2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)重點中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)重點中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知復(fù)數(shù)z=-i（2+i）,則z的共舸復(fù)數(shù)為（）

A.l—2iB.2—iC.1+2iD.—1—2i

2.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若。=「，b=1,A=60°,則B等

于（）

A.30°B,45°C.60°D.150°

3.若圓柱的軸截面是一個正方形，其面積為4S,則它的一個底面面積是（）

A.4SB.47rsC.nSD.27rs

4.如圖，四棱錐P-4BCD中，M,N分別為AC,PC上的點，且MN〃平面PAD,則（）

C.MN//ADD.以上均有可能

5.在下列四個正方體中，4、B為正方體的兩個頂點，M、N、Q為所在棱的中點，則在這四

個正方體中，直線48與平面MNQ不平行的是（）

6.閱讀下面題目及其證明過程，在橫線處應(yīng)填寫的正確結(jié)

論是（）

如圖，四棱錐P-4BC0中，底面4BCC是正方形，。是正方

形4BCD的中心，PO_L底面4BC0,E是PC的中點，求證：平

面24c_L平面BOE.

證明：因為POJL底面ABCD,

所以P。1BD.

又因為4clBD,且4CnP0=。,

所以.

又因為BDu平面BDE,

所以平面H4C1平面BDE.

A.BDJL平面PBCB.AC1平面PBD

C.BD1平面P4CD.AC1平面BDE

7.在△ABC中，若ac=8,a+c=7,8=*則b=()

A.25B.5C.4D.V-5

8.設(shè)AABC的內(nèi)角a,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a2cos4sbiB=b2sinAcosB,則△48C

的形狀為（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等邊三角形

9.為了測量河對岸兩點C,。間的距離，現(xiàn)在沿岸相距2km的兩

點4,B處分別測得NB4C=105。，/.BAD=60°,/.ABC=45°,

/.ABD=60°,則C,。間的距離為（）

A.\T~2km

B.2km

C.

D.4km

10.如圖，四邊形4BCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于力，B的一

點，則下面結(jié)論中錯誤的是（）

A.AE1CE

B.BE1DE

C.DE_L平面CEB

D.平面4DE_L平面BCE

二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）

11.在正方體ABCC-4當(dāng)&。1中，異面直線AD,所成角的余弦值為.

12.如圖，△40'夕為水平放置的△力OB斜二測畫法的直觀圖，且。'4=2,O'B'=3,RU

力。8的周長為.

13.在△力BC中，BC=6,AC=8,乙4=40。，貝吐3的解的個數(shù)是個.

14.在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角4B,C的對邊，且滿足（b—a）（sinB+sE4）

c(y/~3sinB-sinC),則4=.

15.如圖，在正方體ABCD-4iBiGDi中，點P在面對角線ZC上

運動，下列四個命題中正確命題的序號是.

①〃平面ABC1

②平面Pg1平面418G

③三棱錐&-BPC］的體積不變

④QP1BD

三、解答題(本大題共6小題，共85.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(本小題8.0分)

已知復(fù)數(shù)z=Tn(m+2)+(m2+m-2)i.

(1)若z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；

(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，求實數(shù)m的取值范圍.

17.(本小題13.0分)

如圖，在三棱錐「一48。中，￡\?、6、“分別是48、4。、「。、8。的中點，且/54=28,4。=BC.

(1)證明：AB1PC：

(2)證明：平面P48〃平面FGH.

18.(本小題15.0分)

已知在△4BC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且V~^bcos4—asinB=0.。是4B的

中點，AC=2,CD=2y/~l.

(I)求乙4的大??；

(H)求a的值.

19.(本小題15.0分)

仇章算術(shù)》中對一些特殊的幾何體有特定的稱謂，例如：將底面為直角三角形的直三棱柱

稱為塹堵，將一塹堵沿其一頂點與相對的棱刨開，得到一個陽馬(底面是長方形，且有一條側(cè)

棱與底面垂直的四棱錐)和一個鱉膈(四個面均為直角三角形的四面體),在如圖所示的塹堵中,

已知48=3,BC=4,AC=5.當(dāng)陽馬G-ABBiA體積等于24時，求:

(I)塹堵ABC-的側(cè)棱長;

(H)鱉腌G-ABC的體積；

(III)陽馬G的表面積.

