第21章 一元二次方程 復(fù)習(xí)課（第1課時） 教學(xué)設(shè)計

第21章一元二次方程復(fù)習(xí)課（第1課時）教學(xué)內(nèi)容解析教學(xué)流程圖地位與作用一元二次方程是重要的數(shù)學(xué)模型，是初中階段學(xué)習(xí)的最后一類方程．一元二次方程的解法涉及較多的數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生思維素養(yǎng)的重要載體．一元二次方程具有豐富的實際背景，建立一元二次方程模型解決實際問題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，發(fā)展應(yīng)用意識的重要載體．一元二次方程的學(xué)習(xí)也是后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)、圓與相似中線段計算等知識的基礎(chǔ)．本節(jié)課是復(fù)習(xí)課的第1課時，是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)一元二次方程的有關(guān)知識的基礎(chǔ)上，對本章內(nèi)容進行梳理總結(jié)并建立知識體系．概念解析一元二次方程是指只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，是對以前所學(xué)方程在次數(shù)上做推廣．解方程的本質(zhì)是求出方程中未知數(shù)的值，解一元二次方程的基本策略是轉(zhuǎn)化，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，從而實現(xiàn)將未知轉(zhuǎn)化為已知的思想.解一元二次方程常用的方法有配方法、公式法和因式分解法．其中公式法居于核心地位，公式法是求一元二次方程根的一般方法，由于有了公式法，我們就可以對一般的一元二次方程進行研究，獲得了根的存在性判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，這大大深化了我們對一元二次方程的認識.一元二次方程作為重要的數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)在解決實際問題中的重要作用，數(shù)學(xué)建模思想是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，一元二次方程的學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的非常重要途徑.思想方法從實際問題中抽象出一元二次方程的概念，研究方程的解法，建立方程模型再解決某些具體的實際問題，是本章學(xué)習(xí)的主線，體現(xiàn)了從特殊到一般再到特殊的研究過程．選擇恰當?shù)姆椒▽ⅰ岸巍苯禐椤耙淮巍?，從而將解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，是學(xué)習(xí)方程解法的主線，充分蘊含著化歸的思想．具體地，從方程x2=p和（x＋n）2=p入手得到直接開平方法，再考慮一般的形式ax2＋bx＋c=0（a≠0），通過配方法可將其轉(zhuǎn)化為（x＋n）2=p的形式再解；或通過公式法可以直接對一般形式的一元二次方程求解；再對特殊的（能轉(zhuǎn)化為兩個一次因式乘積）的方程采用因式分解法求解，這個過程也體現(xiàn)了從特殊到一般再到特殊的研究過程．應(yīng)用一元二次方程模型解決實際問題的過程中，體現(xiàn)建模思想，能發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，培養(yǎng)能力．另外，對根的判別式意義的討論，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．知識類型一元二次方程屬于概念性知識；一元二次方程的解法是關(guān)于原理與規(guī)則類知識，建立一元二次方程模型解決實際問題，是數(shù)學(xué)建模思想的重要體現(xiàn)，這是關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法的知識．教學(xué)重點本節(jié)課的教學(xué)重點：從兩條主線對本章內(nèi)容進行梳理總結(jié)并建立知識體系．教學(xué)目標解析教學(xué)目標：1．復(fù)習(xí)鞏固本章重點內(nèi)容，梳理總結(jié)本章知識．2．經(jīng)歷構(gòu)建本章知識體系的過程，深化對知識間內(nèi)在聯(lián)系的理解．目標解析：達成目標1的標志是：完成課前檢測及相應(yīng)鞏固環(huán)節(jié)的例題，掌握一元二次方程概念、解法、根的判別式及解決典型實際問題等核心知識．達成目標2的標志是：主動建構(gòu)本章知識結(jié)構(gòu)圖，在過程中引發(fā)思考，交流感悟．知道一元二次方程的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容是概念、解法和應(yīng)用；能總結(jié)解法中化歸的基本思想，體會特殊到一般再到特殊的研究過程．教學(xué)問題診斷分析具備的基礎(chǔ)在本課之前，學(xué)生已經(jīng)基本掌握一元二次方程的概念、解法，經(jīng)歷了應(yīng)用一元二次方程模型解決簡單問題的過程．與本課目標的差距分析在復(fù)習(xí)中構(gòu)建知識體系需要一定的歸納和對數(shù)學(xué)的理解能力及較強的系統(tǒng)思維能力．可能存在的問題存在的問題：學(xué)生對知識的掌握呈現(xiàn)碎片化，缺乏系統(tǒng)看待所學(xué)內(nèi)容的經(jīng)驗．應(yīng)對策略：通過具有典型問題的學(xué)習(xí)，鞏固和加深知識的掌握；通過能觸發(fā)深入思考的追問，引發(fā)對知識內(nèi)部聯(lián)系的思考；通過共同繪制知識結(jié)構(gòu)圖的過程，明晰各知識點的聯(lián)系，加深理解．教學(xué)難點本節(jié)課的教學(xué)難點：本章知識體系的建構(gòu)．教學(xué)支持條件分析通過信息技術(shù)，動態(tài)地構(gòu)建思維導(dǎo)呈現(xiàn)思維導(dǎo)圖，將思維導(dǎo)圖逐漸調(diào)整為知識結(jié)構(gòu)圖，通過希沃授課助手等交互平臺，搭建起交流評價的環(huán)境，加強對于知識間的相互聯(lián)系的理解．