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文檔簡介
簡單的線性規(guī)劃問題簡單的線性規(guī)劃問題1.一元二次不等式表示平面區(qū)域(左小右大)在直角坐標(biāo)系中,Ax+By+C=0將平面分成三部分.直線上的點(diǎn)滿足Ax+By+C=0,當(dāng)B=0時(shí),直接從坐標(biāo)系上看出范圍,當(dāng)B≠0時(shí),滿足B(Ax+By+C)>0表示直線上方的區(qū)域,滿足B(Ax+By+C)<0表示直線下方的區(qū)域.口訣是:同號在上,異號在下.或采用“以線定界,以點(diǎn)定域”的原則.
判別不等式Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)表示的平面區(qū)域時(shí),只要在直線Ax+By+C=0的一側(cè)任取一點(diǎn)(x0,y0),將它的坐標(biāo)代入不等式,如果該點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式,不等式就表示該點(diǎn)所在一側(cè)的平面區(qū)域;如果不滿足不等式,就表示這個(gè)點(diǎn)所在區(qū)域的另一側(cè)平面區(qū)域.
由幾個(gè)不等式組成的不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.
2.線性規(guī)劃線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下,最值問題的討論.
基本概念由x、y的一次不等式(或方程)組成的不等式組,是對x、y的約束條件線性約束條件意義名稱求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題線性規(guī)劃問題使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的可行解最優(yōu)解所有可行解組成的集合叫做可行域可行域滿足線性約束條件x、y的解(x,y)叫做可行解可行解關(guān)于x、y的一次解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x、y的解析式,如:z=2x+y,z=x2+y2等目標(biāo)函數(shù)
解線性規(guī)劃的問題,一般用圖解法,其步驟如下:
(1)設(shè)出變量x、y;
(2)找出約束條件,找出線性目標(biāo)函數(shù);(3)畫出可行域;(4)利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系;(5)求出最值,還原成實(shí)際問題的解.
x-3y+6≥0
x-y+2<0表示的平面區(qū)域是()1.不等式組B基礎(chǔ)練習(xí):(2009·上海卷)已知實(shí)數(shù)x、y滿足y≤2x
y≥-2x
x≤3,則目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最小值是
.學(xué)例1-9作出(x,y)滿足的值域如圖,由目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)知,在點(diǎn)(3,6)處z取得最小值-9.可行域?yàn)閳D中陰影部分,由圖可知s=x+y在點(diǎn)(4,5)處取得最大值,最大值為s=4+5=9.(2009·北京卷)若實(shí)數(shù)x,y滿足x+y-2≥0x≤4y≤5,則s=x+y的最大值為
.學(xué)例294.不等式|x-1|+|y-1|≤2表示的平面區(qū)域的面積是
.8|x-1|+|y-1|≤2可化為
x-1≥0x-1≥0x-1≤0
y-1≥0y-1≤0y-1≥0
x+y-4≤0
x-y-2≤0x-y+2≥0或或
x-1≤0
y-1≤0
x+y≥0.其平面區(qū)域如圖:所以面積S=2××4×2=8.或方法點(diǎn)撥:數(shù)形結(jié)合,以線定界以點(diǎn)定域.自學(xué)范例1設(shè)R為平面上以A(4,1)、B(-1,-6)、C(-3,2)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包括邊界及內(nèi)部),試求(x,y)在R內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),x,y需滿足的條件,并畫出平面區(qū)域.考點(diǎn)基本知識基本概念;可行域及判定、目標(biāo)函數(shù);不等式、不等式組表示的區(qū)域的求法1分析:先由三個(gè)頂點(diǎn)求出三條邊界線的方程.再確定區(qū)域的不等式組解析:在直角坐標(biāo)系中,標(biāo)出A、B、C三點(diǎn),畫出AB、AC、BC三條直線并寫出各自對應(yīng)的直線方程,代入原點(diǎn)(0,0)檢驗(yàn)即可.因?yàn)锳B:7x-5y-23=0,BC:4x+y+10=0,AC:x+7y-11=0,將(0,0)代入7x-5y-23得-23<0,∴原點(diǎn)在7x-5y-23≤0所表示的區(qū)域內(nèi).
同理檢驗(yàn)出原點(diǎn)在4x+y+10≥0,x+7y-11≤0所表示的區(qū)域內(nèi).x、y滿足的條件為它所表示的平面區(qū)域如下圖所示.【點(diǎn)評】正確表示出區(qū)域,求出不等式或二元一次直線方程,再結(jié)合原點(diǎn)存在與否定域,區(qū)域或邊界用陰影或虛實(shí)線表示.考點(diǎn)幾個(gè)常見的幾何問題的線性規(guī)劃2方法點(diǎn)撥:目標(biāo)函數(shù)建立后,要聯(lián)系相關(guān)幾何意義.如斜率、截距、距離等.自學(xué)范例2設(shè)x、y滿足分析:先畫出不等式組表示的平面區(qū)域,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解.解析:如圖直線x-y+2=0,x+y-4=0,2x-y-5=0的交點(diǎn)A(1,3),B(3,1),C(7,9).(1)設(shè)z=x+2y-4,則作斜率為的平行直線l.當(dāng)l過C(7,9)時(shí),截距最大,這時(shí)z也最大.即z的最大值是7+2×9-4=21.(2)x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2是表示區(qū)域上的點(diǎn)(x,y)與(0,5)的距離的平方.∵(0,5)到直線x-y+2=0的距離是d=∴x2+y2-10y+25的最小值是
x-y-2≤0
x+2y-4≥02y-3≤0,則的最大值是.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分.設(shè)=t,則y=tx,求的最大值,即求y=tx的斜率的最大值.顯然y=tx過A點(diǎn)時(shí),t最大.x+2y-4=02y-3=0代入y=tx,得t=.所以的最大值為.由,解得A(1,).
x≥1
x-y+1≤02x-y-2≤0,則x2+y2的最小值是
.2.已知實(shí)數(shù)x、y滿足5
x-y+1=0
x=1,得最優(yōu)解為A(1,2),所以x2+y2的最小值為5.作出可行域,由本題是將非線性規(guī)劃問題,轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和化歸思想的運(yùn)用.這種題型在今后高考中可能會成為主要命題方向,望引起同學(xué)們的關(guān)注.方法點(diǎn)撥:目標(biāo)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)或是整點(diǎn)最值問題.以實(shí)際意義來看,一類是資源分配能使完成任務(wù)量最大;另一類是統(tǒng)籌安排任務(wù),使耗費(fèi)的人力、物力資源最少.考點(diǎn)線性規(guī)劃解決應(yīng)用問題3自學(xué)范例3某公司計(jì)劃2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告,廣告總費(fèi)用不超過9萬元.甲、乙電視臺的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘.假定甲、乙兩個(gè)電視臺為該公司所做的每分鐘廣告,能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元,問該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺的廣告時(shí)間,才能使公司的收益最大,最大收益是多少萬元?分析:假設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘,總收益為z元,則可列出x,y所滿足的不等式組及目標(biāo)函數(shù).解析:設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘,總收益為z元,由題意得作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域,如上圖.???íì33£+£++=???íì33£+£+0,0,90025,300.20003000.0,0,90000200500,300yxyxyxyxzyxyxyx于二元一次不等式組等價(jià)目標(biāo)函數(shù)為
作直線l:3000x+2000y=0.即3x+2y=0.平移直線l,從圖中可知,當(dāng)直線l過M點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值.聯(lián)立解得x=100,y=200.∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(100,200).∴zmax=3000x+2000y=700000(元).答:該公司在甲電視臺做100分鐘廣告,在乙電視臺做200分鐘廣告.公司的收益最大,最大值為70萬元.【點(diǎn)評】畫出可行域后,再把目標(biāo)函數(shù)平行移動(dòng),比較截距的大小,要注意目標(biāo)函數(shù)的意義.注意單位的換算!練習(xí)制定投資計(jì)劃時(shí),不僅要考慮可能獲得的利潤,而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損,某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目,根據(jù)預(yù)測,甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%,可能的最大虧損分別為30%和10%,投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬元,要求確??赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元,問投資人對甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬元,才能使可能的盈利最大?設(shè)投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目,則目標(biāo)函數(shù)z=x+0.5y.
x+y≤100.3x+0.1y≤1.8
x≥0,y≥0,作可行域,當(dāng)直線l:x+0.5y=z過點(diǎn)M時(shí),z取最大值.
x+y=10x=43x+y=18,y=6,所以點(diǎn)M(4,6).故當(dāng)x=4,y=6時(shí),zmax=7.答:投資甲項(xiàng)目4萬元,投資乙項(xiàng)目6萬元時(shí),可能的盈利最大.由得這是在高考中第一次以解答題的形式考查簡單的線性規(guī)劃問題.本題是一道應(yīng)用題,以投資決策為背景,以線性規(guī)劃為素材,考查學(xué)生對數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和能力,不落俗套,令人耳目一新.作出可行域如圖所示:
經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn),當(dāng)時(shí),花費(fèi)最少,為(元)答:應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)定4個(gè)單位的午餐和4個(gè)單位晚餐考點(diǎn)綜合新題4自學(xué)范例4(1)設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镸,使函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象過區(qū)域M的a的取取值范圍是(
)
A.[1,3]
B.[2,
]
C.[2,9]
D.[,9]分析:結(jié)合圖形求解.解析:(1)過點(diǎn)(1,9)(3
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