20.(本小題16.0分)

在△ABC中，a+b=ll,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求：

(I)a的值；

(Il)sinC和AABC的面積.

條件①：c=7,cosA=—I；

條件②：cosA=cosB=

O1O

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

21.(本小題18.0分)

如圖，在四棱錐S-4BCD中，底面4BCD是邊長為2的菱形，UBC=60°,S40為正三角形.側(cè)

面S4D，底面ABC。，E、尸分別為棱AD、SB的中點.

(I)求證：4/7/平面SEC

(II)求證：平面4SB1平面CSB

。11)在棱SB上是否存在一點M,使得BD1平面MAC?若存在，求找的值；若不存在，請說明

理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：z=-i(2+i)=-2i-i2=1-2i,

所以z的共規(guī)復(fù)數(shù)為z=1+2i.

故選：C.

利用復(fù)數(shù)乘法計算法則計算即可.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及共軌復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

由已知利用正弦定理可得sinB=：,根據(jù)大邊對大角可求B為銳角，進而可求B的值.

本題考查了正弦定理，大邊對大角在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)

題.

【解答】

解：因為a=q,b=l,A=60°,

所以由正弦定理號=上，可得W=焉，可得

sinAsinB寧SLnD2

又a>b,可得8為銳角，

所以B=30°.

故選：A.

3.【答案】C

【解析】解：???圓柱的軸截面是一個正方形，且此正方形的面積為4S,

故此正方形的邊長為2C，

故此圓柱的底面直徑為2，3，

故此圓柱的底面半徑為C，

故圓柱的底面面積為：nS,

故選：c.

根據(jù)圓柱的軸截面是正方形，且軸截面面積是4S,出圓柱底面圓的直徑，代入面積公式計算.

本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體，其中熟練掌握圓柱的幾何特征是解答的關(guān)鍵.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

直接利用直線與平面平行的性質(zhì)定理推出結(jié)果即可.

【解答】

解：四棱錐P-4BC0中，M,N分別為4C,PC上的點，且MN〃平面P4D,

MNu平面PAC,平面PACn平面PAD=P4,

由直線與平面平行的性質(zhì)定理可得：MN//PA.

故選：B.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查空間中線面平行的判定定理，利用三角形中位線定理是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法

的積累，屬于中檔題.

利用線面平行判定定理可知B、C、。均不滿足題意，從而可得答案.

【解答】

解：對于選項B,由于結(jié)合線面平行判定定理可知B不滿足題意;

對于選項C,由于ZB〃MQ,結(jié)合線面平行判定定理可知C不滿足題意:

對于選項D,由于4B〃NQ,結(jié)合線面平行判定定理可知。不滿足題意;

所以選項A滿足題意,

故選：A.

6.【答案】C

【解析】證明：因為P0,底面4BCD

所以P。1BD.

AB

又因為4C1BD,且ACnPO=O,

所以BDJL平面PAC.

又因為BDu平面BDE,

所以平面PAC1平面BOE.

故選：C.

推導(dǎo)出PO1BD,AC1BD,從而BD1平面PAC.由此能證明平面24cl平面EDE

本題考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求

解能力、推理論證能力，是中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：由余弦定理知，b2=a2+c2—2accosB=(a+c)2—2ac—2accosB=49—2x8—

2X8Xg=25,

所以b=5.

故選：B.

結(jié)合余弦定理與完全平方和公式，進行運算，得解.

本題考查解三角形，熟練掌握余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于基

礎(chǔ)題.

利用正弦定理化簡，整理后得到s譏2A=sM2B,進而得到2A=2B或24+2B=兀，即可確定出

三角形形狀.

【解答】

解：已知等式利用正弦定理」==-%,化簡得：ba2cosA=ab2cosB,

stnAsinB

整理得：acosA=bcosB,?PsinAcosA=sinBcosB,

???2sinAcosA=2sinBcosB,^sin2A=sin2B,

2A=2B或2A+2B=兀，即4=B或4+B=p

則44BC為等腰三角形或直角三角形.

