2020-2021學年福建省莆田市高一（下）期末數(shù)學試卷（解析版）

2020-2021學年福建省莆田市高一（下）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.若復數(shù)z=l-2戶，貝|z的虛部是（）

A.-2B.-2zC.2D.2z

2.某射擊運動員在同一條件下射擊的成績記錄如表所示.

射擊次數(shù)501002004001000

射中8環(huán)以上的次數(shù)4478158320800

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計該射擊運動員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為（）

A.0.78B.0.79C.0.80D.0.82

3.若復數(shù)z滿足-3+43貝（）

A.3-4zB.4-3iC.3+4/D.3+4/4+3z

4.已知向量二E不共線，且向量Z+入E與（入+1）彳+2三共線，則實數(shù)人的值為（）

A.-2或-1B.-2或1C.-1或2D.1或2

5.一個不透明的袋子中裝有8個紅球，2個白球，除顏色外，球的大小、質(zhì)地完全相同，

采用不放回的方式從中摸出3個球.下列事件為不可能事件的是（）

A.3個都是白球B.3個都是紅球

C.至少1個紅球D.至多2個白球

6.設機，〃是兩條不同的直線，a,0是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若式〃0,mca,wu0,貝?。菹唷ā?/p>

B.若我口0=機，nep,m±n,貝!|〃J_a

C.若式_1_0,mca,則加J_w

D.若機J_a,m//n,n//^,則a_L0

7.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=3,c=J石，C蕓匕，則絲吟=

3sinB

（）

A.—B.—C.—D.3

433

8.古希臘數(shù)學家阿基米德一生最為滿意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理，即圓柱內(nèi)

切球的體積是圓柱體積的苫，且球的表面積也是圓柱表面積的?.已知表面積為18TT的

33

圓柱的軸截面為正方形，則該圓柱內(nèi)切球表面積與圓柱的體積之比為（

A.2：373B.2：V3C.710：3D.472：3

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.某校舉行“永遠跟黨走、唱響青春夢”歌唱比賽.在歌唱比賽中，由9名專業(yè)人士和9

名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手打分.根據(jù)兩個評委小組(記為小組A,

小組8)對同一名選手打分的分值繪制成折線圖，如圖，則()

A.小組A打分的分值的眾數(shù)為47

B.小組B打分的分值第80百分位數(shù)為69

C.小組A更像是由專業(yè)人士組成

D.小組B打分的分值的均值小于小組A打分的分值的均值

10.設A,8為兩個隨機事件，且尸(A)>0,P(B)>0,則下列命題正確的是()

A.若尸(AB)=P(A)P⑻，則A,B相互獨立

B.若A和2相互獨立，則A和B一定不互斥

C.若A和8互斥，則A和B一定相互獨立

D.P(AB)<P(AB+AB)

11.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-AIiCiP中，尸是上的動點，則()

A,直線。尸與8cl是異面直線

B."〃平面43。

C.4P+P8的最小值是2

D.當尸與Bi重合時，三棱錐尸-42。的外接球半徑為返

2

12.點。，H分別為aABC的外心，垂心，點。，M在平面ABC內(nèi)，則下列命題正確的是

()

A.若2說而+而且辰1=2|標I，則向量誣在向量前上的投影向量為春麗

乙

一一?一??

B.若赤入(苫+言),且通=|1瓦+(1-|1)而則而=正

lABIIACI

C.若位+2而+3筱=柞則△ABC的面積與的面積之比為2：1

D.若證+2誣+3證=1,則COS/AHBJ^

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家.為掌握各類超市的營業(yè)

情況，現(xiàn)按分層抽樣方法抽取一個容量為100的樣本，應抽取中型超市家.

14.已知4件產(chǎn)品中恰有2件一等品，從中任取2件，恰有1件一等品的概率

為.

15.△ABC中，AB=1,AC=2,ZBAC=60°,點M,N分別在AC,BC上，且AM=CM,

BN=2NC,AN,相交于點P,則cos/MPN=.

16.如圖，一塊斜邊長為40c7w的直角三角尺，其中一個內(nèi)角為60°,把該角立在桌面上，

使得斜邊所在的直線與桌面所在的平面所成的角為45°,再繞其斜邊旋轉(zhuǎn)，則直角頂點

到桌面距離的最大值為cm.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知向量;，石滿足口=1，后|=0，(2；4)＜；+23)=1

(1)求Z與E的夾角e；

(2)求la-2b|的值?

