2025屆廣東省深圳高級中學高一數學第二學期期末檢測試題含解析

2025屆廣東省深圳高級中學高一數學第二學期期末檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知點是直線上一動點，與是圓的兩條切線，為切點，則四邊形的最小面積為()A． B． C． D．2．已知圓心在軸上的圓經過，兩點，則的方程為（）A． B．C． D．3．若，，則的最小值為（）A．2 B． C． D．4．設△ABC的內角A、B、C所對邊分別為a、b、c，若a＝3，b＝，A＝，則B＝（）A． B．或 C． D．或5．函數的部分圖像如圖所示，如果，且，則等于（）A． B． C． D．16．“”是“直線(m+1)x+3my+2=0與直線(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的（）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件7．在△ABC中，，則A等于（）A．30° B．60° C．120° D．150°8．已知a=log0.92019，b=A．a<c<b B．a<b<c C．b<a<c D．b<c<a9．已知圓與直線及都相切，圓心在直線上，則圓的方程為（）A． B．C． D．10．sin300°的值為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，在等腰直角三角形ABC中，，，以AB為直徑在外作半圓O，P是半圓弧AB上的動點，點Q在斜邊BC上，若，則的取值范圍是________.12．利用直線與圓的有關知識求函數的最小值為_______.13．某課題組進行城市空氣質量調查，按地域把24個城市分成甲、乙、丙三組，對應的城市數分別為4，12，8，若用分層抽樣抽取6個城市，則丙組中應抽取的城市數為_______．14．已知向量，，則______.15．在中,內角的對邊分別為,若的周長為,面積為，，則__________．16．不等式的解集為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知的三個內角、、的對邊分別是、、，的面積，（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若中，邊上的高，求的值.18．五一放假期間高速公路免費是讓實惠給老百姓，但也容易造成交通堵塞.在某高速公路上的某時間段內車流量(單位:千輛/小時)與汽車的平均速度(單位:千米/小時)之間滿足的函數關系（為常數），當汽車的平均速度為千米/小時時，車流量為千輛/小時.（1）在該時間段內，當汽車的平均速度為多少時車流量達到最大值？（2）為保證在該時間段內車流量至少為千輛/小時，則汽車的平均速度應控制在什么范圍內？19．已知等比數列的公比，且，.(1)求數列的通項公式；(2)設，是數列的前項和，對任意正整數不等式恒成立，求的取值范圍.20．2019年某開發(fā)區(qū)一家汽車生產企業(yè)計劃引進一批新能源汽車制造設備，通過市場分析，全年需投入固定成本3000萬元，每生產x（百輛），需另投入成本萬元，且，由市場調研知，每輛車售價6萬元，且全年內生產的車輛當年能全部銷售完.（1）求出2019年的利潤（萬元）關于年產量x（百輛）的函數關系式；（利潤=銷售額成本）（2）2019年產量為多少（百輛）時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.21．在中，內角的對邊分別為，且.（1）求角；（2）若，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

利用當與直線垂直時，取最小值，并利用點到直線的距離公式計算出的最小值，然后利用勾股定理計算出、的最小值，最后利用三角形的面積公式可求出四邊形面積的最小值．【詳解】如下圖所示：由切線的性質可知，，，且，，當取最小值時，、也取得最小值，顯然當與直線垂直時，取最小值，且該最小值為點到直線的距離，即，此時，，四邊形面積的最小值為，故選A.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，考查切線長的計算以及四邊形的面積，本題在求解切線長的最小值時，要抓住以下兩點：（1）計算切線長應利用勾股定理，即以點到圓心的距離為斜邊，切線長與半徑為兩直角邊；（2）切線長取最小值時，點到圓心的距離也取到最小值．2、A【解析】

由圓心在軸上設出圓心坐標,設出圓的方程,將,兩點坐標代入,即可求得圓心坐標和半徑,進而得圓的方程.【詳解】因為圓心在軸上,設圓心坐標為,半徑為設圓的方程為因為圓經過,兩點代入可得解方程求得所以圓C的方程為故選:A【點睛】本題考查了圓的方程求法,關鍵是求出圓心和半徑,屬于基礎題.3、D【解析】

根據所給等量關系,用表示出可得.代入中,構造基本不等式即可求得的最小值.【詳解】因為,所以變形可得所以由基本不等式可得當且僅當時取等號,解得所以的最小值為故選:D【點睛】本題考查了基本不等式求最值的應用,注意構造合適的基本不等式形式,屬于中檔題.4、A【解析】

由已知利用正弦定理可求的值，利用大邊對大角可求為銳角，利用特殊角的三角函數值，即可得解．【詳解】由題意知，由正弦定理，可得＝＝，又因為，可得B為銳角，所以．故選A．【點睛】本題主要考查了正弦定理，大邊對大角，特殊角的三角函數值在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．5、D【解析】

試題分析：觀察圖象可知，其在的對稱軸為，由已知，選.考點：正弦型函數的圖象和性質6、B【解析】試題分析：當時，直線為和直線，斜率之積等于，所以垂直；當兩直線垂直時，，解得：或，根據充分條件必要條件概念知，“”是“直線(m+1)x+3my+2=0與直線(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的充分不必要條件，故選B．考點：1、充分條件、必要條件；2、兩條直線垂直的關系．7、C【解析】

