小學五年級奧數(shù)精講：《奇偶性》習題及答案

小學五年級奧數(shù)精講：《奇偶性》習題及其答案

一、知識總結：

整數(shù)按照能不能被2整除，可以分為兩類：

（1）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如

0,2,4,6,8,10,12,14,16,...

（2）不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如

1,3,5,7,9,11,13,15,17,...

整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個整數(shù)大小相差1,所以肯定是一奇

一偶。因為偶數(shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為2n的形式，其中n為整數(shù)；因為奇數(shù)不能

被2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n+1的形式，其中n為整數(shù)。

每一個整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個屬性叫做這個數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要

性質：

（1）兩個奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個奇偶性不同的數(shù)的和（或差）

一定是奇數(shù)。反過來，兩個數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個數(shù)奇偶性相同；兩個數(shù)的和（或

差）是奇數(shù)，這兩個數(shù)肯定是一奇一偶。

（2）奇數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個偶數(shù)

的和（或差）是偶數(shù)。

（3）兩個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。

（4）若干個數(shù)相乘，如果其中有一個因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是

奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過來，如果若干個數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個是偶數(shù);

如果若干個數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。

（5）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇

數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。

（6）偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。

因為（2n）2=4n2=4xn2,所以（2n）2能被4整除；

因為（2n+1）2=4n2+4n+1=4x（n2+n）+1,所以（2n+1）2除以4余1。

（7）相鄰兩個自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。

（8）如果一個整數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)（包括1和這個數(shù)本身），那么這個數(shù)一定是平方數(shù)；

如果一個整數(shù)有偶數(shù)個約數(shù)，那么這個數(shù)一定不是平方數(shù)。

整數(shù)的奇偶性能解決許多與奇偶性有關的問題。有些問題表面看來似乎與奇偶性一點關

系也沒有，例如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想辦法編上號碼，成為整數(shù)問題,

便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。

二、小試牛刀

例1、下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？

1+2+3+4+...+1997+1998。

例2、能否在下式的口中填上“+”或“」'，使得等式成立？

1口2口3口4口5口6口7口8口9=66。

例3、任意給出一個五位數(shù)，將組成這個五位數(shù)的5個數(shù)碼的順序任意改變，得到一個

新的五位數(shù)。那么，這兩個五位數(shù)的和能不能等于99999?

例4、在一次校友聚會上，久別重逢的老同學互相頻頻握手。請問：握過奇數(shù)次手的人

數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？請說明理由。

例5、五(2)班部分學生參加鎮(zhèn)里舉辦的數(shù)學競賽，每張試卷有50道試題。評分標準

是：答對一道給3分，不答的題，每道給1分，答錯一道扣1分。試問：這部分學生得分的

總和能不能確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？

例6、用0?9這十個數(shù)碼組成五個兩位數(shù)，每個數(shù)字只用一次，要求它們的和是奇數(shù)，

那么這五個兩位數(shù)的和最大是多少？

例7、7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻轉其中的2只杯子。能否經(jīng)過若干次

翻轉，使得7只杯子全部杯口朝下？

例8、有m（m>2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻轉其中的（m-1）只杯子。經(jīng)

過若干次翻轉，能使杯口全部朝上嗎？

例9、一本論文集編入15篇文章，這些文章排版后的頁數(shù)分別是1,2,3,15頁。

如果將這些文章按某種次序裝訂成冊，并統(tǒng)一編上頁碼，那么每篇文章的第一面是奇數(shù)頁碼

的最多有幾篇？

例10、有大、小兩個盒子，其中大盒內(nèi)裝1001枚白棋子和1000枚同樣大小的黑棋子,

小盒內(nèi)裝有足夠多的黑棋子。阿花每次從大盒內(nèi)隨意摸出兩枚棋子，若摸出的兩枚棋子同色,

則從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒內(nèi)；若摸出的兩枚棋子異色，則把其中白棋子放回大盒內(nèi)。

問：從大盒內(nèi)摸了1999次棋子后，大盒內(nèi)還剩幾枚棋子？它們都是什么顏色？

例11、一串數(shù)排成一行：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...