9

18.如圖，平面ACEF_L平面ABC,AFLAC,AF//CE,AF/CE，BD=2DE.

3

(1)求證：。尸〃平面ABC；

(2)求證：DFLCE.

19.在①m=(cosA,cosB),n=(b-2c,a)，且m_Lrr

②acosA+acos(B-C)=2/3bcosAsinC,

③(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解

答.

問題：AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且_________.

(1)求A的值；

(2)若a=2,求△ABC周長的最大值.

20.甲、乙兩人進行乒乓球比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為g,乙獲勝的概率為《，且

33

各局比賽的勝負互不影響.有兩種比賽方案供選擇，方案一：三局兩勝制(先勝2局者

獲勝，比賽結束)；方案二：五局三勝制(先勝3局者獲勝，比賽結束).

(1)若選擇方案一，求甲獲勝的概率；

(2)用擲硬幣的方式?jīng)Q定比賽方案，擲3枚硬幣，若恰有2枚正面朝上，則選擇方案一,

否則選擇方案二.判斷哪種方案被選擇的可能性更大，并說明理由.

21.如圖1,Rt^ABC中，ZB=90°,AB=2?,BC=2,D,E分別是AB,AC的中點.把

△AOE沿。E折至△POE的位置，PC平面8CED,連接尸8,PC,尸為線段尸8的中點,

如圖2.

（1）求證：_L平面尸BC；

（2）當三棱錐尸-8DE的體積為芭時，求直線8。與PC所成角的正切值.

22.為進一步推動防范電信網(wǎng)絡詐騙工作，預防和減少電信網(wǎng)絡詐騙案件的發(fā)生，某市開展

防騙知識大宣傳活動.該市年齡100歲及以下的居民人口約為300萬人，從0歲到100

歲的居民年齡頻率分布直方圖如圖所示，其分組區(qū)間為：[0,20）,[20,40）,[40,60）,

[60,80）,[80,100],為了解防騙知識宣傳的效果，隨機調(diào)查了100名該市年齡100歲

及以下居民對防騙知識的知曉情況，調(diào)查的知曉率（被調(diào)查的人群中，知曉的人數(shù)和總

人數(shù)的比率）如表所示.

年齡段[0,20）[20,40）[40,60）[60,80）[80,100]

知曉率（％）3445546574

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該市年齡100歲及以下居民的平均年齡（同一組中的數(shù)

據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）利用樣本估計總體的思想，估計該市年齡100歲及以下居民對防騙知識的知曉率；

（3）根據(jù)《中國電信網(wǎng)絡詐騙分析報告》顯示，老年人（年齡60歲及以上）為易受騙

人群，但調(diào)查中發(fā)現(xiàn)年齡在[60,100]的人群比年齡在[0,60）的人群對防騙知識的知曉

率高.請從統(tǒng)計學的角度分析調(diào)查結果與實際情況產(chǎn)生差異的原因（至少寫出兩點）.

參考答案

一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.若復數(shù)z=1-2落則z的虛部是（）

A.-2B.-2iC.2D.2i

【分析】利用虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)化簡z,則答案可求.

解：Vz=l-2z5=l-2z4?z=1-2z,

；.z的虛部是-2.

故選：A.

2.某射擊運動員在同一條件下射擊的成績記錄如表所示.

射擊次數(shù)501002004001000

射中8環(huán)以上的次數(shù)4478158320800

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計該射擊運動員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為（）

A.0.78B.0.79C.0.80D.0.82

【分析】計算出5組數(shù)據(jù)中，射中8環(huán)以上的頻率，用頻率估計概率.

解:射中8環(huán)以上的頻率依次為0.88,0.78,0.79,0.8,0.8,

所以估計該射擊運動員射擊一次射中8環(huán)以上的概率為0.8.

故選：C.

3.若復數(shù)z滿足/=-3+43貝!|z=（）

A.3-4iB.4-3iC.3+4/D.3+4/4+3z

【分析】把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由共朝復數(shù)的概念得

答案.

——~3+4i（-3+4i）（-i）

解：由z，=-3+4K得z=;=2=4+31,

1-i

則z—4-3i.

故選：B.

