正方形基礎(chǔ)專題練習(xí)

19.3.2正方形的判定與性質(zhì)一．選擇題〔共5小題〕1．以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A． 有一個(gè)角為直角的菱形是B．有一組鄰邊相等的矩形是正方形C． 對(duì)角線相等的菱形是D．對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是正方形2．在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別任意取點(diǎn)E、F、G、H．這樣得到的四邊形EFGH中，是正方形的有〔〕A．1個(gè) B．2個(gè) C．4個(gè) D．無(wú)窮多個(gè)3．如圖，四邊形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，假設(shè)四邊形ABCD面積為16，那么DE的長(zhǎng)為〔〕A．3 B．2 C．4 D．84．△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O為△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，那么點(diǎn)O到三邊AB、AC、BC的距離為〔〕A．2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C．4cm，4cm，4cm D．2cm，3cm，5cm5．如圖，在一個(gè)大正方形內(nèi)，放入三個(gè)面積相等的小正方形紙片，這三張紙片蓋住的總面積是24平方厘米，且未蓋住的面積比小正方形面積的四分之一還少3平方厘米，那么大正方形的面積是〔單位：平方厘米〕〔〕A．40 B．25 C．26 D．36二．填空題〔共4小題〕6．現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)等于a〔a＞16〕的正方形紙片，從距離正方形的四個(gè)頂點(diǎn)8cm處，沿45°角畫線，將正方形紙片分成5局部，那么陰影局部是_________〔填寫圖形的形狀〕〔如圖〕，它的一邊長(zhǎng)是_________．7．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，以AD為邊向外作Rt△ADE，∠AED=90°，連接OE，DE=6，OE=8，那么另一直角邊AE的長(zhǎng)為_(kāi)________．8．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．假設(shè)四邊形ABCD的面積是18，那么DP的長(zhǎng)是_________．四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，設(shè)有以下條件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，那么在以下推理不成立的是_________①④?⑥；B、①③?⑤；C、①②?⑥；D、②③?④三．解答題〔共11小題〕10．如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別在正方形ABCD的各邊上，且AE=BF=CG=DH，AF、BG、CH、DE分別相交于點(diǎn)A′、B′、C′、D′．求證：四邊形A′B′C′D′是正方形．11．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在邊AD的延長(zhǎng)線上，且BM=DN．點(diǎn)E為MN的中點(diǎn)，DE的延長(zhǎng)線與AC相交于點(diǎn)F．試猜測(cè)線段DF與線段AC的關(guān)系，并證你的猜測(cè)．12．如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為6．菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，且AH=2，連接CF．〔1〕當(dāng)DG=2時(shí)，求證：菱形EFGH為正方形；〔2〕設(shè)DG=x，試用含x的代數(shù)式表示△FCG的面積．13．如圖，正方形ABCD，動(dòng)點(diǎn)E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE．〔1〕求證：BF=DE；〔2〕當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)〔其他條件都保持不變〕，問(wèn)四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說(shuō)明理由．14．，如圖，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH=2，連接CF．〔1〕假設(shè)DG=2，求證四邊形EFGH為正方形；〔2〕假設(shè)DG=6，求△FCG的面積；〔3〕當(dāng)DG為何值時(shí)，△FCG的面積最?。?5．如圖，正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，直角頂點(diǎn)P在射線AC上移動(dòng)，另一邊交DC于Q．〔1〕如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在DC邊上時(shí)，猜測(cè)并寫出PB與PQ所滿足的數(shù)量關(guān)系；并加以證明；〔2〕如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q落在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，猜測(cè)并寫出PB與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜測(cè)．16．如圖，四邊形ABCD是正方形，分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直線MB、ND分別交l2于Q、P．求證：四邊形PQMN是正方形．17．在正方形ABCD各邊上一次截取AE=BF=CG=DH，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE．試問(wèn)四邊形EFGH是否是正方形？18．