北師大版版（2019）必修第一冊全冊檢測卷（二）

北師大版版(2019)必修第一冊全冊檢測卷(二)

一、單選題

1.已知虛數(shù)Z是關(guān)于X的方程x2-4x+a=0(aeR)的一個根，且|Z|=6，則。=

()

A.1B.2C.4D.5

4

2.若sin(兀-tz)=g,則cos2?=()

247724

A.B.—C.——D.—

25252525

3.已知向量々=(1,0),彼=(-1,1),貝I以下與,+25垂直的向量坐標(biāo)為()

A.(1,2)B.(2,1)C.(1,-2)D.(2,-1)

4.擲鐵餅是一項體育競技活動.如圖，這是一位擲鐵餅運動員在準(zhǔn)備擲出鐵餅的瞬間,

張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿弦的“弓經(jīng)測量，此時兩手掌心之間的弧長是

苗77r，“弓”所在圓的半徑為1.05米，則這位擲鐵餅運動員兩手掌心之間的距離約為(參

考數(shù)據(jù)：正=1.414,>/3?1.732)()

A.1.819米B.1.485米

C.1.649米D.1.945米

5.在AABC中，NB=45°,c=4,只需添加一個條件，即可使△A8C存在且唯一.條件:

①a=3&；②匕=2右；③cosC=-《中，所有可以選擇的條件的序號為()

A.①B,①②C.②③D.①②③

6.一個三棱錐S-ABC的側(cè)棱上各有一個小洞力，E,F,且SO：DA^SE；EB=CF：FS=3：

1,則這個容器最多可盛放原來容器的()

A-1B-?C.IID-1

7.若tansta”=2,則嗡■的值為()

A.B-401D.3

函數(shù)/Q)=sin[s+小3>0)在(肛2m上恰好有兩個零點，則。的取值范圍是

8.

11715191125

B.u

、8848

9115191125

uu

D.TT-4T

9.如圖所示的是函數(shù)y=/(x)的圖像，則函數(shù)/(x)可能是()

A.y=xsinxB.y=xcosxC.y=xsinx+xcosx

D.y=xsinx-xcosx

10.已知正方形ABC。的邊長為4,點/、N分別在邊4。、8c上，且40=1,BN=2,

若點尸在正方形ABC。的邊上，則麗?麗的取值范圍是()

A.[-6,6]B.[-6,2]C.[-2,6]D.[-2,2]

11.如圖，平面四邊形ACB0中，ZABC=90°,ZABD=ZBAD=30°,AB=6,BC=2,

現(xiàn)將沿A8翻折，使點。移動至點P,且PB_LBC,則三棱錐P-ABC的外接球

D.建萬

A.87B.6兀C.4萬

3

12.在4回。中，角4以。的對邊分別是4",6若々853=3區(qū)抽4-。8$4,則包電-

ab

的取值范圍是()

A.[3,5]B.[4,6]C.[4,2+呵D.[4,2+啊

二、填空題

JT

13.已知函數(shù)y=cosx與函數(shù)y=sin(2x+0)(O<0<m,它們的圖像有一個橫坐標(biāo)為§的

交點，則夕的值是.

14.已知非零向量心B滿足悶=2忖，且(1+5)M萬一3萬)，則向量1,R夾角的余弦

值為.

Q萬

15.在銳角△A8C中，角A,B,C的對邊分別為a,4c,sin2A?=—sinA,h=4a,

2

a+c=5,則△ABC的面積為.

16.已知函數(shù)〃x)=4coss-sin(0x-?)?>O)的最小正周期為4,若存在fe[0,2],

使得機40,則實數(shù)〃?的取值范圍為.

三、解答題

17.設(shè)函數(shù)f(x)=sinx->/3cosx(xGR).

⑴求函數(shù)丫=[/(》+?)]的最小正周期；

⑵求函數(shù)Kx)小+])在0,|上的最小值.

18.在AABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,"sin'十。=asinB,

2

⑴求角A；

(2)^AB-AC=2,求a的最小值.

19.如圖：四棱錐尸-ABC。

中，P4J.ADAB=AC=2PA=2,PC=瓜AD//BC,NBAD=150一

(1)證明：%，平面48c。；

(2)求點B到平面P4C的距離.

7T1

20.函數(shù)/(x)=Asin(7Lx+g),xeR(其中)部分圖象如圖所示，P(-,A)

是該圖象的最高點，M,N是圖象與x軸的交點.

