2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題變式題16-18題-（解析版）

2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題變式題1678題

原題16

1.在.ABC中，sin2C=>/3sinC.

⑴求NC；

(2)若匕=6,且ABC的面積為66,求ABC的周長(zhǎng).

變式題1基礎(chǔ)

2.ZiMBC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知acosC+ccosA=2/?cos8.

⑴求B；

(2)若。=屈，ZiABC的面積為G，求AABC的周長(zhǎng).

變式題2基礎(chǔ)

3.在.ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且8cosA=(伍-")cos8.

⑴求B；

(2)若人=1,ABC的面積為求A5C的周長(zhǎng).

變式題3基礎(chǔ)

4.在.43C中，角4,8,C的對(duì)邊分別為a,。,c,2c=H為cosB.

(1)求角A；

⑵若a=2,ABC面積5=拿/+"+c)求△ABC的周長(zhǎng).

變式題4基礎(chǔ)

5.已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且asin(A+B-C)=csin(8+C).

⑴求角C的值；

⑵若2〃+n6,且一MC的面積為G，求;ASC的周長(zhǎng).

變式題5鞏固

6.已知ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,且也1土手=吧0

c-bc-a

(1)求角A的大小；

(2)若〃=2百，且S.c=26，求ABC的周長(zhǎng).

變式題6鞏固

7.在一A8C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,向量5=3,。)，”=(sin8,GcosA),

且帆_1_幾

⑴求4;

(2)若a=g,ABC的面積為巫，求一ABC的周長(zhǎng).

2

變式題7鞏固

8.已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,6c=/?sinA+6cosA).

⑴求B

⑵若6=3,ABC面積為迪，求ABC周長(zhǎng).

4

變式題8鞏固

9.在&ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為“、b、c,JL2/?cosB=ccosA+acosC.

(1)求角B的大?。?/p>

⑵若a+2c=16,且ABC的面積為86,求ABC的周長(zhǎng).

變式題9提升

、R

10.ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,己知a=2,acosCH--asinC=b-

3

⑴求4;

(2)若點(diǎn)。在8c邊上，40平分NBAC,且=求43c的周長(zhǎng).

3

變式題10提升

11./1BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知GsinC—cosC=$a.

a

(1)求角A的大小；

(2)若4。為Nfi4c的平分線，且AD=g,S.=26,求ABC的周長(zhǎng).

變式題11提升

12.在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是“，b,c,且向量膽=(a-c,J)和向量

〃=2-a)互相垂直.

(1)求角C的大小；

(2)若..ABC外接圓的半徑是1,面積是正，求43c的周長(zhǎng).

2

變式題12提升

13.在一ABC中，Z?sinB=asin4—(Z?+c)sinC

(1)求角A的大小

⑵若BC邊上的中線A?=2X/5,且5枷=26,求ABC的周長(zhǎng)

原題17

試卷第2頁(yè)，共16頁(yè)

14.如圖，在三棱柱ABC-中,側(cè)面BCC'Bi為正方形，平面BCClBi_L平面,

AB=BC=2fM,N分別為A#,AC的中點(diǎn).

(1)求證：A/N〃平面BCG4；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線A3與平面3MN所成

角的正弦值.

條件①：ABLMN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

變式題1基礎(chǔ)

15.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，48=3.再?gòu)?/p>

條件①：BC=5、條件②：ABIAA^條件③：平面ABC_L平面MGC、中選擇兩個(gè)

能解決下面問(wèn)題的條件作為己知，并作答.

(1)求證：平面AAGC;

(2)求直線8c與平面4BG所成角的正弦值.

變式題2基礎(chǔ)

16.如圖，四棱錐P-A5C。中，平面A8CO,四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E,尸分

別是AB,PO的中點(diǎn)，若B4=4)=2,CD=4.

(1)求證：AFV/平面PCE；

(2)求直線FC與平面PCE所成角的正弦值.

變式題3基礎(chǔ)

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABLAD,CDA.AD,PA_L平面ABC。,

PA=AD=CD=2AB=2,M為尸C的中點(diǎn).

(1)求證：3M//平面%￡>；

⑵設(shè)點(diǎn)N在平面孫。內(nèi)，且MNJ_平面P8。，求直線BN與平面A8C。所成角的正弦值.

變式題4鞏固

18.在①平面平面A8CE),②AP_LC￡>,③BCJ_平面這三個(gè)條件中任選一

個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并作答.

如圖，在四棱錐P-43co中，底面A8CD是梯形，點(diǎn)E在BC上，AD//BC,ABLAD,

AB1AP,BC=2AB=2AD=2AP=4BE=4,且______.

(1)求證：平面平面PAC；

(2)求直線PE與平面PAC所成角的正弦值.