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AP于點(diǎn)E，BF⊥AP于點(diǎn)F，CH⊥DE于點(diǎn)H，BF的延長(zhǎng)線交CH于點(diǎn)G．〔1〕求證：AF﹣BF=EF；〔2〕四邊形EFGH是什么四邊形？并證明；〔3〕假設(shè)AB=2，BP=1，求四邊形EFGH的面積．19．如圖，△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分線相交于點(diǎn)D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E、F．問(wèn)四邊形CFDE是正方形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．20．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分別為E，F(xiàn)．求證：四邊形DEAF是正方形．19.3.2正方形的判定與性質(zhì)參考答案與試題解析一．選擇題〔共5小題〕1．以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A． 有一個(gè)角為直角的菱形是正方形B． 有一組鄰邊相等的矩形是正方形C． 對(duì)角線相等的菱形是正方形D． 對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是正方形考點(diǎn)： 正方形的判定．分析： 正方形：四個(gè)角都是直角，四條邊都相等，對(duì)角線相等，且互相垂直平分的平行四邊形；菱形：四條邊都相等，對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形；矩形：四個(gè)角都相等，對(duì)角線相等的平行四邊形．解答： 解：A、有一個(gè)角為直角的菱形的特征是：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，那么該菱形是正方形．故本選項(xiàng)說(shuō)法正確；B、有一組鄰邊相等的矩形的特征是：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角．那么該矩形為正方形．故本選項(xiàng)說(shuō)法正確；C、對(duì)角線相等的菱形的特征是：四條邊都相等，對(duì)角線相等的平行四邊形，即該菱形為正方形．故本選項(xiàng)說(shuō)法正確；D、對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形．故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；應(yīng)選D．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了正方形的判定．正方形集矩形、菱形的性質(zhì)于一身，是特殊的平行四邊形．2．在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別任意取點(diǎn)E、F、G、H．這樣得到的四邊形EFGH中，是正方形的有〔〕A． 1個(gè) B．2個(gè) C．4個(gè) D． 無(wú)窮多個(gè)考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定．專題： 計(jì)算題．分析： 在正方形四邊上任意取點(diǎn)E、F、G、H，假設(shè)能證明四邊形EFGH為正方形，那么說(shuō)明可以得到無(wú)窮個(gè)正方形．解答： 解：無(wú)窮多個(gè)．如圖正方形ABCD：AH=DG=CF=BE，HD=CG=FB=EA，∠A=∠B=∠C=∠D，有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，那么EH=HG=GF=FE，另外很容易得四個(gè)角均為90°那么四邊形EHGF為正方形．應(yīng)選D．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了正方形的判定與性質(zhì)，難度適中，利用三角形全等的判定證明EH=HG=GF=FE．3．如圖，四邊形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，假設(shè)四邊形ABCD面積為16，那么DE的長(zhǎng)為〔〕A． 3 B．2 C．4 D． 8考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)．專題： 證明題．分析： 如圖，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于F，利用互余關(guān)系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判斷△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四邊形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4．解答： 解：過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于F，∵∠ADC=∠ABC=90°，∠CDF+∠EDC=90°，∴∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四邊形ABCD=S正方形DEBF=16，∴DE=4．應(yīng)選C．點(diǎn)評(píng)： 此題運(yùn)用割補(bǔ)法，或者旋轉(zhuǎn)法將四邊形ABCD轉(zhuǎn)化為正方形，根據(jù)面積保持不變，來(lái)求正方形的邊長(zhǎng)．4．△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O為△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，那么點(diǎn)O到三邊AB、AC、BC的距離為〔〕A． 2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C． 4cm，4cm，4cm D． 2cm，3cm，5cm考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)．