⑴求/(x)的最小正周期及夕的值；

TT

(2)若NPMN+Z.PNM=-,求A的值.

4

21.如圖，四棱錐中，底面A8C。為直角梯形，AB//CD,ZABC=90°,AB=2,

BC=CD=\,△幺。為等邊三角形，平面PAD_L平面ABCD

(1)證明：BD工PA；

(2)求三棱錐C-PBD的體積.

22.△A8C中，角48,C所對邊分別是。，8c,幽1+也1=2,bcosC+ccosB=l.

tanBtanChe

⑴求角A及邊〃；

(2)求4+c的最大值.

參考答案:

1.D

【解析】

【分析】

設(shè)Z=〃?+〃i,代入原方程，根據(jù)復(fù)數(shù)相等和|2|=5^^虧了可得答案.

【詳解】

設(shè)z=n?+〃i(/w,"wR且〃=0),

代入原方程可得*-4m+a+(2mn-4?)i=0,

....,im2-n2-4m+a=0f-/?2-4+?=0

所以c〃八，解得c，

[2〃"?-4〃=0[m=2

因為|z|=Jm2+it。=#,所以a?=l,a=5.

故選：D.

2.C

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式化簡計算作答.

【詳解】

依題意，sina=—,所以cos2a=l-2sin%=l-2x(d]=-■—.

5⑸25

故選：C

3.B

【解析】

【分析】

首先求出1+25的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算可得；

【詳解】

解：因為々=(1,0),5=(-1,1),所以"萬=(1,0)+2(-1,1)=(—1,2),

所以(l,2>(-l,2)=lx(-l)+2x2=3,(2,l>(-l,2)=2x(-l)+lx2=0,

(l,-2)-(-l,2)=lx(-l)+(-2)x2=-5,(2,-1)?(-1,2)=2x(-1)+(-l)x2=-A-

答案第1頁，共15頁

故選：B

4.A

【解析】

【分析】

由扇形弧長公式可求得圓心角乙4OC，根據(jù)AB=2AC可求得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意作圖如下，

77r主

由題意知：ADB的長為布?,。為ADB的中點,.NA0C=_2Q_=工,

U"-1.05-3

AB=2AC=2xl.05sin-=2.1x—?1.819?即所求距離約為1.819米.

32

故選：A.

5.B

【解析】

【分析】

根據(jù)正弦和余弦定理，以及三角形邊與角的性質(zhì)，直接計算即可判斷求解.

【詳解】

對于①，c=4,Z.B=45°,?=3\/2,所以，h2=a2+c2-2?ccosB=10,得〃=所以，此

時，△ABC存在且唯一，符合題意；

對于②，。=4,/8=45。,6=26，所以，三=工，解得sinC=20=叵，因為c<8,

sinCsinBb5

所以，ZC<ZB,所以NC為銳角，此時，△43C存在且唯一，符合題意；

47r3ch

對于③，c=4,/8=45o,cosC=-=，所以，-<C<7t,得sinC==,進而

525sinCsinB

,csinB_2>/2_10>/2..mn:

可得飛記一丁一丁，明顯可見，c=—<^=b,與矛盾，故③不符

-33

答案第2頁，共15頁

題意.

故可以選擇的條件序號為：①②

故選：B

6.C

【解析】

【分析】

易得這個容器最多可盛放時，平面。EF與地面平行即可，故只需求不規(guī)則幾何體

DEF-ABC占總體積的比例即可

【詳解】

yy-V

由題意，這個容器最多可盛放原來容器的比例為=3個――,設(shè)C到平面S43

^S-ABC^S-ABC

的距離為/，，則匕一麗=匕一般=1S./.又

9199

Vs-DEF=^F-SDE=77X"7=7TXS.SABh=TTVc-ABS，故

1646464

i.2

匕〉_匕-八0c-匕-/?淚_64_&

^S-ABC^S-ABC1m

故選：C

7.A

【解析】

【分析】

分別用余弦的兩角和差公式展開分母和分子，分子和分母再同時除以cosacos/弦化切，代

入tanatan￡的值計算求解即可.

【詳解】

答案第3頁，共15頁

cos(a-￡)_cosacos尸+sinasin尸_1+tanatan°_1+2

由題意得,

cos(a+/7)cosacos0-smasinp1-tanatanp1-2

故選:A

8.A

【解析】

【分析】

由xeS,2萬）得0X+J/加9+￡,2出+父，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得不等關(guān)系，得出。的范

圍.

