8.1 條件概率（七大題型）-高二數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版2019選擇性必修第二冊）（解析版）

第第頁8.1條件概率課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）利用條件概率公式解決一些簡單的實(shí)際問題．（2）能利用條件概率和獨(dú)立性等概念分析復(fù)雜問題，尋找解決復(fù)雜問題的方法，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).（1）結(jié)合古典概型，了解條件概率的定義.（2）掌握條件概率的計(jì)算方法.（3）了解事件的獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系，掌握概率的乘法公式.（4）會(huì)求互斥事件的條件概率，理解條件概率的性質(zhì)．（5）結(jié)合古典概型，理解并掌握全概率公式，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率并了解貝葉斯公式知識(shí)點(diǎn)01條件概率1、條件概率的概念條件概率揭示了三者之間“知二求一”的關(guān)系一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．2、概率的乘法公式由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．【即學(xué)即練1】（2024·高二·陜西渭南·期末）已知表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)條件概率定義，所以D正確.故選：D.知識(shí)點(diǎn)02條件概率的性質(zhì)設(shè)，則（1）（2）如果與是兩個(gè)互布事件，則；（3）設(shè)和互為對(duì)立事件，則．【即學(xué)即練2】（2024·遼寧丹東·一模）已知，，，那么．【答案】/【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故答案為：.知識(shí)點(diǎn)03全概率公式與貝葉斯公式全概率公式在全概率的實(shí)際問題中我們經(jīng)常會(huì)碰到一些較為復(fù)雜的概率計(jì)算，這時(shí)，我們可以用“化整為零”的思想將它門悶分解為一些較為容易的情況分別進(jìn)行考慮一般地，設(shè)是一組兩兩互F的事件，，且，則對(duì)任意的事件，有我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一．貝葉斯公式設(shè)是一組兩兩互壓的事件，，且，則對(duì)任意事件，有在貝葉斯公式中，和分別稱為先儉概率和后驗(yàn)概率．【即學(xué)即練3】（2024·高二·全國·課時(shí)練習(xí)）設(shè)某廠有甲，乙，丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的，，，并且各車間的次品率依次為，，.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，則此次品由三個(gè)車間生產(chǎn)的概率分別是多少？【解析】（1）記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，記事件表示抽取到次品，則,，取到次品的概率為（2）若取到的是次品，此次品由甲車間生產(chǎn)的概率為：此次品由乙車間生產(chǎn)的概率為：此次品由丙車間生產(chǎn)的概率為：題型一：條件概率的理解【典例1-1】（2024·高二·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）下面幾種概率是條件概率的是（

）A．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6、0.7，各投籃一次都投中的概率B．有10件產(chǎn)品，其中3件次品，抽2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，恰好抽到一件次品的概率C．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6，0.7，在甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率D．小明上學(xué)路上要過四個(gè)路口，每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是，小明在一次上學(xué)途中遇到紅燈的概率【答案】C【解析】由條件概率的定義：某一事件已發(fā)生的情況下，另一事件發(fā)生的概率．選項(xiàng)A：甲乙各投籃一次投中的概率，不是條件概率；選項(xiàng)B：抽2件產(chǎn)品恰好抽到一件次品，不是條件概率；選項(xiàng)C：甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率，是條件概率；選項(xiàng)D：一次上學(xué)途中遇到紅燈的概率，不是條件概率．故選：C【典例1-2】（多選題）（2024·高二·全國·課時(shí)練習(xí)）下面幾種概率不是條件概率的是（

