江蘇省淮安市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省淮安市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足方程（i是虛數(shù)單位），則（）A.1 B.i C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，即，所?故選：C.2.今年全國(guó)兩會(huì)上，“大興調(diào)查研究之風(fēng)”寫(xiě)入政府工作報(bào)告.某地為實(shí)現(xiàn)鄉(xiāng)村生態(tài)振興，走鄉(xiāng)村綠色發(fā)展之路，決定采用分層抽樣的方式從甲村、乙村、丙村抽取部分村民參與環(huán)保調(diào)查研究.已知甲村、乙村、丙村人數(shù)之比是，被抽到的參與環(huán)保調(diào)查研究的村民中，甲村的人數(shù)為40人，則參加調(diào)查研究的總?cè)藬?shù)是（）A.80 B.800 C.100 D.60〖答案〗A〖解析〗由題意可得，甲村人數(shù)占總體比例為，故調(diào)查的總?cè)藬?shù)為.故選：A.3.下列各組向量中，可以作為基底的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗只要兩個(gè)向量不共線(xiàn)，即可作為基底向量，對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，則共線(xiàn)，故A不符合；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，則共線(xiàn)，故B不符合；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，則共線(xiàn)，故C不符合；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，則不共線(xiàn)，故D符合.故選：D.4.隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)達(dá)，電子支付變得愈發(fā)普遍.已知某群體的成員，只用現(xiàn)金支付的概率為0.05，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.1，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A.0.9 B.0.85 C.0.95 D.0.8〖答案〗B〖解析〗由對(duì)立事件的概率公式可知，不用現(xiàn)金支付的概率為.故選：B.5.在中，邊長(zhǎng)，，，則的外接圓的面積是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在中，，，所以，設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理得，所以，所以的外接圓的面積是.故選：A.6.已知一個(gè)古典概型，其樣本空間中共有12個(gè)樣本點(diǎn)，其中事件有6個(gè)樣本點(diǎn)，事件有4個(gè)樣本點(diǎn)，事件有8個(gè)樣本點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.事件與事件互斥 B.C. D.事件與事件相互獨(dú)立〖答案〗D〖解析〗由題意得Venn圖如下：由圖知：，，，所以事件與事件不互斥，，，.故選：D.7.若，，則（）A.50° B.60° C.70° D.80°〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，顯然不成立，所以，解得.故選：D.8.在正四棱錐中，若，，平面與棱交于點(diǎn)，則四棱錐與四棱錐的體積比為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示，設(shè)，由、、、四點(diǎn)共面，設(shè)，則，即，得，又，，不共面，則，解得：，即，設(shè)，分別是點(diǎn)到平面和點(diǎn)到平面的距離，則，所以，，，同理，，，，，則四棱錐與四棱錐的體積比為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.下列結(jié)論中正確的有（）A.為了檢驗(yàn)?zāi)撤N產(chǎn)品的質(zhì)量，決定從1001件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行檢查，用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本的過(guò)程中，所編的號(hào)碼的位數(shù)最少是4位B.若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為3，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，方差為6C.在某頻率直方圖中，從左到右共有9個(gè)小矩形，若居中的那個(gè)小矩形的面積等于其他8個(gè)小矩形的面積和的，且樣本容量為160，則居中的那組數(shù)據(jù)的頻數(shù)為16D.