上海初三數(shù)學(xué)自招教學(xué)案3：整除性

整除性

知識梳理：

整除性：

1、設(shè)。力是給定的整數(shù)，若存在整數(shù)c,使得。=兒，則稱》整除。，記作目。，并稱》是。的一

個約數(shù)（因子），稱。是6的一個倍數(shù)，如果不存在上述c,則稱b不能整除。，記作6/。。

整除有以下常用性質(zhì)：

（.1）若61c且c|a,則6|a。

（2）若且b|c,則對于任意的整數(shù)〃,v有（a“±cv）。

（3）若6|a,則或者a=0,或者同2例，因此若6|a且a|6,則。=±》。

（4）（帶余除法）設(shè)a,＞為整數(shù)，b＞0,則存在整數(shù)q和r,使得a=的+r,其中0Wr＜6,并且q和r

由上述條件唯一確定。

2、數(shù)的整除性特征：

（1）被2（或5）整除的數(shù)的特征是末位數(shù)字能被2（或5）整除。

（2）被4（或25）整除的數(shù)的特征是末兩位數(shù)字能被4（或25）整除。

（3）被8（或125）整除的數(shù)的特征是末三位數(shù)字能被8（或125）整除。

（4）被3（或9）整除的數(shù)的特征是數(shù)碼之和能被3（或9）整除。

（5）被11整除的數(shù)的特征是奇位上的數(shù)碼之和與偶位上的數(shù)碼之和的差事11的倍數(shù)。

3、正整數(shù)分為三類：（1）1；（2）質(zhì)數(shù)（素數(shù)）：一個大于1的正整數(shù)，如果它的正因數(shù)只有1和它本身，

則稱為質(zhì)（素）數(shù)（3）如果一個自然數(shù)包含有大于1而小于其本身的因子，則稱這個自然數(shù)為合數(shù)。

（1）整數(shù)。除1以外的最小正因數(shù)q是一個質(zhì)數(shù)，如果。是合數(shù)，則qW而。

⑵若p是質(zhì)數(shù)，4為任一整數(shù)，則必有p|a或（a,p）=l。

（3）p是質(zhì)數(shù)，若川的2…耳，則p能整除。心2…?！ㄖ械哪骋粋€。

（4）（算術(shù)基本定理）任何一個大于1的正整數(shù)。，能唯一地表示成質(zhì)因數(shù)的乘積（不計較因數(shù)的排列順

序），即

a=P。'P%,?,「網(wǎng)，i='，2，??,，k

12k

其中P,為質(zhì)（素）數(shù)（P1＜P2＜一＜Pk），上式叫做整數(shù)〃的標(biāo)準(zhǔn)分解式。

4、設(shè)〃力不全為零，同時整除。力的整數(shù)稱為它們的公約數(shù)，將其中最大一個稱為，力的最大公約數(shù)，用

符號m力）表示。當(dāng)色力）=i,稱。與b互質(zhì)。同時為〃力倍數(shù)的數(shù)稱為它們的公倍數(shù)，其中最小的一個稱

為〃力的最小公倍數(shù)，記作。力］。

（1）若,則加1（。,6）。

（2）若機＞0,貝！J（根。，加Z?）=根（。力）。

Z7h

（3）若（〃力）=d,則（一_）=1。

dd

（4）若（a,rri）=l,（b,rri）=1,則（血ni）=1o

（5）a,b互質(zhì),若則

（6）設(shè)Z?|ac,若（Z?,c）=l,則

第1頁

例題精講：

例1：若/+100能被“+10整除，求正整數(shù)”的最大值。

例2：設(shè)72］詞況，求a,b的值。

例3：已知整數(shù)a力,c滿足1<。<6<c,且-1）（6。-1）（。。一1）能被abc整除。求a,b,c?

