2023-2024學(xué)年北京市西城區(qū)德勝中學(xué)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年北京市西城區(qū)德勝中學(xué)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若x?2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍A.x≥2 B.x≤2 C.2.如圖，在?ABCD中，∠A+∠CA.140°

B.120°

C.110°3.下列關(guān)于正比例函數(shù)y=2x的說法中，正確的是A.當(dāng)x=2時，y=1 B.它的圖象是一條過原點(diǎn)的直線

C.y隨x4.下列計算正確的是(

)A.(?2)2=?2 5.如圖，兩個邊長為1的正方形排列在數(shù)軸上形成一個矩形，以表示3的點(diǎn)為圓心，以矩形的對角線長度為半徑作圓與數(shù)軸有兩個交點(diǎn)，其中點(diǎn)P表示的數(shù)是(

)A.5.2

B.25

C.3+6.下列結(jié)論中，不正確的是(

)A.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

B.對角線相等的平行四邊形是矩形

C.正方形的一條對角線之長為4，則此正方形的面積是8

D.順次連接四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)所得的四邊形為菱形，則四邊形7.點(diǎn)A(?3,m)，B(2,nA.m>n B.m<n C.8.在某校舉辦的科技節(jié)活動中，“紙牌承重”項目受到同學(xué)們的廣泛關(guān)注.小德所在小組用若干圖1中的紙牌搭建成可承重的兩只桌腿，制成圖2所示的“紙牌承重桌”(桌面與地面平行，桌面厚度和紙牌厚度忽略不計).“紙牌承重桌”的高度為(

)

A.4335cm B.439.如圖，在四邊形ABCD中，∠DCB=135°，∠B=A.722

B.52

C.10.如圖，?ABCD中，∠A=150°，兩動點(diǎn)M，N同時從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)M在邊BC上以4cm/s的速度勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C時停止運(yùn)動；點(diǎn)N沿B?A?D?C的路徑勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C時停止運(yùn)動.△BMN的面積S(cm2)與點(diǎn)N的運(yùn)動時間t(s)的關(guān)系圖象如圖所示.已知BC=A.①② B.①②③ C.②二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。11.比較大小：23

4(填“>”，“<”或“=”)12.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是

13.若(x?3)3=14.在Rt△ABC中，∠ACB=90°15.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，?ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在坐標(biāo)軸上，AB=AC=5，B(

16.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DE上，AB=10，BF=8

17.如圖，圖①中的直角三角形斜邊長為5，將四個圖①中的直角三角形分別拼成如圖②所示的正方形，其中陰影部分的面積分別記為S1，S2，則S1+S18.如圖，正方形ABCD的邊長是6，點(diǎn)M是DC邊上的一個動點(diǎn)，連結(jié)AM，作BP⊥AM于點(diǎn)P，連結(jié)

三、解答題：本題共9小題，共54分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.(本小題6分)

計算：(1)33+20.(本小題5分)

如圖，平行四邊形ABCD，E、F兩點(diǎn)在對角線BD上，且BE=DF，連接AE，EC，21.(本小題6分)

學(xué)習(xí)完四邊形的知識后，小明想出了“作三角形一邊中線”的另一種尺規(guī)作圖的作法，下面是具體過程．

已知：△ABC．

求作：BC邊上的中線AD．

作法：如圖，

①分別以點(diǎn)B，C為圓心，AC，AB長為半徑作弧，兩弧相交于P點(diǎn)；

②作直線AP，AP與BC交于D點(diǎn)，所以線段AD就是所求作的中線．

根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程．

(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明．

證明：連接PB，PC．

∵PC=AB，______，

∴四邊形22.(本小題6分)

問題背景：

問題：在△ABC中，三條邊AB，BC，AC的長分別為5，10，13，求這個三角形的面積．

小明在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長均為1)，再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC(即△ABC三個頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處)，如圖1所示.我們把這種借助網(wǎng)格求三角形面積的方法叫做構(gòu)圖法．

方法應(yīng)用：

(1)請直接在橫線上寫出△ABC的面積______．

(2)若△ABC的三邊長分別為5a，22a，17a(a>0)，請利用圖23.(本小題6分)

如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使CF=BE，連接DF．

(124.(本小題6分)

探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程.結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，請畫出函數(shù)y=6|x|+1的圖象并探究該函數(shù)的性質(zhì)．

(1)繪制函數(shù)圖象

①列表：如表是xx…?????012345…y…16323632m61…②描點(diǎn)：根據(jù)表中的數(shù)值描點(diǎn)(x,y)；

③連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象．

(2)探究函數(shù)性質(zhì)

