二項分布-人教A版2019選擇性必修三課件

7.4.1

二項分布一、情景引入“三個臭皮匠頂個諸葛亮”是中國民間廣為流傳的一句諺語。我有90%的把握解出題目我們每個人都有60%的把握解出題目游戲規(guī)則：3個臭皮匠中至少有一個人解出題目，則臭皮匠團隊勝出。

你能猜一下哪個團隊勝出的可能性更大嗎？7.4.1二項分布前面我們研究了相互獨立事件，互斥事件⑴A、B相互獨立；二、溫故知新 (3)離散型隨機變量的相關(guān)知識：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn均值：

離散型隨機變量X的分布列為D(X)=方差：

⑵若A、B互斥，則E(X)＝(1)投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1次；(2)某飛碟運動員完成1次射靶,每次中靶的概率為0.8；(3)某籃球運動員完成1次投籃，每次投中的概率為0.7；正面朝上或者反面朝上中靶或者脫靶投中或不中請同學(xué)們給出以下3個試驗的結(jié)果：伯努利試驗：我們把只包含2個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗。三、講授新課那同學(xué)們可以舉出其他伯努利試驗的例子嗎？檢驗一件產(chǎn)品為合格或不合格；購買彩票結(jié)果為中獎或者不中獎伯努利家族伯努利家族僅僅從17世紀(jì)到18世紀(jì)就產(chǎn)生了8名科學(xué)家。他們在數(shù)學(xué)、物理、工程乃至法律等方面享有名望，堪稱為科學(xué)史上的一個奇跡。希望同學(xué)們能夠潛心學(xué)習(xí)，將來能在自己的研究領(lǐng)域內(nèi)為國家和社會做出不凡的貢獻。(1)投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次；(2)某飛碟運動員每次中靶的概率為0.8，射擊n次；(3)某籃球運動員每次投中的概率為0.7，完成n次投籃；n重伯努利試驗：

在相同條件下，將1個伯努利試驗獨立重復(fù)地進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗。舊教材中稱為n

次獨立重復(fù)試驗。n重伯努利試驗具有哪些特點呢？提示：（1）每次試驗的條件；（2）各次試驗之間的關(guān)系；（3）每次試驗可能的結(jié)果；（4）每次試驗中某事件A發(fā)生的概率；1、每次試驗是在相同的條件下進行；3、每次試驗都只有兩種結(jié)果:發(fā)生或者不發(fā)生；2、各次試驗都是相互獨立的；4、每次試驗,某事件A發(fā)生的概率都是相同的。(1).依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣,3次正面向上;(2).某射擊手每次擊中目標(biāo)的概率是0.9，他進行了4次射擊，只命中一次；(3).口袋裝有質(zhì)地、大小相同的6個紅球,4個白球,每次從中任取一球，不放回，連續(xù)取10次。題型1：n重伯努利試驗的判斷不是是是不是(4).口袋裝有質(zhì)地、大小相同的6個紅球,4個白球,每次從中任取一球，記下顏色后放回，連續(xù)取10次。請判斷以下4個試驗是否為n重伯努利試驗，并說明理由跟蹤訓(xùn)練1

(多選)下列事件不是n重伯努利試驗的是()A.運動員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”B.甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”C.甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒

射中目標(biāo)”D.在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo)√√√解析AC符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互獨立事件；D是n重伯努利試驗.探究新知X012…k…nP……事件A發(fā)生的次數(shù)X的分布列為假設(shè)“針尖向上”為事件A，隨機變量X表示事件A發(fā)生的次數(shù)二項分布(其中k=0,1,2,...,n)事件A發(fā)生的次數(shù)每次試驗中事件A發(fā)生的概率事件A發(fā)生的概率取值概率的結(jié)構(gòu)特征試驗的總次數(shù)二項分布與兩點分布1.區(qū)別：兩點分布是針對1次試驗而言，而二項分布是針對n次獨立重復(fù)試驗。2.聯(lián)系：二項分布是兩點分布的一般形式，兩點分布是二項分布的特殊形式，即n=1時的二項分布。二項分布與二項式定理兩點分布是二項分布嗎？它們之間具有什么樣的聯(lián)系和區(qū)別呢？四、學(xué)以致用題型2：n重伯努利試驗的概率例1

甲將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，求：

（1）恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；

（2）正面朝上的頻率在[0.4,0.6]內(nèi)的概率。分析

甲拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)“正面朝上”和“反面朝上”兩種結(jié)果且可能性相等，這是一個10重伯努利試驗，故正面朝上的次數(shù)服從二項分布。解：

甲假設(shè)A=“正面朝上”，P（A）=0.5，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X~B(10,0.5)(1)假恰好出現(xiàn)5次正面朝上等價于X=5，于是(2)假正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4,0.6]內(nèi)等價于，于是

跟蹤訓(xùn)練1

甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是

，假設(shè)每次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響.(結(jié)果需用分數(shù)作答)(1)求甲射擊3次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率；(2)求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率.解（1）記“甲射擊3次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1，由題意，知射擊3次，相當(dāng)于3重伯努利試驗，(2)求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率.解記“甲射擊2次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A2，“乙射擊2次，恰有1次擊中目標(biāo)”為事件B2，例2