4.已知向量7，三不共線，且向量；+入％與（入+1）彳+2三共線，則實數(shù)人的值為（）

A.-2或-1B.-2或1C.-1或2D.1或2

【分析】根據(jù)題意知Z+入％wl，然后根據(jù)共面向量基本定理可得出

X+1=|1

（入+1）a+2b=!"!■a+同人b，進而得出然后解出入的值即可.

口入=2

解：E不共線,

??a+入b#0，

又a+入b與（入+1）a+2b共線，

,存在H，使（入+1）a+2b=Ua+W入b，

1"，解得入=-2或1.

1H人=2

故選：B.

5.一個不透明的袋子中裝有8個紅球，2個白球，除顏色外，球的大小、質(zhì)地完全相同,

采用不放回的方式從中摸出3個球.下列事件為不可能事件的是（）

A.3個都是白球B.3個都是紅球

C.至少1個紅球D.至多2個白球

【分析】根據(jù)已知條件，結合必然事件，不可能事件，隨件事件的概念，即可求解.

解：由于袋子中白球的個數(shù)為2個，摸出的3個球都是白球是不可能事情，故A選項正

確，

摸出的3個球都是紅球是隨機事件，故B選項錯誤，

摸出的球至少一個紅球是必然事件，故C選項錯誤，

摸出的球至多2個白球是必然事件，故。選項錯誤.

故選：A.

6.設相，”是兩條不同的直線，a,0是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若觀〃0,mea,wu0,貝！］相〃〃

B.若7?cp,m_Ln,則

C.若aJ_0，機ua,”u0,則機J_w

D.若〃z_La,m//n,n//^>,則a_L0

【分析】由兩平行平面中兩直線的位置關系判定A;由面面垂直的性質(zhì)判斷&由兩垂直

平面中兩直線的位置關系判斷C；由線面垂直的性質(zhì)及面面垂直的判定判斷D

解：若?！?,機ua,則機〃見或機與〃異面，故A錯誤；

若aC0=相，/U0,優(yōu)_1_",則“J_a錯誤，只有添加條件a_L0時才有"J_a,故B錯誤;

若觀_1_廿，〃2ua,〃u0,則機與〃的關系為平行、相交或異面，故C錯誤；

若〃z_La,相〃〃，則”J_a,又"〃0,則a_L0,故￡）正確.

故選：D.

7.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若。=3,cf/石，C=^＞則當哈=

3sinB

()

24.1

A.—B.—C.—D.3

433

【分析】由正弦定理可求得sinA,進而可得cosA,即可求得sinB,進而可得答案

解：由正弦定理可得代入可得sinA=?&=差箋=色畫，

sinAsinCc.正26

因為C=^L，所以Ae(0,=),故cosA=±厘，

3326

所以sin3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=2業(yè)2X(--)

_26226226

3西

則粵=其2=3,

sinB

IT

故選：D.

8.古希臘數(shù)學家阿基米德一生最為滿意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理，即圓柱內(nèi)

切球的體積是圓柱體積的苫，且球的表面積也是圓柱表面積的3.已知表面積為18TT的

圓柱的軸截面為正方形，則該圓柱內(nèi)切球表面積與圓柱的體積之比為()

A.2：3-y3B.2：C.Jio:3D.4\/2:3

【分析】設圓柱的底面半徑為,，則高為2r,由圓柱的表面積求得r,再求出圓柱內(nèi)切球

的表面積及圓柱的體積，作比得答案.

解：設圓柱的底面半徑為r,則高為2r,

圓柱的表面積為2冗戶+211廠2廠=611產(chǎn)=1811：,解得

圓柱內(nèi)切球的表面積為S=4TTX(炳)2=12兀，

圓柱的體積為V=HX(73)2x2晶=6\他兀.

該圓柱內(nèi)切球表面積與圓柱的體積之比為12m6時兀=2：

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.某校舉行“永遠跟黨走、唱響青春夢”歌唱比賽.在歌唱比賽中，由9名專業(yè)人士和9

名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手打分.根據(jù)兩個評委小組(記為小組A,

小組2)對同一名選手打分的分值繪制成折線圖，如圖，則()

A.小組A打分的分值的眾數(shù)為47

B.小組B打分的分值第80百分位數(shù)為69

C.小組A更像是由專業(yè)人士組成

D.小組B打分的分值的均值小于小組A打分的分值的均值

【分析】由折線圖中的數(shù)據(jù)，結合眾數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)的定義對四個選項逐一分析

判斷即可.