分析： 連接OA，OB，OC，利用角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可知△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，又因?yàn)辄c(diǎn)O到三邊AB、AC、BC的距離是CD，∴AB=8﹣CD+6﹣CD=10，解得CD=2，所以點(diǎn)O到三邊AB、AC、BC的距離為2．解答： 解：連接OA，OB，OC，那么△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，又∵∠C=90，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，且O為△ABC三條角平分線的交點(diǎn)∴四邊形OECD是正方形，那么點(diǎn)O到三邊AB、AC、BC的距離=CD，∴AB=8﹣CD+6﹣CD=﹣2CD+14，又根據(jù)勾股定理可得：AB=10，即﹣2CD+14=10∴CD=2，即點(diǎn)O到三邊AB、AC、BC的距離為2cm．應(yīng)選A點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩段的距離相等的性質(zhì)和邊的和差關(guān)系．5．如圖，在一個(gè)大正方形內(nèi)，放入三個(gè)面積相等的小正方形紙片，這三張紙片蓋住的總面積是24平方厘米，且未蓋住的面積比小正方形面積的四分之一還少3平方厘米，那么大正方形的面積是〔單位：平方厘米〕〔〕A． 40 B．25 C．26 D． 36考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)．專題： 計(jì)算題．分析： 設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，大正方形的邊長(zhǎng)為b，由正方形的面積公式，根據(jù)題意列出方程組解方程組得出大正方形的邊長(zhǎng)，那么可求出面積．解答： 解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，大正方形的邊長(zhǎng)為b，由這三張紙片蓋住的總面積是24平方厘米，可得ab+a〔b﹣a〕=24①，由未蓋住的面積比小正方形面積的四分之一還少3平方厘米，可得〔b﹣a〕2=a2﹣3，②將①②聯(lián)立解方程組可得：a=4，b=5，∴大正方形的邊長(zhǎng)為5，∴面積是25．應(yīng)選B．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了正方形的性質(zhì)及面積公式，難度較大，關(guān)鍵根據(jù)題意列出方程．二．填空題〔共4小題〕6．現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)等于a〔a＞16〕的正方形紙片，從距離正方形的四個(gè)頂點(diǎn)8cm處，沿45°角畫線，將正方形紙片分成5局部，那么陰影局部是正方形〔填寫圖形的形狀〕〔如圖〕，它的一邊長(zhǎng)是cm．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)．專題： 壓軸題．分析： 延長(zhǎng)小正方形的一邊交大正方形于一點(diǎn)，連接此點(diǎn)與距大正方形頂點(diǎn)8cm處的點(diǎn)，構(gòu)造直角邊長(zhǎng)為8的等腰直角三角形，將小正方形的邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)來(lái)求解即可．解答： 解：如圖，作AB平行于小正方形的一邊，延長(zhǎng)小正方形的另一邊與大正方形的一邊交于B點(diǎn)，∴△ABC為直角邊長(zhǎng)為8cm的等腰直角三角形，∴AB=AC=8，∴陰影正方形的邊長(zhǎng)=AB=8cm．故答案為：正方形，cm．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了正方形的性質(zhì)與勾股定理的知識(shí)，題目同時(shí)也滲透了轉(zhuǎn)化思想．7．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，以AD為邊向外作Rt△ADE，∠AED=90°，連接OE，DE=6，OE=8，那么另一直角邊AE的長(zhǎng)為10．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．分析： 首先過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AE于點(diǎn)M，作ON⊥DE，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，易得四邊形EMON是正方形，點(diǎn)A，O，D，E共圓，那么可得△OEN是等腰直角三角形，求得EN的長(zhǎng)，繼而證得Rt△AOM≌Rt△DON，得到AM=DN，繼而求得答案．解答： 解：過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AE于點(diǎn)M，作ON⊥DE，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵∠AED=90°，∴四邊形EMON是矩形，∵正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，∴∠AOD=90°，OA=OD，∴∠AOD+∠AED=180°，∴點(diǎn)A，O，D，E共圓，∴=，∴∠AEO=∠DEO=∠AED=45°，∴OM=ON，∴四邊形EMON是正方形，∴EM=EN=ON，∴△OEN是等腰直角三角形，∵OE=8，∴EN=8，∴EM=EN=8，在Rt△AOM和Rt△DON中，，∴Rt△AOM≌Rt△DON〔HL〕，∴AM=DN=EN﹣ED=8﹣6=2，∴AE=AM+EM=2+8=10．故答案為：10．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．8．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．假設(shè)四邊形ABCD的面積是18，那么DP的長(zhǎng)是3．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．分析： 過(guò)點(diǎn)D作DE⊥DP交BC的延長(zhǎng)線于E，先判斷出四邊形DPBE是矩形，再根據(jù)等角的余角相等求出∠ADP=∠CDE，再利用“角角邊”證明△ADP和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=DP，然后判斷出四邊形DPBE是正方形，再根據(jù)正方形的面積公式解答即可．