人教A版數(shù)學(xué)選修1－1練習(xí)第一章常用邏輯用語(yǔ)1.2.2

第一章1.2A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．(2016·甘肅通渭縣高二檢測(cè))設(shè)p：1<x<2；q：2x>1，則p是q成立的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]∵1<x<2?2x>1，而2x>1eq\o(?,/)1<x<2，故選A．2．一次函數(shù)y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限的必要不充分條件是(B)A．m>1，n<－1 B．mn<0C．m>0，n<0 D．m<0，n<0[解析]先找出原條件的等價(jià)條件，因?yàn)榇艘淮魏瘮?shù)過(guò)第一、三、四象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m,n)>0,\f(1,n)<0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,n<0.))從而A，B，C，D中只有B滿足題意．3．“x>1”是“eqlog\s\do8(\f(1,2))(x＋2)<0”的(B)A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件[解析]eqlog\s\do8(\f(1,2))(x＋2)<0＝eqlog\s\do8(\f(1,2))1，∴x＋2>1即x>－1，而x>1?x>－1，反之不然．故選B．4．(2018·浙江，6)已知平面α，直線m，n滿足m?α，n?α，則“m∥n”是“m∥α”的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]∵若m?α，n?α，且m∥n，則一定有m∥α，但若m?α，n?α，且m∥α，則m與n有可能異面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要條件．故選A．5．已知平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60°，則“m＝1”是“(a－mb)⊥a”的(C)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]∵|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝1×2×cos60°＝1，(a－mb)⊥a?(a－mb)·a＝0?|a|2－ma·b＝0?m＝1，故選C．6．下列四個(gè)條件中，使a>b成立的充分而不必要的條件是(A)A．a(chǎn)>b＋1 B．a(chǎn)>b－1C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b3[解析]∵a>b＋1?a－b>1?a－b>0?a>b，∴a>b＋1是a>b的充分條件．又∵a>b?a－b>0eq\o(?,/)a>b＋1，∴a>b＋1不是a>b的必要條件，∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要條件．二、填空題7．若條件p：(x＋1)2>4，條件q：x2－5x＋6<0，則q是p的__充分不必要___條件.[解析]因?yàn)?x＋1)2>4，所以x<－3或x>1.又x2－5x＋6<0，所以2<x<3，所以q?p，即q是p的充分不必要條件．8．已知數(shù)列{an}，那么“對(duì)任意的n∈N＋，點(diǎn)Pn(n，an)，都在直線y＝2x＋1上”是“{an}為等差數(shù)列”的__充分不必要___條件.[解析]點(diǎn)Pn(n，an)都在直線y＝2x＋1上，即an＝2n＋1，∴{an}為等差數(shù)列，但是{an}是等差數(shù)列卻不一定就是an＝2n＋1.三、解答題9．(2016·山東濟(jì)南高二檢測(cè))指出下列各題中p是q的什么條件.(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：兩個(gè)三角形相似；q：兩個(gè)三角形全等；(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0無(wú)實(shí)根；(4)p：一個(gè)四邊形是矩形；q：四邊形的對(duì)角線相等．[解析](1)因?yàn)閤－2＝0?(x－2)(x－3)＝0，而(x－2)(x－3)＝0eq\o(?,/)x－2＝0，所以p是q的充分不必要條件．(2)因?yàn)閮蓚€(gè)三角形相似eq\o(?,/)兩個(gè)三角形全等，而兩個(gè)三角形全等?兩個(gè)三角形相似，所以p是q的必要不充分條件．(3)因?yàn)閙<－2?方程x2－x－m＝0無(wú)實(shí)根，而方程x2－x－m＝0無(wú)實(shí)根eq\o(?,/)m<－2，所以p是q的充分不必要條件．(4)因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，所以p?q.而對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，所以qeq\o(?,/)p.所以p是q的充分不必要條件．B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．設(shè){an}是等比數(shù)列，則“a1<a2<a3”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的(C)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]若a1<a2<a3，則a1<a1q<a1q2，若a1>0，則q>1，此時(shí)為遞增數(shù)列，若a1<0，則0<q<1，同樣為遞增數(shù)列，故充分性成立，必要性顯然成立．2．若命題甲是命題乙的充分不必要條件，命題丙是命題乙的必要不充分條件，命題丁是命題丙的充要條件，則命題丁是命題甲的(B)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件[解析]由條件知，甲?乙?丙?丁，∴甲?丁且丁eq\o(?,/)甲，故選B．3．(2018·天津文，3)設(shè)x∈R，則“x3>8”是“|x|>2”的(A)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]由x3>8?x>2?|x|>2，反之不成立，故“x3>8”是“|x|>2”的充分不必要條件．故選A．4．設(shè)四邊形ABCD的兩條對(duì)角線為AC、BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]菱形的對(duì)角線互相垂直，對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形．故選A．5．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,－2x＋a，x≤0))有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件是(A)A．a(chǎn)<0 B．0<a<eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)<a<1 D．a(chǎn)≤0或a>1[解析]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)過(guò)點(diǎn)(1,0)，所以函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)?函數(shù)y＝－2x＋a(x≤0)沒(méi)有零點(diǎn)?函數(shù)y＝2x(x≤0)與直線y＝a無(wú)交點(diǎn)．?dāng)?shù)形結(jié)合可得，a≤0或a>1，即函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充要條件是a≤0或a>1，應(yīng)排除D；當(dāng)0<a<eq\f(1,2)時(shí)，函數(shù)y＝－2x＋a(x≤0)有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，應(yīng)排除B；同理，排除C．故選A．二、填空題6．“a＝b”是“直線y＝x＋2與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的__充分不必要___條件.[解析]圓心為(a，b)，半徑r＝eq\r(2).若a＝b，有圓心(a，b)到直線y＝x＋2的距離d＝r，所以直線與圓相切．若直線與圓相切，有eq\f(|a－b＋2|,\r(2))＝eq\r(2)，則a＝b或a－b＝－4，所以“a＝b”是“直線與圓相切”的充分不必要條件．7．已知全集S，若p：AB，q：?SB?SA，則p是q的__充要___條件.[解析]利用集合的圖示法，如下圖，AB??SB?SA，?SB?SA?AB?S.∴p是q的充分條件，也是必要條件，即p是q的充要條件．8．已知p：2x＋m>0，q：x2－4x>0，若p是q的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__m≤－8___.[解析]p：x>－eq\f(m,2)，q：x<0或x>4，由條件知p?q，∴－eq\f(m,2)≥4，∴m≤－8.C級(jí)能力提高1．求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.[解析]充分性：(由ac<0推證方程有一正根和一負(fù)根)∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac>0，∴方程一定有兩不等實(shí)根，設(shè)為x1、x2，則x1x2＝eq\f(c,a)<0，∴方程的兩根異號(hào)．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根.必要性：(由方程有一正根和一負(fù)根，推證ac<0)，∵方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)為x1、x2，則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2＝eq\f(c,a)<0，即ac<0，綜上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.2．(2016·浙江杭州高二檢測(cè))設(shè)p：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－12≥0,3－x≥0,x＋3y≤12))，q：x2＋y2>r2(x、y∈R，r>0)，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)r的取值范圍.[解析]設(shè)A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－12≥0,3－x≥0,x＋3y≤12)))))