，/ONM=/CNM,CN=ON=6,

ZCPN=ZCNM,

又NC=NC,

NCPNSNCNM,

—,^CN2=CPxCM,

CNCM

62=CPX(CP+5),

解得CP=4,

又PNCP

~NM~~CN

,PN_4

?.-----——,

56

故選：D.

二、填空題（每題4分，共24分）

13.（4分）寫出一個圖象的頂點在原點，開口向下的二次函數(shù)的表達式丫=-2。（答案不

唯一）.

解：由題意可得：y=-2x2（答案不唯一）.

故答案為：y=-2/（答案不唯一）.

14.（4分）若兩個相似三角形的周長比為2:3,則它們的面積比是_4:9_.

解：兩個相似三角形的周長比為2:3,

.?.這兩個相似三角形的相似比為2:3,

.?.它們的面積比是4:9.

故答案為：4:9.

15.（4分）已知，的半徑為6,若它的內(nèi)接正〃邊形的邊長為6五，則〃=4

解：如圖所示：連接A。，BO,過點。做

。的半徑為6,它的內(nèi)接正〃邊形的邊長為6亞,

AD=BD=372,

.八八八3四V2

..sin/AOZ）------——,

62

NAOD=45°,

...ZAOB=90°,

360°

/.n=-=---4-.

90°

故答案為：4.

16.（4分）如圖，某營業(yè)大廳自動扶梯的傾斜角為31。，的長為12米，則大廳兩層

之間的高度5c為6.18米.（參考數(shù)據(jù)：sin31o=0.515,cos31°=0.857,tan31°=0.601)

解：由題意可得：sin31°=—=—=0.515

AB12

則BC=6.18(m).

故答案為：6.18.

17.（4分）如圖，-0過正方形網(wǎng)格中的格點A,B,C,。，點E也為格點，連結(jié)3片交

。于點尸，尸為8上的任一點，則tan1=2

解：連接。尸，如圖，貝?/，

BD為直徑,

ZBFD=90°,

/DBF+ZBDF=90°,ZEBD+ABED=90°,

NBDF=/BED,

ZP=ABED,

Rn

tan/BED==2,

DE

tanZP=2.

故答案為2.

AE

C

18.（4分）若二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點和頂點構(gòu)成等邊三角形，則稱這樣的二次

函數(shù)的圖象為標準拋物線.如圖，自左至右的一組二次函數(shù)的圖象7；,T2,T3……是標準

拋物線，且頂點都在直線>=事》上，7；與x軸交于點4（2,0）,A（4在A右側(cè)），7；與x軸

交于點4,4，4與無軸交于點4，A,……，則拋物線（的函數(shù)表達式為

解：設拋物線工，T2,4…的頂點依次為耳，B2,B3...,連接A耳，人耳，4坊，4當，

4a，A4B3...,過拋物線各頂點作x軸地垂線，如圖所示：

△4耳4是等邊三角形,

/月A4=60°,

^~x上,設,

頂點都在直線y=

,OC=m?B￡=——m,

X3

tan/30G=^|^V3

3

,/B℃]=30。，

,NO瓦A=30。，

/.。4=A]B]=2=A]B?,

/.=AiB1^os60°=1,

B、C]=AiBl^m600=G,

/.OCX=04+=3,

:.BC,4(4,0),

設7；的解析式為：y=a(x-3)2+君，

則0=a(2-3y+6，

a——'/3,

：.T、:y=-拒(x-3￥+拒,

同理，7；的解析式為：y=-g(x_6)2+2G，

7；的解析式為：y=-中(無一12)2+46,

則7；的解析式為：y=-^(x-3x2"-1)2+2"-1V3,

故答案為：y=-^1(x-3x2n-1)2+2n-1V3.

三、解答題(第19、20題各7分，第21題8分，第22?24題每題10分，第25題12分,

第26題14分，共78分)

19.(7分)解下列兩題：

(1)已知q=求"土亞的值；

b4a

(2)已知二為銳角，且26sina=4cos30。-tan60。，求二的度數(shù).

解：⑴￡=

b4

.,.設a=3笈，b=4k,

2〃+3/?6k+12k/

-------=--------=o；

a3k

(2)2^/3sina-4cos30°-tan60°=4x-------3二百，

2

1

sinCL——,

2

銳角a=30°.

20.（7分）如圖，轉(zhuǎn)盤A中的4個扇形的面積相等，轉(zhuǎn)盤8中的3個扇形面積相等.小明

設計了如下游戲規(guī)則：甲、乙兩人分別任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤4、2一次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,

將指針所落扇形中的2個數(shù)相乘，如果所得的積是偶數(shù)，那么是甲獲勝；如果所得的積

是奇數(shù)，那么是乙獲勝.

解：列表如下:

11234

22469

336912

以上共有12個等可能的結(jié)果,其中積為偶數(shù)的有8個結(jié)果，積為奇數(shù)的有4個結(jié)果,

7_1_

：.P（甲勝）P（乙勝）

3

P（甲勝）＞P（乙勝）,

，規(guī)則不公平.

21.（8分）如圖是四個全等的小矩形組成的圖形，這些矩形的頂點稱為格點.AA8C是格

點三角形（頂點是格點的三角形）

（1）若每個小矩形的較短邊長為1,則5C=_君

（2）①在圖1、圖2中分別畫一個格點三角形（頂點是格點的三角形），使它們都與AABC

相似（但不全等），且圖1,2中所畫三角形也不全等）.

②在圖3中只用直尺（沒有刻度）畫出AA8C的重心（保留痕跡，點M用黑點表示,

并注上字母M）

故答案為：A/5；

（2）①如圖1,2所示：即為所求;

22.（10分）如圖，二次函數(shù)尤+c過點4（-1,0）,8（3,0）和點C（4,5）.