【詳解】

/C、兀（冗'7l\

?.?工￡（4,2萬）,:.a）x+—e\儂+―,2m+一,

4（44）

fM在（兀,2%）上恰好有兩個零點,

冗

(攵一1)%,71CD+—<k兀,

4得，

k3k7

(2+1))<23+?,,(攵+2))一+一<%

.2828

.5k1

"了'/京，口5t17

所以k3,1'得，鼠

一十-vk——

284

又攵￡Z,/.k—2,3,4.

11715191123

k=2時,—<a)<—；%=3時,—〈①,,—%=4時，一領(lǐng)血--

848848

11715191123

故。w

￥J4了'T

故選：A.

9.C

【解析】

【分析】

由圖象確定函數(shù)的性質(zhì)，驗證各選項是否符合要求即可.

【詳解】

由圖可知：/（X）是非奇非偶函數(shù)，且在y軸右側(cè)，先正后負.

若/(x)=xsinx,則/(-x)=(-x)sin(—x)=xsinx,所以函數(shù)y=xsinx為偶函數(shù),

答案第4頁，共15頁

與條件矛盾，A錯,

若/(x)=xcosx,則/(-x)=(-x)cos(-x)=-xcosx,所以函數(shù)y=xcosx為奇函數(shù)，與條件

矛盾,B錯,

若/(x)=xsinx-xcosx,則/(x)=V2xsin71

當(dāng)時，f(x)=0xsin[x-?J<O,與所給函數(shù)圖象不一致，D錯,

若f(x)=xsinx+—則〃x)=&in"?

當(dāng)xe(0,,卜寸，/(%)>0,

又/(%)=￥乃，f(_?)=0,所以函數(shù)丫=心m工+現(xiàn)0$》為非奇非偶函數(shù)，與所給函數(shù)圖

象基本一致,

故選：C.

10.C

【解析】

【分析】

建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積運算及二次函數(shù)求值域即可得解.

【詳解】

如圖，建立平面直角坐標(biāo)系,

則M(0,l),N(4,2),

當(dāng)P在A。上時，設(shè)尸(0,y)(0Wy44),P看=(0」_y),加=(4,2-y)，

T->3]

:.PMPN=y2-3y+2=(y-^)2--,

3Tf1->_>

當(dāng)產(chǎn)萬時，(P"PN)1nhi=-“當(dāng)y=4時，(PM-PN)3=6，

答案第5頁，共15頁

即河46,

當(dāng)尸在3C上時,設(shè)P(4,y)(0<y<4),則后/=(-4j_y),麗=(0,2-y)，

->->_3cl1

:.PMPN=y2-3y+2=(y――)2――,知一一<PMPN<6,

244

當(dāng)尸在A3上時，設(shè)P(x,0)(0<x44)，PM=(-x,l),PN=(4-x,2)>

PM-PN=x2-4x+2=(x-2)2-2，

當(dāng)x=2時，(PMPN)min=-2>當(dāng)x=4時，(前?俞)3=2，

即-24可乙麗42，

當(dāng)尸在8上時，設(shè)P(x,4)(0<x44)，前=(_%_3),俞=(4-x,-2)，

->—*

PM-PN=x2-4x+6=(x-2)2+2，

當(dāng)x=2時，(PMPN)min=2-當(dāng)x=4時，(尸".「“)”,”=6，

即24pM"獷46.

綜上可得，-24兩?麗46，

故選：C

11.D

【解析】

【分析】

由題知8CJ>平面上4B,再設(shè)△PAB外接圓的圓心為。?,三棱錐P-ABC外接球球心為O,

三棱錐尸—43C外接球的半徑為R,OO、=h,連接。。，BO},過。作。。人8C,垂足為D,

進而根據(jù)幾何關(guān)系求得/?=1,R=0,再計算體積即可.

【詳解】

解：因為NABC=90。，所以AB_LBC,

因為P8J.BC,PBLAB=B,所以，8c，平面R43,

如圖，設(shè)△2相外接圓的圓心為。-三棱錐P-A8C外接球球心為O,

連接OO-BO、,過。作8八BC,垂足為。，則。。=。/,

所以，在△PA8中，ZA3P=N8AP=30。，ZAPB=12O°,AB=6

答案第6頁，共15頁

AR

所以，△PA8外接圓的直徑為.=即半徑為1,8。=1,

sinaAPB

設(shè)三棱錐P-43C外接球的半徑為R,00,=h,則CD=2i,

所以，AOQB中，08?=。出2+002,即叱=[+力2,

在AOCD中,CO-=CD2+0D1.即爐=1+(2-/?)2,

所以，R2=1+(2—/z)~=\+h2,解得〃=1,R=>/2,

所以，三棱錐P-A8C的外接球的體積為丫=9萬內(nèi)=逑萬.