到這串數(shù)的第1000個數(shù)為止，共有多少個偶數(shù)？

例12、在7x7的正方形的方格表中，以左上角與右下角所連對角線為軸對稱地放置棋

子，要求每個方格中放置不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，則在這條對角線上的格

子里至少放有一枚棋子，這是為什么？

例13、對于左下表，每次使其中的任意兩個數(shù)減去或加上同一個數(shù)，能否經(jīng)過若干次

后（各次減去或加上的數(shù)可以不同），變?yōu)橛蚁卤?？為什么?/p>

例14、左下圖是一套房子的平面圖，圖中的方格代表房間，每個房間都有通向任何一個

鄰室的門。有人想從某個房間開始，依次不重復地走遍每一個房間，他的想法能實現(xiàn)嗎？

例15、左下圖是由14個大小相同的方格組成的圖形。試問能不能剪裁成7個由相鄰兩

方格組成的長方形？

例16、在右圖的每個。中填入一個自然數(shù)（可以相同），使得任意兩個相鄰的。中的數(shù)

字之差（大數(shù)減小數(shù)）恰好等于它們之間所標的數(shù)字。能否辦到？為什么？

例17、下頁上圖是半張中國象棋盤，棋盤上已放有一只馬。眾所周知，馬是走“日”字的。

請問：這只馬能否不重復地走遍這半張棋盤上的每一個點，然后回到出發(fā)點？

《奇偶性》習題分析與答案

例1、【分析與解】

本題當然可以先求出算式的和，再來判斷這個和的奇偶性。但如果能不計算，直接分析

判斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡潔。根據(jù)奇偶數(shù)的性質（2）,和的奇偶性只與加數(shù)

中奇數(shù)的個數(shù)有關，與加數(shù)中的偶數(shù)無關。1-1998中共有999個奇數(shù)，999是奇數(shù)，奇

數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)。所以，本題要求的和是奇數(shù)。

例2、【分析與解】

等號左端共有9個數(shù)參加加、減運算，其中有5個奇數(shù)，4個偶數(shù)。5個奇數(shù)的和或差仍

是奇數(shù)，4個偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù)，因為“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)"，所以題目的要求做不到。

例3、【分析與解】

假設這兩個五位數(shù)的和等于99999,則有下式：

□□□□□

+□□□□□

99999

其中組成兩個加數(shù)的5個數(shù)碼完全相同。因為兩個個位數(shù)相加，和不會大于9+9=18,

豎式中和的個位數(shù)是9,所以個位相加沒有向上進位，即兩個個位數(shù)之和等于9。同理，十位、

百位、千位、萬位數(shù)字的和也都等于9。所以組成兩個加數(shù)的10個數(shù)碼之和等于

9+9+9+9+9=45,是奇數(shù)。

另一方面，因為組成兩個加數(shù)的5個數(shù)碼完全相同，所以組成兩個加數(shù)的10個數(shù)碼之和,

等于組成第一個加數(shù)的5個數(shù)碼之和的2倍，是偶數(shù)。

奇數(shù)W偶數(shù)，矛盾的產(chǎn)生在于假設這兩個五位數(shù)的和等于99999,所以假設不成立，即

這兩個數(shù)的和不能等于99999,

例4、【分析與解】

通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對于甲是握手1次，對于乙也是握手1次，兩

人握手次數(shù)的和是2。所以一群人握手，不論人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，握手的總次數(shù)一定是偶數(shù)。

把聚會的人分成兩類：A類是握手次數(shù)是偶數(shù)的人，B類是握手次數(shù)是奇數(shù)的人。

A類中每人握手的次數(shù)都是偶數(shù)，所以A類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。又因為所有人握

手的總次數(shù)也是偶數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)，所以B類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。

握奇數(shù)次手的那部分人即B類人的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？如果是奇數(shù)，那么因為“奇

數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)”，所以得到B類人握手的總次數(shù)是奇數(shù)，與前面得到的結論矛盾，所

以B類人即握過奇數(shù)次手的人數(shù)是偶數(shù)。

例5、【分析與解】

本題要求出這部分學生的總成績是不可能的，所以應從每個人得分的情況入手分析。因

為每道題無論答對、不答或答錯，得分或扣分都是奇數(shù)，共有50道題，50個奇數(shù)相加減，

結果是偶數(shù)，所以每個人的得分都是偶數(shù)。因為任意個偶數(shù)之和是偶數(shù)，所以這部分學生的

總分必是偶數(shù)。

例6、【分析與解】

有時題目的要求比較多，可先考慮滿足部分要求，然后再調(diào)整，使最后結果達到全部要

求。

這道題的幾個要求中，滿足“和最大”是最容易的。暫時不考慮這五個數(shù)的和是奇數(shù)的要求。

要使組成的五個兩位數(shù)的和最大，應該把十個數(shù)碼中最大的五個分別放在十位上，即十

位上放5,6,7,8,9,而個位上放0,1,2,3,4。根據(jù)奇數(shù)的定義，這樣組成的五個兩

位數(shù)中，有兩個是奇數(shù)，即個位是1和3的兩個兩位數(shù)。

要滿足這五個兩位數(shù)的和是奇數(shù)，根據(jù)奇、偶數(shù)相加減的運算規(guī)律，這五個數(shù)中應有奇

數(shù)個奇數(shù)。現(xiàn)有兩個奇數(shù)，即個位數(shù)是1,3的兩位數(shù)。所以五個數(shù)的和是偶數(shù)，不合要求,