）A．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6、0.7，各投籃一次都投中的概率B．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6、0.7，在甲投中的條件下乙投籃次命中的概率C．有10件產(chǎn)品，其中3件次品，抽2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，恰好抽到一件次品的概率D．小明上學(xué)路上要過四個(gè)路口，每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是，小明在一次上學(xué)路上遇到紅燈的概率【答案】ACD【解析】由條件概率的定義知B選項(xiàng)中的概率為條件概率，A，C，D中的不是條件概率．故選：ACD．【變式1-1】（2024·高二·江蘇·專題練習(xí)）判斷下列哪些是條件概率？(1)某校高中三個(gè)年級(jí)各派一名男生和一名女生參加市里的中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)，每人參加一個(gè)不同的項(xiàng)目，已知一名女生獲得冠軍，求高一的女生獲得冠軍的概率；(2)擲一個(gè)骰子，求擲出的點(diǎn)數(shù)為3的概率；(3)在一副撲克的52張(去掉兩張王牌后)中任取1張，已知抽到梅花的條件下，再抽到的是梅花5的概率．【解析】（1）由于高一的女生獲得冠軍的概率，是在一名女生獲得冠軍的條件求的概率，所以所求概率是條件概率.（2）擲一個(gè)骰子出現(xiàn)有1，2，3，4，5，6的6個(gè)不同結(jié)果，求擲出的點(diǎn)數(shù)為3的概率是古典概率，所以擲出的點(diǎn)數(shù)為3的概率不是條件概率.（3）由于求抽到梅花5的概率，是在抽到梅花的條件下求出的概率，所以求抽到的是梅花5的概率是條件概率.【方法技巧與總結(jié)】判斷是不是條件概率主要看一個(gè)事件的發(fā)生是否是在另一個(gè)事件發(fā)生的條件下進(jìn)行的．題型二：利用定義求條件概率【典例2-1】（2024·高二·廣東肇慶·期中）從1，2，3，4，5中不放回地抽取2個(gè)數(shù)，則在第1次抽到奇數(shù)的條件下，第2次又抽到奇數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在第1次抽到奇數(shù)的條件下，余下個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，再次抽取時(shí)，抽到奇數(shù)的概率為.故選：C【典例2-2】（2024·高二·陜西咸陽·階段練習(xí)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記兩次的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)，兩次的點(diǎn)數(shù)之和為8，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，基本事件共有種，其中事件有種，事件有共種，所以.故選：C.【變式2-1】（2024·高二·四川綿陽·期末）科技博覽會(huì)需從5個(gè)女生（分別記為，，，，）中選2人參加志愿者服務(wù)，已知這5個(gè)人被選中的機(jī)會(huì)相等，則被選中的概率為（

）A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.75【答案】B【解析】由題意若被選中，則只需從其余四個(gè)人中再選一個(gè)人即可，所以被選中的概率為.故選：B.【變式2-2】（2024·高二·河南·期中）某單位開展主題為“學(xué)習(xí)強(qiáng)國，我學(xué)習(xí)我成長”的知識(shí)競賽活動(dòng)，甲選手答對(duì)第一道題的概率為，連續(xù)答對(duì)兩道題的概率為.用事件A表示“甲選手答對(duì)第一道題”，事件B表示“甲選手答對(duì)第二道題”，則＝（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?故選：D.【變式2-3】（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱素?cái)?shù)，一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)，數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個(gè)素?cái)?shù)叫做“孿生素?cái)?shù)”.如：3和5，5和7……，在1900年的國際數(shù)學(xué)大會(huì)上，著名數(shù)學(xué)家希爾伯特提出了23個(gè)問題，其中第8個(gè)就是大名鼎鼎的孿生素?cái)?shù)猜想：即存在無窮多對(duì)孿生素?cái)?shù).我國著名數(shù)學(xué)家張益唐2013年在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表論文《素?cái)?shù)間的有界距離》，破解了困擾數(shù)學(xué)界長達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的難題，證明了孿生素?cái)?shù)猜想的弱化形式.那么，如果我們在不超過的自然數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，記事件，這兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)；事件：這兩個(gè)數(shù)不是孿生素?cái)?shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】不超過的自然數(shù)有個(gè)，其中素?cái)?shù)有共個(gè)，孿生素?cái)?shù)有和，和，和，和，共組.