33

故選：D

12.C

【解析】

【分析】

根據(jù)正弦定理可得，sinC=3sinAsin由基本不等式可求出包吆匚的最小值，再根據(jù)余

ab

弦定理以及正弦定理可將心史化成關(guān)于角C的函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大

ab

值，從而得到取值范圍.

【詳解】

因為acosB=3Z?sinA-Z?cosA,由正弦定理得sinAcosB-3sinBsinA-sinBcosA,即

sinC=3sinAsinB.

答案第7頁，共15頁

/+/N+2%處=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.

ababab

因為,②一+/功兒酒，所以（"比=?+〃+2.=2+02+2口cosC=2+2COSC+土

ababahab

=2+2cosC+^^^=3sinC+2cosc+2=V^sin（C+°）+2,其中tane=|，ee（0,；）,

而0＜（7＜兀，所以當(dāng)c+e=q時，（"+”）一取最大值2+屈.即（"+"）-的取值范圍是

2abab

[4,2+5/13].

故選：C.

【點睛】

本題主要考查正余弦定理的應(yīng)用，以及利用三角函數(shù)的性質(zhì)求范圍，解題關(guān)鍵是通過消元思

想將所求式子轉(zhuǎn)化成關(guān)于角C的函數(shù)，再結(jié)合輔助角公式求出其最大值.

13.-

6

【解析】

【詳解】

jr1

試題分析：由y=8SX可得交點坐標(biāo)為（蘭，士）.由函數(shù)y=媼（2x+。）可得

32

-=蟲2乂2+0，因0?9＜女,故名+9=史=＞=2.

23366

考點：三角函數(shù)值

14.-##0.25

4

【解析】

【分析】

利用向量數(shù)量積的運算律和向量的夾角公式計算即可.

【詳解】

由題意得伍+萬）,（日―3日）=同~-2萬石_3網(wǎng)=4忖?2萬—3忖=|/?|—2a-^=0,所以

無5=軀，

答案第8頁，共15頁

一方-\bfI

所以cos(a,b\=〃i―=-

\'即W2時4

故答案為：；

15.近

4

【解析】

【分析】

根據(jù)sin?8=3自sinA,結(jié)合6=4”，利用正弦定理得到sin8,進而求得cosB=：,再利用

28

余弦定理，結(jié)合a+c=5,求得mb,c求解.

【詳解】

解：因為sin?B=X^sinA,

2

所以sinB.b=a又b=4a,

2

所以sin8=3且，因為AABC是銳角三角形，

8

所以cos3=J,

由余弦定理得〃2=々2+《2-2accosB,

即11/+9。_20=0,解得。=1,

又Q+C=5,則C=4/=4,

所以ziABC的面積為S"c=14csin8=』xlx4x&^=±^,

“阮2284

故答案為：也

4

16.[-2A/5,+OO）

【解析】

【分析】

先根據(jù)三角恒等變換得〃x）=2sin（2g-?）-夜，再根據(jù)周期性可得0=（,即

小）=2而（梟-?卜友，最后根據(jù)存在性問題，只需求函數(shù)〃力=2而（畀-￡|-忘在

區(qū)間xe[0,2]上的最小值即可求解.

【詳解】

答案第9頁，共15頁

、

costyx-sinf<yx7-1-l=4cosd>x-f—sin^yx--cos6yx

〃x)=4

422

=2夜cosGxsincox-2V2cos2s=夜sin2cox一&(1+cos2Gx)

=\/2sin2a)x-41cos2CDX-\[1=2sin^2tyx-^-V2

因為函數(shù)小)=43麗0缶"-(｝。>0)的最小正周期為4,

所以7=?=4,解得°=￡,所以/(x)=2sin佟

當(dāng)xe[0,2]B寸，J與，所以"畀一?)e-^-,1

所以“x)e[-20,2-0],

因為存在f?0,2］,使得〃。一如40,

所以“式/⑺L，問0,2］，

所以機N-2&

所以實數(shù)"?的取值范圍為［-2&,田）

故答案為：［-2夜,+?））

【點睛】

本題考查三角恒等變換化簡，不等式能成立問題，三角函數(shù)的值域，考查運算求解能力，化

歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)三角恒等變換化簡整理得

/（x）=2sin^|x-^-V2,進而根據(jù)不等式能成立問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值問題.