例4：設(shè)是正整數(shù)，x<y且尤+y=667,它們的最小公倍數(shù)是最大公約數(shù)的120倍，求尤,y。

例5：設(shè)力是正整數(shù)，/+4"是質(zhì)數(shù)，求no

同步練習(xí)：

b

練習(xí)1：已知％=上,〃）為互質(zhì)的正整數(shù)（即是正整數(shù)，且它們的最大公約數(shù)為1）,且，W8,

a

^2-1<x<73-1,求所有滿足條件的工。

22

練習(xí)2：已知a,Z?,c,d均為質(zhì)數(shù)，且滿足10<c<d<20,又C-Q也是質(zhì)數(shù)且是奇數(shù)，d-c=cc'b{a+Z?）,

求ab（c+d）的值。

第2頁

練習(xí)3：設(shè)[r,s]表示正整數(shù)r和s的最小公倍數(shù)，求有序三元正整數(shù)組（。力,c）的個數(shù)，其中

\a,b\=1000,[/?,c]=2000,[c,a]=2000。

練習(xí)4：試求出所有滿足下列條件的正整數(shù)a,b,c,d：

(1)i<a<b<c<d?,

(2)(a-l)(Z?-l)(c-l)(J-l)abcd-1.

練習(xí)5：已知一個七位自然數(shù)62盯427是99的倍數(shù)，試求950尤+24y+8的值。

參考答案

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例1:答案：890

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解析：由

n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900

知，若川+100被〃+10整除，貝I900也應(yīng)被〃+10整除。

因此，n最大值是890.

注：若g(〃)|/(〃)J(〃)的次數(shù)高于g(〃)的次數(shù)，可以先將/(〃)變形為:

f(n)=g(n)q(n)+r(n)(r(n)的次數(shù)小于g(n)的次數(shù))，

將問題轉(zhuǎn)化為g(n)\廠(〃)。

例2：答案：a=3,b=2

解析：72=8x9,且(8,9)=1,所以只需討論8、9都整除好環(huán)的情況。

若8|花廊，則8|標(biāo)，由除法可得b=2；

若9|0679b,貝！J9|(a+6+7+9+2),得〃=3。

注：僅當(dāng)(〃力)=1時，才能由得到〃|〃力|

〃。例3：答案：a=2,b=3,c=5

解析：(ab-V)(bc-l)(c〃-1)=a252c2_+b+c)+ab+be+ca-1

而4262c2一々兒(〃+b+c)能被abc整除，所以aZ?+Z?c+ca—1也能被整除。

令ab+be+ca-1=kabc。因故Z為正整數(shù)，且上=J+1+,

cababc

因為a22力N3,c24,所以L<LL<L1<I=所以

c4b3a2

11113

左z<一+—+—=—

43212

所以2?a<3,a=2。

_ia

由b(c-2)=2c-l,b==2+，得c-2=l,3,c=3,5。

c-2c-2

因為c>4,所以c=5力=3。

注(1)左==2也可以這樣得至！J：因為所以ab<ac<bc。^ab+bc+ca-l=kabc,則

kabc<3bc-1<3bc,所以ka<3°

(2)求瓦c也可以用部分分解的方法。因為2b+2c-bc-1=0,所以3—2)(c—2)=3/一2=l,c—2=3,

得c=5,b=3o

例4：答案：％=115,y=552或x=232,y=435

解析：設(shè)(x,y)=d,x=加=,其中(加,〃)=1,且加〈幾，于是[%,y]=/n〃d。所以

第5頁

md+nd=667

%=115,丁=552或1=232,丁=435‘120

Id

(加+〃)d=23x29(l)

mn=23X3X5(2)

由根<〃及式（2）可得:

]m=\=2暝=3[#=4fm6\m=^

[120[n=60[n=40[n=30[n=24[n=20[n=15[n=12

由式(1)可知只能取《加=5」"=8；

,=24'[〃=15

從而4=23或29,故無=115,>=552或無=232,y=435

例5：答案：77=1

解析：若"為偶數(shù)，則4+4”是4的倍數(shù)，不是質(zhì)數(shù)，。

若"為奇數(shù)，設(shè)"=2上+1,%20,則

4,,4

71+4=(2^+1)+4X2*

=[(2)t+l)2+2x2M+2x(2k+1)x2^][(2^+l)2+2x22A-2x(2k+1)x2k]

為了使小+4”是質(zhì)數(shù)，必須有

(2k+1)2+2x22i-2x(2k+1)x2k=1

整理得

[(2^+1)-2A]2+2M=1

所以k=Q,n=1o

維f1處安1233455

練習(xí)?口木：2'羽￥今7~8——

7/?

