2025屆四川省宜賓市高一下數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題含解析

2025屆四川省宜賓市高一下數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，，則（）A． B． C． D．2．如圖是某個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，，是兩條側(cè)面對(duì)角線，則在該正方體中，與（）A．互相平行 B．異面且互相垂直 C．異面且?jiàn)A角為 D．相交且?jiàn)A角為3．設(shè)a＞0，b＞0，若是和的等比中項(xiàng)，則的最小值為（）A．6 B． C．8 D．94．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，直線:.如果對(duì)任意的點(diǎn)到直線的距離均為定值，則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．5．樣本中共有個(gè)個(gè)體，其值分別為、、、、.若該樣本的平均值為，則樣本的方差為（）A． B． C． D．6．設(shè)a，b，c表示三條不同的直線，M表示平面，給出下列四個(gè)命題：其中正確命題的個(gè)數(shù)有（）①若a//M，b//M，則a//b；②若b?M，a//b，則a//M；③若a⊥c，b⊥c，則a//b；④若a//c，b//c，則a//b.A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)7．若，是夾角為的兩個(gè)單位向量，則與的夾角為（）A． B． C． D．8．同時(shí)拋擲兩枚骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率是（）A． B． C． D．9．已知是不共線的非零向量，，，，則四邊形是（）A．梯形 B．平行四邊形 C．矩形 D．菱形10．下列各數(shù)中最小的數(shù)是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________．12．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為_(kāi)___________．13．不等式x（2x﹣1）＜0的解集是_____．14．一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)了樣本的頻率分布直方圖(如下圖).為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出80人作進(jìn)一步調(diào)查，則在[1500，2000)(元)月收入段應(yīng)抽出人.15．若直線與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值____．16．若存在實(shí)數(shù)使得關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)、、，若成立，則稱、具有“性質(zhì)”.（1）試問(wèn)：①，0是否具有“性質(zhì)2”；②（），0是否具有“性質(zhì)4”；（2）若存在及，使得成立，且，1具有“性質(zhì)2”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，，，為2019個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，點(diǎn)（）均不在函數(shù)的圖象上，是否存在，且，使得、具有“性質(zhì)2018”，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．某中學(xué)高二年級(jí)的甲、乙兩個(gè)班中，需根據(jù)某次數(shù)學(xué)預(yù)賽成績(jī)選出某班的5名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽，已知這次預(yù)賽他們?nèi)〉玫某煽?jī)的莖葉圖如圖所示，其中甲班5名學(xué)生成績(jī)的平均分是83，乙班5名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是1．（1）求出x，y的值，且分別求甲、乙兩個(gè)班中5名學(xué)生成績(jī)的方差、，并根據(jù)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該選派哪一個(gè)班的學(xué)生參加決賽？（2）從成績(jī)?cè)?5分及以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名．求至少有1名來(lái)自甲班的概率．19．某種汽車,購(gòu)車費(fèi)用是10萬(wàn)元,每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)和汽油費(fèi)為萬(wàn)元,年維修費(fèi)第一年為萬(wàn)元,以后逐年遞增萬(wàn)元,問(wèn)這種汽車使用多少年時(shí),它的年平均費(fèi)用最少?20．已知集合.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若集合，寫(xiě)出集合的所有子集.21．已知直線截圓所得的弦長(zhǎng)為．直線的方程為．（1）求圓的方程；（2）若直線過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，且，為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可知、、成等比數(shù)列,即可得關(guān)于的等式,化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)可知,、、滿足：化簡(jiǎn)可得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

先將平面展開(kāi)圖還原成正方體，再判斷求解.【詳解】將平面展開(kāi)圖還原成正方體如圖所示，則B，C兩點(diǎn)重合，所以與相交，連接，則為正三角形，所以與的夾角為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.3、D【解析】

試題分析：由題意a＞0，b＞0，且是和的等比中項(xiàng)，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)．考點(diǎn)：重要不等式，等比中項(xiàng)4、B【解析】

