高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題9 平面解析幾何 第67練 雙曲線練習(xí)（含解析）-人教高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

第67練雙曲線[基礎(chǔ)保分練]1．(2019·湛江調(diào)研)雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()A．2B.eq\r(2)C．1D．32．若雙曲線E：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于()A．11B．9C．5D．33．下列方程表示的雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y＝±2x的是()A．x2－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(y2,4)－x2＝1 D．y2－eq\f(x2,4)＝14．(2016·全國(guó)Ⅰ)已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()A．(－1,3) B．(－1，eq\r(3))C．(0,3) D．(0，eq\r(3))5．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，則雙曲線的離心率為()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(\r(10),2)C.eq\f(\r(15),2)D.eq\r(5)6．(2019·青島調(diào)研)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率e＝2，則雙曲線C的漸近線方程為()A．y＝±2x B．y＝±eq\f(1,2)xC．y＝±x D．y＝±eq\r(3)x7．(2016·山東改編)已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是()A.eq\r(3)B．2C.eq\r(5)D．38．P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左、右焦點(diǎn)，雙曲線的離心率是eq\f(5,4)，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面積是9，則a＋b的值等于()A．4B．5C．6D．79．已知方程eq\f(x2,2＋m)－eq\f(y2,m＋1)＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是__________________．10．已知A，B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則雙曲線E的離心率為________．[能力提升練]1.如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，且△F2AB是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(2)＋1B.eq\r(3)＋1C.eq\f(\r(2)＋1,2)D.eq\f(\r(3)＋1,2)2.如圖所示，橢圓C1，C2與雙曲線C3，C4的離心率分別是e1，e2與e3，e4，則e1，e2，e3，e4的大小關(guān)系是()A．e2<e1<e3<e4B．e2<e1<e4<e3C．e1<e2<e3<e4D．e1<e2<e4<e33．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F作圓x2＋y2＝a2的一條切線(切點(diǎn)為T)交雙曲線的右支于點(diǎn)P，若M為FP的中點(diǎn)，則|OM|－|MT|等于()A．b－aB．a(chǎn)－bC.eq\f(a＋b,2)D．a(chǎn)＋b4．(2018·鄭州質(zhì)檢)已知P(x，y)(其中x≠0)為雙曲線eq\f(y2,4)－x2＝1上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P向雙曲線的兩條漸近線分別作垂線，垂足分別為A，B，則△PAB的面積為()A.eq\f(2,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(8,25) D．與點(diǎn)P的位置有關(guān)5．(2017·全國(guó)Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)．若∠MAN＝60°，則C的離心率為________．6．已知F是雙曲線C：x2－eq\f(y2,8)＝1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A(0,6eq\r(6))，當(dāng)△APF周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為__________．答案精析基礎(chǔ)保分練1．C2.B3.C4.A5.B6.D7.B8.D9.(－∞，－2)∪(－1，＋∞)10.eq\r(2)能力提升練1．B[連接AF1，依題意得AF1⊥AF2，∠AF2F1＝30°，則|AF1|＝c，|AF2|＝eq\r(3)c，因此該雙曲線的離心率e＝eq\f(|F1F2|,|AF2|－|AF1|)＝eq\f(2c,\r(3)c－c)＝eq\r(3)＋1.]2．A[設(shè)橢圓的離心率為e，則e2＝1－eq\f(b2,a2)，故由題圖得0<e2<e1<1.設(shè)雙曲線的離心率為e′，則e′2＝1＋eq\f(b2,a2)，故由題圖得1<e3<e4，因此0<e2<e1<1<e3<e4.]3．A[如圖，設(shè)F′是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF′，由雙曲線的定義得，|PF|－|PF′|＝2a，又M為PF的中點(diǎn)，∴|MF|－|OM|＝a，即|OM|＝|MF|－a.又直線PF與圓相切，∴|FT|＝eq\r(|OF|2－|OT|2)＝b，∴|OM|－|MT|＝|MF|－a－(|MF|－|FT|)＝|FT|－a＝b－a.]4．C[雙曲線eq\f(y2,4)－x2＝1的漸近線方程為y＝±2x，因?yàn)镻A，PB分別垂直于雙曲線的兩條漸近線，故設(shè)方程y＝2x的傾斜角為α，則tanα＝2，所以tan∠APB＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(4,3)，sin∠APB＝eq\f(4,5)，|PA|·|PB|＝eq\f(|y－2x|,\r(5))·eq\f(|y＋2x|,\r(5))＝eq\f(y2－4x2,5)＝eq\f(4,5)，因此△PAB的面積S＝eq\f(1,2)|PA|·|PB|·sin∠APB＝eq\f(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,25)，故選C.]5.eq\f(2\r(3),3)解析如圖，由題意知點(diǎn)A(a,0)，雙曲線的一條漸近線l的方程為y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，∴點(diǎn)A到l的距離d＝eq\f(ab,\r(a2＋b2)).又∠MAN＝60°，|MA|＝|NA|＝b，∴△MAN為等邊三角形，∴d＝eq\f(\r(3),2)|MA|＝eq\f(\r(3),2)b，即eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3),2)b，∴a2＝3b2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\f(2\r(3),3).6．12eq\r(6)解析由已知得a＝1，c＝3，則F(3,0)，|AF|＝15.設(shè)F1是雙曲線的左焦點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義有|PF|－|PF1|＝2，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|＋2≥|AF1|＋2＝17，即點(diǎn)P是線段AF1與雙曲線左支的交點(diǎn)時(shí)，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|＋2最小，即△APF周長(zhǎng)最小，此時(shí)sin∠OAF＝eq\f(1,5)，cos∠PAF＝1－2sin2∠OAF＝eq\f(23,25)，即有sin∠PAF＝eq\f(4\r(6),25).由余弦定理得|P