人教A版（2019）選擇性必修第一冊新高考名師導(dǎo)學(xué)第一章1.4空間向量的應(yīng)用

人教A版（2019）選擇性必修第一冊新高考名師導(dǎo)學(xué)第一章

1.4空間向量的應(yīng)用

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)打“W,錯誤的打“X”

（1）零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量；（）

（2）若萬是直線/的方向向量，則XWaeR）也是直線/的方向向量；（）

（3）在空間直角坐標系中，了=（0,0,1）是坐標平面。町的一個法向量.（）

【答案】4x4

【分析】

根據(jù)零向量的方向不確定可判斷（1）,由2=0可判斷（2）,由7,平面。孫可判斷（3）.

【詳解】

（1）零向量的方向不確定，所以不能作為直線的方向向量和平面的法向量，正確；

（2）當(dāng)2=0時，Av=0,所以加（aeR）不一定是直線/的方向向量，不正確；

（3）在空間直角坐標系中，J=（0,0,1）,丁，平面。口，所以了=（0,0,1）是坐標平面電

的一個法向量，正確.

2.在棱長為1的正方體ABCD一中，點A到平面2。的距離等于；

直線DC到平面AB｝的距離等于；平面DAt到平面CBt的距離等于.

【答案】111

【分析】

根據(jù)點面距、線面距、面面距的定義及正方體的性質(zhì)計算可得；

【詳解】

解:在棱長為1的正方體ABCD-ABCR中，，面與C,所以|即為點A到平面B.C

的距離，故點A到平面81c的距離為1,因為。C〃A5,AB\面OCU面所

以DC〃面耳4,所以|AD|即為直線DC到平面AB1的距離，故直線。C到平面A片的距

離為1,又平面平面C4,所以平面。4到平面C4的距離為1

故答案為：1，1，1

二、解答題

3.在平行六面體A5C￡)—A與GA中，AB=afAD=b,A\=c9。是5。與耳。的交

點.以｛瓦瓦可為空間的一個基底，求直線的一個方向向量.

【答案】-=1a-——Ifb——Ifc

222

【分析】

依題意就是用｛a,b,c｝表示方，根據(jù)空間向量的線性運算法則計算可得；

【詳解】

解：因為通=6，AD=b,福=人如圖函=礪+麗=：取+麗

=^(Z)X+4A+

因為R4=—AD=—b,AA=—A4j=—c,

所以O(shè)A=；卜3-(7+1)-a=—-^a—^b-^c

4.在長方體ABC?！狝4G2中，AB=4,BC=3,CG=2,以。為原點，以

為空間的一個單位正交基底，建立空間直角坐標系。町％求平面

試卷第2頁，共35頁

ACDt的一個法向量.

【答案】（4,3,6）（答案不唯一）

【分析】

fm-AC=0

求得衣，也坐標，設(shè)出法向量，根據(jù)——八即可求解.

[m.ADX=0

【詳解】

由題可得C（0,4,0）,A（3,0,0）,〃（0,0,2）,

則AC=（-3,4,0）,=（-3,0,2）,

設(shè)平面ACR的一個法向量為玩=（x,y,z）,

m-AC=-3x+4y=0“

則一,令尤=4得y=3,z=6,

m-ADX=-3x+2z=0

則平面AC，的一個法向量為（4,3,6）.

5.用向量方法證明“直線與平面平行的判定定理”：若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一

條直線平行，則該直線與此平面平行.

【答案】證明見解析

【分析】

先寫出已知求證，再利用向量的數(shù)量積運算以及線面平行的定義即可證出.

【詳解】

己知：直線匕，平面a,aua,bua,a/lb.

求證：alia.

證明：設(shè)直線a,b的方向向量分別為&戶，平面a的一個法向量為萬，

因為。//6,所以江=2爐，由于萬_LD,所以為4=0,即有五力=4方?爐=0,亦即為_1_葭

因為所以a//a.

6.如圖，在四面體ABCD中,E是BC的中點.直線AD上是否存在點F,使得AE//CF?

【答案】不存在，證明見解析.

【分析】

把向量檢和國都用同一組基底來表示，然后根據(jù)向量平行的條件來證明不存在.

