2024屆遼寧省鞍山市高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2024屆遼寧省鞍山市高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若向量的夾角為，且，，則向量與向量的夾角為（）A． B． C． D．2．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．1 B．21 C．31 D．513．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則該函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．4．已知某數(shù)列的前項(xiàng)和（為非零實(shí)數(shù)），則此數(shù)列為（）A．等比數(shù)列 B．從第二項(xiàng)起成等比數(shù)列C．當(dāng)時(shí)為等比數(shù)列 D．從第二項(xiàng)起的等比數(shù)列或等差數(shù)列5．已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為()A． B． C． D．6．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列的前4項(xiàng)依次為，1，，，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是（）A． B．C． D．8．在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，則下列關(guān)于的形狀的說法正確的是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定9．從某健康體檢中心抽取了8名成人的身高數(shù)據(jù)（單位：厘米），數(shù)據(jù)分別為172，170，172，166，168，168，172，175，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．171172 B．170172 C．168172 D．17017510．已知，那么（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)為，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為______12．在正四面體中，棱與所成角大小為________.13．已知，若直線與直線垂直，則的最小值為_____14．若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該正四棱錐的體積為______.15．已知六棱錐的底面是正六邊形，平面，.則下列命題中正確的有_____．(填序號(hào))①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直線PD與平面ABC所成的角為45°.16．已知，若方程的解集為，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，求：（1）邊上的高所在直線的方程；（2）的外接圓的方程．18．從代號(hào)為A、B、C、D、E的5個(gè)人中任選2人（1）列出所有可能的結(jié)果；（2）若A、B、C三人為男性，D、E兩人為女性，求選出的2人中不全為男性的概率.19．如圖，等腰梯形中，，，，取中點(diǎn)，連接，把三角形沿折起，使得點(diǎn)在底面上的射影落在上，設(shè)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.20．如圖所示，在直三棱柱（側(cè)面和底面互相垂直的三棱柱叫做直三棱柱）中，平面，，設(shè)的中點(diǎn)為D，.（1）求證：平面；（2）求證：.21．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．（1）求，的值；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

結(jié)合數(shù)量積公式可求得、、的值，代入向量夾角公式即可求解．【詳解】設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)榈膴A角為，且，，所以，，所以，又因?yàn)樗?，故選B【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積公式，向量模、夾角的求法，考查化簡(jiǎn)計(jì)算的能力，屬基礎(chǔ)題．2、D【解析】常數(shù)項(xiàng)有三種情況，都是次，或者都是次，或者都是二次，故常數(shù)項(xiàng)為3、A【解析】

根據(jù)圖象求出即可得到函數(shù)解析式.【詳解】顯然，因?yàn)?，所以，所以，由得，所以，即，，因?yàn)?，所以，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)圖象求函數(shù)解析式，利用周期求，代入最高點(diǎn)的坐標(biāo)求是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，運(yùn)用數(shù)列的遞推式：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求結(jié)論．【詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，（為非零實(shí)數(shù)）.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.若，則，此時(shí)，該數(shù)列是從第二項(xiàng)起的等差數(shù)列；若且，不滿足，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，該數(shù)列是從第二項(xiàng)起的等比數(shù)列.綜上所述，此數(shù)列為從第二項(xiàng)起的等比數(shù)列或等差數(shù)列.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，考查分類討論思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．5、B【解析】試題分析：如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，則，或其補(bǔ)角就是異面直線所成的角，設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為1，則，，．故選B．考點(diǎn)：異面直線所成的角．【名師點(diǎn)睛】求異面直線所成的角的關(guān)鍵是通過平移使其變?yōu)橄嘟恢本€所成角，但平移哪一條直線、平移到什么位置，則依賴于特殊的點(diǎn)的選取，選取特殊點(diǎn)時(shí)要盡可能地使它與題設(shè)的所有相減條件和解題目標(biāo)緊密地聯(lián)系起來．如已知直線上的某一點(diǎn)，特別是線段的中點(diǎn)，幾何體的特殊線段．6、D【解析】

利用，得出異面直線與所成的角為，然后在中利用銳角三角函數(shù)求出.【詳解】如下圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，四邊形為正方形，所以，，所以，異面直線與所成的角為，在正方體中，平面，平面，，，，，在中，，，因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的計(jì)算，一般利用平移直線，選擇合適的三角形，利用銳角三角函數(shù)或余弦定理求解，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題．7、A【解析】

根據(jù)各選擇項(xiàng)求出數(shù)列的首項(xiàng)，第二項(xiàng)，用排除法確定．【詳解】可用排除法，由數(shù)列項(xiàng)的正負(fù)可排除B,D，再看項(xiàng)的絕對(duì)值，在C中不合題意，排除C，只有A.可選．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，選擇一個(gè)通項(xiàng)公式，比較方便，可以利用通項(xiàng)公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，把不合的排除即得．8、B【解析】

利用三角形的正、余弦定理判定．【詳解】在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，由正弦定理得，得，則，為直角三角形．故選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

由中位數(shù)和眾數(shù)的定義，即可得到本題答案.【詳解】把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為166，168，168，170，172，172，172，175，則中位數(shù)為，眾數(shù)為172.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查中位數(shù)和眾數(shù)的求法.10、A【解析】依題意有，故二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由題意可得，解得．