解：由折線圖可知，小組A打分的分值為：42,47,45,46,50,47,50,47,

則小組A打分的分值的眾數(shù)為47,故選項A正確；

小組B打分的分值為:55,36,70,66,75,68,68,62,58,

按照從小到大排列為:36,55,58,62,66,68,68,70,75,

第80百分位數(shù)為9X80%=7.2,故應該排序8,所以第80百分位數(shù)為70,故選項B錯

誤；

小組A的打分成績比較均勻，波動更小，故小組A更像專業(yè)人士組成，故選項C正確；

小組A的打分分值的均值小于55,而小組B的打分分值的均值大于55分，

所以小組B打分的分值的均值大于小組A打分的分值的均值，故選項D錯誤.

故選：AC.

10.設A,8為兩個隨機事件，且尸(A)>0,P(B)>0,則下列命題正確的是()

A.若P(AB)=P(A)P(B),則A,B相互獨立

B.若A和B相互獨立，則A和8一定不互斥

C.若A和2互斥，則A和2一定相互獨立

D.P(AB)<P(AB+AB)

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項是否正確，綜合可得答案.

解：A,8為兩個隨機事件，且尸(A)>0,P(B)>0,

對于A,若P(AB)=P(A)P(B),則A,B相互獨立，A正確；

對于8,若A和B相互獨立，則A8可能同時發(fā)生，故A和8一定不互斥，8正確；

對于C,互斥事件是事件A與8不可能同時發(fā)生，若A和2互斥，則A和8一定不會相

互獨立，C錯誤；

對于。，當事件A、B互斥但不對立時，有A、B互斥，且A、B互斥，P(AB)=0,P

(AE+NB)=0-。錯誤；

故選：AB.

11.如圖，在棱長為1的正方體A8CO-AI1C1Q1中，P是Bid上的動點，則()

A.直線。尸與是異面直線

B.CP〃平面48。

C.4P+P8的最小值是2

D.當P與Bi重合時，三棱錐尸-48。的外接球半徑為返

2

【分析】由異面直線的定義判斷A；證明面面平行，可得線面平行判斷僅由余弦定理求

得AiP+PB的最小值判斷C；利用分割補形法求三棱錐P-AxBD的外接球半徑判斷D.

解：當P在BiDi上運動時，OPu平面BBiDiD,在平面BBxDxD,B電DP,GC平面BBiDiD,

由異面直線的定義可得直線。尸與是異面直線，故A正確；

由且可得四邊形8歷。1。為平行四邊形，得到

同理可得AiD〃BiC,又4￡>ABZ)=￡),可知平面4出?！ㄆ矫鍯BiDi,得到CP〃平面

AiBD,故8正確;

把平面翻折至正方體上底面(4與B在兩側)，有/4由/=135°,

則4P+P8的最小值是J]2+]2_2xixIX=A/24V2,故C錯誤；

當P與81重合時，三棱錐P-AiBD的外接球即正方體的外接球，半徑為返，故。正確.

2

故選：ABD.

12?點。，H分別為△ABC的外心，垂心，點。，M在平面ABC內(nèi)，則下列命題正確的是

()

A.若2而=屈+菽，且I近1=2|至I，則向量鉞在向量前上的投影向量為，礪

B.若赤入(里+苫),且而=乩靛+(r|1)菽，則面=正

lABIIACI

C.若疝+2而+3筱=柞則△ABC的面積與的面積之比為2：1

D.若證+2誣+3m=1,則cos/AHB=W^

【分析】A.根據(jù)題意得出O為BC的中點，ZBAC=90°,從而可得I筋|=|神|=|*|

=1而1，再計算向量或在向量筋上的投影向量，即可判斷選項A;

B.由題意可得AD是角A的角平分線，當|屈|W|菽|時，而聲灰，從而判斷選項&

C.設AC中點為E,BC中點為尸，由向量的線性運算可得血=2而，從而可得M,E,

F三點共線，即可求得AABC的面積與的面積的比值，從而判斷選項C；

D.設誣=之,誣=石，HC=c;由題意可得Z工=一熹，百=自家，再利用夾角

公式即可求得cosZAHB,從而判斷選項D.

