21.3 實(shí)際問題與一元二次方程（第2課時(shí)） 教學(xué)設(shè)計(jì)

21.3實(shí)際問題與一元二次方程（第2課時(shí)）教學(xué)內(nèi)容解析教學(xué)流程圖地位與作用一元二次方程是初中數(shù)學(xué)中核心內(nèi)容，本課通過對(duì)“平均變化率”問題的認(rèn)識(shí)，感受相關(guān)數(shù)學(xué)模型中的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)問題的能力.以此發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).概念解析本課的主要內(nèi)容是以生產(chǎn)成本變化為問題情境，討論平均變化率問題.兩輪（即兩個(gè)時(shí)間段）的平均變化率，可以抽象成一元二次方程.問題中涉及成本下降額和成本下降率這兩個(gè)接近而不同的概念，前者表示絕對(duì)變化量，單位是元，后者表示相對(duì)變化量，是表示比率的數(shù)字.思想方法本節(jié)課著重理清兩輪平均變化率中的數(shù)量關(guān)系，從而抽象出一元二次方程，是數(shù)學(xué)模型思想的集中體現(xiàn).知識(shí)類型通過一元二次方程解決平均變化率問題關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法的知識(shí)．教學(xué)重點(diǎn)本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：列一元二次方程解決兩輪平均變化率問題．教學(xué)目標(biāo)解析教學(xué)目標(biāo)：1．能分析兩輪平均變化率問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程解決實(shí)際問題．2．能根據(jù)實(shí)際情況，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理．目標(biāo)解析：達(dá)成目標(biāo)1的標(biāo)志：能說出建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的一般步驟.達(dá)成目標(biāo)2的標(biāo)志：數(shù)學(xué)問題的解能否轉(zhuǎn)換成實(shí)際問題的答案.教學(xué)問題診斷分析具備的基礎(chǔ)通過“傳播問題”的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)初步了解運(yùn)用方程模型解決實(shí)際問題的一般過程.并通過一元二次方程概念、解法等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，以及前一節(jié)課“傳播問題”解決，已經(jīng)初步建立數(shù)學(xué)建模的基本思想.與本課目標(biāo)的差距分析需要學(xué)生知道列方程解應(yīng)用題的一般步驟，特別是面對(duì)象年平均變化率等具體問題中的數(shù)量關(guān)系.可能存在的問題存在的問題：學(xué)生對(duì)于成本下降額與成本下降率這兩個(gè)接近而不同的概念容易產(chǎn)生混淆，比較難以兼顧.對(duì)于分析兩輪變化率，特別是第二輪變化時(shí)以誰作為基數(shù)，理解起來會(huì)有難度.應(yīng)對(duì)策略：分析和解決的關(guān)鍵是找出問題中的相關(guān)數(shù)量之間的相等關(guān)系，嘗試運(yùn)用列表的方式分析，并將這些的關(guān)系“翻譯”為一元二次方程，以此來降低難度.教學(xué)難點(diǎn)本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：正確建立一元二次方程解決實(shí)際中的平均變化率問題.教學(xué)支持條件分析可以通過信息技術(shù)中的圖表和數(shù)據(jù)分析工具，分析問題中的數(shù)量關(guān)系．可利用ipad統(tǒng)計(jì)后測(cè)情況，根據(jù)后測(cè)情況，對(duì)后測(cè)成績不理想的同學(xué)，利用iPad點(diǎn)推送相應(yīng)鞏固環(huán)節(jié)內(nèi)容，也為后續(xù)個(gè)輔提供依據(jù)．教學(xué)支持條件分析課前檢測(cè)1．某便利店今年7月份營業(yè)額為5000元，若平均每月增長率為10％,則8月份的營業(yè)額為_________元，9月份的營業(yè)額為_________元.若平均每月增長率為x,9月份的營業(yè)額為7200元，可列方程式：______________.2．某電視機(jī)廠某種型號(hào)電視機(jī)的成本為a元，若每年平均下降的百分比為x，則一年后成本為_________元，兩年后成本為_________元.設(shè)計(jì)意圖：通過前測(cè)，了解學(xué)生是否初步掌握將變化率的基本關(guān)系.創(chuàng)設(shè)情境引出問題【探究2】兩年前生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？提問：若設(shè)甲種藥品平均下降率為x，則一年后，甲種藥品的成本下降多少元？，此時(shí)成本為多少元？兩年后呢？