安徽六校教育研究會(huì)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

安徽六校教育研究會(huì)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．一組數(shù)平均數(shù)是，方差是，則另一組數(shù)，的平均數(shù)和方差分別是（）A． B．C． D．2．在中，，，，，則（）A．或 B． C． D．3．已知如圖正方體中，為棱上異于其中點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，設(shè)直線為平面與平面的交線，以下關(guān)系中正確的是（）A． B．C．平面 D．平面4．已知且,則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公差，，則的值為()A．65 B．62 C．59 D．566．若向量，，則（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列中，，，且，則的值為（）A． B． C． D．8．已知兩個(gè)非零向量,滿足,則()A． B．C． D．9．已知平面四邊形滿足，，，則的長為（）A．2 B． C． D．10．若，，則等于()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．將邊長為2的正沿邊上的高折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為．12．如圖，某人在高出海平面方米的山上P處，測得海平面上航標(biāo)A在正東方向，俯角為，航標(biāo)B在南偏東，俯角，且兩個(gè)航標(biāo)間的距離為200米，則__________米.13．有6根細(xì)木棒，其中較長的兩根分別為，，其余4根均為，用它們搭成三棱錐，則其中兩條較長的棱所在的直線所成的角的余弦值為.14．將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，則折起后B，D兩點(diǎn)的距離為________.15．已知球?yàn)檎拿骟w的外接球，，過點(diǎn)作球的截面，則截面面積的取值范圍為____________________．16．若數(shù)列{an}滿足a1=2，a三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．智能手機(jī)的出現(xiàn)，改變了我們的生活,同時(shí)也占用了我們大量的學(xué)習(xí)時(shí)間.某市教育機(jī)構(gòu)從名手機(jī)使用者中隨機(jī)抽取名，得到每天使用手機(jī)時(shí)間(單位：分鐘)的頻率分布直方圖(如圖所示),其分組是:，.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這名手機(jī)使用者中使用時(shí)間的中位數(shù)是多少分鐘?(精確到整數(shù))（2）估計(jì)手機(jī)使用者平均每天使用手機(jī)多少分鐘?(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)（3）在抽取的名手機(jī)使用者中在和中按比例分別抽取人和人組成研究小組，然后再從研究小組中選出名組長.求這名組長分別選自和的概率是多少？18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求證：數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求.19．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.20．在中，角的對邊分別為.已知（1）若，，求的面積；（2）若的面積為，且，求的值.21．高考改革是教育體制改革中的重點(diǎn)領(lǐng)域和關(guān)鍵環(huán)節(jié)，全社會(huì)極其關(guān)注.近年來，在新高考改革中，打破文理分科的“”模式初露端倪.其中“”指必考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，“”指考生根據(jù)本人興趣特長和擬報(bào)考學(xué)校及專業(yè)的要求，從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理六科中選擇門作為選考科目，其中語、數(shù)、外三門課各占分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分?jǐn)?shù)不直接用，而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分.假定省規(guī)定：選考科目按考生成績從高到低排列，按照占總體的，以此賦分分、分、分、分.為了讓學(xué)生們體驗(yàn)“賦分制”計(jì)算成績的方法，省某高中高一（）班（共人）舉行了以此摸底考試（選考科目全考，單科全班排名，每名學(xué)生選三科計(jì)算成績），已知這次摸底考試中的物理成績（滿分分）頻率分布直方圖，化學(xué)成績（滿分分）莖葉圖如下圖所示，小明同學(xué)在這次考試中物理分，化學(xué)多分.（1）求小明物理成績的最后得分；（2）若小明的化學(xué)成績最后得分為分，求小明的原始成績的可能值；（3）若小明必選物理，其他兩科在剩下的五科中任選，求小明此次考試選考科目包括化學(xué)的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

直接利用公式：平均值方差為，則的平均值和方差為：得到答案.【詳解】平均數(shù)是，方差是，的平均數(shù)為：方差為：故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)和方差的計(jì)算：平均數(shù)是，方差是，則的平均值和方差為：.2、C【解析】

由三角形面積公式可得，進(jìn)而可得解.【詳解】在中，，，,，可得，所以，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