解：對于A,由2詬=屈+菽，可得。為BC的中點，

又。為△ABC的外心，所以/3AC=90°,所以瓦|=由前，

又I前|=2|屈I，所以1部1=1標1=1前尸1而I，

設I麗1=1，向量而在向量溫上的投影向量為I市Icos60°?麗?花，故A正確；

對于8,設藤方向上的單位向量為式，菽上的單位向量為弓，

ABAC

則入

AD=IABI+|ACI）=入（e1+e2）

因為Ieil=|e21=l,則。過角A的平分線，

由麗=U?屈+（卜四）菽，可得8,C,。三點共線，故A￡＞是角A的角平分線，

當屈卻說時，而聲而故2錯誤；

對于C，MA+2MB+3MC=0＞則誣+證=-2（而+元），

設AC中點為E,3c中點為F，故誣=2百，

所以M,E,F三點共線，S^MB=^S^ABC,即SAABC：S“MB=2：1,故C正確；

對于。，設誣=彳，1K=C-

由7/為△ABC的垂心，可得市?前=0，即誣?（記-誣）=。，

故彳?（3-E）=°，所以

同理可得

所以

由證+2而+3證=柞可得W+2%+3^=d

則a?+2a，b+3a,c=°，a，b+2b?+3c，b=°，

解得a，b=-白￡,Ib『=春a『，

ND

故cos/AH8=cos＜；,：＞=-義委，故D正確.

a。10

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家.為掌握各類超市的營業(yè)

情況，現(xiàn)按分層抽樣方法抽取一個容量為10。的樣本，應抽取中型超市20家.

【分析】根據(jù)所給的三種超市的數(shù)目，相加得到共有的超市數(shù)目，根據(jù)要抽取的超市數(shù)

目，得到每個個體被抽到的概率，用中等超市的數(shù)目乘以被抽到的概率，得到結果.

解：：大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，

.?.共有超市200+400+1400=2000,

:按分層抽樣方法抽取一個容量為100的樣本，

.?.每個個體被抽到的概率是職_金，

200020

，中型超市要抽取400XA=20家，

20

故答案為：20.

14.已知4件產(chǎn)品中恰有2件一等品，從中任取2件，恰有1件一等品的概率為4.

一3一

【分析】可記4件產(chǎn)品中恰有的2件一等品為服b；另外另外兩件為。、E,進一步一

一列舉出從中任取2件的基本事件，再確定其中恰有1件一等品所包含的基本事件個數(shù)

后即可利用古典概型概率計算公式進行求解所求概率.

解：記4件產(chǎn)品中恰有的2件一等品為a、b；另外另外兩件為。、E,

則從中任取2件的基本事件為(a,b),(a,D),(a,E),(b,E),(b,D),

(。，E)共6個基本事件，

其中恰有1件一等品的為(a,D),(a,E),(b,E),(b,D)包含了4個基本事

件，所以所求概率為P=g=y.

63

故答案為：最.

15.△ABC中，AB=1,AC=2,ZBAC=60°，點M,N分別在AC,8c上，且AM=CM,

BN=2NC,AN,相交于點尸，貝Ucos/MPN=返].

—14―

【分析】可先由余弦定理解出三角形ABC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得馨里黑=[,

BNPNBP4

求出邊BP,AP的數(shù)值后，再根據(jù)余弦定理即可求解.

解：如圖，過M做MF//8C并交AN于E,

由余弦定理可得80=422+4（？-2AB?AC?cos60°,解得BC=?.

.?.△ABC為直角三角形，NABC=90°,\'AM=CM,ZiABM為正三角形,

為AC中點，尸為△ABC的中位線，為AN中點,

,:BN=2NC,:CN=^,又,；48=1'

AC=2,

,在Rt/XABN中，AN=VAB2+BN2=^|^,

O

.ME_PE_PM_1;.PN率，BP.，，研理，

"BN"PN'PB-!

lbbb

.,.cosZMPN=cosZAPB=.好2+近21房:=返1

2AP-BP14

故答案為：返1

14

16.如圖，一塊斜邊長為40c%的直角三角尺，其中一個內(nèi)角為60°,把該角立在桌面上,

使得斜邊所在的直線與桌面所在的平面所成的角為45°,再繞其斜邊旋轉(zhuǎn)，則直角頂點

到桌面距離的最大值為_5^歷+5a_。九

【分析】由題意，當AC與BC的投影在同一條直線上時，直角頂點A到桌面的距離〃

最大，設頂點48在桌面上的投影分別為M,N,利用角之間的關系求出AC與AM的

夾角a,然后利用邊角關系求解〃即可.