已知一組數(shù)據(jù)2，6，8，3，3，4，6，8，則這組數(shù)據(jù)眾數(shù)為3，6，8，中位數(shù)為5〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)楣灿?001件產(chǎn)品，所以所編的號(hào)碼的位數(shù)最少是4位，故A正確；對(duì)于B，一組數(shù)據(jù)，這個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為3，則，，對(duì)于數(shù)據(jù)，其平均數(shù)，方差，故B不正確；對(duì)于C，設(shè)中間一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為，其他8個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和為，則有，解得：，所以中間一組的頻數(shù)，故C正確；對(duì)于D，一組數(shù)據(jù)2，6，8，3，3，4，6，8，從小到大排序?yàn)椋?，3，3，4，6，6，8，8，所以它的眾數(shù)3，6，8，中位數(shù)為5，故D正確.故選：ACD.10.在平行四邊形中，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗如圖所示，，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，則，由與共線(xiàn)，，解得，，所以，B選項(xiàng)正確；，所以，C選項(xiàng)正確；，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.11.棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)，，分別是棱，，的中點(diǎn).則下列說(shuō)法正確的有（）A.平面B.與所成的角為60°C.平面截正方體的截面形狀是五邊形D.點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且平面，則的最小值為〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，如下圖，連接，易得又，平面，又平面，故A正確；對(duì)于B，如下圖，取的中點(diǎn)，連接，則又，則或其補(bǔ)角為與所成的角，又正方體棱長(zhǎng)為2，易求得，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如下圖，增補(bǔ)兩個(gè)正方體，取的中點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，連接交于連接交于，連接，則得到截面為五邊，對(duì)于D，如下圖，連接取得中點(diǎn)，連接，過(guò)作平面平面則點(diǎn)在線(xiàn)段上，最小值即為，又，，又，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.在中，，為線(xiàn)段上（不與端點(diǎn)重合）的兩點(diǎn)，且，下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則C.若，，則D.若，，則的面積是〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，，，因?yàn)?，為線(xiàn)段上的兩點(diǎn)，且，所以，且，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，化簡(jiǎn)得，所以，取BC的中點(diǎn)G，連接AG，則，所以三角形ABC是等腰三角形，且，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)分別是線(xiàn)段的三等分點(diǎn)，設(shè)，則，，設(shè)，則，，在中，由正弦定理得，即，所以，在中，由正弦定理得，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋?，即，故C正確；對(duì)于D，由，，可得點(diǎn)分別是線(xiàn)段的三等分點(diǎn)，則，設(shè)，，依題意有，，，，所以，，在中，由正弦定理得，即，所以，，同理在中，由正弦定理可得，，在中，由正弦定理得，即，整理得，即，因?yàn)椋曰?，即或，?dāng)時(shí)，，不合題意舍去，故可得，此時(shí)，，，，在中，由正弦定理得，即，而，所以可得，整理可得，因?yàn)?，所以，解得，則此時(shí)，，所以的面積，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知淮安最近10天每天最高氣溫（單位：）分別為31，26，28，25，24，28，26，30，27，30，則這10天平均氣溫的上四分位數(shù)為_(kāi)_____.〖答案〗30〖解析〗將樣本數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：24，25，26，26，27，28，28，30，30，31，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為第8個(gè)數(shù)30.故〖答案〗為：30.14.