變式題5鞏固

試卷第4頁(yè)，共16頁(yè)

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAJ?平面ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,

PC=2y/3,E為尸8中點(diǎn)，一.

(1)求證：四邊形A8C￡＞是直角梯形；

(2)并求直線AE與平面PC￡＞所成角的正弦值.

從①CDLBC；②BC〃平面PAO這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中，并完成

解答.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

變式題6鞏固

20.如圖,在三棱柱ABC-A^C,中，四邊形4AGC是邊長(zhǎng)為4的菱形，AB=BC=而，

點(diǎn)。為棱AC上動(dòng)點(diǎn)(不與A,C重合)，平面B/。與棱AG交于點(diǎn)E.

(1)求證：BBJIDE；

(2)若袈=今，從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)條件作為已知，求直

/IV4

線48與平面所成角的正弦值.條件①：平面ABC,平面AA￡C；條件②：

4AC=60。；條件③：AB=后.

變式題7鞏固

21.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。為平行四邊形，AB1AC,抬_L平面

ABCD,S.PA^AB=3,AC=2,點(diǎn)E是PO的中點(diǎn).

(2)求直線CE與平面R43所成角的正弦值.

變式題8鞏固

22.如圖，在直三棱柱ABC-A中，D,E分別是棱48,8G的中點(diǎn)，AC=BC=2,

(1)求證：DE//平面4CGA；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得各條件相融.并

求直線DE與平面A8G所成的角的正弦值.

條件①：BCLAC,.條件②：DEJ.BJ條件③：到平面ACC/的距離為1.

變式題9鞏固

23.如圖，在四棱錐P—MCD中，平面ABC。，AD//BC,ZABC=90°,

PA=AB=BC=2,AQ=1,點(diǎn)M,N分別為棱尸8,OC的中點(diǎn).

試卷第6頁(yè)，共16頁(yè)

AD

(1)求證：AM〃平面PC。；

(2)求直線MN與平面PCD所成角的正弦值.

變式題10提升

24.如圖，在四棱錐P-A8CD中，底面ABCD是菱形，PA=AB=2,PA_L平面ABC。，

E為PD的中點(diǎn).

BC

(1)證明:P8〃平面A￡C;

(2)在①NABC=60。，②ECLAD這兩個(gè)條件中任一個(gè),補(bǔ)充在下面的橫線上，并

作答.若_______,求EC與平面PA。所成的角.

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

變式題11提升

25.如圖，在四棱錐P—ABCD中，24,平面ABCQ,E4：=AD=CD=2,BC=3,

PC=2日E為尸B的中點(diǎn)，______.

P

BC

從①CDLBC；②BC〃平面出。這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題的橫線中，并

完成解答.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答按第一個(gè)解答計(jì)分.

(1)求證：四邊形ABC。是直角梯形.

(2)求直線AE與平面PC。所成角的正弦值.

PF

(3)在棱PB上是否存在一點(diǎn)尸，使得AF〃平面PC。？若存在，求的的值；若不存在,

CD

請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式題12提升

26.如圖，在四棱錐P-ABCO中，己知底面A3C。為直角梯形，AB//DC,AB±AD,

AB=AD=2CD=2,平面平面ABC。，PALPB,PA=PB.

(1)從下列條件①、條件②中再選擇一個(gè)作為已知條件，求證：耳■〃平面物8；

條件①：E,尸分別為棱尸。，BC的中點(diǎn)；條件②：E,F分別為棱PC,AO的中點(diǎn).

(2)若點(diǎn)M在棱(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)會(huì)為何值時(shí)，直線CM與平面以。所成角

的正弦值為3.

3

變式題13提升

27.已知底面為菱形的四棱錐P-ABCO中，△%￡＞是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面

皿)，平面ABC。，E,F分別是棱PC,AB上的點(diǎn).

(1)從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立：

①尸是AB的中點(diǎn)；②E是PC的中點(diǎn)；③BE〃平面PFD

(2)若ND48=60。.求P8與平面PQC所成角的正弦值.

原題18

28.在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以上

(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、

乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位：m)：

試卷第8頁(yè)，共16頁(yè)

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙:9,85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E

(X)；

(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？(結(jié)論不要求證

明)

變式題1基礎(chǔ)

29.某地區(qū)為了實(shí)現(xiàn)產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型發(fā)展，利用當(dāng)?shù)芈糜钨Y源豐富多樣的特點(diǎn)，決定大力發(fā)

展旅游產(chǎn)業(yè),一方面對(duì)現(xiàn)有旅游資源進(jìn)行升級(jí)改造，另一方面不斷提高旅游服務(wù)水平.為

此該地區(qū)旅游部門，對(duì)所推出的報(bào)團(tuán)游和自助游項(xiàng)目進(jìn)行了深入調(diào)查，如表是該部門從

去年某月到該地區(qū)旅游的游客中，隨機(jī)抽取的100位游客的滿意度調(diào)查表.

