高考數(shù)學大一輪復(fù)習 核心素養(yǎng)提升練六十八 12.9 離散型隨機變量的均值與方差 理（含解析）新人教A-新人教A高三數(shù)學試題

核心素養(yǎng)提升練六十八離散型隨機變量的均值與方差(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.若離散型隨機變量X的分布列為X01P則X的數(shù)學期望E(X)等于 ()A.2 B.2或 C. D.1【解析】選C.由題意,+=1,a>0,所以a=1,所以E(X)=0×+1×=.2.已知X的分布列為X-101P則在下列式子中①E(X)=-;②D(X)=;③P(X=0)=,正確的個數(shù)是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.由E(X)=(-1)×+0×+1×=-,知①正確;由D(X)=×+×+×=,知②不正確;由分布列知③正確.3.節(jié)日期間,某種鮮花進貨價是每束2.5元,銷售價為每束5元;節(jié)日賣不出去的鮮花以每束1.6元價格處理.根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測,節(jié)日期間這種鮮花的需求量X服從如表所示的分布:X200300400500P0.200.350.300.15若購進這種鮮花500束,則利潤的均值為 ()A.706元 B.690元 C.754元 D.720元【解析】選A.由分布列可以得到E(X)=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=340,所以利潤是(340×5+160×1.6)-500×2.5=706(元).4.已知X是離散型隨機變量,P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,則D(2X-1)= ()A. B. C. D.【解析】選B.因為X是離散型隨機變量,P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,所以由已知得1×+a×=,解得a=2,所以D(X)=1-2×+2-2×=,所以D(2X-1)=22D(X)=4×=.【變式備選】已知離散型隨機變量ξ的概率分布如下:ξ012P0.33k4k隨機變量η=2ξ+1,則η的數(shù)學期望為 ()A.1.1 B.3.2C.11k D.22k+1【解析】選B.由0.3+3k+4k=1得k=0.1,所以E(ξ)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1,E(η)=2E(ξ)+1=2×1.1+1=3.2.5.如果X～B(20,p),當p=且P(X=k)取得最大值時,k的值為 ()A.9 B.10 C.11 D.12【解析】選B.當p=時,P(X=k)=·=·,顯然當k=10時,P(X=k)取得最大值.二、填空題(每小題5分,共15分)6.有一批產(chǎn)品,其中有12件正品和4件次品,從中有放回地任取3件,若X表示取到次品的次數(shù),則D(X)=________.

【解析】因為X～B,所以D(X)=3××=.答案:【變式備選】設(shè)隨機變量X～B(8,p),且D(X)=1.28,則概率p的值是________.

【解析】由D(X)=8p(1-p)=1.28,所以p=0.2或p=0.8.答案:0.2或0.87.設(shè)隨機變量ξ的分布列如下表所示:ξ012Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列,若隨機變量ξ的均值為,則ξ的方差為________.

【解析】由題意有a+b+c=1,2b=a+c,b+2c=,解得a=,b=,c=,則其方差為D(ξ)=×+×+×=.答案:8.據(jù)統(tǒng)計,一年中一個家庭萬元以上的財產(chǎn)被竊的概率為0.005,保險公司開辦一年期萬元以上家庭財產(chǎn)保險,交保險費100元,若一年內(nèi)萬元以上財產(chǎn)被竊,保險公司賠償a元(a>1000),為確保保險公司有可能獲益,則a的取值范圍是________.