復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為、，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則鈍角的大小為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗依題意，，，，則，，，在中，由余弦定理得，又，所以.故〖答案〗為：.15.在古代數(shù)學(xué)中，把正四棱臺(tái)叫做“方亭”，數(shù)學(xué)家劉徽用切割的方法巧妙地推導(dǎo)出了“方亭”的體積公式，為方亭的下底面邊長(zhǎng)，為上底面邊長(zhǎng)，為高.某市為改善城市形象，決定開(kāi)挖一條筆直的景觀河道，該河道橫截面為等腰梯形，上底為80米，下底為40米，開(kāi)挖深度10米，河道長(zhǎng)度10.98千米.同時(shí)在沿岸修葺30座亭臺(tái)、樓閣，它們的地基都設(shè)計(jì)為同樣大小的“方亭”結(jié)構(gòu)，為了便于施工，決定使用開(kāi)挖河道產(chǎn)生土方的1%修筑地基.已知設(shè)計(jì)“方亭”地基的下底面邊長(zhǎng)為30米，上底面邊長(zhǎng)為24米，則“方亭”地基的高為_(kāi)_____米.〖答案〗3〖解析〗設(shè)“方亭”地基的高為米，根據(jù)題意可得，解得，則“方亭”地基的高為米.故〖答案〗為：3.16.在中，角的對(duì)邊為，，則______，若的面積為，則______.〖答案〗〖解析〗第一個(gè)空：由得，即，即，所以異號(hào)且都不為，由正弦定理得，因?yàn)槎疾粸?，所以，即，所以；第二個(gè)空：由得：，即，即，由正弦定理得，所以的面積為：，所以，因，所以，所以解得，即.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.設(shè)復(fù)數(shù)，，i為虛數(shù)單位.（1）若為純虛數(shù)，求的值；（2）若為實(shí)數(shù)，求.解：（1）因?yàn)?，若為純虛?shù)，則，解得.（2）因?yàn)椋魹閷?shí)數(shù)，則，解得，即，解法一：因?yàn)?，則；解法二：可得18.如圖，四棱錐的底面為正方形，平面.（1）求證：平面；（2）平面，平面交平面于，交底面于.求證：.解：（1）∵底面為正方形，∴，∵平面，平面，∴，又∵，，平面，平面，∴平面.（2）∵，平面，平面平面，∴.同理有，∴.19.已知，，.（1）求；（2）求.解：（1）因?yàn)?，則，所以.（2）由（1）可得：，因?yàn)?，則，可得，所以.20.為全面貫徹落實(shí)“把周總理的家鄉(xiāng)建設(shè)好，很有象征意義”的殷切囑托，近年來(lái)，淮安加快建設(shè)稻米、小龍蝦、規(guī)模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大產(chǎn)業(yè)集群，小龍蝦產(chǎn)業(yè)獲批國(guó)家優(yōu)勢(shì)特色產(chǎn)業(yè)集群，創(chuàng)成以小龍蝦為主導(dǎo)的國(guó)家現(xiàn)代農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)園、特色農(nóng)產(chǎn)品優(yōu)勢(shì)區(qū).為了進(jìn)一步擴(kuò)大產(chǎn)業(yè)規(guī)模，某村農(nóng)業(yè)綜合服務(wù)中心決定對(duì)20戶(hù)養(yǎng)殖戶(hù)進(jìn)行技術(shù)幫扶，每戶(hù)配發(fā)同樣重量的龍蝦苗，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的養(yǎng)殖后，根據(jù)這20戶(hù)未存活的龍蝦苗重量（單位：公斤）繪制如下頻率直方圖，未存活重量超過(guò)30公斤的養(yǎng)殖戶(hù)，列為“重點(diǎn)幫扶養(yǎng)殖戶(hù)”.（1）根據(jù)頻率直方圖估計(jì)這20戶(hù)的未存活龍蝦苗的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）現(xiàn)從“重點(diǎn)幫扶養(yǎng)殖戶(hù)”中隨機(jī)抽取兩戶(hù)調(diào)查其養(yǎng)殖情況，求抽出來(lái)的養(yǎng)殖戶(hù)中恰有一戶(hù)未存活龍蝦苗重量在的概率.解：（1）根據(jù)頻率直方圖可得：每組的頻率依次為，估計(jì)平均數(shù)為：，因?yàn)?，可知中位?shù)位于內(nèi)，設(shè)為，則，解得，所以可估計(jì)中位數(shù)為.（2）由（1）可知：未存活龍蝦苗重量在的養(yǎng)殖戶(hù)有個(gè)，記為；未存活龍蝦苗重量在的養(yǎng)殖戶(hù)有個(gè)，記為，；從“重點(diǎn)幫扶養(yǎng)殖戶(hù)”中隨機(jī)抽取兩個(gè)，則有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，其中有且僅有一個(gè)“重點(diǎn)幫扶養(yǎng)殖戶(hù)”在的情況有，，，，，，，，共8種情況，所以恰有一戶(hù)未存活龍蝦苗重量在的概率.21.如圖，在四棱錐中，側(cè)面為正三角形，底面為直角梯形，，，，平面平面.（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值.解：（1）取中點(diǎn)為，連接，，，由側(cè)面為正三角形，知，又∵平面平面，平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴，在