17.⑴萬

⑵-2

【解析】

【分析】

（1）首先利用輔助角公式及二倍角公式化簡函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；

（2）首先利用輔助角公式及二倍角公式化簡函數(shù)，利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，即

可得解.

⑴

答案第10頁，共15頁

解：函數(shù),/'（幻=如了-6<:（?工=2疝（》-5）,

1-cos2(x--)

所以y=4sin2(x-看)=4x----------------=2-2cos(2x-令,

故函數(shù)的最小正周期丁=§27r=萬;

⑵

解：由于/(%)=sinx-^3cosx,所以小+微=sinX+y-^cosl=cosx+\/3sinx,

所以>=f(x)f(x+§=?nA-A/3COSX)(COSx+Gsinx)

=sinxcosx-43cos2x+Gsin?x-3sinxcosx

=-(\/3cos2x+sin2x)=-2sin(2x+—)

3

即y=-2sin(2x+?；

71

由于X€0,y,

ll,,-九71447r

所以2%+彳￡

3

所以sin（2x+?卜-別

故ye[-2,句,

當(dāng)2Tp71即x=A7t時，函數(shù)1/⑴/卜+金取得最小值為—2.

212

71

18.(1)4=5

(2)2

【解析】

【分析】

（1）利用誘導(dǎo)公式及正弦定理將邊化角，再結(jié)合二倍角公式計算可得;

（2）由數(shù)量積的定義求出Ac,再由余弦定理及基本不等式計算可得:

⑴

W：在△ABC,由bsin'+。=〃sin3,

2

所以h?sin^——=asinB,EPfecos—=<7sinB,

22

答案第11頁，共15頁

A

再由正弦定理得sinB-cos—=sinA?sin8,

2

AAAA

sinB?cos—=2sin—cos—?sin3,因為sin3>(),sin—>0

2222

..A]

??sin—=-

22f

因為日jo,?),所以[=

ZIZ/20

A=-.

3

(2)

解：由麗?*=2，即bccosA=2,所以6c=4.

由a?=//+-2/?ccosA=b2+c2-be>be=4

當(dāng)且僅當(dāng)人=c=2時，所以。的最小值為2.

19.(1)證明見解析.

⑵G

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)勾股定理可得垂直關(guān)系，進而根據(jù)線線垂直證明線面垂直.

(2)根據(jù)等體積法可求點到面的距離.

(1)在△弘C中,AC=2,PA=1,PC=y/5,^PC2=AC2+PA2,iAPAlAC,y.

PA，AD,ACcAD=A,所以%，平面ABCD

(2)vAD//BC,ZBAD=150/.ZABC=30,又因為AB=AC=2,:.ZACB=30,進而可知在

△BAC中,ABAC=180-ZABC-ZACB=120",所以

S=，A8,AC-sinNBAC=，x2x2x3=6,S,"c=!P4，AC=!X1X2=1設(shè)點8至lj

平面PAC的距離為h，則VB_PAC=L/Cn1S.PAc.h=；S1Mc-PA=h=G,所以點B到平面

PAC的距離為G

7T

20.(1)2；^=—；

o

(2)A=—-1.

2

【解析】

【分析】

答案第12頁，共15頁

(1)利用/(X)的解析式求出周期，再由給定的最高點尸求出9作答.

(2)由(1)求出點M,N的坐標(biāo)，結(jié)合圖形求出/PMN和N/WM的正切，再利用和角公

式計算作答.

(1)

27r

函數(shù)/(幻=Asin(心+夕)的最小正周期丁=—=2,

n

因嗎,A)是函數(shù)/(x)圖象的最高點，則$+e=2E+],止Z,fiijO<^<p有N=(),

兀

O

所以函數(shù)/(X)的最小正周期為2,(P三.

6

(2)

冗7rl1冗

由(1)知，/(%)=Asin(7Lr+-),由兀r+二=0得。二一一,即點M(--,0),由心+―=2兀得

66666

x=U，即點N(U，0)，

66

AA2

于是得tan4MN=lF=2A,^ZPNM=^—^=-A而“MN+NPNM=三,

3~(~6)6-34

2A+-A

tanZ.PMN+tanNPNM

則tan(/PMN+/PNM)=又A>0,解得

1-tan/PMN?tanNPNM

1-2A-A

3

4手,

A=----1,

2

所以4=立一1.