故選：C.

9.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查了正弦和余弦定理的應(yīng)用問題，也考查了運算求解能力和分析推理能力

根據(jù)題意，在△4BC中由正弦定理求得4C,在AOAC中由余弦定理求得。C.

【解答】

解：因為N4BD=60°,/.BAD=60°,

所以△力BD是正三角形，

所以4B=BD=DA=2km,

因為△ABC中，AABC=45°,Z.BAC=105°,

所以乙4cB=30°,

利用正弦定理得壬=餐，

sin45sin30

「ABsin4S02x苧>—

2

△4C0中，/.CAD=105°-60°=45°,

2

所以CM=AC2+AD2_2AC.AD.cos45°=（2，7）2+2-2X2，^X2X3=4，

所以CD=2,即C、。間的距離為2km.

故選：B.

10.【答案】C

【解析】解：選項4,BCLnABE,：.BCLAE,

???4E1BE,BCCBE=B,BC、BEu平面BCE,

AEJ■平面BCE,.?.力E_LCE,即選項A正確；

選項B,???AD_L平面ABE,AD1BE,

AELBE,AD^AE=A,AD,AEu平面4DE,

BE_L平面4OE,BE1OE,即選項8正確；

選項C,若OEJJRSfCEB,平面CEB,DE〃AE,這與過一點有且僅有一條直線垂直于同

一個平面矛盾，即選項c錯誤；

選項。，?力E1平面BCE,AEU平面ZDE,.?.平面ADE1平面8CE,即選項。正確.

故選：C.

選項A,由BC_LAE,AE1BE,知4E1平面BCE,得解；

選項B,由4D1BE,AE1BE,知BEJ■平面4DE,得解；

選項C,采用反證法，假設(shè)DE1平面CEB,結(jié)合AEJ_平面CEB,知DE〃AE,不符合題意；

選項。，由ZEJL平面BCE,再根據(jù)面面垂直的判定定理，得證.

本題考查空間中線與面的垂直關(guān)系，熟練掌握線與面垂直的判定定理或性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵,

考查空間立體感、推理論證能力，屬于中檔題.

U.【答案】?

【解析】

【分析】

本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題.

方法一：以。為原點，ZM為支軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求

出異面直線AD,BA所成角的余弦值.

方法二：連接CO],由4D〃BC,則NCBDi即為所求角，在RtABC5中，求其余弦值即可.

【解答】

解：方法一：以。為原點，ZM為%軸，CC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體4BCD—4/GD1棱長為1,

則4(1,0,0),D(0,0,0),Dj(0,0,1).

AD=(-1A0)，西=(一1,-1,1)，

則cos<而,8D；>=|荷?西|_1_y/~3

???異面直線4D,BD]所成角的余弦值為?.

故答案為：

方法二：連接CD「

易知正方體中4D//BC,

???異面直線AD,BQ所成角，即為直線BC,BA所成角，即為4CBDi（或其補角）,

易知正方體中BCJ_平面CDDiG，

又CD】u平面CDDiG，

BC1CDX,

設(shè)正方體棱長為1,則CD]=。，

體對角線BO1=V~3,

則RtABCDi中，

“DCBC1yf~3

3"叫=西=%=亍'

???異面直線4D,BD1所成角的余弦值為?.

故答案為：￡?.

12.【答案】12

【解析】解:根據(jù)斜二側(cè)畫法得到三角形。AB為直角三角形，底面邊長0B=3,高。4=20'A'=4,

???AB=V324-42=5，

???直角三角形048的周長為3+4+5=12.

故答案為：12..

根據(jù)斜二側(cè)畫法得到三角形。48為指教三角形，且其底面邊長0B=3,高。4=20'A=4,4B=5,

然后求三角形的周長即可.

本題主要考查平面圖形的直觀圖的應(yīng)用，要求熟練掌握斜二測畫法的邊長關(guān)系，比較基礎(chǔ).

