新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.4.1平面課件

8.4.1

平面課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上,抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解三個(gè)基本事實(shí)(基本事實(shí)1、2、3)和三個(gè)推論,并能運(yùn)用事實(shí)及推論進(jìn)行邏輯推理.3.通過直觀感知,用數(shù)學(xué)語言抽象地刻畫空間點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面、直線與平面的位置關(guān)系.自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析隨

堂

練

習(xí)

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、平面【問題思考】1.生活中的平面有大小之分嗎?幾何中的“平面”是怎樣的?提示:生活中的平面有大小之分;從物體中抽象出來的,絕對(duì)平,無大小之分.2.填空:(1)幾何中的平面是向四周無限延展的.(2)平面通常畫成一個(gè)平行四邊形,圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.(3)如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住,為了增強(qiáng)它的立體感,把被遮擋部分用虛線畫出來.如圖②.3.做一做:(1)在下列各種面中,不能認(rèn)為是平面一部分的應(yīng)該為(

)A.黑板面

B.乒乓球桌面C.籃球的表面

D.平靜的水面答案:C(2)根據(jù)下列符號(hào)表示的語句,說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系,并畫出相應(yīng)的圖形:①A∈α,B?α;②l?α,m∩α=A,A?l;③P∈l,P?α,Q∈l,Q∈α.解:①點(diǎn)A在平面α內(nèi),點(diǎn)B不在平面α內(nèi),如圖①;②直線l在平面α內(nèi),直線m與平面α相交于點(diǎn)A,且點(diǎn)A不在直線l上,如圖②;③直線l經(jīng)過平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q,如圖③.二、平面的基本性質(zhì)【問題思考】1.若把直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)放在桌面上,直尺的邊緣上的其余點(diǎn)和桌面有何關(guān)系?為什么自行車后輪旁只安裝一只撐腳就能固定自行車?兩張紙面相交有幾條交線?提示:直尺的邊緣上的其余點(diǎn)在桌面上.撐腳和自行車的兩個(gè)輪子與地面的接觸點(diǎn)不在一條直線上.兩張紙面相交有一條交線.2.填空:3.做一做:如圖所示,在空間四邊形各邊AD,AB,BC,CD上分別取E,F,G,H四點(diǎn),如果EF,GH交于一點(diǎn)P,求證:點(diǎn)P在直線BD上.證明:∵EF∩GH=P,∴P∈EF,且P∈GH.又EF?平面ABD,GH?平面CBD,∴P∈平面ABD,且P∈平面CBD,即P∈平面ABD∩平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,由基本事實(shí)3可得P∈BD.∴點(diǎn)P在直線BD上.三、基本事實(shí)的推論【問題思考】1.三個(gè)關(guān)于平面的基本事實(shí)是人們經(jīng)過長期觀察與實(shí)踐總結(jié)出來的,是幾何推理的基本依據(jù),也是我們進(jìn)一步研究立體幾何的基礎(chǔ).下面每一個(gè)條件能否確定一個(gè)平面?(1)直線與直線外一點(diǎn);(2)兩條相交直線;(3)兩條平行直線.提示:都能.2.填空:(1)平面基本事實(shí)推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.(2)平面基本事實(shí)推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.(3)平面基本事實(shí)推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.3.做一做:(1)下列說法正確的是(

)①任意三點(diǎn)確定一個(gè)平面②圓上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面③任意四點(diǎn)確定一個(gè)平面④兩條平行線確定一個(gè)平面A.①②

B.②③C.②④

D.③④(2)兩個(gè)平面若有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面(

)A.相交

B.重合C.相交或重合

D.以上都不對(duì)解析:(1)不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.圓上三個(gè)點(diǎn)不會(huì)在同一條直線上,故可確定一個(gè)平面,∴①不正確,②正確.當(dāng)四點(diǎn)在一條直線上時(shí)不能確定一個(gè)平面,③不正確.根據(jù)平行線的定義知,兩條平行直線可確定一個(gè)平面,故④正確.(2)若三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上,則兩平面可能相交;若這三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上,則這兩個(gè)平面重合.答案:(1)C

(2)C【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.(

√

)(2)平面α與平面β相交,它們只有有限個(gè)公共點(diǎn).(

×

)(3)經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.(

√

)(4)如果兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面重合.(

√

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

文字語言、圖形語言、符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)化【例1】

根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系.(1)點(diǎn)P與直線AB;(2)點(diǎn)C與直線AB;(3)點(diǎn)M與平面AC;(4)點(diǎn)A1與平面AC;(5)直線AB與直線BC;(6)直線AB與平面AC;(7)平面A1B與平面AC.解:(1)點(diǎn)P∈直線AB;(2)點(diǎn)C?直線AB;(3)點(diǎn)M∈平面AC;(4)點(diǎn)A1?平面AC;(5)AB∩BC=B;(6)AB?平面AC;(7)平面A1B∩平面AC=直線AB.三種語言的轉(zhuǎn)換方法:用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí),首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何,試著用文字語言表示,再用符號(hào)語言表示;根據(jù)符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí),要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.【變式訓(xùn)練1】