【詳解】

假設(shè)直線AD上存在點F使他〃CP,設(shè)通=彳而（0W/141）,通=￡,*=及赤=",

—、1—>1—>1f1f

因為E是BC的中點，所以AE=7+7,

2222

CF=AF-AC=2AD-AC=Xc-b^若AE//CF,則AE=mCF，

即;〃+,所以;a+=—,&fl—a+\—+m\b-mAc=O,

「2二。

所以<g+"?=o,此時顯然不成立，所以不存在點R使得AE〃CF.

m2=0

7.如圖，在正方體A3CD-A4G。中，E,尸分別是面A%面AG的中心.求證：EFII

【分析】

以。為原點建立空間直角坐標系，求出平面ACR的一個法向量，利用向量關(guān)系即可證

試卷第4頁，共35頁

明.

【詳解】

如圖，以。為原點建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為2,

則A(2,0,0),C(0,2,0)(0,0,2),E(2,l,1),爪(1,1,2),

則AC=(-2,2,0),=(-2,0,2),EF=(-1,0,1),

設(shè)平面ACR的一個法向量為n=(x,y,z),

n-AC=0—2x+2y=0

令i=l,則可得3=(1,1,1),

n-AD^=Q—2%+2z=0

EF?〃=0，/.EF_Ln，

平面AC，，二EF〃平面AC2.

8.已知〃=(3,〃+4Q-勿(。*￡R)是直線/的方向向量，元=(123)是平面。的法向量.

(1)若〃/a,求。，)的關(guān)系式；

(2)若/_La,求a,8的值.

153

【答案】(1)57+3=0；(2)a=-,b=--.

【分析】

(1)由///a得萬_L為，所以小為=0,進而可得結(jié)果；

(2)由得以/河，所以:=噂=色『，進而解得a,"

【詳解】

(1)由///a得■萬，所以辦法=0,即3xl+(a+0)x2+(a—0)x3=0,整理得

5a—Z?+3=0；

(2)由得日〃為，所以：=空=?，解得。=號，b=~l，

12322

9.已知正方體ABCO-A4GQ的棱長為1，以。為原點，｛次，皮，函｝為單位正交基

底建立空間直角坐標系.求證：AtC±BC1.

【答案】證明見解析

【分析】

用基底表示出向量“，前'，證明索?國'=0.

【詳解】

由題意，而=發(fā)-麗=反-麗-西，

甌=西-麗=西-冰

所以“?所=就?四一組?次一92-詼?覺+次次?*=()

所以AC，5G.

10.如圖，在長方體ABC。-A4G〃中，AB=2,BC=CCl=l,E是CD的中點，F(xiàn)

是BC的中點.求證：平面E4R，平面瓦〃.

【答案】證明見解析

【分析】

建立空間直角坐標系，求出點的坐標與平面的法向量，利用空間向量法證明即可;

【詳解】

解：如圖建立空間直角坐標系，則磯0,1,0),4(1,0,0),〃(0,0,1),尸［1，2，。)

AE=(-1,1,0),E^=(0-1,1),￡F=f1,l,0L設(shè)面呵的法向量為〃=(x,y,z),則

n-AE=0即1\—+x+zy==。0,令x=i,則y=z=i，所以-〃=z（LL1,）；

fi'EDx=0

試卷第6頁，共35頁

神竺二。，即v_x+y=O人

設(shè)面EFD的法向量為=(x,y,z),則:2，令x=2,貝|y=z=-l,

Xmm-ED=0

x-y+z=0

所以機=(2,-1,-1)；

因為=2xl+lx(—1)+1x(—1)=0,所以〃_L〃?

所以平面EAR±平面EFD,.

11.如圖，在棱長為1的正方體ABC。-A4CQ中，E為線段DR的中點，歹為線段2用

的中點.

(1)求點A到直線2乃的距離；

(2)求直線FG到直線AE的距離;

(3)求點A到平面的距離；

(4)求直線尸G到平面ABE的距離.

【答案】(1)叵；⑵叵；(3)-；(4)

3533

【分析】

(1)建立坐標系，求出向量福■在單位向量「=由上的投影，結(jié)合勾股定理可得點

IBXE\

A到直線耳￡的距離；

(2)先證明AE〃尸G，再轉(zhuǎn)化為點F到直線AE的距離求解；

(3)求解平面的法向量，利用點到平面的距離公式進行求解；

(4)把直線尸G到平面A瓦E的距離轉(zhuǎn)化為G到平面ABtE的距離，利用法向量進行求

解.

