專題1.7角平分線與線段垂直平分線-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典（解析版）【浙教版】

2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【浙教版】專題1.7角平分線與線段垂直平分線姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2020秋?安定區(qū)期末）如圖：△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，則△DEB的周長是（）A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不對【分析】由∠C＝90°，根據(jù)垂直定義得到DC與AC垂直，又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，利用角平分線定理得到DC＝DE，再利用HL證明三角形ACD與三角形AED全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得AC＝AE，又AC＝BC，可得BC＝AE，然后由三角形BED的三邊之和表示出三角形的周長，將其中的DE換為DC，由CD+DB＝BC進行變形，再將BC換為AE，由AE+EB＝AB，可得出三角形BDE的周長等于AB的長，由AB的長可得出周長．【解析】∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，∴CD＝ED，在Rt△ACD和Rt△AED中，DC=DEAD=AD∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，又AC＝BC，∴AC＝AE＝BC，又AB＝6cm，∴△DEB的周長＝DB+BE+ED＝DB+CD+BE＝BC+BE＝AE+EB＝AB＝6cm．故選：A．2．（2020秋?慈溪市期中）如圖，E為∠BAC平分線AP上一點，AB＝4，△ABE的面積為12，則點E到直線AC的距離為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)三角形面積公式得出點E到直線AB的距離，利用角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，即可求解．【解析】∵AB＝4，△ABE的面積為12，∴點E到直線AB的距離=2×12∵E為∠BAC平分線AP上一點，∴點E到直線AC的距離＝6，故選：D．3．（2019秋?瑞安市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，若AC＝6，BC＝8，則S△ABD：S△ACD為（）A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．3：5【分析】作DE⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DC，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【解析】作DE⊥AB于點E，由勾股定理得，AB=A∵AD是∠BAC的平分線，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC，∴S△ABD=12×AB×DE，S△ACD=1∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝10：6＝5：3，故選：A．4．（2020秋?蒼南縣期中）如圖，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，BE平分∠ABC，交CD于點E，AC＝6，DE＝2，則△BCE的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF＝DE＝2，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【解析】作EF⊥BC于F，∵AC＝BC＝6，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，∴CD⊥AB，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴△BCE的面積=12×BC×EF故選：B．5．（2019秋?承德縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于12MN長為半徑畫弧，兩弧交于點O，作射線AO，交BC于點E．已知CE＝3，BE＝5，則ACA．8 B．7 C．6 D．5【分析】直接利用基本作圖方法得出AE是∠CAB的平分線，進而結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出AC＝AD，再利用勾股定理得出AC的長．【解析】過點E作ED⊥AB于點D，由作圖方法可得出AE是∠CAB的平分線，∵EC⊥AC，ED⊥AB，∴EC＝ED＝3，在Rt△ACE和Rt△ADE中，AE=AEEC=ED∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AD，∵在Rt△EDB中，DE＝3，BE＝5，∴BD＝4，設(shè)AC＝x，則AB＝4+x，故在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，即x2+82＝（x+4）2，解得：x＝6，即AC的長為：6．故選：C．6．（2020秋?夏津縣期末）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（）A．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上 B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等 C．三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等 D．以上均不正確【分析】過兩把直尺的交點P作PE⊥AO，PF⊥BO，根據(jù)題意可得PE＝PF，再根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上可得OP平分∠AOB；【解析】（1）如圖所示：過兩把直尺的交點P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵兩把完全相同的長方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上），故選：A．7．（2020秋?東陽市期末）在△ABC紙片上有一點P，且PA＝PB，則P點一定（）A．是邊AB的中點 B．在邊AB的垂直平分線上 C．在邊AB的高線上 D．在邊AB的中線上【分析】根據(jù)線段垂直平分線的判定定理解答．【解析】∵PA＝PB，∴P點在在邊AB的垂直平分線上，故選：B．8．（2020?文成縣二模）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BC的中點，過點E作BC的垂線交BD于點F，連接CF．若∠A＝50°，∠ACF＝40°，則∠CFD的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．55° D．60°【分析】設(shè)∠ABD＝∠CBD＝x°，則∠CFD＝2x°，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出BF＝CF，推出∠FCB＝∠CBD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出方程，求出方程的解即可．【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，設(shè)∠ABD＝∠CBD＝x°，則∠CFD＝2x°，∵EF是BC的垂直平分線，∴BF＝CF，∴∠FCB＝∠CBD＝x°，∵∠A＝50°，∠ACF＝40°，∴50°+40°+x°+2x°＝180°，解得：x＝30，∴∠CFD＝2x°＝60°，故選：D．9．（2019秋?慈溪市期末）如圖，△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝5，△ABD的周長為16，則△ABC的周長為（）A．18 B．21 C．24 D．26【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DC，AE＝CE＝5，而AB+BDAD＝14，從而得到△ABC的周長．【解析】∵DE是AC的垂直平分線，∴DA＝DC，AE＝CE＝5，而△ABD的周長是16，即AB+BD+AD＝16，∴AB+BC+AC＝AB+BD+CD+AC＝16+10＝26，即△ABC的周長是26．故選：D．10．（2020?西湖區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，分別以點A和點C為圓心，大于12AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN交BC于點D，連接AD，則∠BADA．50° B．60° C．70° D．