【解題指南】轉(zhuǎn)化為求保險公司在參保人身上的收益的期望問題,由此列不等式求解.【解析】X表示保險公司在參加保險者身上的收益,其概率分布列為:X100100-aP0.9950.005E(X)=0.995×100+(100-a)×0.005=100-.若保險公司獲益,則期望大于0,解得a<20000,所以a∈(1000,20000).答案:(1000,20000)三、解答題(每小題10分,共20分)9.若n是一個三位正整數(shù),且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字,十位數(shù)字大于百位數(shù)字,則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學趣味活動中,每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù),且只能抽取一次.得分規(guī)則如下:若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除,參加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分. (1)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”;(2)若甲參加活動,求甲得分X的分布列和數(shù)學期望E(X).【解析】(1)個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345.(2)由題意知,全部“三位遞增數(shù)”的個數(shù)為=84,隨機變量X可能的取值為0,-1,1,因此P(X=0)==,P(X=-1)==,P(X=1)=1--=,所以X的分布列為X0-11P則E(X)=0×+(-1)×+1×=.10.某牛奶廠要將一批牛奶用汽車從所在城市甲運至城市乙,已知從城市甲到城市乙只有兩條公路,且運費由廠商承擔.若廠商恰能在約定日期(×月×日)將牛奶送到,則城市乙的銷售商一次性支付給牛奶廠20萬元;若在約定日期前送到,每提前一天銷售商將多支付給牛奶廠1萬元;若在約定日期后送到,每遲到一天銷售商將少支付給牛奶廠1萬元.為保證牛奶新鮮度,汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā),且只能選擇其中的一條公路運送牛奶,已知下表內(nèi)的信息:統(tǒng)計信息汽車行駛路線在不堵車的情況下到達城市乙所需時間(天)在堵車的情況下到達城市乙所需時間(天)堵車的概率運費(萬元)公路1231.6公路2140.8(1)記汽車選擇公路1運送牛奶時牛奶廠獲得的毛收入為ξ(單位:萬元),求ξ的分布列和均值E(ξ).(2)選擇哪條公路運送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多?(注:毛收入=銷售商支付給牛奶廠的費用-運費) 【解析】(1)若汽車走公路1,不堵車時牛奶廠獲得的毛收入ξ=20-1.6=18.4(萬元);堵車時牛奶廠獲得的毛收入ξ=20-1.6-1=17.4(萬元),所以汽車走公路1時牛奶廠獲得的毛收入ξ的分布列為:ξ18.417.4PE(ξ)=18.4×+17.4×=18.3(萬元).(2)設(shè)汽車走公路2時牛奶廠獲得的毛收入為η,則不堵車時牛奶廠獲得的毛收入η=20-0.8+1=20.2(萬元);堵車時牛奶廠獲得的毛收入η=20-0.8-2=17.2(萬元).所以汽車走公路2時牛奶廠獲得的毛收入η的分布列為η20.217.2PE(η)=20.2×+17.2×=18.7(萬元).因為E(ξ)<E(η),所以選擇公路2運送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多.【變式備選】有甲、乙兩個建材廠,都想投標參加某重點建設(shè),為了對重點建設(shè)負責,政府到兩建材廠抽樣檢查,他們從中各抽取等量的樣品檢查它們的抗拉強度指標,其分布列如下:X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4其中X和Y分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強度,在使用時要求選擇較高抗拉強度指數(shù)的材料,越穩(wěn)定越好.試從均值與方差的指標分析該用哪個廠的材料.【解析】E(X)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9,D(X)=(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(10-9)2×0.2=0.4;E(Y)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9,D(Y)=(8-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(10-9)2×0.4=0.8.

由此可知,E(X)=E(Y)=9,D(X)<D(Y),從而兩廠材料的抗拉強度指數(shù)平均水平相同,但甲廠材料相對穩(wěn)定,應(yīng)選甲廠的材料.(20分鐘40分)1.(5分)某運動員投籃命中率為0.6,他重復(fù)投籃5次,若他命中一次得10分,沒命中不得分;命中次數(shù)為X,得分為Y,則E(X),D(Y)分別為 ()A.0.6,60 B.3,12C.3,120 D.3,1.2【解析】選C.X～B(5,0.6),Y=10X,所以E(X)=5×0.6=3,D(X)=5×0.6×0.4=1.2.D(Y)=100D(X)=120.2.(5分)有10件產(chǎn)品,其中3件是次品,從這10件產(chǎn)品中任取兩件,用ξ表示取到次品的件數(shù),則E(ξ)等于 ()A. B. C. D.1【解析】選A.ξ服從超幾何分布P(ξ=x)=(x=0,1,2),則P(ξ=0)===,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.故E(ξ)=0×+1×+2×=.3.(5分)已知X是離散型隨機變量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,若E(X)=,D(X)=,則x1+x2=________.