老年人中年人青年人

滿意度

報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游

滿意121184156

一般2164412

不滿意116232

(1)由表中的數(shù)據(jù)分析，老年人、中年人和青年人這三種人群中，哪一類人群更傾向

于選擇報(bào)團(tuán)游？

(2)為了提高服務(wù)水平，該旅游部門要從上述樣本里滿意度為“不滿意”的游客中，隨

機(jī)抽取3人征集整改建議，記X表示這3人中老年人的人數(shù)，求X的分布列和期望；

(3)若你朋友要到該地區(qū)旅游，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你會(huì)建議他選擇哪種旅游項(xiàng)目？

變式題2基礎(chǔ)

30.某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過(guò)1kg的包裹收費(fèi)10元；重量超過(guò)1kg

的包裹，除1kg收費(fèi)10元之外，超過(guò)1kg的部分，每超出1kg(不足1kg,按1kg計(jì)算)需

再收5元.該公司將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計(jì)如表：

包裹重量（單位：kg）12345

包裹件數(shù)43301584

公司對(duì)近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如表:

包裹件數(shù)范

0-100101200201300301400401500

圍

包裹件數(shù)（近

50150250350450

似處理）

天數(shù)6630126

以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.

（1）計(jì)算該公司未來(lái)1天攬件數(shù)在101~400之間的概率；

（2）①估計(jì)該公司對(duì)每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值；

②公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺(tái)工作人員的工資和公司利潤(rùn)，剩余的用作其他費(fèi)用.

目前前臺(tái)有工作人員3人，每人每天攬件不會(huì)超過(guò)150件，且日工資為100元.公司正在

考慮是否將前臺(tái)工作人員裁減1人，試計(jì)算裁員前后公司每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，并判斷

裁員是否對(duì)提高公司利潤(rùn)更有利？

變式題3基礎(chǔ)

31.近期，某中學(xué)全體學(xué)生參加了“全國(guó)節(jié)約用水大賽”活動(dòng).現(xiàn)從參加該活動(dòng)的學(xué)生中

隨機(jī)抽取了男、女各25名學(xué)生，將他們的成績(jī)（單位：分）記錄如下：

成績(jī)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

男生（人數(shù)）25891

女生（人數(shù)）ab1032

（1）在抽取的50名學(xué)生中，從大賽成績(jī)?cè)?0分以上的人中隨機(jī)取出2人，求恰好男、

女生各1名，且所在分?jǐn)?shù)段不同的概率；

（2）從該校參加活動(dòng)的男學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中大賽成績(jī)?cè)?0分以上的人

數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）試確定6為何值時(shí)，使得抽取的女生大賽成績(jī)方差最小.（只寫出結(jié)論，不需

試卷第10頁(yè)，共16頁(yè)

要說(shuō)明理由)

變式題4基礎(chǔ)

32.《中華人民共和國(guó)老年人權(quán)益保障法》規(guī)定，老年人的年齡起點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)是60周歲.為

解決老年人打車難問(wèn)題，許多公司均推出老年人一鍵叫車服務(wù).某公司為調(diào)查老年人對(duì)

打車軟件的使用情況，在某地區(qū)隨機(jī)抽取了100位老年人，調(diào)查結(jié)果整理如下：

[60,65)[65,70)[70,75)[75,80]

年齡/歲80歲以上

使用過(guò)打車軟件人

41201151

數(shù)

未使用過(guò)打車軟件

13963

人數(shù)

(1)從該地區(qū)的老年人中隨機(jī)抽取1位，試估計(jì)該老年人的年齡在［65,75)且未使用過(guò)打

車軟件的概率；

(2)從參與調(diào)查的年齡在［70,801且使用過(guò)打車軟件的老年人中，隨機(jī)抽取2人進(jìn)一步了

解情況，用X表示這2人中年齡在［75,80］的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)為鼓勵(lì)老年人使用打車軟件，該公司擬對(duì)使用打車軟件的老年人贈(zèng)送1張10元的代

金券，若該地區(qū)有5000位老年人，用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)該公司至少應(yīng)準(zhǔn)備多少?gòu)?/p>

代金券.