80°【分析】根據(jù)內(nèi)角和定理求得∠BAC＝95°，由中垂線性質(zhì)知DA＝DC，即∠DAC＝∠C＝30°，從而得出答案．【解析】在△ABC中，∵∠B＝50°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，由作圖可知MN為AC的中垂線，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，故選：C．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2020秋?雁塔區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＞∠C，∠C＝40°，點D在AC中垂線上，則∠ADB的度數(shù)為80°．【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC＝∠C＝40°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)計算∠ADB的度數(shù)．【解析】∵點D在AC中垂線上，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝40°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝40°+40°＝80°．故答案為80°．12．（2020秋?朝陽縣期末）如圖：△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長為19cm．【分析】由已知條件，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，得到AD＝CD，AC＝2AE，結(jié)合周長，進行線段的等量代換可得答案．【解析】∵DE是AC的垂直平分線，∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，又∵△ABD的周長＝AB+BD+AD＝13cm，∴AB+BD+CD＝13cm，即AB+BC＝13cm，∴△ABC的周長＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．故答案為19cm．13．（2021?余杭區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，BD＝6，則CD的長為3．【分析】由角平分線的定義得到∠BAD＝∠CAD＝30°，結(jié)合已知條件和對角對等邊推知AD＝BD＝6，所以在含有30度角的直角△ACD中來求CD的長度即可．【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，又AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝BD＝6，∴CD=12AD＝故答案是：3．14．（2020秋?鄒城市期末）如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面積是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，則DE的長為2cm．【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝DF，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【解析】∵在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD=12AB?DE+12∵△ABC面積是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，∴12×20DE+12×8DF＝10DE+4DF＝14DE＝28，解得故答案為：2cm．15．（2019秋?余杭區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，DF⊥BC于點F，DE⊥AB于點E，若DF＝5，則點D到邊AB的距離為5．【分析】根據(jù)題意和角平分線的性質(zhì)，可知DE＝DF，由DF＝5，可以得到DE的長，本題得以解決．【解析】∵在△ABC中，BD平分∠ABC，DF⊥BC，DE⊥AB，∴DE＝DF，∵DF＝5，∴DE＝5，故答案為：5．16．（2019秋?余姚市期末）在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，點P，Q，M，N是四個格點，則這四個格點中到∠AOB兩邊距離相等的點是M點．【分析】根據(jù)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等解答．【解析】由圖形可知，點M在∠AOB的角平分線上，∴點M到∠AOB兩邊距離相等，故答案為：M．17．（2019秋?嘉興期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分線交BC于點E，若BE＝2，AC＝5，則△ACE的面積為5．【分析】作EF⊥AC于F，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF＝EB＝2，然后利用三角形面積公式計算．【解析】作EF⊥AC于F，如圖，∵∠BAC的平分線交BC于點E，∴EF＝EB＝2，∴△ACE的面積=12×2×5故答案為5．18．（2019秋?鄞州區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分線AE與AC的中線BD交于點F，P為CE中點，連接PF，若CP＝2，S△BFP＝15，則AB的長度為15．【分析】過E作EG⊥AB于G，連接CF，由P為CE中點，設(shè)S△EFP＝S△CFP＝y(tǒng)，根據(jù)BD是BD邊上的中線，設(shè)S△CDF＝S△AFD＝z，根據(jù)三角形的面積的計算得到S△ABE＝S△ABC﹣S△ACE＝30+2y+2z﹣（2y+2z）＝30，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EG＝CE＝2CP＝4，于是得到結(jié)論．【解析】過E作EG⊥AB于G，連接CF，∵P為CE中點，∵S△EFP＝S△CFP，設(shè)S△EFP＝S△CFP＝y(tǒng)，∵BD是AC邊上的中線，∴設(shè)S△CDF＝S△AFD＝z，∵S△BFP＝15，∴S△BCD＝15+y+z，∴S△ABC＝2S△BCD＝30+2y+2z，∵S△ACE＝S△ACF+S△CEF＝2y+2z，∴S△ABE＝S△ABC﹣S△ACE＝30+2y+2z﹣（2y+2z）＝30，∵AE是∠CAB的角平分線，∴EG＝CE＝2CP＝4，∴S△ABE=12AB?EG＝∴AB＝15，故答案為：15．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2019秋?潮州期末）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF求證：AD平分∠BAC．【分析】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），則可得DE＝DF，然后由角平分線的判定定理，即可證得AD平分∠BAC．【解答】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CDBE=CF∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC．20．（2019秋?江北區(qū)期末）如圖，D是∠EAF平分線上的一點，若∠ACD+∠ABD＝180°，請說明CD＝DB的理由．【分析】本題通過角平分線到角兩邊距離相等這一性質(zhì)，再通過三角形的全等證得．【解析】過點D分別作AE，AF的垂線，交AE于M，交AF于N則∠CMD＝∠BND＝90°，∵AD是∠EAF的平分線，∴DM＝DN，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠MCD＝180°，∴∠MCD＝∠NBD，在△CDM和△BDN中，∠CMD＝∠BND＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，∴△CDM≌△BDN，∴CD＝DB．21．（2018秋?溫州期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，CE平分∠DCB交AB于點E．（1）求證：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝2，求AB的長．【分析】（1）依據(jù)∠ACB＝90°，CD⊥AB，即可得到∠ACD＝∠B，再根據(jù)CE平分∠BCD，可得∠BCE＝∠DCE，進而得出∠AEC＝∠ACE；（2）依據(jù)∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，∠ACB＝90°，即可得到∠ACD＝30°，進而得出Rt△ACD中，AC＝2AD＝4，Rt△ABC中，AB＝2AC＝8．【解析】（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD