一元函數(shù)圖形的描繪

復(fù)習(xí)若增，若增；若減，若減；觀察：與在內(nèi)單調(diào)增加，為什么這么增呢？1曲線的凹凸與拐點(diǎn)一、曲線凹向的定義問(wèn)題:曲線弧位于任一切線下方曲線弧位于任一切線上方如何研究曲線的彎曲方向?2定義1：在連續(xù)的曲線弧段上任一點(diǎn)作切線,弧總是位于其切線上方,稱該曲線弧段是(向上)凸的(或稱凸弧).的(或稱凹弧).如果曲線則稱該曲線弧段是(向上)凹如果曲線弧總是位于其切線下方,則3凹單調(diào)增特征：凹凸單調(diào)減特征：凸反之：凹，凸成立嗎？4二、曲線凹凸的判定定理1如果在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，若在內(nèi)(1)(2)則曲線在內(nèi)是凹的.則曲線在內(nèi)是凸的.注意：該定理?yè)Q成其它區(qū)間仍然成立.5例1解注意到,判斷曲線的凹凸性.當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)是凸的.當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)是凹的.點(diǎn)是曲線由凸變凹的分界點(diǎn).6三、拐點(diǎn)的定義及求法.1.定義：注意:拐點(diǎn)是曲線上的點(diǎn),是一對(duì)有序的實(shí)數(shù).2.拐點(diǎn)的求法連續(xù)曲線上由凹變凸或由凸變凹的分界稱為曲線的拐點(diǎn).點(diǎn)定理2設(shè)函數(shù)在的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且或在處二階不可導(dǎo).(1)若在的兩側(cè)異號(hào)，則點(diǎn)為拐點(diǎn).(2)若在的兩側(cè)不變號(hào)，拐點(diǎn).則點(diǎn)不是7解拐點(diǎn)拐點(diǎn)問(wèn)題：）））例2求曲線的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間.令得則它的凹區(qū)間是：與凸區(qū)間是：拐點(diǎn)是：和是否二階導(dǎo)數(shù)為0的根都是拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)呢？8例3判斷曲線的凹凸性，求拐點(diǎn).解

定義域?yàn)?/p>

令得

列表討論二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，））不是拐點(diǎn)故該函數(shù)沒(méi)有拐點(diǎn).來(lái)判定凹凸性.9例4求的拐點(diǎn).解

定義域?yàn)?/p>

有二階不可導(dǎo)點(diǎn)

列表討論二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來(lái)判定凹凸性.））拐點(diǎn)則它的拐點(diǎn)是：不存在10例5求的拐點(diǎn).解

定義域?yàn)?/p>

有二階不可導(dǎo)點(diǎn)

列表討論二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來(lái)判定凹凸性））不是拐點(diǎn)因此該函數(shù)沒(méi)有拐點(diǎn).不存在11說(shuō)明：拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)可能是的根，也可能是不存在的點(diǎn).于是求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的步驟如下：

求函數(shù)的定義域；

求出

求的根及不存在的根；

列表1.曲線的彎曲方向——凹凸性;2.改變彎曲方向的點(diǎn)——拐點(diǎn);凹凸性的判定.求拐點(diǎn)12函數(shù)圖象的描繪問(wèn)題：有漸近線嗎？叫水平漸近線叫垂直漸近線13漸近線的定義當(dāng)曲線y=f(x)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線移向無(wú)窮點(diǎn)時(shí)，P到某定直線L的距離趨向于零，曲線y=f(x)的一條漸近線.如果點(diǎn)那么直線L就稱為141.水平漸近線(平行于軸的漸近線)如果那么就是的水平漸近線.為常數(shù)),2.垂直漸近線如果那么就是的垂直漸近線.為常數(shù)),(平行于軸的漸近線)一.漸近線15例如有水平漸近線兩條:又如所以有水平漸近線16例如有鉛直漸近線:是它的水平漸近線.如xyo2xyo有鉛直漸近線:17解所以有鉛直漸近線例1求的漸近線.且則有斜漸近線所以它沒(méi)有水平漸近線;18二、圖形描繪的步驟利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形的步驟如下：1.求的定義域，判斷函數(shù)的奇偶性、周期性等，2.求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)3.求出方程和在函數(shù)定義域內(nèi)的全部實(shí)根，及一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，并求漸近線.4.列表討論和的符號(hào)，性與極值及曲線的凹凸與拐點(diǎn).確定函數(shù)的增減5.補(bǔ)充一些關(guān)鍵點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn))，描出圖形.19解無(wú)奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):作出函數(shù)的圖形.得駐點(diǎn)：得特殊點(diǎn)補(bǔ)充點(diǎn)：例220拐點(diǎn)極大值極小值：凸增