淺談?wù)奂堉械臄?shù)學(xué) 論文

淺談?wù)奂堉械臄?shù)學(xué)摘要：《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出，“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上?！币寣W(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)獲得的過(guò)程，經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，其中實(shí)驗(yàn)的過(guò)程就是學(xué)生親身體驗(yàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程。讓學(xué)生動(dòng)手操作，在活動(dòng)中獲得知識(shí)?！罢郫B”在學(xué)生教學(xué)中有著其獨(dú)特的地位和作用。例如折角平分線，在教師的指導(dǎo)和幫助下，學(xué)生能主動(dòng)地做數(shù)學(xué)，從做中獲得知識(shí)，體驗(yàn)成功的喜悅。折是過(guò)程，疊是結(jié)果。讓學(xué)生體驗(yàn)解決折疊問(wèn)題的策略的多樣性，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)、方法在折疊問(wèn)題中的應(yīng)用，提升解決問(wèn)題的能力，拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的視野。關(guān)鍵字：折紙動(dòng)手折疊策略新課程標(biāo)準(zhǔn)在“空間與圖形”教學(xué)中，特別體現(xiàn)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，在“做”中感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，在“做”中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，在“做”中培養(yǎng)創(chuàng)新精神。因此，筆者在教學(xué)活動(dòng)中經(jīng)常帶著一疊紙、一把剪刀進(jìn)課堂，指導(dǎo)學(xué)生按某種要求進(jìn)行折疊、剪紙，用以發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證圖形的某種性質(zhì)。讓學(xué)生人人動(dòng)手，在活動(dòng)中增長(zhǎng)知識(shí)，掌握理論，把“空間與圖形”的學(xué)習(xí)過(guò)程變成有趣的充滿想象和富有推理的動(dòng)手折紙活動(dòng)。數(shù)學(xué)中折紙問(wèn)題，易于學(xué)生動(dòng)手操作，具有很強(qiáng)的直觀感，趣味性強(qiáng)，能培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，是開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)的好素材，這類探究拓展題在初中數(shù)學(xué)中就經(jīng)常出現(xiàn)。一、折紙可以比較線段與角大小如圖1，如圖2，要比較線段AC與BC的大小，只要從點(diǎn)C處翻折紙片，使線段AC與線段BC重合就可以比較出它們的大??；同樣要比較∠AOC和∠BOC的大小，沿射線AC翻折，很容易比較出這兩個(gè)角的大小。圖1圖2二、折特殊的圖形及特殊角矩形中折菱形如圖3，把矩形ABCD沿對(duì)角線AC翻折，AB邊與CD邊相交于E,再折回來(lái)，E點(diǎn)就落在AB邊上的F處，連AE、CF.則得到的四邊形AFCE就是菱形。證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AB//CD,所以∠ACD=∠BAC.由翻折得，∠B’AC=∠BAC,CE=CF,AE=AF,所以∠EAC=∠ECA,所以EA=EC,所以，EA=EC=CF=FA.所以四邊形AFCE是菱形。圖3圖42.三角形中折矩形如圖4，折出三角形ABC的高AD,翻折三角形ABC,使A與D重合，折痕為EG,再分別翻折，使B與D重合，C與D重合，折痕為EF、GH,發(fā)現(xiàn)CG與AG重合在DG,AE與BE重合在DE.得到四邊形EFHG即為矩形。3.折黃金矩形第一步，如圖5，在一張矩形紙片上的一端按圖所示折出一個(gè)正方形，然后把正方形展開(kāi)。第二步，如圖6，將正方形ABCD如圖那樣對(duì)折，折痕為EF.第三步，如圖7，折出內(nèi)部矩形EFCD的對(duì)角線EC,把EC翻折使之與AD邊重合，C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M,再作矩形CDMN,則矩形CDMN為黃金矩形.證明：設(shè)MN=2，則CD=2,DE=1.所以EC=,所以EM=,所以DM=，所以,即為黃金比。也就是矩形CDMN的寬DM與長(zhǎng)CD的比是黃金比。所以矩形CDMN為黃金矩形。圖5圖6圖7折特殊角準(zhǔn)備好一張矩形紙片ABCD,如圖8，對(duì)折矩形ABCD,折痕為EF,并把矩形紙片展開(kāi)。再次折紙片，使A點(diǎn)落在折痕EF上，并使此次的折痕經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，得折痕BM.同時(shí)得到線段BN.則圖中的∠DAE=∠EAF=∠BAF=30°.同時(shí)還能得到∠DAF=∠BAE=∠CEF=60°,∠DEF=∠EFC=120°,∠AFN=150°,繼續(xù)翻折還可以得到15°的角。證明：如圖9，延長(zhǎng)EF交AB于G點(diǎn).由翻折得，∠DAE=∠EAF,∠ADE=∠AFE=90°,所以∠AFG=90°,又因?yàn)锳B//CD//MN,所以,因?yàn)镈M=AM,所以EF=FG,再加公共邊AF，易證?AEF≌?AGF,所以∠EAF=∠GAF.所以∠DAE=∠EAF=∠GAF.又∠DAB=∠DAE+∠EAF+∠GAF=90°所以∠DAE=∠EAF=∠GAF=30°。進(jìn)而就得出∠DAF=∠BAE=∠CEF=60°,∠DEF=∠EFC=120°,∠AFN=150°。圖8圖9三、驗(yàn)證定理1.驗(yàn)證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。