【詳解】

建立如圖所示的空間直角坐標系，

/l/b

彳B

則)男；

A(1,0,1,(1,1,1),E(0,0,1),F(l,l,),G(0,1,1),41,0,0).

(1)

__.1一22T，謫=(0,1,0),

因為它(+1,-尹=型廣(3'3'

所以44?〃=--.

二好.

所以點a到直線B.E的距離為JA瓦2_(硒,工)2=CZ=

—?1——，1-..

(2)因為AE=(T0,5)，陽=(一1,0,5),所以AE〃/G,即AEHFCV

所以點尸到直線AE的距離即為直線FC,到直線AE的距離

一通一2非非1

沆—■——?—(---丁，0,——AF=(0,1,—)-

\AE\552

衣2=3,府％=好，

410

所以直線叫到直線AE的距離為，一(得了=粵.

(3)設(shè)平面ABE的一個法向量為￡=(x,y,z),

試卷第8頁，共35頁

函=(0,1,1),屈=(一1,0,<),福=(0,0,1).

n.ABX=y+z=0,

由L一i

n,AE=-x~\—z=0,

I2

令z=2,則y=-2,x=l,BP?=(1,-2,2).

設(shè)點4到平面AB.E的距離為d,

IM,z7l2?

則d=L*即點A到平面ABtE的距離為-.

H33

(4)因為AE〃/G，所以尸￡〃平面4月￡，

所以直線FC、到平面AB{E的距離等于G到平面AB}E的距離.

場=（1,0,0）,由（3）得平面ABE的一個法向量為溢=（1「2,2）,

.C,5!-/71

所以G到平面AB,E的距離為=-

43

所以直線FC、到平面ABtE的距離為g.

12.如圖，在棱長為1的正方體4BCD-A瓦G2中，求平面AQB與平面2cA的距離.

【答案】昱

3

【分析】

-DC-ri

建立空間直角坐標系，計算平面的法向量為萬-1）,再由可得解.

同

【詳解】

如圖所示建立空間直角坐標系，

A(1,0,1),5(1,1,0),D(0,0,0),C(0,l,0),

函=(1,0,1),歷=(1,1,0),DC=(0,1,0)

設(shè)平面的法向量為五=(x,y,z),

則]"黑一X+Z-：,不妨令％=],則y=_],z=_l,

[n-DB=x+y=0

所以為=(1,一1,一1),

所以平面AtDB與平面間的距離d=^=,=走

同出3

13.如圖，正三棱柱ABC-A4G的所有棱長都為2,求平面與平面ABG夾角的

余弦值.

【答案】立

7

【分析】

建立空間直角坐標系，求解平面44出與平面ABG的法向量，利用法向量求解夾角的余

弦值.

【詳解】

試卷第10頁，共35頁

因為正三棱柱ABC-A3。的所有棱長均為2,取8C的中點。，則AOJ_3c

所以AO,平面BBCC.

取與G的中點所以A。,2。,。以兩兩垂直，以。為原點，建立如圖所示的空間直角

坐標系.

則4(0,0,⑻,5(1,0,0),4(0,2,我,G(-1,2,0),

所以麗=(1,0,—6),麗=(0,2,0),尾=(一2,2,0),甌=(-1,2,73).

4-AB=%-6Z]=0,

設(shè)平面AA]3的一個法向量為々=(%,%,馬)，則V

勺-AA^=2y=0,

令4=1得勺=(73,0,1).

同理可得平面的一個法向量為E=(V3,V3,-i).

2=近

cos〈np〃2〉=

1nll|%|2x^/77

設(shè)平面AAtB與平面AbG夾角為6,易知夕為銳角，則cos0=|cos〈4,%〉|=,

即平面AA.B與平面ABG夾角的余弦值為立.

7

14.如圖，AABC和△D3C所在平面垂直，且45=80=3。，/慮4=/2汨。=120。.求：

(1)直線A。與直線5c所成角的大?。?/p>

(2)直線AO與平面所成角的大小;

(3)平面A3。和平面30c的夾角的余弦值.