解答： 解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥DP交BC的延長(zhǎng)線于E，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴四邊形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，∴∠ADP+∠CDP=90°，∴∠ADP=∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD=90°，∴∠APD=∠E=90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE〔AAS〕，∴DE=DP，四邊形ABCD的面積=四邊形DPBE的面積=18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP==3．故答案為：3．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和正方形是解題的關(guān)鍵．9．四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，設(shè)有以下條件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，那么在以下推理不成立的是CA、①④?⑥；B、①③?⑤；C、①②?⑥；D、②③?④考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)．專題： 證明題．分析： 根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定定理，對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形，再由鄰邊相等，得出是菱形，和一個(gè)角為直角得出是正方形，根據(jù)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析從而得到最后的答案．解答： 解：A、由①④得，一組鄰邊相等的矩形是正方形，故正確；B、由③得，四邊形是平行四邊形，再由①，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故正確；C、由①②不能判斷四邊形是正方形；D、由③得，四邊形是平行四邊形，再由②，一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故正確．應(yīng)選C．點(diǎn)評(píng)： 此題用到的知識(shí)點(diǎn)是：矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一組鄰邊相等的矩形是正方形；對(duì)角線互相平分且一組鄰邊相等的四邊形是菱形；對(duì)角線互相平分且一個(gè)角是直角的四邊形是矩形．靈活掌握這些判定定理是解此題的關(guān)鍵．三．解答題〔共11小題〕10．如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別在正方形ABCD的各邊上，且AE=BF=CG=DH，AF、BG、CH、DE分別相交于點(diǎn)A′、B′、C′、D′．求證：四邊形A′B′C′D′是正方形．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題： 證明題．分析： 依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可以判定四邊形A′B′C′D′的三個(gè)角是直角，那么四邊形是矩形，然后證明一組鄰邊相等，可以證得四邊形是正方形．解答： 證明：在正方形ABCD中，∵在△ABF和△BCG中，∴△ABF≌△BCG〔SAS〕∴∠BAF=∠GBC，∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠GBC+∠AFB=90°，∴∠BB′F=90°，∴∠A′B′C′=90°．∴同理可得∠B′C′D′=∠C′D′A′=90°，∴四邊形A′B′C′D′是矩形．∵在△AB′B和△BC′C中，∴△AB′B≌△BC′C〔AAS〕，∴AB′=BC′∵在△AA′E和△BB′F中，∴△AA′E≌△BB′F〔AAS〕，∴AA′=BB′∴A′B′=B′C′∴矩形A′B′C′D′是正方形．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了正方形的判定，判定的方法是證明是矩形同時(shí)是菱形．11．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在邊AD的延長(zhǎng)線上，且BM=DN．點(diǎn)E為MN的中點(diǎn)，DE的延長(zhǎng)線與AC相交于點(diǎn)F．試猜測(cè)線段DF與線段AC的關(guān)系，并證你的猜測(cè)．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．專題： 探究型．分析： 猜測(cè)：線段DF垂直平分線段AC，且DF=AC，過(guò)點(diǎn)M作MG∥AD，與DF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，作GH⊥BC，垂足為H，連接AG、CG．根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法證明△AMG≌△CHG即可．解答： 猜測(cè)：線段DF垂直平分線段AC，且DF=AC，證明：過(guò)點(diǎn)M作MG∥AD，與DF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G．那么∠EMG=∠N，∠BMG=∠BAD，∵∠MEG=∠NED，ME=NE，∴△MEG≌△NED，∴MG=DN．∵BM=DN，∴MG=BM．作GH⊥BC，垂足為H，連接AG、CG．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，∵∠GMB=∠B=∠GHB=90°，∴四邊形MBHG是矩形．∵M(jìn)G=MB，∴四邊形MBHG是正方形，∴MG=GH=BH=MB，∠AMG=∠CHG=90°，∴AM=CH，∴△AMG≌△CHG．∴GA=GC．又∵DA=DC，∴DG是線段AC的垂直平分線．∵∠ADC=90°，DA=DC，∴DF=AC即線段DF垂直平分線段AC，且DF=AC．