必須調(diào)整。調(diào)整的方法是交換十位與個位上的數(shù)字。要使五個數(shù)有奇數(shù)個奇數(shù)，并且五個數(shù)

的和盡可能最大，只要將個位和十位上的一個奇數(shù)與一個偶數(shù)交換，并且交換的兩個的數(shù)碼

之差盡可能小，由此得到交換5與4的位置。滿足題設要求的五個兩位數(shù)的十位上的數(shù)碼

是4,6,7,8,9,個位上的數(shù)碼是0,1,2,3,5,所求這五個數(shù)的和是(4+6+7+8+9)

x10+(0+1+2+3+5)=351o

例7、【分析與解】

盲目的試驗，可能總也找不到要領。如果我們分析一下每次翻轉后杯口朝上的杯子數(shù)的

奇偶性，就會發(fā)現(xiàn)問題所在。一開始杯口朝上的杯子有7只，是奇數(shù)；第一次翻轉后，杯口

朝上的變?yōu)?只，仍是奇數(shù)；再繼續(xù)翻轉，因為只能翻轉兩只杯子，即只有兩只杯子改變了

上、下方向，所以杯口朝上的杯子數(shù)仍是奇數(shù)。類似的分析可以得到，無論翻轉多少次，杯

口朝上的杯子數(shù)永遠是奇數(shù)，不可能是偶數(shù)0。也就是說，不可能使7只杯子全部杯口朝下。

例8、【分析與解】

當m是奇數(shù)時，(m-1)是偶數(shù)。由例2的分析知，如果每次翻轉偶數(shù)只杯子，那么無

論經(jīng)過多少次翻轉，杯口朝上(下)的杯子數(shù)的奇偶性不會改變。一開始m只杯子全部杯口

朝下，即杯口朝下的杯子數(shù)是奇數(shù)，每次翻轉（m-1）即偶數(shù)只杯子。無論翻轉多少次，杯口

朝下的杯子數(shù)永遠是奇數(shù)，不可能全部朝上。

當m是偶數(shù)時，（m-1）是奇數(shù)。為了直觀，我們先從m=4的情形入手觀察，在下表中

用u表示杯口朝上，D表示杯口朝下，每次翻轉3只杯子，保持不動的杯子用*號標記。翻轉

情況如下：

初始狀態(tài)nnnri

第一次翻轉A*uuu

第二次翻轉Uu*nn

第三次翻轉nnn*u

第四次翻轉uuuu

由上表看出，只要翻轉4次，并且依次保持第1,2,3,4只杯子不動，就可達到要求。

一般來說，對于一只杯子，要改變它的初始狀態(tài)，需要翻奇數(shù)次。對于m只杯子，當m是偶

數(shù)時，因為（m-1）是奇數(shù)，所以每只杯子翻轉（m-1）次，就可使全部杯子改變狀態(tài)。要做

到這一點，只需要翻轉m次，并且依次保持第1,2,m只杯子不動，這樣在m次翻轉

中，每只杯子都有一次沒有翻轉，即都翻轉了（m-1）次。

綜上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻轉（m-1）只。當m是奇數(shù)時，無論翻轉多

少次，m只杯子不可能全部改變初始狀態(tài)；當m是偶數(shù)時，翻轉m次，可以使m只杯子

全部改變初始狀態(tài)。

例9、【分析與解】

可以先研究排版一本書，各篇文章頁數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)時的規(guī)律。一篇有奇數(shù)頁的文章，

它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相同的，即排版奇數(shù)頁的文章，第一面是奇數(shù)

頁碼，最后一面也是奇數(shù)頁碼，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶數(shù)頁碼上。一篇有

偶數(shù)頁的文章，它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相異的，即排版偶數(shù)頁的文章，