【解析】由題意得,E(X)=x1+x2=,①D(X)=×+×=,②由①②得x1+x2=3.答案:34.(12分)某班同學利用國慶節(jié)進行社會實踐,對[25,55]歲的人群隨機抽取n人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調(diào)查,若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”,否則稱為“非低碳族”,得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖:組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率第一組[25,30)1200.6第二組[30,35)195p第三組[35,40)1000.5第四組[40,45)a0.4第五組[45,50)300.3第六組[50,55]150.3(1)補全頻率分布直方圖,并求n,a,p的值.(2)從[40,50)歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取18人參加戶外低碳體驗活動,其中選取3人作為領(lǐng)隊,記選取的3名領(lǐng)隊中年齡在[40,45)歲的人數(shù)為X,求X的分布列和均值E(X). 【解析】(1)因為第二組的頻率為1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,所以高為=0.06.頻率分布直方圖補全如下:因為第一組的人數(shù)為=200,頻率為0.04×5=0.2,所以n==1000.第二組的頻率為0.06×5=0.3,故第二組的人數(shù)為1000×0.3=300,因此p==0.65.由題意可知,第四組的頻率為0.03×5=0.15,故第四組的人數(shù)為1000×0.15=150,因此a=150×0.4=60.(2)因為[40,45)歲年齡段的“低碳族”與[45,50)歲年齡段的“低碳族”的比值為60∶30=2∶1,所以采用分層抽樣法抽取18人,[40,45)歲中有12人,[45,50)歲中有6人.可知隨機變量X服從超幾何分布,所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.所以隨機變量X的分布列為:X0123P所以E(X)=0×+1×+2×+3×=2.【變式備選】(2018·山東師大附中模擬)為增強市民的節(jié)能環(huán)保意識,某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者,其年齡頻率分布直方圖如圖所示,其中年齡分組區(qū)間是[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45].(1)求圖中x的值并根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中,年齡在[35,40)歲的人數(shù).(2)在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取20名參加中心廣場的宣傳活動,再從這20名中采用簡單隨機抽樣方法選取3名志愿者擔任主要負責人.記這3名志愿者中“年齡低于35歲”的人數(shù)為X,求X的分布列及均值.【解析】(1)因為小矩形的面積等于頻率,所以除[35,40)外的頻率和為0.70,所以x==0.06.故500名志愿者中,年齡在[35,40)歲的人數(shù)為0.06×5×500=150(人).(2)用分層抽樣的方法,從中選取20名,則其中年齡“低于35歲”的人有12名,“年齡不低于35歲”的人有8名.故X的可能取值為0,1,2,3,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列為X0123P所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.5.(13分)自2016年1月1日起,我國全面二孩政策正式實施,這次人口與生育政策的歷史性調(diào)整,使得“要不要再生一個”“生二孩能休多久產(chǎn)假”等成為千千萬萬個家庭在生育決策上避不開的話題.為了解針對產(chǎn)假的不同安排方案形成的生育意愿,某調(diào)查機構(gòu)隨機抽取了200戶有生育二孩能力的適齡家庭進行問卷調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):產(chǎn)假安排(單位:周)1415161718有生育意愿家庭數(shù)48162026(1)若用表中數(shù)據(jù)所得的頻率代替概率,面對產(chǎn)假為14周與16周,估計某家庭有生育意愿的概率分別為多少?(2)假設(shè)從5種不同安排方案中,隨機抽取2種不同安排分別作為備選方案,然后由單位根據(jù)單位情況自主選擇.①求兩種安排方案休假周數(shù)和不低于32周的概率.②如果用ξ表示兩種方案休假周數(shù)和.求隨機變量ξ的分布列及期望. 【解析】(1)由表中信息可知,當產(chǎn)假為14周時某家庭有生育意愿的概率為P1==;當產(chǎn)假為16周時某家庭有生育意愿的概率為P2==.(2)①設(shè)“兩種安排方案休假周數(shù)和不低于32周”為事件A,由已知從5種不同安排方案中,隨機地抽取2種方案選法共有=10(種),其和不低于32周的選法有(14,18),(15,17),(