（1）求該二次函數(shù)的表達式及最小值.

（2）點P（m,w）是該二次函數(shù)圖象上一點.

①當相=一4時，求〃的值；

②已知點P到y(tǒng)軸的距離不大于4,請根據(jù)圖象直接寫出n的取值范圍.

解：(1)將點A(-1,O),2(3,0)和點C(4,5)代入y=o%2+bx+c,

得：。=1,b=—2,c=—3,

二.函數(shù)表達式為y=尤?-2x-3；

(2)①當機=-4時，?=16+8-3=21；

②點尸到y(tǒng)軸的距離為|切|，

.'.Im\?4,

二.—4麴1%4，

y=f_2尤—3=(x—I)2_4,

在-4強弧4時，-4加21.

23.（10分）如圖1,是一種自卸貨車.如圖2是貨箱的示意圖，貨箱是一個底邊AB水平

的矩形，A8=8米，8C=2米，前端檔板高。E=0.5米，底邊AB離地面的距離為1.3米.卸

貨時，貨箱底邊4B的仰角a=37。（如圖3）,求此時檔板最高點E離地面的高度.（精確到

0.1米，參考值：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°~0.75)

解：如圖3所示，延長D4交水平虛線于尸，過E作EH_LB尸于H,

ZBAF=90°,NABF=37°,

.〔RtAABF中，AF=tan37°xAB?0.75x8=6(米)，

EF=AF+AD+DE=8.5,

ZEHF=900=ZBAF，NBFA=NEFH,

NE=37°,

.〔RtAEFH中，EH=cos37°xEF?0.80x8.5=6.8（米）,

又底邊AB離地面的距離為1.3米，

.?.點E離地面的高度為6.8+13=8.1（米）.

圖3

24.（10分）某商品市場銷售搶手，其進價為每件80元，售價為每件130元，每個月可賣

出500件；據(jù)市場調(diào)查，若每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣2件（每件售價不能

高于240元）.設每件商品的售價上漲x元。為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）每件商品的漲價多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

（3）每件商品的漲價多少元時，每個月的利潤恰為40000元？根據(jù)以上結(jié)論，請你直接寫

出x在什么范圍時，每個月的利潤不低于40000元？

解：（1）設每件商品的售價上漲尤元（x為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元，由題意得：

y=（130-80+x）（500-2x）

=-2x2+400x+25000

每件售價不能高于240元

.,.130+%,240

x,,110

y與尤的函數(shù)關(guān)系式為>=-2丁+400x+25000,自變量無的取值范圍為0<%,110,且x為

正整數(shù).

（2）y=-2x2+400x+25000

--2(x-100)2+45000

.?.當x=100時，y有最大值45000元.

.?.每件商品的漲價100元時，每個月可獲得最大利潤，最大的月利潤是45000元.

(3)4y=40000,得：

-2x2+400元+25000=40000

解得：X]=50,x2=150

0<x,,110

二.x=50,即每件商品的漲價為50元時，每個月的利潤恰為40000元；

由二次函數(shù)的性質(zhì)及問題的實際意義，可知當5砥*110,且尤為正整數(shù)時，每個月的利潤

不低于40000元.

,每件商品的漲價為50元時，每個月的利潤恰為40000元；當5醺皿110,且尤為正整數(shù)時，

每個月的利潤不低于40000元.

25.（12分）定義：連結(jié)菱形的一邊中點與對邊的兩端點的線段把它分成三個三角形，如果

其中有兩個三角形相似，那么稱這樣的菱形為自相似菱形.

（1）判斷下列命題是真命題，還是假命題？

①正方形是自相似菱形；

②有一個內(nèi)角為60。的菱形是自相似菱形.

③如圖1,若菱形ABCD是自相似菱形，NABC=次0。<?<90。），E為BC中點，則在AABE,

AAED,AEOC中，相似的三角形只有AABE與AAED.

（2）如圖2,菱形A8CD是自相似菱形，/A3C是銳角，邊長為4,E為BC中點.

①求AE,OE的長；

②AC,BD交于點O,求tan/D8C的值.

如圖3所示：

四邊形ABC。是正方形，點E是2C的中點,

AB=CD,BE=CE,AABE=ZDCE=90°,

AB=CD

在AABE■和ADCE中，IZABE=ZDCE,

BE=CE

NABE=ADCE(SAS),

AABESADCE,

正方形是自相似菱形；

②有一個內(nèi)角為60。的菱形是自相似菱形，是假命題；理由如下：

如圖4所示：

連接AC,

四邊形ABC。是菱形，

AB=BC=CD,AD//BC,AB!/CD,

NB=60°,

AA8C是等邊三角形，ZDC￡=120°,

點E是2c的中點，

AE±BC,

ZAEB=ZDAE=90°,

二.只能AAEB與NDAE相似,

AB//CD,

二.只能=,

若NAED=NB=60°,貝UZCED=180°-90°-60°=30°,

ZCDE=180°-120°-30°=30°,

ZCED=ZCDE,

CD=CE,不成立，

,有一個內(nèi)角為60。的菱形不是自相似菱形；

③若菱形A8C。是自相似菱形，ZABC=a(0°<a<90°),E為8c中點，

則在A4BE,AAED,AEOC中，相似的三角形只有A4BE與AAED,是真命題；理由如下:

ZABC=a(0°<a<90°),

:.ZC>90°,且NABC+NC=180。，"BE與AEOC不能相似，

同理AAE。與AEDC也不能相似，

四邊形ABC。是菱形,

/.AD//BC,