教學(xué)支持條件分析課前檢測1．下列方程中是一元二次方程的是__________．（填序號）①3x＋6=0；②x－5y=0；③x2＋3x－4=0；④x2－=0；2．解方程：3x2－9=2x2＋8x．3．一條長40cm的繩子圍成一個面積為75cm2的矩形，求這個矩形的長和寬．設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)一元二次方程的概念、解法和應(yīng)用．為復(fù)習(xí)課的開展做好知識上的準備．知識梳理1．概念問題1方程（m＋2）x|m|＋3mx＋1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為_______；若是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值為_________．師生互動設(shè)計：學(xué)生先獨立思考、回答．為了幫助學(xué)生有邏輯地思考，教師可追問以下問題．追問1：一元二次方程的一般式是什么？由此你能給出m需要滿足的條件嗎？追問2：一元一次方程的一般式是什么？m需要滿足什么條件？追問3：我們還學(xué)過哪種整式方程？寫出一般形式．比較你所學(xué)過的各種整式方程，說明它們的未知數(shù)個數(shù)與次數(shù)．設(shè)計意圖：通過辨析幾種整式方程的概念，引導(dǎo)學(xué)生進一步理解一元二次方程的概念，加強知識的前后聯(lián)系，建立有關(guān)方程的知識體系．2．解法問題2關(guān)于x的方程2ax2＋（a2－4a－5）x－3=0的一個根為1，求實數(shù)a的值．師生互動設(shè)計：兩位學(xué)生板演展示，其它學(xué)生獨立思考、解答．學(xué)生交流完善，教師總結(jié)并提出以下問題：追問1：什么是方程的根？追問2：這位同學(xué)用了什么方法解方程？這種方法解方程的步驟是什么？追問3：一元二次方程有哪些解法？它們各自在什么情況下最適用？追問4：這幾種解法之間有何聯(lián)系？在基本思想上有何共同點？設(shè)計意圖：本題主要復(fù)習(xí)一元二次方程的解法，通過比較不同解法，體會如何根據(jù)方程特點選擇解法．并讓學(xué)生深入思考這幾種解法之間的聯(lián)系，體會配方法的重要意義以及“降次”的基本思想．【測評1】解下列方程：（1）3x2＋6x－5=0；（2）3x（x－1）=2（x－1）．設(shè)計意圖：檢測一元二次方程解法是否掌握．若測評不合格，則講解測評1，完成后再測（測評2）．【測評2】解下列方程：（1）x2＋2x=0；（2）x（x－4）=2－8x．3．方程的根問題3關(guān)于x的一元二次方程x2＋（m＋5）x＋2m=0，（1）證明方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）用m表示方程兩根的和與積．師生互動設(shè)計：學(xué)生獨立思考、解答、展示．學(xué)生交流完善，教師總結(jié)并提出以下問題：追問1：如何判別一個一元二次方程根的情況？追問2：根的判別式是依據(jù)什么來對一元二次方程根的情況進行判斷的？追問3：如何證明根的判別式大于0？追問4：方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的兩根x1，x2與系數(shù)a，b，c有什么關(guān)系？我們?nèi)绾蔚玫竭@種關(guān)系的？設(shè)計意圖：回顧判別式的作用，通過教師提問，加深了解求根公式與配方法的關(guān)系，再次體會配方法的重要意義，完善一元二次方程解法的體系．【測評3】已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋4x＋2k=0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若方程的兩根為x1，x2，求x1＋x2＋x1·x2的值．設(shè)計意圖：檢測根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系是否掌握．若測評不合格，則回至問題3的教學(xué)．4．應(yīng)用問題4如圖，對一塊長80m，寬60m的矩形土地進行綠化．綠化區(qū)域也為矩形，且綠化區(qū)域四周邊界與土地邊界的距離都相等．（1）若使土地的綠化率為，求綠化區(qū)域邊界與土地邊界的距離．（土地綠化率=綠化面積÷土地面積）（2）綠化區(qū)域內(nèi)種植某種綠色植物，兩個月高度恰好增長了一倍，求這種植物高度的月平均增長率．（結(jié)果保留百分號前一位小數(shù)，≈1.4142）師生互動設(shè)計：學(xué)生先獨立思考，后小組討論交流，選代表展示，在老師的引導(dǎo)下，師生共同完善答案．設(shè)計意圖：通過不同類型實際問題的解決，體會建立一元二次方程模型解決實際問題的過程．構(gòu)建體系（小結(jié)）問題5請同學(xué)們根據(jù)所復(fù)習(xí)的內(nèi)容整理本章所學(xué)的主要知識．你能畫出這些知識的結(jié)構(gòu)圖嗎？師生互動設(shè)計：教師組織學(xué)生畫知識結(jié)構(gòu)圖，學(xué)生先獨立完成，再小組交流，投影呈現(xiàn)，發(fā)表制圖的原因，交流完善．教師引導(dǎo)總結(jié)方程研究的三塊內(nèi)容：概念、解法和應(yīng)用．通過追問，感悟數(shù)學(xué)思想和研究過程．追問1：你能說說我們是怎樣研究方程的？又是怎樣研究方程的解法的？設(shè)計意圖：讓學(xué)生主動建構(gòu)本章的知識結(jié)構(gòu)，形成知識體系．在此基礎(chǔ)上，教師出示本章知識框圖，幫助學(xué)生形成知識結(jié)構(gòu)．目標檢測設(shè)計一、選擇題1．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x＋4=0B．x－3y=2C．x2＋2x－3=0D．x2－=02．方程（x－4）2=9的解是（）A．x=1B．x=7C．x1=3，x2=－3D．x1=1，x2=73．用配方法解方程x2－8x+6=0，變形后的結(jié)果正確的是（）A．（x＋4）2=10B．（x－4）2=10C．（x＋8）2=58D．（x－8）2=584．關(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋m=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≤1B．m﹤1C．m=1D．m≥15．今年“十一”長假某景點迎來旅游高峰，第一