解析：因為x=2M力為互質(zhì)的正整數(shù)，且?<8,所以0T<—<6—1，即

aa

（也-l）a<b<（出-l）ao

當(dāng)〃=1時，（應(yīng)1）x1,這樣的正整數(shù)匕是不存在。

當(dāng)〃=2時，陋一'）義2<b<0—1）義2,故0=1,止匕時x=）o

2

2

當(dāng)〃=3時，（點-1）X3<Z?<（3"-1）x3,故Z?=2,此時x三。

3

第6頁

當(dāng)a=4時，x/2-l)x4<Z><(^-l)x4,與?；ベ|(zhì)的正整數(shù)6是不存在。

3

(當(dāng)a=5時，點一1)x5x5，故Z?=3，止匕時x三。

(當(dāng)〃=6時，72-l)x6<Z?<(/3-l)x6,與〃互質(zhì)的正整數(shù)。是不存在。

345

(-1)X7<Z?<(^-1)X7,故6=3,4,5,此時光三__。

7巧7

當(dāng)a=7時，(虎

當(dāng)〃=8時，(血一l)x8<Z?<(g—1)x8,故”=5，止匕時x三。

8

所以，滿足條件的所有分數(shù)為「1123_3425_5_

，，，，，，

2357778

練習(xí)2：答案：180

解析：因為a力,c,d均為質(zhì)數(shù)，且滿足10<c<d<20,所以只能c,d只能為11、13>17或19,

且c#19o

又c-a也是質(zhì)數(shù)且是奇數(shù)，所以a=2o

分別取c=11,13,17,則c-"9,11,15,只有c=13符合要求。把

2122

c=13,a-2帶入d—c=cc'b(a+b),得</—13=8Z>(2+￡>)0

若d=17,則加+26-15=0,解得6=3或。=一5(舍去)。

若d=19,則無+2。-24=0,解得6=4或6=-6(舍去)。

所以a=2,b=3,c=13,d=11,ab{c+d)=180。

練習(xí)3：答案：又70個。

解析：a,b,c都是形如2'"口5"的數(shù)，設(shè)a=2呵5"',b=25,c=2"甘。

由\a,b\-1000=23D53,知max?！?m)—3,max(n,")=3，

1212

同理max。%，加3)=4,max(n2,%)=3;maxQ%,m3)=4,max(n1,n3)=3。

由此，知加3應(yīng)是4,犯，加2中必有一是3,另一個可以使0、1、2、或3之任一種，因此犯，”的取法有7

種。

又，％,物,％中必有兩個是3,另一個是0、1、2、或3.因此〃%,必取法又10種。

故〃,〃6=1,2,3)不同取法共有7xl0=70種，即三元組共有70個。

練習(xí)4：答案：(3,5,17,255),(2,4,10,80).

abed-1

解析：令k=且左為正整數(shù)。

(a-l)(Z7-l)(c-l)(t/-l)

abed

4,瓦C,1都是奇數(shù)或都是偶數(shù)，且1<左<

a—1b—1c—1d

第7頁

若aNn,貝!]〃<n(n>1)。

a-1n-1

46g1

若a=2,貝帕,c,d都是偶數(shù)，b24,c26,dN8,Z<2?一?一?二<4。

35735

由左二------abcd-1----------->2得2/^1>2(6—1)(。一1)3—1)+1，得2<女<4,即左=3,則有3|〃0cd—1,

(41-1)(/?-l)(c-l)(rf-l)

從而3/|abedo

810142240

若〃。4,貝帕28?210,d214,,從而2〈左=—<3,矛盾，所以8=4。

7913819

由3'1*3匕-1)3-1)=80/-1,即(。一9)(2-9)=71為素數(shù)，所以〃=2力=4,c=10,d=80。

3579315

若4=3,貝帕,c,d都是奇數(shù)，Z?>5,c>7,t/>9,1<fc<c<3,所以左=2。