∴等差數(shù)列的前三項(xiàng)為-1，1，1．

則1．

故答案為．12、【解析】

根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征，取中點(diǎn)，連，，利用線面垂直的判定證得平面，進(jìn)而得到，即可得到答案.【詳解】如圖所示，取中點(diǎn)，連，，正四面體是四個(gè)全等正三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長(zhǎng)都相等，所以，，且，所以平面，又由平面，所以，所以棱與所成角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，以及直線與平面垂直的判定及應(yīng)用，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.13、8【解析】

兩直線斜率存在且互相垂直，由斜率乘積為-1求得等式，把目標(biāo)式子化成，運(yùn)用基本不等式求得最小值.【詳解】設(shè)直線的斜率為，，直線的斜率為，，兩條直線垂直，，整理得：，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，的最小值為.【點(diǎn)睛】利用“1”的代換，轉(zhuǎn)化成可用基本不等式求最值，考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想.14、4.【解析】

設(shè)正四棱錐的高為PO，連結(jié)AO，在直角三角形POA中，求得高,利用體積公式，即可求解．【詳解】由題意，如圖所示，正四棱錐P-ABCD中，AB=，PA=設(shè)正四棱錐的高為PO，連結(jié)AO，則AO=，在直角三角形POA中，，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正棱錐體積的計(jì)算，其中解答中熟記正棱錐的性質(zhì)，以及棱錐的體積公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．15、②④【解析】

利用題中條件，逐一分析答案，通過排除和篩選，得到正確答案．【詳解】∵AD與PB在平面的射影AB不垂直，∴①不成立；∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，在正六邊形ABCDEF中，AB⊥AE，PAAE=A，∴AB⊥平面PAE，且AB面PAB，∴平面PAB⊥平面PAE，故②成立；∵BC∥AD∥平面PAD，平面PAD平面PAE=PA，∴直線BC∥平面PAE也不成立，即③不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，故④成立．故答案為②④．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，解題時(shí)要注意直線與平面成的角、直線與平面垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題．16、【解析】

將利用輔助角公式化簡(jiǎn)，可得出的值.【詳解】，其中，，因此，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查利用輔助角公式化簡(jiǎn)計(jì)算，化簡(jiǎn)時(shí)要熟悉輔助角變形的基本步驟，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2x+y-2=0；（2）x2+y2+2x+2y-8=0【解析】

（1）根據(jù)高與底邊所在直線垂直確定斜率，再由其經(jīng)過點(diǎn)，從而由點(diǎn)斜式得到高所在直線方程，再寫成一般式.（2）設(shè)出的外接圓的一般方程，將三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)代入得到關(guān)于的方程組，從而求出外接圓的方程.【詳解】（1）直線AB的斜率為，AB邊上的高所在直線的斜率為-2，則AB邊上的高所在直線的方程為y+2=-2（x-2），即2x+y-2=0（2）設(shè)△ABC的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0由，解之可得故△ABC的外接圓的方程為x2+y2+2x+2y-8=0【點(diǎn)睛】主要考查了直線方程與圓的方程的求解，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）見解析（2）0.7【解析】

（1）從代號(hào)為、、、、的5個(gè)人中任選2人，利用列舉法能求出所有可能的結(jié)果．（2）、、三人為男性，、兩人為女性，利用列舉法求出選出的2人中不全為男性包含的基本事件有7種，由此能求出選出的2人中不全為男性的概率．【詳解】（1）從代號(hào)為、、、、的5個(gè)人中任選2人．所有可能的結(jié)果有10種，分別為：，，，，，，，，，．（2）、、三人為男性，、兩人為女性，選出的2人中不全為男性包含的基本事件有7種，分別為：，，，，，，．選出的2人中不全為男性的概率．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．19、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接、、、、，可知、均為等邊三角形，可證明出平面，從而得出，再證明出四邊形為平行四邊形，可得出，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，從而可得出，再利用線面垂直的判定定理可證明出平面；（2）過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，證明出平面，可得知二面角的平面角為，計(jì)算出直角三角形三邊邊長(zhǎng)，即可求出，即為所求.【詳解】（1）如下圖所示，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接、、、、，在等腰梯形中，，，，為的中點(diǎn)，所以，，又，則，為等邊三角形，同理可知為等邊三角形，為的中點(diǎn)，，，，平面，平面，，由于和是邊長(zhǎng)相等的等邊三角形，且為的中點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，.在等腰梯形中，且，則四邊形為平行四邊形，、分別為、的中點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，且，則四邊形為平行四邊形，，，，平面；（2）過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，由于點(diǎn)在平面內(nèi)的射影點(diǎn)在上，則平面平面，由（1）知，，又平面平面，平面，平面，平面，，，，平面，平面，，所以，二面角的平面角為，在中，，，，，，因此，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定以及二面角的求法，解題的關(guān)鍵就是找出二面角的平面角，通過解三角形來求解二面角，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.20、（1）見解析；（2）見解析.【解析】

（1）由可證平面；（2）先證，再證，即可證明平面，即可得出.【詳解】（1）∵三棱柱為直三棱柱，∴四邊形為矩形，∴E為中點(diǎn)，又D點(diǎn)為中點(diǎn)，∴DE為的中位線