根據(jù)正方體性質(zhì)，以及線面平行、垂直的判定以及性質(zhì)定理即可判斷.【詳解】因?yàn)樵谡襟w中，，且平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，且平面平面，所以有，而，則與不平行，故選項(xiàng)不正確；若，則，顯然與不垂直，矛盾，故選項(xiàng)不正確；若平面，則平面，顯然與正方體的性質(zhì)矛盾，故不正確；而因?yàn)槠矫?，平面，所以有平面，所以選項(xiàng)C正確，.【點(diǎn)睛】本題考查了線線、線面平行與垂直的關(guān)系判斷，屬于中檔題.4、A【解析】分析：，由，可得，又，可得，化簡整理即可得出.詳解：，由，可得，又，可得，化為，解得，則的取值范圍是.故選：A.點(diǎn)睛：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.5、A【解析】

先求出，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可求.【詳解】，所以，故選A.【點(diǎn)睛】一般地，如果為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）且；（3）且為等差數(shù)列；（4）為等差數(shù)列.6、B【解析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，先由，求得，再求的坐標(biāo)．【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

由遞推關(guān)系，結(jié)合，，可求得，，的值，可得數(shù)列是一個(gè)周期為6的周期數(shù)列，進(jìn)而可求的值?！驹斀狻恳?yàn)?，由，，得；由，，得；由，，得；由，，得；由，，得；由，，得由此推理可得?shù)列是一個(gè)周期為6的周期數(shù)列，所以，故選A?！军c(diǎn)睛】本題考查由遞推關(guān)系求數(shù)列中的項(xiàng)，考查數(shù)列周期的判斷，屬基礎(chǔ)題。8、C【解析】

根據(jù)向量的模的計(jì)算公式，由逐步轉(zhuǎn)化為，即可得到本題答案.【詳解】由題，得，即，，則，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量垂直的等價(jià)條件以及向量的模，化簡變形是關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

先建系，再結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式、向量的數(shù)量積及模的運(yùn)算，求解即可得解.【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，由，則，所以，又，所以，，即，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)的距離公式，重點(diǎn)考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算及模的運(yùn)算，屬中檔題.10、C【解析】

直接用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到答案.【詳解】由，.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

解：根據(jù)題意可知三棱錐B﹣ACD的三條側(cè)棱BD、DC、DA兩兩互相垂直，所以它的外接球就是它擴(kuò)展為長方體的外接球，∵長方體的對角線的長為：，∴球的直徑是，半徑為，∴三棱錐B﹣ACD的外接球的表面積為：4π5π．故答案為5π考點(diǎn)：外接球.12、1【解析】

根據(jù)題意利用方向坐標(biāo)，根據(jù)三角形邊角關(guān)系，利用余弦定理列方程求出的值．【詳解】航標(biāo)在正東方向，俯角為，由題意得，．航標(biāo)在南偏東，俯角為，則有，．所以，；由余弦定理知，即，可求得（米．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查方向坐標(biāo)以及三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用問題，考查余弦定理應(yīng)用問題，是中檔題．13、【解析】

分較長的兩條棱所在直線相交，和較長的兩條棱所在直線異面兩種情況討論，結(jié)合三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，即可求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)較長的兩條棱所在直線相交時(shí)，如圖所示：不妨設(shè)，，，所以較長的兩條棱所在直線所成角為，由勾股定理可得：，所以，所以此時(shí)較長的兩條棱所在直線所成角的余弦值為；當(dāng)較長的兩條棱所在直線異面時(shí)，不妨設(shè)，，則，取CD的中點(diǎn)為O，連接OA，OB，所以CD⊥OA，CD⊥OB，而，所以O(shè)A+OB<AB，不能構(gòu)成三角形。所以此情況不存在。故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角，熟記異面直線所成角的概念，以及三棱錐的結(jié)構(gòu)特征即可，屬于?？碱}型.14、1.【解析】

取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，BE，可知DE⊥AC，由平面ACD⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，DE⊥BE，而，再結(jié)合ABCD是正方形可求出.【詳解】取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，BE，顯然DE⊥AC，因?yàn)槠矫鍭CD⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥BE，而，所以，.【點(diǎn)睛】本題考查了空間中兩點(diǎn)間的距離，把空間角轉(zhuǎn)化為平面角是解決本題的關(guān)鍵.15、【解析】