第一面是奇（偶）數(shù)頁碼，最后一面應是偶（奇）數(shù)頁碼，而緊接的另一篇文章的第一面又

是排在奇（偶）數(shù)頁碼上。

以上說明本題的解答主要是根據(jù)奇偶特點來處理。

題目要求第一面排在奇數(shù)頁碼的文章盡量多。首先考慮有偶數(shù)頁的文章，只要這樣的第

一篇文章的第一面排在奇數(shù)頁碼上（如第1頁），那么接著每一篇有偶數(shù)頁的文章都會是第

一面排在奇數(shù)頁碼上，共有7篇這樣的文章。然后考慮有奇數(shù)頁的文章，第一篇的第一面

排在奇數(shù)頁碼上，第二篇的第一面就會排在偶數(shù)頁碼上，第三篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上，

如此等等。在8篇奇數(shù)頁的文章中，有4篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上。因此最多有7+4=11

（篇）文章的第一面排在奇數(shù)頁碼上。

例10、【分析與解】

大盒內(nèi)裝有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。

因為每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，

還剩2001-1999=2（枚）棋子。

從大盒內(nèi)每次摸2枚棋子有以下兩種情況：

（1）所摸到的兩枚棋子是同顏色的。此時從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒內(nèi)。當所摸兩

枚棋子同是黑色，這時大盒內(nèi)少了一枚黑棋子；當所摸兩枚棋子同是白色，這時大盒內(nèi)多了

一枚黑棋子。

（2）所摸到的兩枚棋子是不同顏色的，即一黑一白。這時要把拿出的白棋子放回到大盒,

大盒內(nèi)少了一枚黑棋子。

綜合（1）（2）,每摸一次，大盒內(nèi)的黑棋子總數(shù)不是少一枚就是多一枚，即改變了黑

棋子數(shù)的奇偶性。原來大盒內(nèi)有1000枚即偶數(shù)枚黑棋子，摸了1999次，即改變了1999

次奇偶性后，還剩奇數(shù)枚黑棋子。因為大盒內(nèi)只剩下2枚棋子，所以最后剩下的兩枚棋子

是一黑一白。

例11、【分析與解】

首先分析這串數(shù)的組成規(guī)律和奇偶數(shù)情況。

1+1=2?2+3=5,3+5=8,5+8=13,...

這串數(shù)的規(guī)律是，從第三項起，每一個數(shù)等于前兩個數(shù)的和。根據(jù)奇偶數(shù)的加法性質，

可以得出這串數(shù)的奇偶性：

奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，……

容易看出，這串數(shù)是按'奇，奇，偶”每三個數(shù)為一組周期變化的。1000-3=333……1,

這串數(shù)的前1000個數(shù)有333組又1個數(shù)，每組的三個數(shù)中有1個偶數(shù)，并且是第3個數(shù),

所以這串數(shù)到第1000個數(shù)時，共有333個偶數(shù).

例12、【分析與解】

目說在指定的這條對角線上的格子里必定至少放有一枚棋子，假設這個說法不對.，即對

角線上沒放棋子。如下圖所示，因為題目要求擺放的棋子以MN為對稱軸，所以對于MN左

下方的任意一格A,總有MN右上方的一格A',A與A'關于MN對稱，所以A與A'要么

都放有棋子，要么都沒放棋子。由此推知方格表中放置棋子的總枚數(shù)應是偶數(shù)。而題設每行

放3枚棋子，7行共放棋子3x7=21（枚），21是奇數(shù)，與上面的推論矛盾。所以假設不成

立，即在指定的對角線上的格子中必定至少有一枚棋子。

例13、【分析與解】

因為每次有兩個數(shù)同時被加上或減去同一個數(shù)，所以表中九個數(shù)碼的總和經(jīng)過變化后，

等于原來的總和加上或減去那個數(shù)的2倍，因此總和的奇偶性沒有改變。原來九個數(shù)的總和

為1+2+...+9=45,是奇數(shù)，經(jīng)過若干次變化后，總和仍應是奇數(shù)，與右上表九個數(shù)的總和是

4矛盾。所以不可能變成右上表。

例14、【分析與解】

如右上圖所示，將相鄰的房間黑、白相間染色。無論從哪個房間開始走，因為總是黑白

相間地走過各房間，所以走過的黑、白房間數(shù)最多相差1。而右上圖有7黑5白，所以不可

能不重復地走遍每一個房間。

例15、【分析與解】

將這14個小方格黑白相間染色（見右上圖），有8個黑格，6個白格。相鄰兩個方格必

然是一黑一白