利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出，由對(duì)任意的點(diǎn)到直線的距離均為定值，從而可得，求得直線的方程，再利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的性質(zhì)即可得到對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)?！驹斀狻坑牲c(diǎn)到直線的距離公式可得：點(diǎn)到直線的距離由于對(duì)任意的點(diǎn)到直線的距離均為定值，所以，即，所以直線的方程為：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為故，解得：，所以設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案選B【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)的求法，涉及點(diǎn)到直線的距離，兩直線垂直斜率的關(guān)系，中點(diǎn)公式等知識(shí)點(diǎn)，考查學(xué)生基本的計(jì)算能力，屬于中檔題。5、D【解析】

根據(jù)樣本的平均數(shù)計(jì)算出的值，再利用方差公式計(jì)算出樣本的方差.【詳解】由題意可知，，解得，因此，該樣本的方差為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查方差與平均數(shù)的計(jì)算，靈活利用平均數(shù)與方差公式進(jìn)行求解是解本題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

由空間直線的位置關(guān)系及空間直線與平面的位置關(guān)系逐一判斷即可得解.【詳解】解：對(duì)于①，若a//M，b//M，則a//b或與相交或與異面，即①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若b?M，a//b，則a//M或a?M，即②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若a⊥c，b⊥c，則a//b或與相交或與異面，即③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若a//c，b//c，由空間直線平行的傳遞性可得a//b，即④正確，即正確命題的個(gè)數(shù)有1個(gè)，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了空間直線的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查了空間直線與平面的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)條件可求出，，從而可求出，這樣即可求出，根據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角．【詳解】由題得；，，所以；；又；的夾角為．故選．【點(diǎn)睛】考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量長(zhǎng)度的求法，向量夾角的余弦公式，向量夾角的范圍．8、A【解析】

分別求出基本事件的總數(shù)和點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的事件總數(shù),再由古典概型的概率計(jì)算公式求解.【詳解】同時(shí)拋擲兩枚骰子,總共有種情況,朝上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的情況有種,則所求概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求法,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

本題首先可以根據(jù)向量的運(yùn)算得出，然后根據(jù)以及向量平行的相關(guān)性質(zhì)即可得出四邊形的形狀．【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，是不共線的非零向量，所以且，所以四邊形是梯形，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量的相關(guān)性質(zhì)來(lái)判斷四邊形的形狀，考查向量的運(yùn)算以及向量平行的相關(guān)性質(zhì)，如果一組對(duì)邊平行且不相等，那么四邊形是梯形；如果對(duì)邊平行且相等，那么四邊形是平行四邊形；相鄰兩邊長(zhǎng)度相等的平行四邊形是菱形；相鄰兩邊垂直的平行四邊形是矩形，是簡(jiǎn)單題．10、D【解析】

將選項(xiàng)中的數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的數(shù)，由此求得最小值的數(shù).【詳解】依題意，，，，故最小的為D.所以本小題選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查不同進(jìn)制的數(shù)比較大小，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用共線向量等價(jià)條件列等式求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】，，且，，因此，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查利用共線向量來(lái)求參數(shù)，解題時(shí)要充分利用共線向量坐標(biāo)表示列等式求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

對(duì)去絕對(duì)值，得，再求得的前項(xiàng)和，代入=20即可求解【詳解】由題的前n項(xiàng)和為的前20項(xiàng)和，代入可得.故答案為：260【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和，去絕對(duì)值是關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題13、【解析】

求出不等式對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，即可寫(xiě)出不等式的解集，得到答案．【詳解】由不等式對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根為0和，所以該不等式的解集是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟記一元二次不等式的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、16【解析】試題分析：由頻率分布直方圖知，收入在1511--2111元之間的概率為1．1114×511=1．2，所以在[1511，2111）（元）月收入段應(yīng)抽出81×1．2=16人。考點(diǎn)：?頻率分布直方圖的應(yīng)用；?分層抽樣。15、【解析】