所以，，所以.故選：D【變式2-4】（2024·湖南邵陽·一模）在某次美術(shù)專業(yè)測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)的概率分別是和，且三人的測試結(jié)果相互獨(dú)立，則測試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級(jí)的前提條件下，乙沒有達(dá)優(yōu)秀等級(jí)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)分別為事件，三人中恰有兩人沒有達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)為事件D，，，，，，.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】利用定義計(jì)算條件概率的步驟(1)分別計(jì)算概率和．(2)將它們相除得到條件概率，這個(gè)公式適用于一般情形，其中AB表示A，B同時(shí)發(fā)生．題型三：概率的乘法公式【典例3-1】（2024·高二·湖北宜昌·階段練習(xí)）一個(gè)盒子中有6個(gè)白球、4個(gè)黑球，從中不放回地每次任取1個(gè)，連取2次．求：(1)第一、第二次都取得白球的概率；(2)已知第一次取得黑球，求第二次取得白球的概率；(3)求第二次取得白球的概率．【解析】（1）記事件為“第一次取到白球”，事件為“第二次取到白球”，事件為“第一次未取到白球”，則第一、第二次都取得白球?yàn)槭录?根據(jù)題意可得,所以,所以第一、第二次都取得白球的概率為.（2）根據(jù)題意可得，所以己知第一次取得黑球，求第二次取得白球的概率為.（3）根據(jù)題意可得，所以第二次取得白球的概率為.【典例3-2】（2024·高二·江蘇·專題練習(xí)）10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽，2人參加抽簽(不放回)，甲先，乙后，求：(1)甲抽到難簽的概率；(2)甲、乙都抽到難簽的概率；(3)甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽的概率．【解析】（1）記事件A表示甲抽到難簽，抽簽的試驗(yàn)有10個(gè)不同結(jié)果，它們等可能，事件A含有4個(gè)不同結(jié)果，所以.（2）記事件B表示乙抽到難簽，由于甲先抽、乙后抽，則，由（1）知，，所以甲、乙都抽到難簽的概率.（3）由（1）知甲沒有抽到難簽的概率，，所以甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽的概率.【變式3-1】（2024·高二·湖南·課時(shí)練習(xí)）10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽，3人參加抽簽（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求：(1)甲抽到難簽的概率；(2)甲、乙都抽到難簽的概率；(3)甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽的概率；(4)甲、乙、丙都抽到難簽的概率．【解析】（1）甲抽到難簽的概率為；（2）甲、乙都抽到難簽的概率為；（3）甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽的概率為；（4）甲、乙、丙都抽到難簽的概率為．【方法技巧與總結(jié)】概率的乘法公式公式反映了知二求一的方程思想．題型四：條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用【典例4-1】（2024·高二·河南南陽·期末）已知，，則.【答案】【解析】因?yàn)椋瑒t，所以，.故答案為：.【典例4-2】（2024·高二·安徽安慶·期末）已知，且若，，則．【答案】/【解析】由可得相互獨(dú)立，又，，又因?yàn)?，所以，所以故答案為：．【變?-1】（2024·高二·河北張家口·期末）已知離散型隨機(jī)事件A，B發(fā)生的概率，，若，事件，，分別表示A，B不發(fā)生和至少有一個(gè)發(fā)生，則，.【答案】0.8/0.6/【解析】由題意得，，，，故答案為：0.8；0.6.【變式4-2】（2024·高二·江西·期中）已知隨機(jī)事件，，若，，，則.【答案】【解析】由題意可得，，且，則，又因?yàn)?，則，且，所以.故答案為:.【變式4-3】（2024·高二·吉林長春·階段練習(xí)）已知，，，則.【答案】/【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】當(dāng)所求事件的概率相對(duì)較復(fù)雜時(shí)，往往把該事件分成兩個(gè)(或多個(gè))互不相容的較簡單的事件之和，求出這些簡單事件的概率，再利用便可求得較復(fù)雜事件的概率．題型五：全概率公式【典例5-1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）“布朗運(yùn)動(dòng)”是指微小顆粒永不停息的無規(guī)則隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，在如圖所示的試驗(yàn)容器中，容器由三個(gè)倉組成，某粒子作布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)每次會(huì)從所在倉的通道口中隨機(jī)選擇一個(gè)到達(dá)相鄰倉或者容器外，一旦粒子到達(dá)容器外就會(huì)被外部捕獲裝置所捕獲，此時(shí)試驗(yàn)結(jié)束．已知該粒子初始位置在1號(hào)倉，則試驗(yàn)結(jié)束時(shí)該粒子是從1號(hào)倉到達(dá)容器外的概率為．【答案】【解析】設(shè)從出發(fā)最終從1號(hào)口出的概率為，所以，解得.故答案為：.【典例5-2】（2024·高二·河南駐馬店·期末）為銘記歷史，緬懷先烈，增強(qiáng)愛國主義情懷，某學(xué)校開展了共青團(tuán)知識(shí)競賽活動(dòng)．在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問題，每個(gè)人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．(1)若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問題，求甲、乙、丙三名同學(xué)中至少1人回答正確的概率；(2)若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，求這個(gè)問題回答正確的概率．【解析】（1）設(shè)乙答題正確的概率為，丙答題正確的概率為，則甲、丙兩人都回答正確的概率是，解得，乙、丙兩人都回答正確的概率是，解得，所以規(guī)定三名同學(xué)都需要回答這個(gè)問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少1人回答正確的概率.（2）記事件為“甲搶答這道題”，事件為“乙搶答這道題”，事件為“丙搶答這道題”，記事件B為“這道題被答對(duì)”，則，，，且，，，由全概率公式可得.【變式5-1】（2024·高二·廣東廣州·期末）現(xiàn)有10個(gè)球，其中5個(gè)球由甲工廠生產(chǎn)，3個(gè)球由乙工廠生產(chǎn)，2個(gè)球由丙工廠生產(chǎn)．這三個(gè)工廠生產(chǎn)該類產(chǎn)品的合格率依次是，，．現(xiàn)從這10個(gè)球中任取1個(gè)球，設(shè)事件為“取得的球是合格品”，事件分別表示“取得的球是甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)的”．(1)求；(2)求．【解析】（1）依題意，.（2）依題意，，由（1）知，由全概率公式得.【變式5-2】（2024·高二·遼寧朝陽·期末）新高考模式下，“3+1+2”中“3”是數(shù)學(xué)、語文、外語三個(gè)必選的主科，“1”是物理、歷史二選一，“2”是在地理、生物、化學(xué)、政治中選兩科.已知某校高二學(xué)生中有的學(xué)生選擇物理，剩余的選擇歷史，選擇物理和歷史的學(xué)生中選擇地理的概率分別是和，則從該校高二學(xué)生中任選一人，這名學(xué)生選擇地理的概率為.【答案】【解析】設(shè)選擇地理的概率為P，由全概率公式，得，即從該校高二學(xué)生中任選一人，這名學(xué)生選擇地理的概率為.故答案為：.【變式5-3】（2024·高二·陜西咸陽·階段練習(xí)）有甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)同一型號(hào)的產(chǎn)品，甲廠生產(chǎn)的次品率為，乙廠生產(chǎn)的次品率為，丙廠生產(chǎn)的次品率為，生產(chǎn)出來的產(chǎn)品混放在一起．已知甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)分別占總數(shù)的，從中任取一件產(chǎn)品，則取得的產(chǎn)品為次品的概率為．【答案】0.17/【解析】記事件表示“任取一件產(chǎn)品為次品”；事件分別表示零件為甲、乙、丙工廠生產(chǎn)，則，，，，，，.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】全概率公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率，它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用．題型六：貝葉斯公式【典例6-1】（2024·高二·全國·隨堂練習(xí)）某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.04．現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，則此人是癌癥患者的概率有多大？【解析】設(shè)“抽查的人患有癌癥”為事件，“實(shí)驗(yàn)結(jié)果為陽性”為事件，則“抽查的人不患癌癥”為事件,已知，，，，由貝葉斯公式.所以此人是癌癥患者的概率約為.【典例6-2】（2024·高二·湖南·課時(shí)練習(xí)）某一地區(qū)患有某疾病的人占0.005，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.04．現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，問此人是患者的概率有多大？（保留小數(shù)點(diǎn)后四位）【解析】設(shè)“抽查的人是患者”為事件，“試驗(yàn)反應(yīng)是陽性”為事件，則“抽查的人不是患者”為事件，由題意可知，，，，則由貝葉斯公式可得，即抽查一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，此人是患者的概率為.【變式6-1】（2024·高三·江蘇揚(yáng)州·期末）有一個(gè)郵件過濾系統(tǒng)，它可以根據(jù)郵件的內(nèi)容和發(fā)件人等信息，判斷郵件是不是垃圾郵件，并將其標(biāo)記為垃圾郵件或正常郵件.對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的測試具有以下結(jié)果：每封郵件被標(biāo)記為垃圾郵件的概率為，被標(biāo)記為垃圾郵件的有的概率是正常郵件，被標(biāo)記為正常郵件的有的概率是垃圾郵件，則垃圾郵件被該系統(tǒng)成功過濾（即垃圾郵件被標(biāo)記為垃圾郵件）的概率為.【答案】【解析】記“正常郵件”，“標(biāo)記為正常郵件”，則，，，所以，，故，所以.故答案為：【變式6-2】（2024·高二·全國·課時(shí)練習(xí)）某生產(chǎn)線的管理人員通過對(duì)以往數(shù)據(jù)的分析發(fā)現(xiàn)，每天生產(chǎn)線啟動(dòng)時(shí)，初始狀態(tài)良好的概率為80%，當(dāng)生產(chǎn)線初始狀態(tài)良好時(shí)，第一件產(chǎn)品合格的概率為95%；否則，第一件產(chǎn)品合格的概率為60%，某天生產(chǎn)線啟動(dòng)時(shí)，生產(chǎn)出的第一件產(chǎn)品是合格品，則當(dāng)天生產(chǎn)線初始狀態(tài)良好的概率為（精確到0.1%）.【答案】86.4%【解析】用A表示生產(chǎn)線初始狀態(tài)良好，B表示產(chǎn)品為合格品，則由已知得，，，∴≈，故答案為：86.4%【變式6-3】（2024·高二·福建龍巖·期末）英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件A，B有如下關(guān)系：．某地有A，B兩個(gè)游泳館，甲同學(xué)決定周末兩天都去游泳館游泳，周六選擇A，B游泳館的概率均為0.5．如果甲同學(xué)周六去A館，那么周日還去A館的概率為0.4；如果周六去B館，那么周日去A館的概率為0.8．如果甲同學(xué)周日去A館游泳，則他周六去A館游泳的概率為．【答案】【解析】設(shè)事件為“甲同學(xué)周日去A館”，事件為“甲同學(xué)周六去A館”，即求，根據(jù)題意得，，，則.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】此類問題在實(shí)際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小．題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用【典例7-1】（2024·高二·廣東肇慶·期中）三部機(jī)器生產(chǎn)同樣的零件，其中機(jī)器甲生產(chǎn)的占，機(jī)器乙生產(chǎn)的占，機(jī)器丙生產(chǎn)的占.已知機(jī)器甲、乙、丙生產(chǎn)的零件分別有、和不合格.三部機(jī)器生產(chǎn)的零件混合堆放在一起，現(xiàn)從中隨機(jī)地抽取一個(gè)零件.(1)求取到的是不合格品的概率；(2)經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為不合格品，它是由哪一部機(jī)器生產(chǎn)出來的可能性大？請說明理由.【解析】（1）取到的是不合格品的概率為：.（2）取到的產(chǎn)品為不合格品，它是機(jī)器甲生產(chǎn)的概率為，它是機(jī)器乙生產(chǎn)的概率為，它是機(jī)器甲生產(chǎn)的概率為，所以它是機(jī)器乙生產(chǎn)的概率最大.【典例7-2】（2024·高二·福建泉州·期末）在三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別有的人患了流感，假設(shè)這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)的比為3：5：2，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一個(gè)人(1)求這個(gè)人患流感的概率；(2)如果此人患流感，求此人選自A地區(qū)的概率.【解析】（1）此人來自三個(gè)地區(qū)分別為事件，事件為這個(gè)人患流感，所以，因此；（2）.【變式7-1】（2024·高二·山東濰坊·期中）第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT發(fā)布為里程碑，開辟了人機(jī)自然交流的新紀(jì)元.ChatGPT所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)，開辟了人機(jī)自然交流的新紀(jì)元.ChatGPT所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)并非都是遙不可及的高深理論，條件概率就被廣泛應(yīng)用于ChatGPT中.