畫圖表示下列由集合符號(hào)給出的關(guān)系:(1)A∈α,B?α,A∈l,B∈l;(2)a?α,b?β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解:如圖.(1)(2)探究二

點(diǎn)、線共面問題【例2】

求證:兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線在同一平面內(nèi).證明:如圖,直線a,b,c,d兩兩相交,交點(diǎn)分別為A,B,C,D,E,F.∵直線a∩直線b=A,∴直線a和直線b確定平面設(shè)為α,即a,b?α.∵B,C∈a,E,F∈b,∴B,C,E,F∈α.而B,F∈c,C,E∈d,∴c,d?α,即a,b,c,d在同一平面內(nèi).證明點(diǎn)、線共面問題的理論依據(jù)是基本事實(shí)1和基本事實(shí)2,常用方法有:(1)先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面,再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi);(2)先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α,其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面β,再證平面α與β重合;(3)假設(shè)不共面,結(jié)合題設(shè)推出矛盾.【變式訓(xùn)練2】

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AB的中點(diǎn),F為AA1的中點(diǎn).求證:E,C,D1,F四點(diǎn)共面.證明:延長D1F,設(shè)D1F∩DA=O,延長CE,設(shè)CE∩DA=O1.∵F為AA1的中點(diǎn),∴OA=AD.同理O1A=AD,∴O與O1重合,∴D1F∩CE=O,∴E,C,D1,F四點(diǎn)共面.探究三

共線問題【例3】

已知△ABC在平面α外,其三邊所在的直線滿足AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,如圖所示.求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.證明:∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.又AB?平面ABC,∴P∈平面ABC.∴由基本事實(shí)3可知,點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上,同理可證Q,R也在平面ABC與平面α的交線上.∴P,Q,R三點(diǎn)共線.本例換為:如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點(diǎn)Q,如何說明B,Q,D1三點(diǎn)共線?證明:如圖所示,連接A1B,CD1.顯然B∈平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1.∴BD1?平面A1BCD1.同理BD1?平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1.∵A1C∩平面ABC1D1=Q,∴Q∈平面ABC1D1.又A1C?平面A1BCD1,∴Q∈平面A1BCD1.∴Q∈BD1,即B,Q,D1三點(diǎn)共線.證明多點(diǎn)共線通常利用基本事實(shí)3,即兩相交平面交線的唯一性,通過證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi),證明點(diǎn)在相交平面的交線上,也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明其他點(diǎn)也在其上.易

錯(cuò)

辨

析沒判別兩直線共點(diǎn)致誤【典例】

如圖,在四面體ABCD中,E,G分別為BC,AB的中點(diǎn),F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求證:EF,GH,BD交于一點(diǎn).錯(cuò)解:因?yàn)镋,G分別為BC,AB的中點(diǎn),所以GE∥AC.又因?yàn)镈F∶FC=DH∶HA=2∶3,所以FH∥AC,從而FH∥GE且GE≠FH.故E,F,H,G四點(diǎn)共面.記GH和EF交于一點(diǎn)O.因?yàn)镺在平面ABD內(nèi),又在平面BCD內(nèi),所以O(shè)在這兩平面的交線上,而這兩個(gè)平面的交線是BD,且交線只有這一條,所以點(diǎn)O在直線BD上.這就證明了GH和EF的交點(diǎn)也在BD上,所以EF,GH,BD交于一點(diǎn).以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:雖已證明E,F,H,G四點(diǎn)共面,但未說明GH和EF能否交于一點(diǎn),它們也可能平行.如何說明GH和EF交于一點(diǎn),往往解題中被忽視.正解:因?yàn)镋,G分別為BC,AB的中點(diǎn),所以GE∥AC.又因?yàn)镈F∶FC=DH∶HA=2∶3,所以FH∥AC,從而FH∥GE且GE≠FH.故E,F,H,G四點(diǎn)共面.又因?yàn)?/p>

所以四邊形EFHG是一個(gè)梯形,設(shè)GH和EF交于一點(diǎn)O.因?yàn)镺在平面ABD內(nèi),又在平面BCD內(nèi),所以O(shè)在這兩平面的交線上,而這兩個(gè)平面的交線是BD,且交線只有這一條,所以點(diǎn)O在直線BD上.這就證明了GH和EF的交點(diǎn)也在BD上,所以EF,GH,BD交于一點(diǎn).在論證兩條直線交于一點(diǎn)過程中,一般先證明兩條直線共面,它們處在同一平面中,再說明它們交于一點(diǎn),常用梯形兩腰交于一點(diǎn)來說明兩直線能交于一點(diǎn).隨

堂

練

習(xí)1.若點(diǎn)Q在直線b上,b在平面β內(nèi),則Q,b,β之間的關(guān)系可記作(

)A.Q∈b∈β B.Q∈b?βC.Q?b?β

D.Q?b∈β答案:B2.已知α,β為平面,A,B,M,N為點(diǎn),a為直線,下列推理錯(cuò)誤的是(

)A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?