、師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：若設(shè)甲種藥品平均下降率為x，則一年后甲種藥品的成本下降5000x元，此時(shí)成本為5000（1—x）元；兩年后，甲種藥品下降了5000（1—x）x元，此時(shí)成本為5000（1﹣x）2元.追問1：此時(shí)你能針對(duì)甲種藥品而言得到方程嗎？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：解：設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x，根據(jù)題意得：5000（1﹣x）2=3000.追問2：請(qǐng)解出方程，并給出解答.師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：解得：x1≈1.775（舍去）x2≈0.225=22.5%，所以甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5%；追問3：請(qǐng)用同樣的方法計(jì)算乙種藥品的平均下降率,并比較哪種藥品成本的平均下降率較大.師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：設(shè)乙種藥品成本的年平均下降率為y，根據(jù)題意得：6000（1﹣y）2=3600解得：y1≈1.775（舍去）y2≈0.225=22.5%，∴乙種藥品成本的年平均下降率約為22.5%；∴甲=乙．答：甲乙兩種藥品成本的年平均下降率一樣大．追問4：思考經(jīng)過計(jì)算，你能得出什么結(jié)論？成本下降額較大的藥品，它的下降率一定也較大嗎？應(yīng)怎樣全面地比較幾個(gè)對(duì)象的變化狀況？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：成本下降額較大的產(chǎn)品，其成本下降率不一定較大.成本下降額表示絕對(duì)變化量，成本下降率表示相對(duì)變化量，兩者兼顧才能全面比較對(duì)象的變化狀況.設(shè)計(jì)意圖：通過例題，明確兩輪平均變化率的數(shù)量關(guān)系：變化前數(shù)量×（1+平均變化率）2=變化后數(shù)量．并進(jìn)一步理解成本下降額和成本下降率的概念及關(guān)系.【變式練習(xí)】某校堅(jiān)持對(duì)學(xué)生進(jìn)行近視眼的防治，近視人數(shù)逐年減少，據(jù)統(tǒng)計(jì)，2016年和2017年的近視人數(shù)合計(jì)只占2015年近視人數(shù)的75%，平均每年近視人數(shù)降低的百分率是多少？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：變化率問題，一般用變化后的量=變化前的量×（1±增長率），參照本題，如果設(shè)這兩年平均每年近視人數(shù)降低的百分率為x，根據(jù)“2017年和2016年的近視眼人數(shù)合計(jì)只占2015年人數(shù)的75%”，即可得出方程，解方程即可求解．解：設(shè)這兩年平均每年近視人數(shù)降低的百分率為x，由題意列出方程得：（1﹣x）+（1﹣x）2=0.75．解得x1=0.5=50%，x2=2.5（舍去）．故這兩年平均每年近視人數(shù)降低的百分率為50%．設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步掌握平均變化率的問題的一般方法.【題后反思】你認(rèn)為解決此類問題，關(guān)鍵是要注意什么？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“問題情景－－－建立模型－－－求解－－－－解釋與應(yīng)用”的過程，掌握解決實(shí)際問題的方法和經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括的能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣.【測(cè)評(píng)1】某廠第一季度共生產(chǎn)機(jī)床273臺(tái)，若一月份的產(chǎn)量為75臺(tái)，那么該廠第一季度的月平均增長率是多少？.設(shè)計(jì)意圖：通過測(cè)評(píng)，了解每個(gè)學(xué)生對(duì)平均變化率問題是否掌握，為課后點(diǎn)點(diǎn)輔導(dǎo)提供依據(jù).并判斷新課是否可以繼續(xù).應(yīng)用提高1.由于社會(huì)經(jīng)濟(jì)待續(xù)快速發(fā)展，城市化進(jìn)程加快，人民生活水平不斷提高，某縣城每年都新建一批住房，人均住房面積逐年增加，該縣城2003年、2004、2005年底的人口總數(shù)和人均住房面積的統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表一、表二．表一：人口總數(shù)統(tǒng)計(jì)表（單位：萬人）表二：人均住房面積統(tǒng)計(jì)表（單位：平方米/人）根據(jù)以上材料解答下列問題：（1）該縣城2004年和2005年兩年中，哪一年比上一年增加的住房面積多？（2）根據(jù)調(diào)查預(yù)測(cè)，預(yù)計(jì)2007年底，該縣城的人口數(shù)比2005年增加2萬，2006年和2007年這兩年該縣城住房總面積的年平均增長率應(yīng)達(dá)到多少，才能使2007年底該縣城的人均住房面積達(dá)到11平方米/人？