某數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升小組設(shè)計(jì)了如下問題進(jìn)行探究：現(xiàn)有完全相同的甲，乙兩個(gè)箱子（如圖），其中甲箱裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，乙箱裝有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個(gè)箱子中任取一個(gè)箱子，再從中隨機(jī)摸出一球.(1)求摸出的球是黑球的概率；(2)若已知摸出的球是黑球，請用概率公式判斷該球取自哪個(gè)箱子的可能性更大.【解析】（1）記事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，則，由全概率公式得：.（2）該球取自乙箱的可能性更大，理由如下：該球是取自甲箱的概率該球取自乙箱的概率因?yàn)樗栽撉蛉∽砸蚁涞目赡苄愿?【變式7-2】（2024·高三·湖南長沙·階段練習(xí)）(1)對(duì)于任意兩個(gè)事件，若，，證明：；(2)貝葉斯公式是由英國數(shù)學(xué)家貝葉斯發(fā)現(xiàn)的，它用來描述兩個(gè)條件概率之間的關(guān)系.該公式為：設(shè)，，…，是一組兩兩互斥的事件，，且，，2，…，，則對(duì)任意的事件，，有，，2，…，.（i）已知某地區(qū)煙民的肺癌發(fā)病率為1%，先用低劑量進(jìn)行肺癌篩查，醫(yī)學(xué)研究表明，化驗(yàn)結(jié)果是存在錯(cuò)誤的.已知患有肺癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99%呈陽性（有?。鴽]有患肺癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99%呈陰性（無?。F(xiàn)某煙民的檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，請問他真的患肺癌的概率是多少？（ii）為了確保診斷無誤，一般對(duì)第一次檢查呈陽性的煙民進(jìn)行復(fù)診.復(fù)診時(shí)，此人患肺癌的概率就不再是1%，這是因?yàn)榈谝淮螜z查呈陽性，所以對(duì)其患肺癌的概率進(jìn)行修正，因此將用貝葉斯公式求出來的概率作為修正概率，請問如果該煙民第二次檢查還是呈陽性，則他真的患肺癌的概率是多少？【解析】(1)因?yàn)?，，所?2)（i）記檢查結(jié)果呈陽性為事件A，被檢查者患有肺癌為事件B，由題意可得：，，由貝葉斯公式得，因此某煙民的檢查結(jié)果為陽性，他真的患有肺癌的概率是.（ii）同（i），.【方法技巧與總結(jié)】是在沒有進(jìn)一步信息(不知道事件B是否發(fā)生)的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)，當(dāng)有了新的信息(知道B發(fā)生)，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計(jì)，貝葉斯公式從數(shù)量上刻畫了這種變化．一、單選題1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）某飲料廠生產(chǎn)兩種型號(hào)的飲料，已知這兩種飲料的生產(chǎn)比例分別為，且這兩種飲料中的碳酸飲料的比例分別為，若從該廠生產(chǎn)的飲料中任選一瓶，則選到非碳酸飲料的概率約為（

）A．0.12 B．0.20 C．0.44 D．0.32【答案】C【解析】由題意，選到非碳酸飲料的概率為.故選：C.2．（2024·高二·全國·開學(xué)考試）某校有7名同學(xué)獲省數(shù)學(xué)競賽一等獎(jiǎng)，其中男生4名，女生3名．現(xiàn)隨機(jī)選取2名學(xué)生作“我愛數(shù)學(xué)”主題演講．假設(shè)事件為“選取的兩名學(xué)生性別相同”，事件為“選取的兩名學(xué)生為男生”，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)，事件和包含的樣本點(diǎn)數(shù)，所以.故選：D3．（2024·高二·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）甲乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，在前三局比賽中，甲勝2局，乙勝1局，規(guī)定先勝3局者取得最終勝利，已知甲在每局比賽中獲勝的概率為，乙在每局比賽中獲勝的概率為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲取得最終勝利的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】甲取得最后的勝利包含兩種情況:一是第4局甲勝，此時(shí)甲勝的概率為；二是第4局甲負(fù)，第5局甲勝，此時(shí)甲勝的概率為，所以甲取得最終勝利的概率為.故選；D.4．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）甲、乙兩名大學(xué)生利用假期時(shí)間參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，可以從，，，四個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選擇一個(gè)社區(qū)，設(shè)事件為“甲和乙至少一人選擇了社區(qū)”，事件為“甲和乙選擇的社區(qū)不相同”，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】甲、乙兩名大學(xué)生從四個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選擇一個(gè)社區(qū)的情況共有（種），事件發(fā)生的情況共有（種），事件和事件同時(shí)發(fā)生的情況共有6種，所以.