【答案】(1)90°(2)45°(3)去

【分析】

(1)作AOL8C于點O,連。。，以點。為原點，0D,0C,的方向分別為x軸、

y軸、z軸方向，建立坐標系，利用空間向量法求出異面直線所成的角；

(2)顯然平面的一個法向量為1=(0,0,1),利用空間向量法求出線面角；

UUU

(3)求出平面的一個法向量為4以及平面的一個法向量為出,求出兩法

向量的余弦值的絕對值即為平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值.

【詳解】

解：設(shè)他=1,作于點。，連。。，以點。為原點，OD,OC,。4的方向分

別為無軸、y軸、z軸方向，建立坐標系，得下列坐標：

(9(0,0,0),c(o，m，o),

(1)AD=聲。,一走],BC=(0,10)

I22J

A5.BC=f^,0,-^.(0,1,0)=0,所以A。與BC所成角等于90。.

—(拒拒二、一.、

(2)AD=--,0,---,顯然々=(0,0,1)為平面5CZ)的一個法向量

、)

_V3

cos<AD,^>=,----------------------=

JMJ-Mx12

K2JI2J

,直線AD與平面BCD所成角的大小45°

丫)則而Jo,；,一呼

(3)設(shè)平面A3。的法向量為巧=(x,：

16_n

七』…B=02y2

所以2亦八，即二，，令z=L則x=l,y=6

[n2-AD=066c

—x------z=0

122

則屋=(1,百,1)

試卷第12頁，共35頁

|丹?%I_1_A/5

設(shè)平面ABD和平面BDC的夾角為6,則|cose|=

|"I|X屆lx近5

15.如圖，二面角夕-/-￡的棱上有兩個點A,B,線段80與AC分別在這個二面角

的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱/.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=2拒，求平面&

與平面月的夾角.

【答案】f

【分析】

利用向量求解，CD=CA+AB+BD，兩邊平方可求平面a與平面夕的夾角.

【詳解】

設(shè)平面a與平面廣的夾角為。，

由前=G5+通+而可得

2z\2222

CI)'=\CA+AB+Bl5j=CA+AB'+BD'+2CAAB+2ABBD+2CA1H5

=36+16+64+2同叫cos#，瓦5〉

=116-96cos6>

ITT

所以COS8=5，即平面a與平面夕的夾角為

16.如圖，在三棱錐A—BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N分別

是AO,5c的中點.求異面直線AN,CM所成角的余弦值.

7

【答案】

O

【分析】

連結(jié)N。，取的中點E,連結(jié)ME,推導(dǎo)出異面直線AN,CM所成角就是NEMC,

利用余弦定理解三角形，能求出結(jié)果.

【詳解】

連結(jié)ND,取ND的中點E,連結(jié)ME,

則ME//AN,是異面直線AN,CM所成的角,

■.■AN=2-j2,:.ME=y[2=EN,MC=272,

又YENLNC,EC=-JEN2+NC2=73>

EM?+MC?-EC?2+8-3_7

cos/EMC=

2EMxMC-2XV2X2A/2-8

7

.?.異面直線AN,CM所成的角的余弦值為

8

17.如圖，在三棱錐O-ABC中，OA,OB,0C兩兩垂直，Q4=OC=3,08=2.求

直線OB與平面ABC所成角的正弦值.

試卷第14頁，共35頁

A

【答案】交”

17

【分析】

構(gòu)建以。為原點，礪，元，函為x、y、z軸的正方向的空間直角坐標系，寫出右、AC.

麗的坐標，進而求面ABC的法向量而，根據(jù)直線方向向量與平面法向量夾角與線面角

的關(guān)系，結(jié)合空間向量夾角的坐標表示即可求直線OB與平面48c所成角的正弦值.

【詳解】

構(gòu)建以。為原點，礪，無，應(yīng)為尤、y、z軸的正方向的空間直角坐標系，如下圖示，

4(0,0,3),5(2,0,0),C(0,3,0),則通=(2,0,-3),AC=(0,3,-3),麗=(2,0,0),

AB-m=2x-3z=0—3

若機=（羽y,z）是平面ABC的一個法向量，則＜—■一，令y=i,則〃7=(不1/),

AC-m=3y-3z=Q2

m

Icos<OBm>|=|°B，|=_3_=3歷

■''~\OB\\m\舊一17，故直線。2與平面ABC所成角的正弦值

2x-----

2

為正.