變式題5鞏固

33.自由購(gòu)是通過(guò)自助結(jié)算方式購(gòu)物的一種形式.某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購(gòu)的

情況，隨機(jī)抽取了100人，統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下：

20以F[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]70以上

使用人數(shù)312176420

未使用人數(shù)003143630

(I)現(xiàn)隨機(jī)抽取1名顧客，試估計(jì)該顧客年齡在［30,50)且未使用自由購(gòu)的概率；

(II)從被抽取的年齡在［50,70］使用自由購(gòu)的顧客中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況,

用X表示這3人中年齡在［50,60）的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（III）為鼓勵(lì)顧客使用自由購(gòu)，該超市擬對(duì)使用自由購(gòu)的顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋.若

某日該超市預(yù)計(jì)有5000人購(gòu)物，試估計(jì)該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋.

變式題6鞏固

34.某企業(yè)為了解職工A款A(yù)PP和8款A(yù)P尸的用戶量情況，對(duì)本單位職工進(jìn)行簡(jiǎn)單隨

機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：

男職工女職工

使用不使用使用不使用

人款A(yù)PP72人48人40人80人

B款A(yù)PP60人60人84人36人

假設(shè)所有職工對(duì)兩款A(yù)PP是否使用相互獨(dú)立.

（1）分別估計(jì)該企業(yè)男職工使用A款4Pp的概率、該企業(yè)女職工使用A款A(yù)PP的概率；

（2）從該企業(yè)男，女職工中各隨機(jī)抽取1人，記這2人中使用A款A(yù)PP的人數(shù)為X,

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）據(jù)電商行業(yè)發(fā)布的市場(chǎng)分析報(bào)告顯示，A款A(yù)PP的用戶中男性占52.04%、女性占

47.96%；8款A(yù)PP的用戶中男性占38.92%、女性占61.08%.試分析該企業(yè)職工使用A款

APP的男、女用戶占比情況和使用8款A(yù)PP的男、女用戶占比情況哪一個(gè)與市場(chǎng)分析報(bào)

告中的男、女用戶占比情況更相符.

變式題7鞏固

35.某調(diào)研機(jī)構(gòu)就該市工薪階層對(duì)“樓市限購(gòu)令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，抽調(diào)了5000名市民,

他們?cè)率杖肴藬?shù)分布表和對(duì)“樓市限購(gòu)令”贊成人數(shù)如下表：

月收入（單位：百元）[30,50)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150)

調(diào)查人數(shù)500100015001000500500

贊成人數(shù)40080012004149987

（1）若從抽調(diào)的5000名市民中隨機(jī)選取一名市民，求該市民贊成“樓市限購(gòu)令”的概率；

（2）依據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，若從該市工薪階層隨機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查，記贊成“樓市限購(gòu)

試卷第12頁(yè)，共16頁(yè)

令''的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

（3）若從抽調(diào)的收入在［30,50）（百元）的市民中隨機(jī)抽取兩名，記贊成“樓市限購(gòu)令”的

人數(shù)為X-期望記作碇|：若從抽調(diào)的收入在［50,90）（百元）的市民中隨機(jī)抽取兩名，

記贊成“樓市限購(gòu)令”的人數(shù)為X2,期望記作EX?,比較與EX?的大小關(guān)系.（直接寫

出結(jié)論即可）

變式題8鞏固

36.北京市某區(qū)針對(duì)高三年級(jí)的一次測(cè)試做調(diào)研分析，隨機(jī)抽取同時(shí)選考物理、化學(xué)的

學(xué)生330名，下表是物理、化學(xué)成績(jī)等級(jí)和人數(shù)的數(shù)據(jù)分布情況：

物理成績(jī)等級(jí)ABC

化學(xué)成績(jī)等級(jí)ABCABCABC

人數(shù)（名）11053255701531210

（1）從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理、化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，已知該生的物理成績(jī)等

級(jí)為A,估計(jì)該生的化學(xué)成績(jī)等級(jí)為A的概率；

（2）從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理、化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，以X表示這2人中物理

、化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為A的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望（以上表中物理、化學(xué)成績(jī)等

級(jí)均為A的頻率作為每名學(xué)生物理、化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為A的概率）；

（3）記抽取的330名學(xué)生在這次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分150分）的方差為1，排名前50%

的成績(jī)方差為s；,排名后50%的成績(jī)方差為sj,則52不可能同時(shí)大于.S和s「，這種判

斷是否正確.（直接寫出結(jié)論）.

變式題9提升

37.人類常見的遺傳病類型主要分為單基因遺傳病、多基因遺傳病和染色體異常遺傳病

三大類，高度近視（600度以上）、紅綠色盲都是較常見的單基因遺傳病.某學(xué)校課后

實(shí)踐活動(dòng)對(duì)學(xué)生這兩種遺傳病情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，分別從男、女同學(xué)中各隨機(jī)抽取100人進(jìn)

行調(diào)查，對(duì)患病情況統(tǒng)計(jì)如下，其中“小表示是，“x”表示否.

