廣東省重點(diǎn)名校2024年數(shù)學(xué)高一下期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

廣東省重點(diǎn)名校2024年數(shù)學(xué)高一下期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．一個(gè)學(xué)校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)之比為2：3：5，若用分層抽樣的方法抽取容量為200的樣本，則應(yīng)從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)為：A．100 B．80 C．60 D．402．在中，若，且，則的形狀為()A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．正三角形或直角三角形 D．正三角形3．在△ABC中，AC，BC＝1，∠B＝45°，則∠A＝（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°4．書(shū)架上有2本數(shù)學(xué)書(shū)和2本語(yǔ)文書(shū)，從這4本書(shū)中任取2本，那么互斥但不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．“至少有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“都是語(yǔ)文書(shū)”B．“至少有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“至多有1本語(yǔ)文書(shū)”C．“恰有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“恰有2本數(shù)學(xué)書(shū)”D．“至多有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“都是語(yǔ)文書(shū)”5．若，是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則6．已知集合，，，則（）A． B． C． D．7．以下說(shuō)法正確的是（）A．零向量與單位向量的模相等B．模相等的向量是相等向量C．已知均為單位向量，若，則與的夾角為D．向量與向量是共線向量，則四點(diǎn)在一條直線上8．在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，，，，則的面積為（）A． B． C． D．99．已知點(diǎn)P為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作圓O的切線與圓相交于兩點(diǎn)A,B，則的最大值為（）A． B．5 C． D．10．《張丘建算經(jīng)》中女子織布問(wèn)題為：某女子善于織布，一天比一天織得快，且從第2天開(kāi)始，每天比前一天多織相同量的布，已知第一天織5尺布，一月（按30天計(jì)）共織390尺布，則從第2天起每天比前一天多織（）尺布.A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知為的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，向量，．若，且，則B=12．把數(shù)列的所有數(shù)按照從大到小的原則寫(xiě)成如下數(shù)表：第行有個(gè)數(shù)，第行的第個(gè)數(shù)（從左數(shù)起）記為，則________.13．已知一組數(shù)據(jù)、、、、、，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_(kāi)_________.14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則______．15．若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____.16．已知正三角形的邊長(zhǎng)是2，點(diǎn)為邊上的高所在直線上的任意一點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，且.則的取值范圍是____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．對(duì)于定義域相同的函數(shù)和，若存在實(shí)數(shù)，使，則稱函數(shù)是由“基函數(shù)，”生成的.（1）若函數(shù)是“基函數(shù)，”生成的，求實(shí)數(shù)的值；（2）試?yán)谩盎瘮?shù)，”生成一個(gè)函數(shù)，且同時(shí)滿足：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上的最小值為.求函數(shù)的解析式.18．如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)面是矩形，分別是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，，求三棱錐的體積.19．已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，的定義域?yàn)锽．（1）若，求的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的值及實(shí)數(shù)的取值范圍．20．設(shè)數(shù)列滿足（，），且，.（1）求和的值；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．已知A、B兩地的距離是100km，按交通法規(guī)定，A、B兩地之間的公路車速x應(yīng)限制在60~120km/h，假設(shè)汽油的價(jià)格是7元/L，汽車的耗油率為，司機(jī)每小時(shí)的工資是70元（設(shè)汽車為勻速行駛），那么最經(jīng)濟(jì)的車速是多少？如果不考慮其他費(fèi)用，這次行車的總費(fèi)用是多少？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)分層抽樣的方法，得到高三學(xué)生抽取的人數(shù)為，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，學(xué)校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)之比為2：3：5，采用分層抽樣的方法抽取容量為200的樣本，所以高三學(xué)生抽取的人數(shù)為人，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的應(yīng)用，其中解答中熟記分層抽樣的方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解析】

由兩角和的正切公式求得，從而得，由二倍角公式求得，再求得，注意檢驗(yàn)符合題意，可判斷三角形形狀．【詳解】，∴，∴，由，即.∴或.當(dāng)時(shí)，，無(wú)意義.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為正三角形.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查兩角和的正切公式和二倍角公式，根據(jù)三角公式求出角是解題的基本方法．3、A【解析】

直接利用正弦定理求出sinA的大小，根據(jù)大邊對(duì)大角可求A為銳角，即可得解A的值．【詳解】因?yàn)椋骸鰽BC中，BC＝1，AC，∠B＝45°，所以：，sinA．因?yàn)椋築C＜AC，可得：A為銳角，所以：A＝30°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解析】

兩個(gè)事件互斥但不對(duì)立指的是這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，也可以都不發(fā)生，逐一判斷即可【詳解】對(duì)于A：“至少有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“都是語(yǔ)文書(shū)”是對(duì)立事件，故不滿足題意對(duì)于B：“至少有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“至多有1本語(yǔ)文書(shū)”可以同時(shí)發(fā)生，故不滿足題意對(duì)于C：“恰有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“恰有2本數(shù)學(xué)書(shū)”互斥但不對(duì)立，滿足題意對(duì)于D：“至多有1本數(shù)學(xué)書(shū)”和“都是語(yǔ)文書(shū)”可以同時(shí)發(fā)生，故不滿足題意故選：C【點(diǎn)睛】本題考查互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件的判斷，考查互斥事件、對(duì)立事件的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題．5、C【解析】