故選：B.5．（2024·高二·湖南邵陽·期中）一玩具制造廠的某一配件由A，B，C三家配件制造廠提供，根據(jù)三家配件制造廠以往的制造記錄分析得到數(shù)據(jù)：制造廠A，B，C的次品率分別為0.02，0.01，0.03，提供配件的份額分別為，，，設(shè)三家制造廠的配件在玩具制造廠倉庫均勻混合且不區(qū)別標(biāo)記，從中隨機(jī)抽取一件配件，若抽到的是次品，則該次品來自制造廠C概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)事件D：抽到的是次品，事件：抽到的配件來自于A制造廠，事件：抽到的配件來自于B制造廠，事件：抽到的配件來自于C制造廠，則，,故，則抽到的是次品，則該次品來自制造廠C概率為,故選：A6．（2024·河南信陽·二模）隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴(yán)重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明的上班出行方式有三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，，，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，，，結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，事件C表示“騎共享單車”，事件D“表示遲到”，由題意可知：，則，，若小明遲到了，則他自駕去上班的概率是.故選：B.7．（2024·高二·江西萍鄉(xiāng)·期末）某一地區(qū)患有癌癥的人占0.05，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.9，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.05.現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，則此人是癌癥患者的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】記事件某人是癌癥患者，事件化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，由題意可知，，，所以，現(xiàn)在某人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，則此人是癌癥患者的概率為：.故選：D8．（2024·高二·湖南長沙·開學(xué)考試）甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球（球除顏色外，大小質(zhì)地均相同）.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以表示由乙罐中取出的球是紅球的事件.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①事件與相互獨(dú)立

②③

④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】顯然，，，是兩兩互斥的事件，且，，而，①錯(cuò)誤；，，所以，②正確；，③正確；，④錯(cuò)誤，綜上：結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為2.故選：C.二、多選題9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，分別為隨機(jī)事件A，B的對(duì)立事件，，，則（

）A． B．C．若A，B獨(dú)立，則 D．若A，B互斥，則【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以A正確，B錯(cuò)誤；由獨(dú)立事件定義，若A，B獨(dú)立，則，所以C正確；若A，B互斥，則，，，所以D正確．故選：ACD．10．（2024·高三·全國·期末）已知隨機(jī)事件滿足，，，則下列說法正確的是（

）A．不可能事件與事件互斥B．必然事件與事件相互獨(dú)立C．D．若，則【答案】ABC【解析】因?yàn)椴豢赡苁录c事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以互斥，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?所以，所以必然事件與事件相互獨(dú)立，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，且互斥，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，假如做拋擲一枚骰子1次的試驗(yàn)，設(shè)事件為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于等于4，事件為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于等于2，則，但故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:ABC.11．（2024·高三·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）國慶節(jié)期間，某商場搞促銷活動(dòng)，商場準(zhǔn)備了兩個(gè)裝有卡片的盒子，甲盒子中有4張紅色卡片、2張綠色卡片，乙盒子中有5張紅色卡片、3張綠色卡片(這14張卡片球除顏色外，大小、形狀完全相同).顧客購物滿500元即可參加抽獎(jiǎng)，其規(guī)則如下：顧客先從甲盒子中隨機(jī)取出1張卡片放入乙盒子，再從乙盒子中隨機(jī)取出1張卡片，記“在甲盒子中取出的卡片是紅色卡片”為事件，“在甲盒子中取出的卡片是綠色卡片”為事件，“從乙盒子中取出的卡片是紅色卡片”為事件M，若事件M發(fā)生，則該顧客中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng).則有（