17

18.如圖，在三棱錐A-BCD中,E是。的中點，點F在AE上，且砂=2E4.設(shè)就=1,

BD=b,BA=c,求直線AE,3戶的方向向量.

A

【答案】直線AE的方向向量通=空百二主，直線的方向向量而="+1+4°.

26

【分析】

由已知線段所表示的空間向量，應(yīng)用向量加減運算的幾何意義求得而、AC,即可求近,

再由砂=2￡4知&尸=—，即可求而.

3

【詳解】

在43AD中，BD=b，BA=c,則礪=麗一麗=|一人

在42AC中，BC=a^BA=c,則/=團一麗=￡-1

:在△D4c中，E是CD的中點，

：.AE=AD+AC=a+b~2c,而EF=2E4,^AF=—=a+b~2c,

2236

?.calr+idKv.*-a+b-2c。+Z?+4c

??在△jBAF中，BF=BA+AF=c+-----=--------.

66

直線AE,BF的方向向量分別為通="+1-2。、麗=a+B+4c.

26

19.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，AB1AC,AB=AC=1,M=2.以A為原

點，建立如圖所示空間直角坐標系.

(1)求平面8CC4的一個法向量;

(2)求平面ABC的一個法向量.

【答案】⑴〃=(LLO);⑵正=(2,2,1).

【分析】

試卷第16頁，共35頁

ULIUuuu

⑴求出平面內(nèi)的兩個向量BC=(-1,1,0),8月=(0,0,2),然后利用法向量與這兩個向量

的數(shù)量積都為0來求法向量;

LILIU_____.

⑵求出平面內(nèi)的兩個向量3c=(-1,1,0),B4=(-1,0,2),然后利用法向量與這兩個向

量的數(shù)量積都為0來求法向量.

【詳解】

易知3(1,0,0),C(0,l,0),旦(1,0,2),A(0,0,2).

UUU1UUUL

(1)BC=(-1,1,0),BBX=(0,0,2),

n-BC=0

設(shè)面BCC4的法向量為3=(%則

ft-BBX=0，

—x+Vi—0_/、

即210‘取…曰"。，則〃=(LL。),

所以平面BCCA的一個法向量為n=(1,1,0)；

ULIU_____<.

⑵BC=(-1,1,0),砌=(T,0,2),

m-BC=0

設(shè)面ABC的法向量為加=(尤2，%/2),則

fn■區(qū)4[=0'

-x+y=0

即F+22Z22=。'?。?為=2修=1，則碗=(2,2,1),

所以平面A8C的一個法向量為方=(2,2,1)

20.如圖，在平行六面體A8CD-A4G〃中，E是A8的中點，歹是G2的中點.求

證：\EUCF.

【答案】見解析

【分析】

取A瓦的中點為G,根據(jù)幾何體的特征分別得到3G〃C尸，\EUBG,從而得證.

【詳解】

取A耳的中點為G,則根據(jù)平行六面體的特征可得用G//C/,BC=C/,

所以四邊形B,GFq為平行四邊形，則B.CJ/GF,B?=GF,

又因為瓦C"/BC,AG=BC,

再以GFIIBC、GF=BC,

所以四邊形GFCB為平行四邊形，

所以BG//CF,

又因為AG〃防,AG=,所以四邊形AEBG為平行四邊形.

所以AE//BG,進而AE//CB.

21.如圖，在四面體ABC。中，平面BC。，M是4。的中點，P是的中點,

點。在線段AC上，且AQ=3QC.求證：P0〃平面3。.

【答案】證明見解析

【分析】

要證線面平行，需找線線平行，取2。中點。，且尸是2M中點，取C￡＞的四等分點H,

使DH=3CH,且AQ=3QC,通過四邊形OP。//為平行四邊形及線面平行的判定定理

即得結(jié)論.

【詳解】

證明：如圖所示，取2。中點。，且尸是中點，

PO//MDS.PO=-MD,

2

取CD的四等分點H,使DH=3CH,且AQ=3QC,

試卷第18頁，共35頁

J.POHQH^.PO=QH,

，四邊形。尸。》為平行四邊形，

J.PQUOH,PQ在平面BCD外，且OHU平面8c

；.PQ〃平面BCD.