點(diǎn)評(píng)： 此題綜合考查了矩形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，此題綜合性比擬強(qiáng)，難度較大，但題型較好，訓(xùn)練了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題以及敢于猜測(cè)的能力．12．如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為6．菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，且AH=2，連接CF．〔1〕當(dāng)DG=2時(shí)，求證：菱形EFGH為正方形；〔2〕設(shè)DG=x，試用含x的代數(shù)式表示△FCG的面積．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．分析： 〔1〕由于四邊形ABCD為正方形，四邊形HEFG為菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易證△AHE≌△DGH，從而有∠DHG=∠HEA，等量代換可得∠AHE+∠DHG=90°，易證四邊形HEFG為正方形；〔2〕欲求△FCG的面積，由得CG的長(zhǎng)易求，只需求出GC邊的高，通過(guò)證明△AHE≌△MFG可得．解答： 〔1〕證明：在△HDG和△AEH中，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，∵四邊形EFGH是菱形，∴HG=HE，∵DG=AH=2，∴Rt△HDG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∴∠DHG+∠AHE=90°∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH為正方形；〔2〕解：過(guò)F作FM⊥CD，垂足為M，連接GE∵CD∥AB，∴∠AEG=∠MGE，∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠FGM，在Rt△AHE和Rt△GFM中，∵，∴Rt△AHE≌Rt△GFM，∴MF=2，∵DG=x，∴CG=6﹣x．∴S△FCG=CG?FM=6﹣x．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線：過(guò)F作FM⊥DC，交DC延長(zhǎng)線于M，連接GE，構(gòu)造全等三角形和內(nèi)錯(cuò)角．13．如圖，正方形ABCD，動(dòng)點(diǎn)E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE．〔1〕求證：BF=DE；〔2〕當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)〔其他條件都保持不變〕，問(wèn)四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說(shuō)明理由．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．分析： 〔1〕根據(jù)正方形的性質(zhì)判定△ADE≌△ABF后即可得到BF=DE；〔2〕利用正方形的判定方法判定四邊形AFBE為正方形即可．解答： 〔1〕證明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，∴∠BAF=∠EAD，在△ADE和△ABF中∴△ADE≌△ABF〔SAS〕，∴BF=DE；〔2〕解：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)四邊形AFBE是正方形，理由：∵點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE=AC，∵AF=AE，∴BE=AF=AE，又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∵BE=AF，∴得平行四邊形AFBE，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四邊形AFBE是正方形．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了正方形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的利用正方形的性質(zhì)．14．，如圖，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH=2，連接CF．〔1〕假設(shè)DG=2，求證四邊形EFGH為正方形；〔2〕假設(shè)DG=6，求△FCG的面積；〔3〕當(dāng)DG為何值時(shí)，△FCG的面積最?。键c(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．專題： 計(jì)算題；壓軸題．分析： 〔1〕由于四邊形ABCD為矩形，四邊形HEFG為菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易證△AHE≌△DGH，從而有∠DHG=∠HEA，等量代換可得∠AHE+∠DHG=90°，易證四邊形HEFG為正方形；〔2〕過(guò)F作FM⊥DC，交DC延長(zhǎng)線于M，連接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性質(zhì)有∠AEH=∠MGF，再結(jié)合∠A=∠M=90°，HE=FG，可證△AHE≌△MFG，從而有FM=HA=2〔即無(wú)論菱形EFGH如何變化，點(diǎn)F到直線CD的距離始終為定值2〕，進(jìn)而可求三角形面積；〔3〕先設(shè)DG=x，由第〔2〕小題得，S△FCG=7﹣x，在△AHE中，AE≤AB=7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，進(jìn)而可求x≤，從而可得當(dāng)x=時(shí)，△GCF的面積最小．