人數(shù)男生高度近視紅綠色盲

3qXq

2qdX

1474

1XX

2XyjX

(1)分別估計(jì)該校男生紅綠色盲的發(fā)病率和該校女生紅綠色盲的發(fā)病率；

(2)為做家庭訪問(wèn)，從已調(diào)查出患紅綠色盲的同學(xué)中任選兩人，記這兩人中男同學(xué)人數(shù)為

X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)假設(shè)該校男生人數(shù)為1500,女生人數(shù)為2500,試估計(jì)該校學(xué)生高度近視發(fā)病率〃與

該校學(xué)生紅綠色盲發(fā)病率N的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

某種遺傳病的患者數(shù)

(注：某種遺傳病發(fā)病率=某種遺傳病的被調(diào)查人數(shù)x

變式題10提升

38.2021年是北京城市軌道交通新線開通的“大年”，開通線路的條、段數(shù)為歷年最多.12

月31日首班車起，地鐵19號(hào)線一期開通試運(yùn)營(yíng).地鐵19號(hào)線一期全長(zhǎng)約22公里，共

設(shè)10座車站，此次開通牡丹園、積水潭、牛街、草橋、新發(fā)地、新宮共6座車站.在試運(yùn)營(yíng)

期間，地鐵公司隨機(jī)選取了乘坐19號(hào)線一期的200名乘客，記錄了他們的乘車情況，

得到下表(單位：人)：

下車站

牡丹園積水潭牛街草橋新發(fā)地新宮合計(jì)

上車站

牡丹園///5642724

積水潭12///20137860

牛街57///38124

草橋1399///1638

新發(fā)地410162///335

新宮25543///19

合計(jì)363656262125200

(1)在試運(yùn)營(yíng)期間，從在積水潭站上車的乘客中任選一人，估計(jì)該乘客在牛街站下車的概

率；

試卷第14頁(yè)，共16頁(yè)

(2)在試運(yùn)營(yíng)期間，從在積水潭站上車的所有乘客中隨機(jī)選取三人，設(shè)其中在牛街站下車

的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列以及數(shù)學(xué)期望；

(3)為了研究各站客流量的相關(guān)情況，用。表示所有在積水潭站上下車的乘客的上、下車

情況，表示上車，“。=0”表示下車.相應(yīng)地，用&，4分別表示在牛街，草橋站

上、下車情況，直接寫出方差嶼,?！┐笮￡P(guān)系.

變式題11提升

39.2022年冬奧會(huì)在北京舉行，冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”自亮相以來(lái)就好評(píng)不斷，出現(xiàn)了

“一墩難求”的現(xiàn)象.主辦方現(xiàn)委托某公司推出一款以“冰墩墩''為原型的紀(jì)念品在專賣店

進(jìn)行售賣.已知這款紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為80元/件，為了確定其銷售價(jià)格，調(diào)查了對(duì)這款

紀(jì)念品有購(gòu)買意向的消費(fèi)者(以下把對(duì)該紀(jì)念品有購(gòu)買意向的消費(fèi)者筒稱為消費(fèi)者)的

心理價(jià)位，并將收集的1()0名消費(fèi)者的心理價(jià)位整理如下：

心理價(jià)位(元/件)90100110120

人數(shù)10205020

假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)這款紀(jì)念品的銷售價(jià)格小于或等于某位消費(fèi)者的心理價(jià)位時(shí).，該消費(fèi)者就

會(huì)購(gòu)買該紀(jì)念品.公司為了滿足更多消費(fèi)者的需求，規(guī)定每位消費(fèi)者最多只能購(gòu)買一件

該紀(jì)念品.設(shè)這款紀(jì)念品的銷售價(jià)格為x(單位：元/件)，90<x<120,且每位消費(fèi)者是

否購(gòu)買該紀(jì)念品相互獨(dú)立.用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，頻率視為概率.

(1)若x=100,試估計(jì)消費(fèi)者購(gòu)買該紀(jì)念品的概率；

(2)在(1)的前提下，某時(shí)段有4名消費(fèi)者進(jìn)店，X為這一時(shí)段該紀(jì)念品的購(gòu)買人數(shù)，

試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)假設(shè)共有M名消費(fèi)者，設(shè)該公司售賣這款紀(jì)念品所得總利潤(rùn)為丫(單位：元)，當(dāng)該

紀(jì)念品的銷售價(jià)格X定為多少時(shí)，y的數(shù)學(xué)期望E(y)達(dá)到最大值？

變式題12提升

40.小明所在學(xué)習(xí)小組開展社會(huì)調(diào)查，記錄了某快餐連鎖店每天騎手的人均業(yè)務(wù)量.現(xiàn)

隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為[25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65,75),

[75,85),[85,951匕組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

麗

0.03

0.025

0.02

0.015

0.01

0.005

O2535455565758595業(yè)務(wù)量（單）

(1)隨機(jī)選取一天，估計(jì)這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率;

(2)將上圖中的頻率作為相應(yīng)的概率，從該連鎖店的騎手中任意選3人，記其中業(yè)務(wù)量不

少于65單的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(3)如果該連鎖店的騎手每送1單可以提成3元，試估計(jì)一名騎手每天的收入.并說(shuō)明理

由.

