2.4.5函數(shù)的最值及其應(yīng)用

函數(shù)的最值及應(yīng)用§2.4.5一、函數(shù)最值概念及其求法二、實際問題中最值的求解在實際問題中經(jīng)常遇到需要解決在一定條件下的最大、最小、最遠(yuǎn)、最近、最好、最優(yōu)等問題，這類問題在數(shù)學(xué)上?？梢詺w結(jié)為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值或最小值問題-----最值問題最值問題1.函數(shù)的最值概念

我們把函數(shù)在某一范圍內(nèi)取得的函數(shù)值的最大者稱為函數(shù)的最大值，最小者稱為函數(shù)的最小值；最大值與最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值.一、函數(shù)最值的概念及其求法2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的步驟

:①求在內(nèi)的極值；

②將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值。

事實上，只要比較駐點、連續(xù)但不可導(dǎo)點的函數(shù)值以及端點的函數(shù)值的大小即可．例1：求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.

解:得駐點:[注意]極值與最值的比較：（1）極值是局部性的，最值是全局性的；（2）極值一定在區(qū)間內(nèi)部取得，最值可在區(qū)間端點取得；（3）極值可有多個，而最值惟一.預(yù)備知識：如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是最值

(最大值或最小值).二、實際問題中最值的求解點擊圖片任意處播放\暫停引例.敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘．開始追擊時,敵我水平距離為4公里；河寬0.5公里.問我軍摩托車何時射擊最好（相距最近射擊最好）？解(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系:敵我相距函數(shù)得唯一駐點(2)求s=s(t)的最小值點:（1）

建立目標(biāo)函數(shù)；（2）求出目標(biāo)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的最值；實際問題中最值問題的求法:說明：對于最值問題，往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)確有最大值或最小值.

（3）按問題的要求寫出結(jié)論.

例2

某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時，公寓會全部租出去．當(dāng)租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護(hù)費．試問房租定為多少可獲得最大收入？解租出去的房子有套，每月總收入為設(shè)房租為每月元，(1)建立收入與房租之間的函數(shù)關(guān)系:（唯一駐點）故每月每套租金為350元時收入最高.此時最大收入為:(2)求收入的最大值點:點擊圖片任意處播放\暫停例3解如圖，設(shè)所求切點坐標(biāo)為(1)建立三角形面積函數(shù)關(guān)系:求A、B、C三個點的坐標(biāo)：x=8y=0y=x2由得切線PT為解得(2)求面積的最大值點:例4設(shè)某企業(yè)每季度生產(chǎn)某種產(chǎn)品q個單位時，總成本函數(shù)為，求使平均成本最小的產(chǎn)量.

解(1)建立平均成本函數(shù)（目標(biāo)函數(shù)）(2)求目標(biāo)函數(shù)的最值點由于平均成本存在最小值，故就是最小值點.即每季度產(chǎn)量為2個單位時平均成本最小.練習(xí)題練習(xí)1.某廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件的成本函數(shù)為為使每件產(chǎn)品平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為多少？此時，每件產(chǎn)品平均成本為多少？練習(xí)1.某廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件的成本函數(shù)為為使每件產(chǎn)品平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為多少？此時，每件產(chǎn)品平均成本為多少？解

令=0，即（舍去）

在其定義域內(nèi)的駐點唯一，且該問題確實存在最小值.

每天產(chǎn)量應(yīng)為140件.此時的平均成本為

=176（元/件）練習(xí)

3.

LhLxy練習(xí)3

練習(xí)4.

欲圍一個面積為150平方米的矩形場地，所用材料的造價其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元.問場地的長、寬為多少米時，才能使所用材料費最少？練習(xí)5．設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為50000元，每生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，成本增加100元．又已知需求函數(shù)，其中為價格，為產(chǎn)量，這種產(chǎn)品在市場上是暢銷的，問價格為多少時利潤最大？并求最大利潤.練習(xí)4.

欲圍一個面積為150平方米的矩形場地，所用材料的造價其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元.問場地的長、寬為多少米時，才能使所用材料費最少？設(shè)所圍矩形場地正面長為x

米，另一邊長為y

米，則矩形場地面積為xy=150，于是

解(1)建立材料費函數(shù)關(guān)系:設(shè)四面圍墻的高相同，都為h，則四面圍墻所使用材料的費用為(2)求材料費最小時的長和寬由于駐點唯一，由實際意義可知，問題的最小值存在，因此當(dāng)正面長為10米，側(cè)面長為15米時，所用材料費最少.實際上練習(xí)5．設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為50000元，每生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，成本增加100元．又已知需求函數(shù)，其中為價格，為產(chǎn)量，這種產(chǎn)品在市場上是暢銷的，問價格為多少時利潤最大？并求最大利潤.解C(p)=50000+100q=50000+100(2000-4p)

=250000-400p

R(p)=pq=p(2000-4p)=2000p-4p2

利潤函數(shù)L(p)=R(p)-C(p)=2400p-4p2-250000，且令

=2400–8p=0得p=300，

該問題確實存在最大值.

所以，當(dāng)價格為p=300元時，利潤最大.

其最大利潤為（元）．實際問題求最值的步驟：小結(jié)作業(yè)（1）

建立目標(biāo)函數(shù)；（2）求出目標(biāo)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的最值.課本P55.練習(xí)2.45,6補充練習(xí)

欲做一個底為正方形，容積為108立方米的長方體開口容器，怎樣做法所用材料最??？補充練習(xí)設(shè)圓柱形有蓋茶缸容積V為常數(shù)，求表面積為最小時，底半徑x與高y之比.解(1)建立目標(biāo)函數(shù)茶缸容積為V=x2y，設(shè)表面積為

S，則S=2x2+2x

y，因為V為常數(shù)，所以，由此可得目標(biāo)函數(shù)為：xy如圖，設(shè)茶缸底半徑為x

，高為y(2)求

S(x)最小時x與y之值因為令S

(