試題分析：考點：余弦定理解三角形8、A【解析】

根據指數函數的單調性以及對數函數的單調性分別判斷出a,b,c的取值范圍，從而可得結果.【詳解】由對數函數的性質可得a=log由指數函數的性質可得b=20190.9>所以a<c<b，故選A．【點睛】本題主要考查對數函數的性質、指數函數的單調性及比較大小問題，屬于中檔題.解答比較大小問題，常見思路有兩個：一是判斷出各個數值所在區(qū)間（一般是看三個區(qū)間-∞,0,9、B【解析】

由平行線間的距離公式求出圓的直徑，然后設出圓心，由點到兩條切線的距離都等于半徑，求出,即可求得圓的方程.【詳解】因為兩條直線與平行,所以它們之間的距離即為圓的直徑,所以,所以.設圓心坐標為,則點到兩條切線的距離都等于半徑,所以,,解得,故圓心為,所以圓的標準方程為.故選：.【點睛】本題主要考查求解圓的方程,同時又進一步考查了直線與圓的位置關系,圓的切線性質等.本題也注重考查審題能力,分析問題和解決問題的能力.難度較易.10、B【解析】

利用誘導公式化簡，再求出值為.【詳解】因為，故選B.【點睛】本題考查誘導公式的應用，即終邊相同角的三角函數值相等及.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

建立直角坐標系，得出的坐標，利用數量積的坐標表示得出，結合正弦函數的單調性得出的取值范圍.【詳解】取中點為，建立如下圖所示的直角坐標系則，設，，則，則設點，則，則當，即時，取最大值當，即時，取最小值則的取值范圍是故答案為：【點睛】本題主要考查了利用數量積求參數以及求正弦型函數的最值，屬于較難題.12、【解析】

令得，轉化為z==，再利用圓心到直線距離求最值即可【詳解】令，則故轉化為z==，表示上半個圓上的點到直線的距離的最小值的5倍，即故答案為3【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式，考查數形結合思想，是中檔題13、2【解析】

根據抽取6個城市作為樣本，得到每個個體被抽到的概率,用概率乘以丙組的數目，即可得到結果.【詳解】城市有甲、乙、丙三組，對應的城市數分別為4,12,8.

本市共有城市數24,用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為6的樣本，

每個個體被抽到的概率是，丙組中對應的城市數8，則丙組中應抽取的城市數為,故答案為2.【點睛】本題主要考查分層抽樣的應用以及古典概型概率公式的應用，屬于基礎題.分層抽樣適合總體中個體差異明顯，層次清晰的抽樣，其主要性質是，每個層次，抽取的比例相同.14、【解析】

求出，然后由模的平方轉化為向量的平方，利用數量積的運算計算．【詳解】由題意得，.，.，，.故答案為：．【點睛】本題考查求向量的模，掌握數量積的定義與運算律是解題基礎．本題關鍵是用數量積的定義把模的運算轉化為數量積的運算．15、3【解析】

分析：由題可知，中已知，面積公式選用，得，又利用余弦定理，即可求出的值.詳解：，，由余弦定理，得又，，解得.故答案為3.點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據正、余弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的．其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉化的方向；第二步：定工具，即根據條件和所求合理選擇轉化的工具，實施邊角之間的互化；第三步：求結果.16、【解析】

根據一元二次不等式的解法直接求解可得結果.【詳解】由得：即不等式的解集為故答案為：【點睛】本題考查一元二次不等式的求解問題，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由面積公式推出，代入所給等式可得，求出角C的余弦值從而求得角C；（Ⅱ）首先由求出邊c，再由面積公式代入相應值求出邊b，利用余弦定理即可求出邊a.【詳解】（Ⅰ）由得①于是，即∴又，所以（Ⅱ），由得，將代入中得，解得.【點睛】本題考查余弦定理解三角形，三角形面積公式，屬于基礎題.18、（1）當汽車的平均速度時車流量達到最大值。（2）【解析】

（1）首先根據題意求出，再利用基本不等式即可求出答案.（2）根據題意列出不等式，解不等式即可.【詳解】（1）有題知：，解得.所以，因為，當且僅當時，取“”.所以當汽車的平均速度時車流量達到最大值.（2）有題知：，整理得：，解得：.所以當時，在該時間段內車流量至少為千輛/小時.【點睛】本題第一問考查利用基本不等式求最值，第二問考查了二次不等式的解法，屬于中檔題.19、(1)；(2)【解析】

（1）由，，根據等比數列的通項公式可解得，，進而可得答案；（2）根據錯位相減法求出，代入不等式得對任意正整數恒成立，設，對分奇偶討論，可得答案.【詳解】（1）因為，所以.又因為，所以，，所以數列的通項公式為.（2）因為，所以，，兩式相減得，，所以.所以對任意正整數恒成立.設，易知單調遞增.當為奇數時，的最小值為，所以，解得；當為偶數時，的最小值為，所以.綜上，，即的取值范圍是.【點睛】本題考查了求等比數列的通項公式，考查了錯位相減法求和，考查了數列的單調性，考查了不等式恒成立，屬于中檔題.20、（1）；（2）2019年年產量為100百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為5800萬元.【解析】

（1）先閱讀題意，再分當時，當時，求函數解析式即可；（2）當時，利用配方法求二次函數的最大值，當時，利用均值不等式求函數的最大值，一定要注意取等的條件，再綜合求分段函數的最大值即可.【詳解】解：（1）由已知有當時，當時，，即，（2）當時，，當時