22.如圖，在正方體ABCO-ABCQI中，點E在BD上,且BE=；BD；點尸在。上,

（2）EF±CBX.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【分析】

建立空間直角坐標系，令正方體的棱長為3,表示出點的坐標，利用空間向量法證明線

線垂直；

【詳解】

解：（1）如圖建立空間直角坐標系，令正方體的棱長為3,則0（0,0,0）,8（3,3,0）,

C（0,3,0）4（3,3,3）,因為=CF=1cB1,所以E（2,2,0）,F（1,3,1）,所以

EF=（-1,1,1）,DB=（3,3,0）,所以麗.訪=-Lx3+lx3+lx0=0，所以￡F_LBD

（2）由（1）可知函=（3,0,3）,所以西?麗=-1X3+1X3+1X0=0,所以E尸，C耳

23.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-ABCA中，。為平面AA2用的中心，E為BC

的中點，求點。到直線4E的距離.

【答案】g

6

【分析】

建立空間坐標系，求解直線AE的單位方向向量，結(jié)合勾股定理進行求解.

【詳解】

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A（1,0,1）,E（g,L0）,0（，；），

因為“=（f一,1）,\第=（d）,西二（0,」,f

試卷第20頁，共35頁

一__.f2

所以O(shè)\,u=——.

所以點0到直線\E的距離為，兩2_（西.小=^1_￡

24.如圖，四面體043c的所有棱長都是1,D,E分別是邊。4,5c的中點，連接

（1）計算。E的長；

（2）求點。到平面A3C的距離.

【答案】（1）正；（2）底.

23

【分析】

（1）利用基底函，礪，元表示出向量屁，再根據(jù)向量數(shù)量積求長度的方法即可求出;

（2）由該幾何體特征可知，點。在平面ABC的射影為AA5c的中心，即可求出.

【詳解】

（1）因為四面體0ABe的所有棱長都是1,所以該四面體為正四面體，

DE=DA+AB+BE=-0A+0B-0A+-（0C-0B^--0A+-0B+-0C,而且

22222

OAOB=OBOC=OAOC=^,所以］詼『=；（礪—礪一花J=；（3—1）=；,即

|詼卜。，所以?！甑拈L為乎.

（2）因為四面體。1BC為正四面體，所以點。在平面ABC的射影O'為人45。的中心,

△ABC的外接圓半徑為‘一xL=且，所以點0到平面ABC的距離為

sin60"23

A/6

o

25.如圖，四面體ABC。的每條棱長都等于a,M,N分別是AB,的中點.求證:

MNLAB,MNLCD.

【答案】證明見解析

【分析】

根據(jù)題意證明旃?麗=）（才亍+而）荏］?麗=0即可.

【詳解】

由題意可知，麗，衣,而三個向量兩兩間的夾角為60。，

因為M,N分別是AB,C。的中點，

所以麗=麗_礪=g（/+而）一;而，

貝I］兩.而=g國+碼-g可?麗=g（/.通+而.而-麗）

=5（a~cos60。+a~cos60，-cC）=0,

所以aW_LAB,同理可證MN_LCD.

26.如圖，M,N分別是正方體ASCD-AB'C'D'的棱88'和8'C’的中點，求:

D'

A'N

AB

試卷第22頁，共35頁

(1)MN和CD所成角的大?。?/p>

(2)MN和AO所成角的大小.

【答案】(1)(2)

【分析】

構(gòu)建以。為原點，方，覺，麗為無、y、z軸正方向的空間直角坐標系，若正方體的棱

長為2,寫出A、C、DkM、N的坐標，進而可得麗？、彷、DA＞利用空間向量

夾角的坐標表示求其夾角的余弦值，即可求和CD'、MN和所成角.

【詳解】

構(gòu)建以。為原點，方工況，麗為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，若正方體的棱

長為2,則4(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,2),M(2,2,l),N(1,2,2),

(1)MV=(-1,0,1),CD7=(0,-2,2),又MN和CD'所成角范圍為［0,。，

.??Icos<MN,CD'>1=1_.「|=rr=-,故MN和CD所成角為￡.