13.【答案】2

【解析】解：由正弦定理知，黑二篝,

sinAsinB

所匕匚以Q-Bc=-ACsinA=丁8xsin40-0=>4g.4°。，

因為30。<40。<45。,所以譏30。<sin8<gsin45。，即「<sinB<繆,

J<5JJ

又B€（0。,180。），所以B有兩解.

故答案為：2.

利用正弦定理求出sinB的值，并估算其范圍，即可得解.

本題考查三角形解的個數(shù)的判斷，熟練掌握正弦定理是解題的關(guān)鍵，考查運算求解能力，屬于基

礎(chǔ)題.

14.【答案】I

O

【解析】解：由題意結(jié)合正弦定理可得：（b—Q）（b+a）=c（qb—c）,

即匕2—小=y/~3bc—C29

結(jié)合余弦定理可得cosA=乒+，2-。2=先，則A=E

2bc20

故答案為：2

首先利用正弦定理角化邊，然后結(jié)合余弦定理求得42的余弦值，最后確定N4的大小即可.

本題主要考查正弦定理及其應(yīng)用，余弦定理及其應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)等知識，屬于基礎(chǔ)題.

15?【答案】①②③

【解析】解：對于①,連接ZD1，CD】，&B,BCi，4G，如圖，

正方體中由A&與CQ平行且相等得平行四邊形4CC14,所以AC〃&G，

又ACC平面4186，&Gu平面418G，所以4。/平面&BG，同理4久〃平面&BC],

AC（\ADr=A,AC,力。1u平面4ciC,所以平面鼻。1。//平面

DiPu平面4)iC,所以0止〃平面4BC1，①正確;

對于②.連接BD,B】Di，正方體中DDi1平面4$iGDi，4Gu平面乙當(dāng)前。］,所以JL&G，

又正方形AiBiGDi中，41GlB/i，8避1u平面BBiJD,

所以41G1?平面而。當(dāng)u平面8%。1。，所以41cli。當(dāng)，

同理&B1DB1，a?n&B=Ai，A?,&Bu平面&BQ,所以岫_L平面&BC「

而DBiU平面PDBi，所以平面PDa1平面&BG，②正確；

對于③.由4的證明知4c〃平面&BG，P&AC,P到平面&BG的距離不變，

因此三棱錐P-&BC1體積不變，即三棱錐&-BPC1的體積不變，③正確；

對于④.當(dāng)P是4c與交點時，因為叫〃4必〃。。［,BB［=AAr=DD、,

所以四邊形BDD/i為平行四邊形，又因為，底面ZBCD,BDu平面ABCZ),

所以BBi1BD,所以四邊形BDD$i為矩形，

在矩形中，BD1DrD,DiOnDiP=Di，和BD顯然不垂直，④錯誤.

故答案為：①②③.

證明平面4。傳〃平面&BCI后可判斷4,證明1平面&BCi后可判斷B,由4C〃平面4BG可

判斷C,取P是2C與BD交點時可判斷D.

本題考查線線垂直、線面垂直與面面垂直的關(guān)系是解題關(guān)鍵.解題時對三個垂直的間相互轉(zhuǎn)化需

熟練掌握，屬中檔題.

16.【答案】解：(1)若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，貝|“根,巾+2)：°

m—2。0

m=0或m=-2

解得

mW1且m?！?

所以m=0.

(2)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，

則，嗎M+2)1°C，解得0<m<1,

(m24-m-2<0

故實數(shù)m的取值范圍是(0,1).

【解析】(1)若z是純虛數(shù)，則實部為0,虛部不為0,列方程組求解即可.

(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，則實部大于0,虛部小于0,列不等式組求解即可.

本題主要考查純虛數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】(1)證明:連接EC,

vAC=BC,PA=PB,E是49的中點，

EC1AB,AB1PE,

又PEu平面PCE,CEu平面PCE,PE(\CE=E,

AB1面PEC,

又PCu平面PCE,

???AB1PC.

(2)連接尸H,

???F,G,H分別是AC,PC,BC的中點，

???FH//AB,

5LABC平面FGH,FHu平面FGH,

AB//平面尸GH,

同理可得PB〃平面FGH,

又ABCPB=B,ABu平面PAB,PBu平面P4B,

平面P4B〃平面FGH.

