2024屆云南省昆明市祿勸縣一中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆云南省昆明市祿勸縣一中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在，，，是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍為()A． B． C． D．2．一個(gè)幾何體的三視圖如圖（圖中尺寸單位：m），則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．3．點(diǎn)到直線的距離是（）A． B． C．3 D．4．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則（）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且S8＝92，a5＝13，則a4＝A．16 B．13 C．12 D．106．高一數(shù)學(xué)興趣小組共有5人，編號(hào)為.若從中任選3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，則選出的參賽選手的編號(hào)相連的概率為（）A． B． C． D．7．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．如圖，在圓內(nèi)隨機(jī)撒一把豆子，統(tǒng)計(jì)落在其內(nèi)接正方形中的豆子數(shù)目，若豆子總數(shù)為n，落在正方形內(nèi)的豆子數(shù)為m，則圓周率π的估算值是（）A．nmB．2nmC．3n9．如圖，在正方體中，已知，分別為棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角等于（）A．90° B．60°C．45° D．30°10．已知圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若,則____________.12．甲、乙兩人要到某地參加活動(dòng)，他們都隨機(jī)從火車、汽車、飛機(jī)三種交通工具中選擇一種，則他們選擇相同交通工具的概率為_________.13．設(shè)，，則______．14．______．15．讀程序，完成下列題目：程序如圖：（1）若執(zhí)行程序時(shí)，沒(méi)有執(zhí)行語(yǔ)句，則輸入的的范圍是_______；（2）若執(zhí)行結(jié)果，輸入的的值可能是___．16．設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前n項(xiàng)和_______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．向量函數(shù)．（1）求的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值及取最值時(shí)的值．18．已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在的直線方程為，為的中點(diǎn)，且所在的直線方程為.(1)求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求過(guò)點(diǎn)且在軸、軸上的截距相等的直線的方程.19．在中，角所對(duì)的邊分別為.（1）若為邊的中點(diǎn)，求證:;（2）若，求面積的最大值.20．如圖，在正中，，.（1）試用，表示；（2）若，，求.21．四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面底面ABCD，已知，為正三角形．（1）證明．（2）若，，求二面角的大小的余弦值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】由題意，可以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線的方程為，不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，不妨設(shè)，由，所以，整理得，則，即，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，有最大值.故選A.點(diǎn)睛：此題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及直線方程和兩點(diǎn)間距離的計(jì)算等方面的知識(shí)與技能，還有坐標(biāo)法的運(yùn)用等，屬于中高檔題，也是?？伎键c(diǎn).根據(jù)題意，把運(yùn)動(dòng)（即的位置在變）中不變的因素（）找出來(lái)，通過(guò)坐標(biāo)法建立合理的直角坐標(biāo)系，把點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，再通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，列出式子，討論其最值，從而問(wèn)題可得解.2、C【解析】

根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，計(jì)算即可得解.【詳解】該幾何體是一個(gè)半徑為1的球體削去四分之一，體積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的識(shí)別和球的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求解即可.【詳解】點(diǎn)到直線的距離是.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)到線的距離公式,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

由余弦定理可直接求出邊的長(zhǎng).【詳解】由余弦定理可得，，所以.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理的運(yùn)用，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)已知條件，并用等差數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得的值.【詳解】依題意，，解得，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，解答題目過(guò)程中要注意觀察已知條件的下標(biāo).屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

先考慮從個(gè)人中選取個(gè)人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的基本事件總數(shù)，再分析選出的參賽選手的編號(hào)相連的事件數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閺膫€(gè)人中選取個(gè)人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的基本事件有：，共種，又因?yàn)檫x出的參賽選手的編號(hào)相連的事件有：，共種，所以目標(biāo)事件的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的簡(jiǎn)單應(yīng)用，難度較易.求解古典概型問(wèn)題的常規(guī)思路：先計(jì)算出基本事件的總數(shù)，然后計(jì)算出目標(biāo)事件的個(gè)數(shù)，目標(biāo)事件的個(gè)數(shù)比上基本事件的總數(shù)即可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率.7、C【解析】

寫出變換后的函數(shù)解析式，，，結(jié)合正弦函數(shù)圖象可分析得：要使函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，只需，即可得解.【詳解】由題，根據(jù)變換關(guān)系可得：，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，，，根據(jù)正弦函數(shù)圖象可得：，解得：.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)圖象的平移和伸縮變換，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.8、B【解析】試題分析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2.則圓的半徑為2，根據(jù)幾何概型的概率公式可以得到mn=4考點(diǎn)：幾何概型.【方法點(diǎn)睛】本題題主要考查“體積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問(wèn)題常見類型有：長(zhǎng)度型、角度型、面積型、體積型，求與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題題的總體積（總空間)以及事件的體積(事件空間)；幾何概型問(wèn)題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯(cuò)誤；（2）基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域測(cè)度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤；（3）利用幾何概型的概率公式時(shí),忽視驗(yàn)證事件是否等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤.9、B【解析】