在平面中，過圓內(nèi)一點(diǎn)的弦長何時(shí)最長，何時(shí)最短，類比在空間中，過球內(nèi)一點(diǎn)的球的大圓面積最大，與此大圓垂直的截面小圓面積最小.利用正四面體的性質(zhì)及球的性質(zhì)求正四面體外接球的半徑、小圓半徑，確定答案.【詳解】因?yàn)檎拿骟w棱長為AB=3，所以正四面體外接球半徑R=.由球的性質(zhì)，當(dāng)過E及球心O時(shí)的截面為球的大圓，面積最大，最大面積為；當(dāng)過E的截面與EO垂直時(shí)面積最小，取△BCD的中心，因?yàn)闉檎拿骟w，所以平面BCD,O在上，，所以,在三角形中，由,，,，由余弦定理在直角三角形中所以過E且與EO垂直的截面圓的半徑r為，截面面積為.所以所求截面面積的范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查空間想象能力，邏輯推理能力，空間組合體的關(guān)系，正四面體、球的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于難題.16、2×【解析】

判斷數(shù)列是等比數(shù)列，然后求出通項(xiàng)公式．【詳解】數(shù)列{an}中，a可得數(shù)列是等比數(shù)列，等比為3，an故答案為：2×3【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的判斷以及通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算能力．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)分鐘.(2)58分鐘；(3)【解析】

（1）根據(jù)中位數(shù)將頻率二等分可直接求得結(jié)果；（2）每組數(shù)據(jù)中間值與對應(yīng)小矩形的面積乘積的總和即為平均數(shù)；（3）采用列舉法分別列出所有基本事件和符合題意的基本事件，根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)中位數(shù)為，則解得：（分鐘）這名手機(jī)使用者中使用時(shí)間的中位數(shù)是分鐘（2）平均每天使用手機(jī)時(shí)間為：（分鐘）即手機(jī)使用者平均每天使用手機(jī)時(shí)間為分鐘（3）設(shè)在內(nèi)抽取的兩人分別為，在內(nèi)抽取的三人分別為，則從五人中選出兩人共有以下種情況：兩名組長分別選自和的共有以下種情況：所求概率【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)和中位數(shù)、古典概型概率問題的求解；關(guān)鍵是能夠明確平均數(shù)和中位數(shù)的估算原理，從而計(jì)算得到結(jié)果；解決古典概型的常用方法為列舉法，屬于?？碱}型.18、（1）；（2）．【解析】

（1）利用即可求出答案；（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求出答案．【詳解】解：（1）∵，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，；（2）∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列已知求，考查裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題．19、（1）；（2）存在，【解析】

（1）根據(jù)條件求解出公比，然后寫出等比數(shù)列通項(xiàng)；（2）先表示出，然后考慮的的最小值.【詳解】（1）因?yàn)椋曰?，又，則，所以；（2）因?yàn)?，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)有不符合；所以為奇數(shù)，且，，所以且為奇數(shù)，故.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)及其前項(xiàng)和的應(yīng)用，難度一般.對于公比為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列，分析前項(xiàng)和所滿足的不等式時(shí)，注意分類討論，因此的奇偶會(huì)影響的正負(fù).20、（1）；（2）．【解析】

（1）先根據(jù)計(jì)算出與，再利用余弦定理求出b邊，最后利用求出答案；（2）利用正弦定理將等式化為變得關(guān)系，再利用余弦定理化為與的關(guān)系式，再結(jié)合面積求出c的值．【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以．又，所以．因?yàn)?，，且，所以，解得，所以．?）因?yàn)椋烧叶ɡ?，得．又，所以．又，得，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．21、(1)70分(2)(3)【解析】

（1）先求出此次考試物理成績落在內(nèi)的頻率，再由小明的物理成績即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)選考科目按考生成績從高到低排列，按照占總體的，以此賦分分、60分、50分、40分，結(jié)合莖葉圖中數(shù)據(jù)，即可得出結(jié)果；（3）先記物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治依次為，用列舉法列舉出小明的所有可能選法，再列舉出小明此次考試選考科目包括化學(xué)的選法，基本事件的個(gè)數(shù)之比就是所求概率.【詳解】解：（1），此次考試物理成績落在內(nèi)的頻率依次為，概率之和為小明的物理