寫出函數(shù)y=6|x|+1的一條性質(zhì)：______．

(3)運(yùn)用函數(shù)圖象及性質(zhì)

①觀察你所畫的函數(shù)圖象，回答問題：若點(diǎn)A25.(本小題5分)

閱讀下列材料：

①在進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時，我們會遇到分母中含有字母，形如23+1的式子.我們可以用這樣的方法將其進(jìn)行化簡：23+1=2(3?1)(3+1)(3?1)=2(3?1)(3)2?26.(本小題7分)

在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABD=α(0°<α<45°)，點(diǎn)M是對角線BD上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)O，D重合)，將線段OM繞點(diǎn)M順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段MM．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在線段OD上，點(diǎn)N在AD邊上時，連接ON，求證：M是OD中點(diǎn)；

(27.(本小題7分)

對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M、N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N上任意一點(diǎn)，稱P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值為圖形M，N間的“近距離”，記作d(M,N).在?ABCD中，點(diǎn)A(6,12)，B(?6,0)，C(?6,?12)，D(6,0)．

(1)d(點(diǎn)O，?ABCD)=______；

(2)若點(diǎn)P在y軸正半軸上，d(點(diǎn)P，?ABCD)=2，直接寫出點(diǎn)答案和解析1.【答案】A

【解析】解：∵x?2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

∴x?2≥0，解得x≥2．

2.【答案】C

【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴∠A=∠C，∠A+∠B=180°，且∠A+∠3.【答案】B

【解析】解：A、當(dāng)x=2時，y=4，原說法錯誤，不符合題意；

B、∵直線y=2x是正比例函數(shù)，∴它的圖象是一條過原點(diǎn)的直線，正確，符合題意；

C、∵k=2>0，∴y隨x的增大而增大，原說法錯誤，不符合題意；

D、∵直線y4.【答案】D

【解析】解：A．(?2)2=|?2|=2，此選項計算錯誤；

B.(?2)×(?3)5.【答案】C

【解析】解：圓的半徑=12+22=5，

∴點(diǎn)P表示的數(shù)為3+5，6.【答案】D

【解析】解：A.對角線互相垂直的四邊形是菱形，故本選項的結(jié)論正確，不符合題意；

B.對角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項的結(jié)論正確，不符合題意；

C.正方形的一條對角線之長為4，則其邊長為22，則此正方形的面積是8，故本選項的結(jié)論正確，不符合題意；

D.順次連接四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)所得的四邊形為菱形，則四邊形ABCD一定滿足A7.【答案】B

【解析】解：∵k=3>0，

∴y隨x的增大而增大，

又∵點(diǎn)A(?3,m)，B(2,n)都在正比例函數(shù)y=3x的圖象上，且?3<2，

∴m<n．

故選：B．8.【答案】A

【解析】解：如圖，連接BD，

根據(jù)題意，△ABE，△DEF，△BEF，△CEF是等邊三角形，邊長都為435cm，

∴BD⊥EF，∠A=60°，

∵EF/?/AC，

∴BD⊥AC9.【答案】C

【解析】解：延長AD，與BC的延長線于點(diǎn)E，

∵∠DCB=135°，∠ADC=90°，

∴∠DCE=45°，∠EDC=90°，

∴∠DEC=∠DCE=45°，

∴DE=DC，

∵BC=110.【答案】D

【解析】解：∵BC=8cm，點(diǎn)M的速度為4cm/s，

∴當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)B到點(diǎn)C，用時t=8÷4=2(s)，

當(dāng)t=2時，過點(diǎn)N作NE⊥BC于點(diǎn)E，

∴S=12?BC?NE=8，

∴NE=2，

在?ABCD中，∠A=150°，

∴∠B=30°，AD=BC=8cm，

∴BN=2NE=4cm，

∴N點(diǎn)的運(yùn)動速度是2cm/s；故①正確；

∴點(diǎn)N從D到C，用時t=4s，

由圖可知，點(diǎn)N從B到A用時3s，

∴AB=6cm，故②正確；

∴a=(6+8)÷2=7(s)，故③正確；

當(dāng)點(diǎn)M未到點(diǎn)C時，過點(diǎn)N作N11.【答案】<

【解析】解：∵1<3<2，

∴2<23<4，12.【答案】50

【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點(diǎn)，

則BD=12AC=CD13.【答案】x=【解析】解：∵(x?3)3=3?x，

∴x?3≥14.【答案】3

【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=515.【答案】(6【解析】解：∵AB=AC=5，OA⊥BC，