如圖為一塊高爾頓板的示意圖。在一塊木板上訂著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘。小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃。將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘都等可能地向左或者向右落下，最后落到底部的格子中，格子從左到右分別編號為0,1,2,3，….，10,用X表示小球最后落入格子的號碼，求X的分布列。題型2：二項分布的應(yīng)用1.本題是否為n重伯努利試驗？2.如果是的話，那么“成功”的事件A指的是什么？3.事件A“成功”的概率為多少？n是多少？4.事件A“成功”的次數(shù)與落入格子的號碼有什么對應(yīng)關(guān)系？小組討論是事件A為“小球向右下落”0.5

n=10落入的格子號碼等于向右下落的次數(shù)。解設(shè)A=“向右下落”，則=“向左下落”，則。因為落入格子的編號X等于事件A發(fā)生的次數(shù)，而小球在下落的過程中共碰撞小木釘10次，故X~B（10,0.5），所以X的分布列為AX的概率分布圖如右圖所示高爾頓釘板試驗例3

甲、乙兩個選手進行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局兩勝還是5局3勝對甲更有利？分析

判斷哪個賽制對甲有利，只需分析哪個賽制對甲最終獲勝的概率更大即可。思路1

按可能的比分情況表示為若干事件的和，再利用各局比賽結(jié)果的獨立性求出概率。解

按采用3局2勝制，甲最終獲勝有2種可能，比分為2:0，或者2:1，前者為甲前兩局都獲勝；后者為前兩局甲乙各贏一局，第3局甲獲勝；所以甲最終獲勝的概率為按采用5局3勝制，比分情況為3:0,3:1,3:2所以甲最終獲勝的概率為思路2

按假定賽完n局，把n局比賽看成n重伯努利試驗，利用二項分布求甲獲勝的概率。解

按采用3局2勝制，假定賽完3局，用X表示3局比賽中甲獲勝的局數(shù)，

則X~B(3,0.6),甲最終獲勝的概率為

按采用5局3勝制，假定賽完5局，用X表示5局比賽中甲獲勝的局數(shù)，

則X~B(5,0.6),甲最終獲勝的概率為

因為，所以5局3勝制對甲更有利。跟蹤訓(xùn)練2

甲、乙兩隊進行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊勝的概率為

，沒有平局.(1)若進行三局兩勝制比賽，先勝兩局者勝，甲獲勝的概率是多少？(2)若進行五局三勝制比賽，甲獲勝的概率為多少？解（1）甲第一、二局勝，或第二、三局勝，或第一、三局勝，（2）甲前三局勝，或甲第四局勝，而前三局僅勝兩局，或甲第五局勝，而前四局僅勝兩局，歸納提升一般地，確定一個二項分布模型的步驟如下：（1）明確伯努利試驗及事件A的意義，確定事件A發(fā)生的概率p;（2）確定重復(fù)試驗的次數(shù)n,判斷各次試驗的獨立性；（3）設(shè)X為n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X~B(n,p)跟蹤訓(xùn)練3

（2019天津高考）假設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天6點30之前到校的概率均為，假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任何同學(xué)每天到校情況相互獨立。（1）用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的3天中6點30之前到校的天數(shù)，求隨機變量X的分布列和均值。（2）設(shè)事件M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在6點30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在6點30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率。分析

判斷由題可知，甲乙兩個同學(xué)6點30之前到校的天數(shù)均服從二項分布，故可用二項分布的概率公式求出取值概率，即可求出分布列。解析

（1）因為甲同學(xué)上學(xué)期間的3天中到校情況相互獨立，且每天6點30之前到校的概率為，故，所以.所以隨機變量X的分布列為X0123P（2）因設(shè)乙同學(xué)在上學(xué)期間的3天中6點30之前到校的天數(shù)為Y，則且，且事件互斥，且.Y0123P歸納提升概率綜合問題的求解策略(1)定模型：準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì)，把問題歸為古典概型、互斥事件、獨立事件、條件概率、全概率、n重伯努利試驗等中的某一種.(2)明事件：判斷事件之間的關(guān)系.(3)套公式：選擇相應(yīng)公式求解即可.諸葛亮VS臭皮匠團隊諸葛亮解出題目的概率為0.9,3個臭皮匠各自獨立解出題目的概率都為0.6，皮匠中至少有一個人解出題目，即勝出。列出皮匠中解出題目的分布列。并計算諸葛亮和3個皮匠團隊哪個勝出的概率更大？X0123P解：假設(shè)3個臭皮匠中解出題目的人數(shù)為X，X=0,1,2,3.故X~B(3,0.6)所以臭皮匠勝出的可能性較大課堂小結(jié)通過本節(jié)課，你有哪些收獲呢？（1）n重伯努利試驗:學(xué)會判斷試驗是否為n重伯努利試驗（2）二項分布X~B(n,p)在n重伯努利試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為

事件A發(fā)生的次數(shù)X，X~B(n,p)當(dāng)堂檢測2.（2015全國I卷4）投籃測試中，每人投3次，至少投中