A中平面，可能垂直也可能平行或斜交，B中平面，可能平行也可能相交，C中成立，D中平面，可能平行也可能相交.【詳解】A中若，，，平面，可能垂直也可能平行或斜交；B中若，，，平面，可能平行也可能相交；同理C中若，，則，分別是平面，的法線，必有；D中若，，，平面，可能平行也可能相交.故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題.6、C【解析】由題意得，因?yàn)椋裕裕剩蔬xC.7、C【解析】

根據(jù)零向量、單位向量、相等向量，向量的模、向量共線、向量數(shù)量積的運(yùn)算的知識(shí)分析選項(xiàng)，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，零向量的模是，單位向量的模是，兩者不相等，故A選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，兩個(gè)向量大小和方向都相等才是相等向量，故B選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，由，故C選項(xiàng)說(shuō)法正確.對(duì)于D選項(xiàng)，向量與向量是共線向量，但是這兩個(gè)向量沒(méi)有公共點(diǎn)，所以無(wú)法判斷是否在一條直線上.故D選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的有關(guān)概念，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

，利用正弦定理，和差公式化簡(jiǎn)可得，再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出.【詳解】化為：的面積故選：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理與兩角和余弦公式化簡(jiǎn)求值，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

作交于，連接設(shè)，得，，進(jìn)而，換元，得，通過(guò)求得的范圍即可求解【詳解】作交于，連接設(shè)，則，∴取，∴.顯然易知令，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立；此時(shí)∴故選A【點(diǎn)睛】本題考查圓的幾何性質(zhì)，切線的應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式，考查函數(shù)最值得求解，考查換元思想，是難題10、B【解析】由題可知每天織的布的多少構(gòu)成等差數(shù)列,其中第一天為首項(xiàng),一月按30天計(jì)可得,從第2天起每天比前一天多織的即為公差.又,解得.故本題選B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)得，再利用正弦定理得，化簡(jiǎn)得出角的大小。再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得B.【詳解】根據(jù)題意,由正弦定理可得則所以答案為。【點(diǎn)睛】本題主要考查向量與三角形正余弦定理的綜合應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題。12、【解析】

第行有個(gè)數(shù)知每行數(shù)的個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，要求，先要求出，就必須求出前行一共出現(xiàn)了多少個(gè)數(shù)，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可求，而由可知，每一行數(shù)的分母成等差數(shù)列，可求出，令，即可求出.【詳解】由第行有個(gè)數(shù)，可知每一行數(shù)的個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，首項(xiàng)是，公比是，所以，前行共有個(gè)數(shù)，所以，第行第一個(gè)數(shù)為，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意數(shù)陣的應(yīng)用，同時(shí)要找出數(shù)陣的規(guī)律，考查推理能力，屬于中等題.13、【解析】

利用平均數(shù)公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，數(shù)據(jù)、、、、、的平均數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的計(jì)算，考查平均數(shù)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、5【解析】

利用求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)上式也滿足，故的通項(xiàng)公式為，故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知求，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

用換元法把不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式．然后用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值．【詳解】設(shè)，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，不等式化為，即，不等式在上恒成立，時(shí)，顯然成立，，對(duì)上恒成立，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在是減函數(shù)，時(shí)，，∴，即．綜上，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問(wèn)題，解題方法是轉(zhuǎn)化與化歸，首先用換元法化指數(shù)型不等式為一元二次不等式，再用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值．16、【解析】

以AB所在的直線為x軸，以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出A.C,P,Q的坐標(biāo)，運(yùn)用平面向量的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，求出的表達(dá)式，利用判別式法求出的取值范圍.【詳解】以AB所在的直線為x軸，以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：，設(shè)，，設(shè)，可得，由，可得即，，令，可得，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，，即，，即，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算，考查了平面向量模的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，利用判別式法求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1).(2)【解析】

（1）根據(jù)基函數(shù)的定義列方程，比較系數(shù)后求得的值.（2）設(shè)出的表達(dá)式，利用為偶函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)的定義列方程，化簡(jiǎn)求得，由此化簡(jiǎn)的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，利用定義法證得在上的單調(diào)性，由此求得的最小值，也即的最小值，從而求得的最小值，結(jié)合題目所給條件，求出的值，即求得的解析式.【詳解】解：（1）由已知得，即，得，所以.（2）設(shè)，則.由，得，整理得，即，即對(duì)任意恒成立，所以.所以.設(shè)，，令，則，任取，且則，因?yàn)?，且所以，，，故即，所以在單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時(shí)取到“”.所以，又在區(qū)間的最小值為，所以，且，此時(shí)，所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義函數(shù)的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的運(yùn)用，考查利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查函數(shù)與方程的思想，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.18、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）取中點(diǎn)為，連接，由中位線定理證得，即證得平行四邊形，于是有，這樣就證得線面平行；（2）由等體積法變換后可計(jì)算．【詳解】證明：（1）取中點(diǎn)為，連接，是平行四邊形，平面，平面，∴平面解：（2）是線段中點(diǎn)，則【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定，考查棱錐的體積．線面平行的證明關(guān)鍵是找到線線平行，而棱錐的體積常常用等積變換，轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)與底．19、(1);(2).【解析】

（1）因?yàn)楹愠闪?，時(shí)，不恒成立；時(shí)，由解得，綜上，．（2）因?yàn)?，所以，所以所以，即的解集為，所以有，即；因?yàn)榍?，所以，設(shè)方程的兩根分別為，則，令，則應(yīng)有，所以的取值范圍是．20、（1），；（2）【解析】

（1）由已知求得，可得，取即可求得；