【解析】（1）連結(jié)CE,由三線合一可得4BJ.CE,AB1PE,故而48_L平面PCE,于是_LPC；

（2）根據(jù)中位線定理可得4B〃/H,PB//GH,從而得出平面P4B〃平面尸GH.

本題考查了線面平行，面面平行的判定，屬于中檔題.

18.【答案】解：（I）因為7~^加。54—asinB=0>

由正弦定理得：>J~3sinBcosA—sinAsinB=0，

因為sinB>0,所以V~^cosA—sinA=0，得tanA=7~百，

因為力€（0,兀），所以A=*

（II）在△4CO中，由余弦定理得：12=4+4D2-2A/）X2COS全

即-2AD-8=0,解得：AD=4（負值舍去），貝必3=8,

在△4BC中，由余弦定理得：BC2=4+64-2x2x8cos1=52,

所以BC=2Q9，所以a=2「m.

【解析】（I）利用正弦定理得，譏BcosA—sinAsinB=0>進而求得4;

（II）在4ACD^LABC中分別使用余弦定理，計算a的值.

本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】解：（I）因為48=3,BC=4,AC=5,

所以4B2+BC2=AC2.

所以△力BC為直角三角形.

設(shè)塹堵ABC-AaG的側(cè)棱長為x,

則S矩形AABB1=3x，則匕;2-441881=§x4x3x=24,

所以x=6,所以塹堵4BC-&B1G的側(cè)棱長為6；

1

（II）因為SMBC=2x3x4=6,

所以LQ-ABC=XCCI=-x6x6=12,

所以鱉腌口一48c的體積為12；

1-1

(Hl)因為SAABIG=彳x3x4=6,SABB[CI=EX6X4=12,

SA441cl=2x6x5=15,S^ABCI=，X3X2713=3V13,

S矩形wBBi=3x6=18,

所以陽馬G-4BB1&的表面積為6+12+15+18+3cg=51+

【解析】(I)設(shè)塹堵4"-A$iG的側(cè)棱長為％,根據(jù)陽馬G—48814體積等于24求解即可;

(H)根據(jù)棱錐的體積計算即可；

(1H)分別計算Q-48當(dāng)&的側(cè)面積與底面積，相加即可.

本題考查了三棱錐的體積與表面積的計算，屬于中檔題.

20.【答案】解：選擇條件①，

(I)由余弦定理得a?=b2+c2-2bccosA,即a2-b2=49-14bx(-1)=49+2b,

(a+b)(a—b)=49+2b,

"a+b=11,

Ila-lib=49+2b,

即lla-13b=49,

聯(lián)立｛"3949,解得a=8,b=3,

故Q=8.

(H)在△ABC中，sinA>0,

???sinA=V1—cos2A=

由正弦定理可得仁=

sinCf

.rcsinA7工方一「J

AsinC=---=-=-r->

a82

???S2ABe=g。加譏C=1x8x3x=6V-3.

選擇條件②,

(I)在△ABC中，sinA>0,sinB>0,C=TT—(A+B),

vcosA4=1cosB=9—

816

：?sinA=V1—cos27l=sinB=V1—cos2B=

o16

由正弦定理可得三=h

sinB’

a_sinA_6

b—sinB-5'

va4-/?=11,

???Q=6,匕=5,

故a=6；

(II)在△ABC中，C="Q4+8),

???.sicnC=./smAQ4in+、B)=siAnAcor>sB?+coAsA-sinnB=3V~—7r—x9—54V-~—7—1x-=>!~1——?

、J8161684

r1,.1,、uisC

**,SAABC~2Qbsi幾C=5x6x5x—,

【解析】本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系，兩角和的正弦公式，正余弦定理，三角形的面積公

式等知識，考查了運算能力求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于中檔題.

選擇條件①

(I)由余弦定理求出(a+b)(a-b)=49+2b,再結(jié)合a+6=11,即可求出a的值，

(H)由正弦定理可得s譏C,再根據(jù)三角形的面積公式即可求出，