解答： 解：〔1〕∵四邊形ABCD為矩形，四邊形HEFG為菱形，∴∠D=∠A=90°，HG=HE，又AH=DG=2，∴Rt△AHE≌Rt△DGH〔HL〕，∴∠DHG=∠HEA，∵∠AHE+∠HEA=90°，∴∠AHE+∠DHG=90°，∴∠EHG=90°，∴四邊形HEFG為正方形；〔2〕過(guò)F作FM⊥DC，交DC延長(zhǎng)線于M，連接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，∴△AHE≌△MFG，∴FM=HA=2，即無(wú)論菱形EFGH如何變化，點(diǎn)F到直線CD的距離始終為定值2，因此；〔3〕設(shè)DG=x，那么由第〔2〕小題得，S△FCG=7﹣x，在△AHE中，AE≤AB=7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴x≤，∴S△FCG的最小值為，此時(shí)DG=，∴當(dāng)DG=時(shí)，△FCG的面積最小為〔〕．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了矩形、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．解題的關(guān)鍵是作輔助線：過(guò)F作FM⊥DC，交DC延長(zhǎng)線于M，連接GE，構(gòu)造全等三角形和內(nèi)錯(cuò)角．15．如圖，正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，直角頂點(diǎn)P在射線AC上移動(dòng)，另一邊交DC于Q．〔1〕如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在DC邊上時(shí)，猜測(cè)并寫出PB與PQ所滿足的數(shù)量關(guān)系；并加以證明；〔2〕如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q落在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，猜測(cè)并寫出PB與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜測(cè)．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．分析： 〔1〕過(guò)P作PE⊥BC，PF⊥CD，證明Rt△PQF≌Rt△PBE，即可；〔2〕證明思路同〔1〕解答： 〔1〕PB=PQ，證明：過(guò)P作PE⊥BC，PF⊥CD，∵P，C為正方形對(duì)角線AC上的點(diǎn)，∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，∴PF=PE，∴四邊形PECF為正方形，∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，∴∠BPE=∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB=PQ；〔2〕PB=PQ，證明：過(guò)P作PE⊥BC，PF⊥CD，∵P，C為正方形對(duì)角線AC上的點(diǎn)，∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，∴PF=PE，∴四邊形PECF為正方形，∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，∴∠BPE=∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB=PQ．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了正方形，角平分線的性質(zhì)，以及全等三角形判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合思想．16．如圖，四邊形ABCD是正方形，分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直線MB、ND分別交l2于Q、P．求證：四邊形PQMN是正方形．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)．專題： 證明題；壓軸題．分析： 可由Rt△ABM≌Rt△DAN，AM=DN同理可得AN=NP，所以MN=PN，進(jìn)而可得其為正方形．解答： 證明：l1∥l2，BM⊥l1，DN⊥l2，∴∠QMN=∠P=∠N=90°，∴四邊形PQMN為矩形，∵AB=AD，∠M=∠N=90°∠ADN+∠NAD=90°，∠NAD+∠BAM=90°，∴∠ADN=∠BAM，又∵AD=BA，∴Rt△ABM≌Rt△DAN〔AAS〕，∴AM=DN同理AN=DP，∴AM+AN=DN+DP，即MN=PN．∴四邊形PQMN是正方形．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各種幾何圖形的性質(zhì)和判定方法．17．在正方形ABCD各邊上一次截取AE=BF=CG=DH，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE．試問(wèn)四邊形EFGH是否是正方形？考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)．分析： 根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D，然后求出BE=CF=DG=AH，再利用“邊角邊”證明△AHE和△BEF和△CFG和△DGH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=FG=GH=EH，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AHE=∠BEF=∠CFG=∠DGH，再求出∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠FEH=90°，從而得到四邊形EFGH是正方形．解答： 解：四邊形EFGH是正方形．理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D，∵AE=BF=CG=DH，∴AB﹣AE=BC﹣BF=CD﹣CG=AD﹣DH，即BE=CF=DG=AH，∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH，∴EF=FG=GH=EH，∠AHE=∠BEF=∠CFG=∠DGH，∴∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠FEH=90°，∴四邊形EFGH是正方形．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出