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：對(duì)于第（1）題先分別計(jì)算出2003年，2004年，2005年的住房面積，再作差計(jì)算出增加的住房面積即可．對(duì)于第（2）題設(shè)平均增長率應(yīng)達(dá)到x，根據(jù)增長率的有關(guān)計(jì)算可列方程200（1+x）2=22×11，解方程即可求解．解：（1）2003年：17×9=153萬平方米，2004年：18×9.6=172.8萬平方米，2005年：10×20=200萬平方米，172.8﹣153=19.8（萬平方米），200﹣172.8=27.2（萬平方米），∴2005年比上一年增加住房面積多27.2﹣19.8=7.4（萬平方米）∴多增加了7.4萬平方米．（2）設(shè)平均增長率應(yīng)達(dá)到x，根據(jù)題意，得200（1+x）2=22×11（1+x）2=1.211+x=±1.1x1=﹣2.1（舍去），x2=0.1．答：可達(dá)到10%．設(shè)計(jì)意圖：一方面為了鞏固平均變化率的問題的解題思路；另一方面通過處理更復(fù)雜問題，積累解題的相關(guān)經(jīng)驗(yàn).【測(cè)評(píng)2】（1）隨著退耕還林政策的進(jìn)一步落實(shí)，某村從2015年底到2017年底林地面積變化如圖所示，則2016，2017這兩年三崗村林地面積年平均增長的百分率為（）A．7%B．10%C．11%D．21%（2）兩年前生產(chǎn)一噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)一噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)代生產(chǎn)一噸甲種藥品的成本是1800元，生產(chǎn)一噸乙種藥品的成本是2160元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？設(shè)計(jì)意圖：一方面鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系.另一方面，教師可以了解學(xué)生掌握情況，做好精準(zhǔn)幫扶.課堂小結(jié)1.結(jié)合下面的結(jié)構(gòu)圖，回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，并回答以下問題：（1）你是怎樣建立一元二次方程模型解決實(shí)際問題？（2）在解決問題的過程中你是怎樣分析問題的？是怎樣找到數(shù)量關(guān)系？（3）你學(xué)到了哪些思考問題的方法？設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，歸納提升，加強(qiáng)學(xué)習(xí)反思，幫助學(xué)生養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識(shí)的習(xí)慣．目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．某商店6月份的利潤是4800元，8月份的利潤達(dá)到6500元．設(shè)平均每月利潤增長的百分率為x，可列方程為（）A．4800（1﹣x）2=6500B．4800（1+x）2=6500C．6500（1﹣x）2=4800D．4800+4800（1+x）+4800（1+x）2=65002．某縣為了建設(shè)“美麗家園”讓山更綠、水更清，確保到2017年實(shí)現(xiàn)全縣森林覆蓋率達(dá)到70.72%的目標(biāo)，已知2015年全縣森林覆蓋率為69.05%，設(shè)從2015年起全縣森林覆蓋率的年平均增長率為x，則可列方程（）A．69.05%（1+2x）=70.72%B．69.05（1+3x）=70.72C．69.05（1+x）2=70.72%D．69.05%（1+x）2=70.72%3．某制藥廠2014年正產(chǎn)甲種藥品的成本是500元/kg，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，2016年生產(chǎn)甲種藥品的成本是320元/kg，設(shè)該藥廠2014﹣2016年生產(chǎn)甲種藥品成本的年均下降率為x，則根據(jù)題意可列方程為（）A．500（1﹣x）2=320B．500（1+x）2=320C．320（1﹣x）2=500D．3320（1+x）2=5004．某旅游景點(diǎn)的游客人數(shù)逐年增加，據(jù)有關(guān)部門統(tǒng)計(jì)，2015年約為12萬人次，若2017年約為17萬人次，設(shè)游客人數(shù)年平均增長率為x，則下列方程中正確的是（）A．12（1+x）=17B．17（1﹣x）=12C．12（1+x）2=17D．12+12（1+x）+12（1+x）2=175．為表彰表現(xiàn)突出、成績優(yōu)秀的同學(xué)，某中學(xué)近年來設(shè)置了獎(jiǎng)學(xué)金獎(jiǎng)勵(lì)制度，已知去年上半年發(fā)放給每位優(yōu)秀學(xué)生700元，今年上半年發(fā)放給每位優(yōu)秀學(xué)生1000元，設(shè)每半年發(fā)放獎(jiǎng)學(xué)金的平均