如圖10，直角三角形ABC,∠BAC=90°,按如圖方式折?ABC,使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，B點(diǎn)與A點(diǎn)重合，折痕為DE、EF.通過(guò)折疊發(fā)現(xiàn)，CE、BE與AE重合在一條線上，由此得到CE=BE=AE,所以E點(diǎn)位斜邊BC的中點(diǎn)，即AE就是Rt?ABC斜邊上的中線。所以.即驗(yàn)證了“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半?！边@一定理。而這在上面的三角形折矩形的圖中也體現(xiàn)了這一定理。圖10圖112.驗(yàn)證:直角三角形中30°所對(duì)的邊等于斜邊的一半。如圖11，在Rt?ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=30°.首先，折出∠BAC的角平分線為AE,C點(diǎn)落在斜邊AB上的D處，展開(kāi)?ABC并連DE.因?yàn)椤螦CB=90°,∠ABC=30°，所以∠BAC=60°所以∠CAE=∠BAE=30°所以∠ABC=∠BAE又因?yàn)椤螦DE=∠ACB=90°由等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)，得AD=BD又AD=AC所以AC=AD=BD所以,即證。3.驗(yàn)證：等腰三角形的性質(zhì)取一張等腰三角形紙片，如圖12，折?ABC,使兩腰AB與AC重合，折痕為AD.則∠B與∠C重合，即“等腰三角形的兩底角相等”。折痕AD同時(shí)把頂角A、底邊BC分成相等的兩部分，即AD既是頂角的平分線，也是底邊上的中線和高線。也就證明等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)，在AD上任取一點(diǎn)P，如圖13，連PB、PC,則PB=PC,也就是等腰三角形頂角平分線上的點(diǎn)到底邊兩端點(diǎn)距離相等。其實(shí)也就是線段垂直平分線定理。類似地，還可以得到等腰三角形的兩腰上的中線、高以及兩底角的平分線相等一系列性質(zhì)。如圖14.圖12圖13圖14四、驗(yàn)證反比例函數(shù)圖像和二次函數(shù)圖像的軸對(duì)稱性在透明的紙上畫出反比例函數(shù)的圖像，通過(guò)畫圖，得出反比例函數(shù)的圖像是雙曲線。然后讓同學(xué)們折一折，看看能否沿著某一條直線翻折，使圖像的兩部分重合？通過(guò)師生的共同實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，可以。即沿著y=x與y=-x兩條直線（也就是第一、三象限的角平分線和第二、四象限的角平分線）翻折，就能使雙曲線的兩部分完全重合。由此也就驗(yàn)證了反比例函數(shù)的圖像是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸。不僅如此，同位合作，用兩張一樣的紙片重合在一起，使坐標(biāo)原點(diǎn)重合，兩個(gè)圖像重合，用圖釘固定在原點(diǎn)O處，轉(zhuǎn)動(dòng)上面一張，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)180度后能與下面的圖像又重合，由此又得到反比例函數(shù)的圖像還是中心對(duì)稱圖形。如圖15.利用上述的方法，同樣也可以驗(yàn)證二次函數(shù)的圖形也是軸對(duì)稱圖形。如圖16.圖15圖16五、折疊問(wèn)題在中考中的應(yīng)用折疊問(wèn)題一直是中考的熱點(diǎn)，而且考查的內(nèi)容也比較多，無(wú)論是選擇題、填空題還是解答題都有折疊中的問(wèn)題，常常把矩形、直角三角形放于直角坐標(biāo)系中，與函數(shù)、相似形等知識(shí)結(jié)合，貫穿幾何、代數(shù)知識(shí)，難度有大有小。兩個(gè)例題解析1.如圖17，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5.點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與B點(diǎn)、C點(diǎn)都不重合），現(xiàn)將?PCD沿直線PD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，過(guò)點(diǎn)P作∠BPF的角平分線交AB與點(diǎn)E，設(shè)BP=x,BE=y.則y與x的函數(shù)表達(dá)式為圖17圖18解析：由折疊得，∠DPC=∠DPF,即,又因?yàn)镻E平分∠BPF,所以所以所以∠BPE+∠CPD=90°,又因?yàn)椤螧PE+∠BEP=90°,所以∠BEP=∠CPD,又因?yàn)椤螧=∠C所以?PBE~?DCP,所以,即，所以（0<x<5）如圖18，將矩形紙片ABCD折疊使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為AE.已知AB=8,BC=10.求tan∠EAF的值。解析：由折疊得，AF=AD=10,DE=DF,∠EAF=∠DAE,在直角三角形ABF中，AB=8,AF=10,根據(jù)勾股定理得，BF=6,所以CF=4.設(shè)DE=x,則EF=x,EC=8-x.在直角三角形ECF中，再用勾股定理得，42+（8-x）2=x2,解得x=5.所以.通過(guò)上述兩個(gè)題目可以看出，解決折疊問(wèn)題的關(guān)鍵要找出折疊問(wèn)題中的一些變化的量和不變的量以及它們之間的聯(lián)系。像對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等，重疊部分的面積相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕垂直平分等折疊性質(zhì)。由此得到的一些結(jié)論又可以去證明全等三角形、相似三角形等，同時(shí)還可以借助輔助線構(gòu)造直角三角形，結(jié)合相似形、銳角三角函數(shù)等知識(shí)解決相關(guān)的折疊問(wèn)題。當(dāng)然,折疊在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用遠(yuǎn)不止如此，動(dòng)手操作也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一項(xiàng)重要的也是必要的能力，讓學(xué)生在活動(dòng)中學(xué)到知識(shí)，動(dòng)起手來(lái)，這樣對(duì)知識(shí)會(huì)更容