試卷第16頁(yè)，共16頁(yè)

參考答案:

1.(1)J

6

⑵6+66

【分析】(1)利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得cosC的值，結(jié)合角C的取值范圍可求得角C的

值；

(2)利用三角形的面積公式可求得。的值，由余弦定理可求得，的值，即可求得,MC的周

長(zhǎng).

(1)

解：因?yàn)镃e(0,i),貝i」sinC>0,由已知可得GsinC=2sinCcosC,

可得cosC=且，因此，C=^.

26

(2)

解：由三角形的面積公式可得5Azic=g"sinC=|q=66,解得a=4>/L

由余弦定理可得c2=a2+/?2-2McosC=48+36-2x475x6x#=12,:.c=28

所以，A8C的周長(zhǎng)為a+〃+c=65/5+6.

2.(l)y;

(2)5+713.

【分析】(1)根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式即可求出cos8=；,進(jìn)而求出B；

(2)根據(jù)余弦定理可得到(a+c)2-3ac=13,再根據(jù)三角形面積公式得到ac=4,即可求出

a+c=5,進(jìn)而求出A8C的周長(zhǎng).

(1)

解：由々cosC+coosA=2/?cosB及正弦定理得sinAcosC+sinCeosA=2sinBcosB,

/.sin(A-t-C)=sinB=2sinBcosB,VsinB>0,cosB=—,

答案第1頁(yè)，共57頁(yè)

71

VO<B<^,:?B=一

3

（2）

解：由（1）及已知得5人初「=1xacx立=6，ac=4,

△ABC22

由余弦定理知b2=/+/-2。。cos/="+。2_a。=（。+。）2-3ac=13,

；?S+c）~=25,工a+c=5,

???△ABC的周長(zhǎng)為。+6+。=5+代

3?⑴8=9

4

⑵拒+2

【分析】(1)利用正弦定理得到COS2=YZ,從而求出8=；;(2)利用面積公式求出農(nóng)=忘,

24

進(jìn)而用余弦定理求出a+c=&+l，求出周長(zhǎng).

(1)

由正弦定理得：sinBcosA=(夜sinC-sinAjcosB,

因?yàn)閟in（8+A）=sinC,

所以sinC=>/2sinCcosB

因?yàn)镃￡（0,7l）,

所以sinCw0,

故cosB=—，

2

因?yàn)??0,兀）,

所以B=r

4

（2）

由面積公式得：—acsinB=—,解得：ac=a,

2222

答案第2頁(yè)，共57頁(yè)

由余弦定理得：cos8=《±Z=比S竺二￡=也

2ac2ac2

將ac=V^，b=l代入，求得：a+c=V24-1?

故.ABC的周長(zhǎng)為a+c+Z?=+2

71

4.（l）y；

⑵6

【分析】（1）由正弦定理邊角互化化簡(jiǎn)計(jì)算；（2）由面積公式結(jié)合余弦定理代入求解b+c,

即可得周長(zhǎng).

（1）

在，ABC中，V2c=b+2acosBf

/.由正弦定理可得2sinC=sinB+2sinAcosB.

又?.?。=兀一（4+3）,sinC=sin（A+B）,

/.2sin(A+B)=sin2sinAcosB.

整理得2cosAsinB=sinB.

VsinB>0,cosA=—fAG(0,K)./.A=y.

(2)

亦艮|33Z?C=力2+。2+4.

又由余弦定理知從+（?一be=4,/.be=4.

/.(b+c)2—3bc=4./.Z?+c=4.

.ABC的周長(zhǎng)為q+b+c=6.

IT

5.⑴c=；

⑵6或5+9

【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合A+B+CMTT,代換整理得sin2C=sinC,再結(jié)合倍角公式整

答案第3頁(yè)，共57頁(yè)

1\ci=2\a=\

理；⑵根據(jù)面積公式S.=”sinC代入整理得"4’結(jié)合題意可得修或一

分情況討論處理.