解：由題意可得，當AC與BC的投影在同一條直線上時，直角頂點A到桌面的距離

最大，

如圖所示，設頂點A,B在桌面上的投影分別為〃，N,

則M,N,C三點共線，

設AC與AM的夾角為a,

則a+90°=45°+60°,

解得a=15°,

所以cosa=cosl5°=cos(45°-30°)="一氣",

4

在RtZXABC中，ZA=90°,BC=40,所以AC=20,

則/z=AM=AC*cosa=20X返撰=5&+5巡，

4

所以直角頂點到桌面距離的最大值為凡歷+5遍(cm).

故答案為：5V2+5V6.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知向量；，％滿足|=i，后|=亞，(2；-E)，(；+2E)=l.

(1)求Z與E的夾角0；

⑵求la-2bI的值?

【分析】(1)直接展開結合模長即可求解結論；

(2)把所求平方再開方即可.

解：(1)...向量a，b滿足la1=1|bl=J^，(2a-b),(a+2b)=l,

/.2^2+32^2=l^>2+3XlX-72cose-2X(加)』lncos9=浮，

V0e[O,TT],

7224+42=1

⑵Ia-2b|=a-a*bb-4X1XV2cosO+4X(五)』5,

Ia-2bl=V5-

9

18.如圖，平面ACEF_L平面A8C,AFLAC,AF//CE,AF=^CE，BD=2DE.

3

(1)求證：。尸〃平面ABC；

(2)求證：DF1CE.

【分析】(1)在上取點P,使BP=2PC,連接。尸，AP,推導出。尸〃AP,即可證

得。尸〃平面ABC；

(2)由面面垂直的性質(zhì)定理可得AF_L平面ABC,從而得到AF±AP,再由DF//AP,

CE//AF,即可證得。尸_LCE.

【解答】證明：(1)在上取點P,使8尸=2PC,連接。尸，AP.

9

因為所以。尸〃CE,DP=—CE.

3

9

又因為AE〃CE,AF^—CE,

3

所以AF〃。尸，AF=DP.

所以四邊形4即尸為平行四邊形，

所以DF//AP.

又APu平面ABC,ZW平面ABC,

所以〃平面ABC.

(2)因為平面ACEP_L平面ABC,AFLAC,平面ACEFC平面ABC=AC,

所以AF_L平面ABC.

又APu平面ABC,所以

由(1)知。尸〃AP,CE//AF,

所以DFVCE.

19.在①m=(cosA,cosB)>n=(b_2c,a)>且m_Lrr

@acosA+acos(B-C)=2/3bcosAsinC,

③(sinB-sinC)-sirtBsinC這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解

答.

問題：ZXABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且_________.

(1)求A的值；

(2)若a=2,求△ABC周長的最大值.

【分析】若選①：

(1)先根據(jù)向量垂直和向量的坐標建立等式,利用正弦定理，兩角和的正弦公式可求cosA

=3，結合范圍Ae(0,n),可得A的值；

(2)由余弦定理，基本不等式可求b+c的最大值，即可求解三角形的周長的最大值.

若選②：

(1)利用三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦定理化簡已知等式可得tanA=V3＞結合范圍

AE(0,Tt),可得A的值；

(2)由余弦定理，基本不等式可求b+c的最大值，即可求解三角形的周長的最大值.

若選③：

(1)由已知利用正弦定理可得5+C2-由余弦定理可得COSA=￡,結合范圍Ae

(0,TT),可得A的值；

(2)由余弦定理，基本不等式可求b+c的最大值，即可求解三角形的周長的最大值.

解：若選①：

(1)因為‘m=(cosA,cosB)，n=(b-2c,a)，且m_Lrr

所以(/?-2c)cosA+?cosB=0,由正弦定理可得：sinBcosA-2sinCcosA+sinAcosB=0,

所以sin(A+B)=2sinCcosA,在△ABC中可得sinC=2sinCcosA,

因為sinCWO,

所以cosA=-^-,

因為Ae(0,n),

解得A=等；

(2)a=2,A=-^~,由余弦定理可得：a2=Z?2+c2-2bccosA=(6+c)2-2bc-bc=(6+c)