IMN||CD||V2xV823

(1)DA=(2,0,0),又MN和A。所成角范圍為［0申，

----.,MNDA2行7i

/.Icos<MN,DA>1=1.1=,故MN和AZ)所成角為一.

\MN\\DA\V2x224

27.如圖，在正方體ABC。-A4CQ中，E,F,G,H,K,L分別是AB,BB、,Bg,

G2，DQ,ZM各棱的中點.

(1)求證：AC1EFGHKLi

(2)求。片與平面EFGHKL所成角的余弦值.

【答案】(1)見解析；(2)巫

3

【分析】

(1)建立空間直角坐標系，可由［空.售證得；

I2T|Cz'1\,1~L—0

(2)利用空間向量計算直線和法向量的夾角，進而得解.

【詳解】

如圖所示建立空間直角坐標系,

(1)A(1,0,1),C(o,l,0),K(0,0,￡(1,0,0),

LK=M=。，畀，AC=(-i,i,-i)

Afi-LK=Q

則所以AC_LLK，AC_LKH

AiCKH=0

LK,KH為平面EFGHKL的兩條相交直線,

所以A]C_L平面EFGHKL-,

試卷第24頁，共35頁

(2)由(1)知平面EFGHKL的法向量為4。=(-1,1,一1)

0（0,0,0）,4（1,1,1）,郎=（1,1,1）,

因為M而'函>=焉儡:,一

求DBX與平面EFGHKL所成角的余弦值為=孚

ABCD-AMGRAB=2,

28.如圖，在長方體中，BC=CCl=l,E是C。的中點.求

證：片E,平面AE'.

【答案】證明見解析

【分析】

建立空間直角坐標系，利用空間向量法證明函，函，EB^EA,即可得證；

【詳解】

解：如圖建立空間直角坐標系，則4(1,0,0),E(0,l,0),D,(0,0,1),耳(1,2,1)

所以函=(1,1,1),EQ=(0-1,1),￡4=(1,-1,0)

所以函?可=lx0+lx(—l)+lxl=0,函.麗=lxl+lx(—l)+lx0=0,所以函_L函，

EB^IEA,

2「

因為石C\EA=E9EDEAu平面AED].

所以5乃，平面AS，.

29.如圖，在長方體4BCO-ABC2中，點E,F,G分別在棱A耳，片〃上,

AE=Ap=AG=l；點尸，。，R分另()在棱CG,CD,C5上，CP=CQ=CR=1.求證:

平面EFG〃平面PQR.

【答案】證明見解析

【分析】

構(gòu)建以。為原點，麗，皮，西為無、y、z軸正方向的空間直角坐標系，令

AB=a,BC=b,BB]=c寫出前、甜、而、而，進而求面￡FG、面尸QR的法向量有、

n,根據(jù)所得法向量的關(guān)系即可證結(jié)論.

【詳解】

構(gòu)建以。為原點，麗，反，西為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，如下圖示，

試卷第26頁，共35頁

設(shè)===c(〃，仇c>l),又A石=A/=AG=1,CP=CQ=CR=1,

：.E(Z7,O,c-l),F(Z?,l,c),G(Z?-l,O,c),P(O,〃,1),0(0,?！?,0),R(l,〃,0),

AEF=(0,l,l),EG=(-1,0,1),P2=(0,-l,-l),而=(l,0,-l),

--?―?

一EF-m=y+z=0一

設(shè)機=(x,y,z)是面所G的一個法向量，則,—.一，令工=1,m=(1,-1,1),

EG-m=z—x=0

_PQ-n=—j—k=Q_

設(shè)〃=是面PQR的一個法向量，貝"一.一，令i=l,n=(l,-l,l),

PR-n=i-k=0

?,?面石尸G、面尸。尺的法向量共線，故平面EFG//平面尸。凡得證.

30.如圖，已知正方體ABCD-的棱長為1,￡為的中點，求點R到平面AEQ

的距離.

【答案】JL

3

【分析】

建立空間坐標系，求解平面AEG的法向量，結(jié)合點到平面的距離公式求解.

【詳解】

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(1,O,O),G(0,1,1),E(0,1,0),2(0,0,1).