）A．與是互斥事件 B．C． D．與相互獨(dú)立【答案】AC【解析】從甲箱中摸一張卡片，紅色卡片與綠色卡片不可能同時(shí)出現(xiàn)，所以與是互斥事件，故A正確；由題意知，，所以，故B錯(cuò)誤；，所以，故C正確；因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：AC．三、填空題12．（2024·高二·全國·專題練習(xí)）設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，若，，，則.【答案】【解析】由，有，又由，有，可得．故答案為：13．（2024·高三·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）設(shè)有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由三家工廠生產(chǎn)，其中甲廠生產(chǎn)了1000件，乙、丙兩廠各生產(chǎn)500件，而且各廠的次品率依次為，現(xiàn)從中任取一件，則取到次品的概率為．【答案】0.025【解析】甲乙丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品所占的比例分別為，所以任取一件，則取到次品的概率為，故答案為：0.02514．（2024·山西晉城·一模）某羽毛球超市銷售4種品牌（品牌，，，）的羽毛球，該超市品牌，，，的羽毛球的個(gè)數(shù)的比例為，品牌，，，的羽毛球的優(yōu)品率分別為0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不買這4個(gè)品牌中的1個(gè)品牌的羽毛球，他從其他3個(gè)品牌的羽毛球中隨機(jī)選取1個(gè)購買，已知他買到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率大于0.8，則可推測他不買的羽毛球的品牌為（填入，，，中的1個(gè)）．【答案】D【解析】因?yàn)樗I到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率大于0.8，且0.8，0.9，0.7，0.6中只有，所以他不買的羽毛球品牌一定不是品牌．若他不買品牌的羽毛球，則他買到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率為．若他不買品牌的羽毛球，則他買到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率為．若他不買品牌的羽毛球，則他買到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率為．故答案為：D四、解答題15．（2024·高二·上海黃浦·期末）擲質(zhì)地均勻的一黑、一白兩顆骰子，觀察朝上的點(diǎn)數(shù)，A表示事件“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)和為7”，B表示事件“白色骰子的點(diǎn)數(shù)是1”，C表示事件“兩顆骰子中至少有一顆的點(diǎn)數(shù)是1”，分別驗(yàn)證事件A與事件B、事件A與事件C是否獨(dú)立，請說明理由．【解析】擲黑、白兩顆骰子，可得基本事件的總數(shù)為．設(shè)為事件“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)和為7”，為事件“白色骰子的點(diǎn)數(shù)是1”，則表示“白色骰子的點(diǎn)數(shù)是1且兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)和為7”，事件A包含的基本事件有（16）,（25）,（34）,（43）,（52）,（61）共有6個(gè)，事件B包含的基本事件有（61）,（51）,（41）,（31）,（21）,（11）共有6個(gè)，事件AB包含的基本事件有（61）共有1個(gè)，則，，，故，即事件A與事件B是獨(dú)立的．（2）設(shè)為事件“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)和為7”，C為事件“兩顆骰子中至少有一顆的點(diǎn)數(shù)是1”，則AC表示“兩顆骰子中至少有一顆的點(diǎn)數(shù)是1且兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)和為7”，事件C包含的基本事件有（61）,（51）,（41）,（31）,（21）,（11）,（16）,（15）,（14）,（13）,（12）共有11個(gè)，事件AC包含的基本事件有（16），（61）共有2個(gè)，則，，，而，故事