連接，可證是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，求出此角即可．【詳解】連接，因?yàn)?，分別為棱，的中點(diǎn)，所以，又正方體中，所以是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，是等邊三角形，＝60°．所以異面直線與所成的角為60°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，解題時(shí)需根據(jù)定義作出異面直線所成的角，同時(shí)給出證明，然后在三角形中計(jì)算．10、C【解析】，，，，，即兩圓外切，故選．點(diǎn)睛：判斷圓與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用圓心距與兩半徑和與差的關(guān)系．(2)切線法：根據(jù)公切線條數(shù)確定．（3）數(shù)形結(jié)合法：直接根據(jù)圖形確定二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】故答案為.12、【解析】

利用古典概型的概率求解.【詳解】甲、乙兩人選擇交通工具總的選擇有種，他們選擇相同交通工具有3種情況，所以他們選擇相同交通工具的概率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，要用計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．13、【解析】

由，根據(jù)兩角差的正切公式可解得．【詳解】，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角差的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的考查．14、【解析】

,,故答案為.考點(diǎn)：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、切割化弦思想.15、2【解析】

（1）不執(zhí)行語(yǔ)句，說(shuō)明不滿足條件，，從而得；（2）執(zhí)行程序，有當(dāng)時(shí)，，只有，．【詳解】（1）不執(zhí)行語(yǔ)句，說(shuō)明不滿足條件，，故有.（2）當(dāng)時(shí)，，只有，．故答案為：（1）（2）；【點(diǎn)睛】本題主要考察程序語(yǔ)言，考查對(duì)簡(jiǎn)單程序語(yǔ)言的閱讀理解，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】令三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2），最大值為；，最小值為0【解析】

（1）用已知的向量表示出，再進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，可得；（2）由正弦函數(shù)的值域可得?！驹斀狻浚?）由題得，，化簡(jiǎn)整理得，因此的最小正周期為，由得，則單調(diào)增區(qū)間為.（2）若，則，當(dāng)，即時(shí)，取最大值，當(dāng)，即時(shí)，取最小值0.綜上，當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，取最小值0.【點(diǎn)睛】本題考查向量的運(yùn)算和函數(shù)的周期，單調(diào)區(qū)間以及最值，知識(shí)點(diǎn)考查全面，難度不大。18、（1）（2）或【解析】

（1）首先確定直線的斜率，從而得到直線的方程；因?yàn)辄c(diǎn)是直線與的交點(diǎn)，聯(lián)立兩條直線可求得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出；根據(jù)在直線上，在直線上，可構(gòu)造方程組，求得點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)截距相等，可分為截距為和不為兩種情況來(lái)分別求解出直線方程.【詳解】（1）由已知得：直線的方程為：，即：由，解得：的坐標(biāo)為（2）設(shè)，則則，解得：直線在軸、軸上的截距相等當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為把點(diǎn)代入，得：，解得：此時(shí)直線的方程為：當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為把點(diǎn)代入，得：，解得：此時(shí)直線的方程為直線的方程為：或【點(diǎn)睛】本題考查直線交點(diǎn)、直線方程的求解問(wèn)題，易錯(cuò)點(diǎn)是在已知截距相等的情況下，忽略截距為零的情況，造成丟根.19、（1）詳見解析；（2）1.【解析】

（1）證法一：根據(jù)為邊的中點(diǎn)，可以得到向量等式，平方，再結(jié)合余弦定理，可以證明出等式；證法二：分別在和中，利用余弦定理求出和的表達(dá)式，利用，可以證明出等式；（2）解法一：解法一：記面積為．由題意并結(jié)合（1）所證結(jié)論得：，利用已知，再結(jié)合基本不等式，最后求可求出面積的最大值；解法二：利用余弦定理把表示出來(lái)，結(jié)合重要不等式，再利用三角形面積公式可得，令設(shè)，利用輔助角公式，可以求出的最大值，即可求出面積的最大值.【詳解】（1）證法一：由題意得①由余弦定理得②將②代入①式并化簡(jiǎn)得，故；證法二：在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，∵，∴，則，故；（2）解法一：記面積為．由題意并結(jié)合（1）所證結(jié)論得：，又已知，則，即，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即面積的最大值為1．解法二：設(shè)則由，故.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理、三角形面積公式的應(yīng)用，考查了重要不等式及基本不等式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20、（1）；（2）-2【解析】

（1）由，可得，整理可求出答案；（2）用、分別表示和，進(jìn)而求出即可.【詳解】（1）因?yàn)?，則，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以為邊的三等分點(diǎn)，則，故.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，考查向量的數(shù)量積，考查學(xué)生的計(jì)算能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）證明見解析．（2）二面角的余弦值為．【解析】

（1）作于點(diǎn)，連接，根據(jù)面面垂直性質(zhì)可得底面ABCD，由三角形全等性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，即可證明.（2）根據(jù)所給角度和線段關(guān)系，可證明以均為等邊三角形，從而取中點(diǎn)，連接，即可由線段長(zhǎng)結(jié)合余弦定理求得二面角的大小.【詳解】（1）證明：作于