3

2-3bc,

2

所以可得兒=生/二支w(白)2,當且僅當6=c時取等號，

22

解得Z?+cW4,

所以三角形的周長最大值為：a+Z?+c=6；

若選②：

(1)因為acosA+acos(B-C)=2\/^bccisAsinC,可得-QCOS(B+C)+〃COS(B-C)=

2^3Z?cosAsinC,

可得-“(cos3cosc-sinBsinC)+ti(cosBcosC+sinBsinC)=2\f^bcosAsinC,可得2asinBsinC

=2J^bcosAsinC,

由正弦定理可得sinAsinBsinC=yf^inBcosAsinC,

由于sinBWO,sinCWO,

所以sinA=J^cosA,即tanA=

因為AE(0,n),

解得4=9；

o

(2)a=2,A=-^-,由余弦定理可得：d2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-bc=(b+c)

3

2-3bc,

2

所以可得6C=Q+C)吆w(摩)2,當且僅當6=c時取等號，

22

解得A+cW4,

所以三角形的周長最大值為：〃+b+c=6；

若選③：

(1)因為(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC,整理可得sidB+sidC-sin2A=sin3sinC,

所以由正弦定理可得b2+c2-a2=bc,

12,22I

由余弦定理可得cosA=旦上J二。=《1=4，

2bc2bc2

因為Ae(0,it),

解得A=等；

o

(2)〃=2,A=2-,由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=(Z?+c)2-2bc-bc=(b+c)

3

2-3bc,

2

所以可得6c=Q±J)Zlw(畢)2,當且僅當6=c時取等號，

22

解得b+cW4,

所以三角形的周長最大值為：〃+。+。=6.

20.甲、乙兩人進行乒乓球比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為g，乙獲勝的概率為《，且

33

各局比賽的勝負互不影響.有兩種比賽方案供選擇，方案一：三局兩勝制（先勝2局者

獲勝，比賽結束）；方案二：五局三勝制（先勝3局者獲勝，比賽結束）.

（1）若選擇方案一，求甲獲勝的概率；

（2）用擲硬幣的方式?jīng)Q定比賽方案，擲3枚硬幣，若恰有2枚正面朝上，則選擇方案一,

否則選擇方案二.判斷哪種方案被選擇的可能性更大，并說明理由.

【分析】（1）根據(jù)題意，分“甲連勝兩局”和“甲前2局中一勝一敗，第三局獲勝”兩

種情況討論，由互斥事件概率的加法公式計算可得答案，

（2）根據(jù)題意，求出采用方案一的概率，由此可得采用方案二的概率，比較可得答案.

解：（1）根據(jù)題意，若選擇方案一，三局兩勝制，

若甲連勝兩局，其概率尸1=3乂3=卷，

339

若甲前2局中一勝一敗，第三局獲勝，其概率尸2=c3xgxg><M=W，

233327

故甲獲勝的概率尸=3+2="；

92727

（2）根據(jù)題意，采用方案一的概率尸3=c|x（4）2義4=目，

228

則采用方案二的概率A=1-P3=-|>

故采用方案二的可能性更大.

21.如圖1,□△ABC中，ZB=90°,AB=2?，BC=2,D,E分別是AB,AC的中點.把

△ADE沿DE折至aPDE的位置,PC平面8cED,連接PSPC,尸為線段尸8的中點，

如圖2.

（1）求證：_L平面P8C；

（2）當三棱錐尸-8?！甑捏w積為￡時，求直線與尸C所成角的正切值.

【分析】（1）折疊不改變與AD,的垂直關系，所以先證明平面推

出8CL平面尸。8,得到再由尸三線合一，推出。滿足線面

垂直的判定定理，可證；

（2）根據(jù)體積，可判斷出尸。為三棱錐尸-BOE的高，方法一：根據(jù)異面直線成角的定

義，平移異面直線到同一個平面，找角，構形，解三角形即可，

方法二，建系求解即可.

解：(1)?:DELPD,DE1BD,PDCBD=D,PDB,

,：D,E分別是AB,AC的中點，J.DE//BC,

，8C_L平面尸80,

:。尸u平面P8D,：.BC±DF,

為線段PB的中點，PD=DB,：.DF1PB,

:PBCBC=B,

.*.DF_L平面PBC,

(2)設點P到面BDE的距離為h,

由題可知Vp_BDE4?SBDE?h，即J義得X1Xh=￡,解得人=遮，

：PD=\^，；?尸。，平面平面BOE,BDE,：.PD±DE,PD1BD,

方法一：如圖，延長。E至點