點(diǎn)O到的距離，將的面積用表示出來(lái)，再利用均值不等式得到答案.【詳解】曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓的上半圓，若直線與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，則直線的斜率，則點(diǎn)O到的距離，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．所以，解得舍去)．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，三角形面積，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、【解析】

先求得的取值范圍，將題目所給不等式轉(zhuǎn)化為含的絕對(duì)值不等式，對(duì)分成三種情況，結(jié)合絕對(duì)值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得的取值范圍.【詳解】由于，故可化簡(jiǎn)得恒成立.當(dāng)時(shí)，顯然成立.當(dāng)時(shí)，可得，，可得且，可得，即，解得.當(dāng)時(shí)，可得，可得且，可得，即，解得.綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的值域，考查含有絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題，考查存在性問(wèn)題的求解策略，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）①具有“性質(zhì)2”，②不具有“性質(zhì)4”；（2）；（3）存在.【解析】

（1）①根據(jù)題意需要判斷的真假即可②根據(jù)題意判斷是否成立即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)具有性質(zhì)2可求出的范圍，由存在性問(wèn)題成立轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可求解.【詳解】（1）①因?yàn)?，成?所以，故，0具有“性質(zhì)2”②因?yàn)?，設(shè)，則設(shè)，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，不恒成立，即不成立，故（），0不具有“性質(zhì)4”.（2）因?yàn)椋?具有“性質(zhì)2”所以化簡(jiǎn)得解得或.因?yàn)榇嬖诩?，使得成立，所以存在及使即?令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故只需滿足即可，解得.（3）假設(shè)具有“性質(zhì)2018”，則，即證明在任意2019個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)中，一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù),滿足：.證明：由，令，由萬(wàn)能公式知，將等分成2018個(gè)小區(qū)間，則這2019個(gè)數(shù)必然有兩個(gè)數(shù)落在同一個(gè)區(qū)間，令其為：，即，也就是說(shuō)，在，，，這2019個(gè)數(shù)中，一定有兩個(gè)數(shù)滿足，即一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿足，從而得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的證明，根據(jù)存在性問(wèn)題求參數(shù)的取值范圍，三角函數(shù)的單調(diào)性，萬(wàn)能公式，考查了創(chuàng)新能力，屬于難題.18、（3）甲班參加；（4）．【解析】

試題分析：（3）由題意知求出x=5，y=4．從而求出乙班學(xué)生的平均數(shù)為83，分別求出S34和S44，根據(jù)甲、乙兩班的平均數(shù)相等，甲班的方差小，得到應(yīng)該選派甲班的學(xué)生參加決賽．（4）成績(jī)?cè)?5分及以上的學(xué)生一共有5名，其中甲班有4名，乙班有3名，由此能求出隨機(jī)抽取4名，至少有3名來(lái)自甲班的概率．試題解析：（3）甲班的平均分為，易知．；又乙班的平均分為，∴；∵，，說(shuō)明甲班同學(xué)成績(jī)更加穩(wěn)定，故應(yīng)選甲班參加．（4）分及以上甲班有人，設(shè)為；乙班有人，設(shè)為，從這人中抽取人的選法有：，共種，其中甲班至少有名學(xué)生的選法有種，則甲班至少有名學(xué)生被抽到的概率為．考點(diǎn)：3．古典概型及其概率計(jì)算公式；4．莖葉圖．19、這種汽車使用年時(shí),它的年平均費(fèi)用最小【解析】

設(shè)這種汽車使用年時(shí),它的年平均費(fèi)用為萬(wàn)元，則，于是，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以這種汽車使用10年時(shí),它的年平均費(fèi)用最小20、（Ⅰ）（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）求解二次不等式從而求得集合A，利用指數(shù)函數(shù)的圖像求出集合B，再進(jìn)行并集運(yùn)算即可；（Ⅱ）依次求出，，即可寫(xiě)出集合C的子集.【詳解】（Ⅰ）由，得，即有，于是.作出函數(shù)的圖象可知，于是,所以，（Ⅱ），，集合的所有子集是：.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，集合的子集，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式得到圓心到直線的距離，利用直線截圓得