∴BO=OC=3，

∴BC=6，OA=4，

∵16.【答案】2

【解析】解：∵點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE=12BC=12×14=7，

∵AF=6，BF=8，AB=10，

∴AF2+B17.【答案】25

【解析】解：如圖，∵△ABC是直角三角形，

∴S1+S2=18.【答案】3【解析】解：∵BP⊥AM，

∴△ABP是直角三角形，

∴以AB為直徑作△APB的外接圓，如圖，

∵正方形ABCD邊長是6，

∴三角形ABP的半徑是2，DN長是35，

當(dāng)DP最小時，N、P、D三點(diǎn)共線，

∴DP最小值=319.【答案】解：(1)33+8?2?27

=33【解析】(1)先對二次根式進(jìn)行化簡，再合并同類項即可；

(220.【答案】證明：連接AC交BD于點(diǎn)O，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴OA=OC，OB=O【解析】根據(jù)兩條對角線相互平分的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形AECF21.【答案】解：(1)圖形如圖所示：

(2【解析】(1)根據(jù)要求作出圖形即可．

(2)利用平行四邊形的判定和性質(zhì)解決問題即可．22.【答案】3.5

3a2

【解析】解：(1)△ABC的面積=3×3?12×1×2?12×1×3?12×2×3=3.5．

故答案為：3.5．

(2)如圖2中，△ABC即為所求，△A23.【答案】證明：(1)∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD//BC且AD=BC，

∵BE=CF，

∴BC=EF，

∴AD=EF，

∵AD//EF，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

∵AE⊥BC，

∴∠AE【解析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD//BC且AD=BC，等量代換得到BC=EF，推出四邊形AEFD24.【答案】32

函數(shù)y=6|x|+1的圖象關(guān)于y【解析】解：(1)①把x=3代入y=6|x|+1得y=32，

∴m=32；

②描點(diǎn)，

③連線，畫出函數(shù)的圖象如圖：

故答案為：32；

(2)函數(shù)y=6|x|+1的性質(zhì)：函數(shù)y=6|x|+1的圖象關(guān)于y軸對稱；

故答案為：函數(shù)y=6|x|+1的圖象關(guān)于y軸對稱；

(325.【答案】解：(1)原式=3?12+5?32+7?52

=7?12；

(2)∵a=(n+1【解析】(1)先分母有理化，然后合并同類二次根式即可；

(2)先利用分母有理化得到a=2n+1?2n(n+1)26.【答案】(1)證明：∵將線段OM繞點(diǎn)M順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段MN，

∴OM=MN，∠OMN=2α，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠ABD=∠ADB=α，

∴∠MND=∠OMN?∠ADB=α，

∴MN=DN，

∴OM=DM，

∴M是OD的中點(diǎn)；

(2)①解：如圖為所求；

②證明：如圖，延長EN到F，使得EN=FN，連接AE，AF，DF，

∵M(jìn)E=MD，EN=FN，

∴點(diǎn)M，N分別為DE，EF的中點(diǎn)，【解析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OM=MN，∠OMN=2α，證出MN=DN，得出OM=DM，則可得出結(jié)論；

(2)①由題意畫出圖形即可；

②延長EN到F，使得27.【答案】4

【解析】(1)解：由A，B，C，D的點(diǎn)坐標(biāo)可知O為?ABCD對角線的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)O到BC，AD的距離相等且為6；點(diǎn)O到AB，CD的距離相等；

如圖1，記AB與y軸的交點(diǎn)為M，

∵AD=12=BD，

∴∠ABD=∠BMO=45°，

∴OМ=OВ=6，

在Rt△OBM中，由勾股定理得BМ=OB2+OM2=62，

設(shè)O到AB的距離為h，

∴S△BOM=12OB?OM=12BM?h，

∴12×6×6=12×62Sh，

解得h=32，

∵32>4，

∴d(點(diǎn)O，?ABCD)的值為4，

故答案為：4；

(2)解：作PQ⊥AB于Q，

如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M的上方時，

∵d?(點(diǎn)P，?ABCD)=2，

∴PQ=2，

∵∠PMQ=∠BMO=45°，

∴MQ=PQ=2，

在Rt△POM中，由勾股定理得，

PМ=MQ2+PQ2=22，

∴OP=6+22，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,6?22)；

如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M的下方時，

同理可得：PM=22，

∴OP=6=22，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,6?22)；

綜上，點(diǎn)P