（1）

Vtzsin（A+B-C）=csin（B+C）,則sinAsin（兀一2C）=sinCsinA

\<0<A<7r,sinAwO

/.sin2C=sinC,B|J2sinCcosC=sinC

VO<C<7i,sinC^O,則cosC=-

2

：.C=-

3

（2）

?.?△ABC的面積為石，則;"sinC=G

：.ab=4

ab=467=2\a=\

根據(jù)題意得則6=2或I

2a+b=6

a=2

若八2'則AABC為等邊三角形,MC的周長(zhǎng)為6；

若|：一|,則c2=a2+〃-2a〃cosC=13,即。=后，ABC的周長(zhǎng)為5+后

[b=4

二ABC的周長(zhǎng)為6或5+萬(wàn)

71

6.（DA=§

⑵6+26

【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合余弦定理可求得cosA的值，結(jié)合角A的取值范圍可求得角A

的值；

（2）利用三角形的面積公式可求得加的值，利用余弦定理可求得b+c的值，進(jìn)而可求得

ABC的周長(zhǎng).

（1）

答案第4頁(yè)，共57頁(yè)

〃力,sinA+sinCsinB

解：由-------——=----，

c-bc-a

利用正弦定理可得(〃+c)(c—〃)=b(c—"),化為/+力2一/=反，

所以，cosA=c~a=-,A￡(0,4),A=—.

2bc23

(2)

解：a=2^3,且SMe=/bcsinQ=2>/^,所以，be=89

由余弦定理可W12=tz2=b2+c2-2Z?ccosy=￡?2+c2-bc=(b+c)2-3bc,

所以，e+c)2=30c+12=3x8+12=36,解得b+c=6,

因此，ABC周長(zhǎng)為a+〃+c=6+2^^.

7.(l)y;

⑵3+S.

【分析】(1)由題意asin8+而cosA=0,再由正弦定理化簡(jiǎn)得tanA=-石，可得4；

(2)由余弦定理得e+c)2=〃c+7,再由三角形面積公式得反?=2,即可求b+c,進(jìn)而得

出.ABC的周長(zhǎng).

(1)

由m±n,則asinB+&bcosA=0,

由正弦定理得：sinAsinB+>/3sinBcosA=0>

在.ABC中sin8>0,故sin4=-石cosA,即tanA=-石，

因?yàn)?<4〈%，所以A=,；

(2)

由余弦定理得=從+。2一2萬(wàn)ccos4,BPb2+c2+bc=l,可得(/2+cJ=bc+7,

又SA5c=；人。，3A=,得bc=2,則(b+c)2=9,即〃+c=3,

所以4?C的周長(zhǎng)為3+77.

答案第5頁(yè)，共57頁(yè)

71

8.(1)8=§

⑵9

【分析】（1）根據(jù)正弦定理和兩角和公式即可得到結(jié)果

（2）根據(jù)三角形面積公式以及余弦定理即可得到結(jié)果

(1)

因?yàn)镚c=b(sinA+gcosA),由正弦定理：號(hào)=工=『,

\)sinAsin3smC

得V3sinC=sin31inA+GcosA),

又TA+3+C=萬(wàn)，/.V3sin(A4-B)=sinBsinA4-73sinBcosA,

6sinAcosB+y/3cosAsinB=sinBsinA+百sinBcosA,

???V3sinAcosB=sinAsinB,

0<A<乃,?二sinAW0,/.GcosB=sinB,

又???0v〃〈乃，AtanB=>/3,即3

(2)

由題意知==acsinB=ac，**-ac=9

△we244

jr

由余弦定理得/+<?=2accosB,又,：b=3,B=y,

a2+c2=b2+laccosB=18

?'.(?+c)'=a2+c2+lac=36,故a+c=6,

所以ABC的周長(zhǎng)a+b+c=9.

9.⑴？

⑵12+4?

【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得出cosB的值，結(jié)合角8的取值

范圍可求得結(jié)果；

（2）利用三角形的面積公式結(jié)合已知條件可求得。、c的值,再利用余弦定理可求得b的值，

答案第6頁(yè)，共57頁(yè)

即可得出，ABC的周長(zhǎng).

(1)

解：因?yàn)?/7cosB=ccosA4-tzcosC,

由正弦定理2sinBcosB=sinCcosA4-sinAcosC=sin(A+C)=sin(TF-B)=sinB.

i萬(wàn)

又8?0,4)，sinB>0,所以COS3=5,所以8=5.

(2)

解：因?yàn)?'acsin8=』acx正=86，所以ac=32,

222

又a+2c=16,所以a=8,c=4,

由余弦定理可得〃=q2+c2-2accos8=82+42-2x8x4x：=48,所以6=46.

所以ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=8+46+4=12+4G.

1。.嗚

⑵指+2

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換求出角A即可;

（2）利用角平分線分三角形面積等于兩個(gè)小三角形面積之和得出等式，再用余弦定理聯(lián)立

求解周長(zhǎng)即可.