設(shè)平面AEG的一個法向量為i=(x,y,z),

M=(-1,i,1),荏=(_i,；,o),畫=(一1,o,i).

n-AC〕=-x+y+z=0,

由《一一1

n-AE=-x+—y=0,

I2-

令y=2,則x=l,z=-l,即5=(1,2,-1).

設(shè)點2到平面AEG的距離為d，

則d=坨3=2=^，即點2到平面AEG的距離為亞,

31.如圖，已知正方體A3。-A瓦GR的棱長為1，。為的中點，點P在棱AA上,

AP:A4,=1:3.求平面A3。與平面5Q尸的夾角.

【答案】arccos-------

46

【分析】

建立空間直角坐標系，分別求解兩個面的法向量，利用法向量的夾角求解即可.

【詳解】

試卷第28頁，共35頁

如圖建立空間直角坐標系，,

—?1—12

設(shè)平面BPQ的法向量為n=(x,y,z),

—1

n?BP=-y+—z=0

3

則不妨令y=l,貝|z=3,%=6,

--12

n?PQ=x+y+—z=0

所以元=(6,1,3)

平面ABCD的法向量為比=(0,0/),

rrpj--n-m33A/46

所以cos<n,m>=----------=-.==-------.

\n\-\m\,36+1+946

所以面ABCD與平面BQP的夾角為arccos空?

32.如圖，正方體A2CD-A4GR的棱長為1,”是棱AA的中點，。是8,的中點.求

證：0M分別與異面直線AA，垂直，并求0M的長.

【答案】見解析.

【分析】

建立空間直角坐標系，利用空間向量數(shù)量積為0可證得垂直，利用模長公式可求線段長.

【詳解】

如圖建立空間直角坐標系，

則(9(1,|,1),M(1,0,1),A(l,0,0),A(1,0,1),B(l,1,0),D,(0,0,1),

所以礪=(J,一g,0),可=(0,0,1),西=(-1,-1,1),

因為兩^招二。,麗乙甌=0,

所以O(shè)M_LAAX,OM±BD}

屈=百+(」)'#.

33.如圖，在直三棱柱ABC-AB|G中，ZBAC^90°,AB=AC=2,M=3,M是

A5的中點，N是eG的中點，尸是8a與的交點.在線段AN上是否存在點。，

使得尸0〃平面4cM?

【答案】存在，。在AN靠近N的三等分點處

【分析】

建立空間坐標系，利用空間向量進行求解，PQ〃平面ACM則可利用而與平面的法

向量垂直求解.

【詳解】

試卷第30頁，共35頁

如圖，分別以AC,AB,4A所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，

3

A(0,0,3),C(2,0,0),M(0,l,0),P(l,l,-),Q{a,a,3),

___.___.-.3

則AC=(2,0,-3),A"=(0,L-3),PQ=m-1,。-1,]).

-fAC7,n=0f2x—3z=0

設(shè)面ACM的法向量〃=(”z),則二一八，即Q.

[^Mn=0[y-3z=0

-3

令z=1得〃=(5,3,1).

因為尸Q〃平面ACM,所以而_L履即pg二=o.

33?

所以]-1)+3(〃-1)+5=0,得a=§,

福仁河所以庵卜孚

lA.Q2

因為AN=0,請■=§，所以存在Q在A\N三等分點處靠近N,使得PQ//平面A,CM.

34.在空間直角坐標系中，已知向量方=(a,6,c)(a6cw0),點片(x。,%/。)，點尸(x,y,z).

(1)若直線，經(jīng)過點斗，且以疔為方向向量，尸是直線/上的任意一點，求證：

尤一飛y-%z-z。

abc

(2)若平面a經(jīng)過點玲，且以日為法向量，尸是平面。內(nèi)的任意一點，求證：

a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-zo)=O.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】

(1)根據(jù)空間向量平行的坐標表示即可證出；

(2)根據(jù)空間向量垂直的坐標表示即可證出.

【詳解】

(1)因為汴//解，P0P=[x-xQ,y-y0,z~zQ),所以即=而1,

SPx-x0=Aa,y-y0=Ab,z-z0=Ac,因為abcHO,所以/=了％=:%=?.

abc

(2)因為E_L庭，h=(a,b,c),《尸=(x—/o，y—%