(1)

n

由正弦定理得sinAcosC+——sinAsinC=sinB,

3

在aABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA,

n

化簡(jiǎn)為——sinAsinC=sinCcosA,又sinCwO,

3

tanA=73,又Aw(0,兀)

兀

'.A=—；

3

(2)

依題意得S,』AsinA='A。?csinABAD+』A。力sinACAD,

222

即y/3bc=(0+c),

答案第7頁(yè)，共57頁(yè)

由余弦定理得4="+c2—Ac,

r.S+c)2-^'(b+c)=4,解得b+c-y/6

ABC的周長(zhǎng)為痛+2.

H.⑴年

(2)6+2"

【分析】（1）由正弦定理將邊化為角，結(jié)合三角恒等式的化簡(jiǎn)可得sin（A+2）=g,進(jìn)而可

得結(jié)果；

（2）通過(guò)三角形面積公式可得be=8,b+c=6,結(jié)合余弦定理求出。即可得出周長(zhǎng).

(1)

???^sinC-cosC=—,由正弦定理可得出sinC-cosC=smCrinB

asinA

即y/3sinCsinA-sinAcosC=sinC-sinB=sinC-sin(A+C),

化簡(jiǎn)得GsinCsinA=sinC-cosAsinC,

又??,在一43c中，sinC^O,

?**V3sinA=1一cosA,即百sinA+cosA=1,

,sin(A+?)=g,結(jié)合Ae(O,乃)，可知&

(2)

：4。為za4c的平分線，A=與，AZBAD^ZDAC^^,

又,：SAK=20,AD=1,

Lex旦L/旦U立=2y/3，

22232232

?*.bc=8,b+c=6,

：./=/+c?-2bccosA=(6+c)2-次+be=36-8=28,

:.a=2幣,

二一AfiC的周長(zhǎng)為6+24.

答案第8頁(yè)，共57頁(yè)

12.(1)!

⑵3+6

【分析】(1)根據(jù)a_LZ?＜=＞玉z+x%=°，并結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解;

(2)根據(jù)正弦定理可得c=6,在結(jié)合面積公式和余弦定理運(yùn)算處理，注意

a2+b2=(a+Z?)~-2ab的使用.

(1)

因?yàn)榧樱ɑハ啻怪?，所以??〃=(a—c)?等+，。一。)=0,

則合+/一才=帥.

由余弦定理得cosC=Sc-=迫=1

2ablab2

因?yàn)?＜。＜兀，所以C=].

(2)

"rj=2,則c=2sinC=g

sinC

=—absin—=^~,所以昉=2.

因?yàn)镾.

232

a2+h2-c2即。2+。2_3=々力，則(a+bj-2。人一3=。匕,

因止匕(。+人)~=3々力+3=9,EPa+b=3.

故ABC的周長(zhǎng)〃+?+<?=3+".

13.(1)A=^-

⑵8+6萬(wàn)

【分析】(1)利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理可求角A的大?。?/p>

(2)由面積公式可得歷=8,再在和一AOC中，由余弦定理可得從+02,最后用完

全平方公式可求b+c的值，即可求得三角形的周長(zhǎng).

(1)

由已知bsinb=asinA—(b+c)sinC,

答案第9頁(yè)，共57頁(yè)

由正弦定理得：b2=a2-hc-c2,

由余弦定理得：cosA="苛:二

2bc2

在,ABC中，因?yàn)锳w(0,1)，

所以A=m27r；

(2)

由S^ABC=gsinA=今bc=2yfi,得bc=8①,

由(1)知從=/一匕。一。2,即/+/=/-8②，

在△A8O中，由余弦定理得：c2=(^)2+(2^3)2-2-2^3-^-cosZADB,

在，AOC中，由余弦定理得：b2=(^)2+(2A/3)2-2-243--cosZADC,

2

因?yàn)閏osZAD8=-cosZADC,+c2=—+24@,

2

由①②③，得a=8,。？+/=56,0c=8,

所以b+c=js+c)2=1。2+?2+?0=用=6&,

所以.ABC的周長(zhǎng)a+i>+c=8+6夜?

14.(1)見解析

(2)見解析

(分析】(1)取A8的中點(diǎn)為K,連接MK,NK,可證平面MKNH平面BCC4,從而可證MNH

平面8CG4.

(2)選①②均可證明平面ABC,從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間

向量可求線面角的正弦值.

(1)

取AB的中點(diǎn)為K,連接”K,NK,

答案第10頁(yè)，共57頁(yè)

由三棱柱ABC-ABC可得四邊形48四4為平行四邊形，

而用M=M4,,8K=K4,則MKHBB、,

而MKO平面BCG耳，B81U平面BCG耳，故MK