九年級數(shù)學(xué)第二十四章圓全章教案人教新課標版

第二十四章圓

單元要點分析

教學(xué)內(nèi)容

1.本單元數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容.

(1)圓有關(guān)的概念：垂直于弦的直徑，弧、弦、圓心角、圓周角.

(2)與圓有關(guān)的位置關(guān)系：點和圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，圓和圓的位

置關(guān)系.

(3)正多邊形和圓.

(4)弧長和扇形面積：弧長和扇形面積，圓錐的側(cè)面積和全面積.

2.本單元在教材中的地位與作用.

學(xué)生在學(xué)習(xí)本章之前，已通過折疊、對稱、平移旋轉(zhuǎn)、推理證明等方式認識了許多圖

形的性質(zhì)，積累了大量的空間與圖形的經(jīng)驗.本章是在學(xué)習(xí)了這些直線型圖形的有關(guān)性質(zhì)

的基礎(chǔ)上，進一步來探索一種特殊的曲線——圓的有關(guān)性質(zhì).通過本章的學(xué)習(xí)，對學(xué)生今

后繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，尤其是逐步樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想、歸納的數(shù)學(xué)思想起著良好的鋪墊

作用.本章的學(xué)習(xí)是高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤其是圓錐曲線的學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)性工程.

教學(xué)目標

1.知識與技能

(1)了解圓的有關(guān)概念，探索并理解垂徑定理，探索并認識圓心角、弧、弦之間的

相等關(guān)系的定理，探索并理解圓周角和圓心角的關(guān)系定理.

(2)探索并理解點和圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系：了解切線的概念，探索

切線與過切點的直徑之間的關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的

切線.

(3)進一步認識和理解正多邊形和圓的關(guān)系和正多邊的有關(guān)計算.

(4)熟練掌握弧長和扇形面積公式及其它們的應(yīng)用；理解圓錐的側(cè)面展開圖并熟練

掌握圓錐的側(cè)面積和全面積的計算.

2.過程與方法

(1)積極引導(dǎo)學(xué)生從事觀察、測量、平移、旋轉(zhuǎn)、推理證明等活動.了解概念，理

解等量關(guān)系，掌握定理及公式.

(2)在教學(xué)過程中，鼓勵學(xué)生動手、動口、動腦，并進行同伴之間的交流.

(3)在探索圓周角和圓心角之間的關(guān)系的過程中，讓學(xué)生形成分類討論的數(shù)學(xué)思想

和歸納的數(shù)學(xué)思想.

（4）通過平移、旋轉(zhuǎn)等方式，認識直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，使學(xué)生明確圖形

在運動變化中的特點和規(guī)律，進一步發(fā)展學(xué)生的推理能力.

（5）探索弧長、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積和全面積的計算公式并理解公式的意義、

理解算法的意義.

3.情感、態(tài)度與價值觀

經(jīng)歷探索圓及其相關(guān)結(jié)論的過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力；通過積極引導(dǎo)，幫助學(xué)

生有意識地積累活動經(jīng)驗，獲得成功的體驗；利用現(xiàn)實生活和數(shù)學(xué)中的素材，設(shè)計具有挑

戰(zhàn)性的情景，激發(fā)學(xué)生求知、探索的欲望.

教學(xué)重點

1.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧及其運用.

2.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等及其運用.

3.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的

一半及其運用.

4.半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑及其運用.

5.不在同一直線上的三個點確定一個圓.

6.直線L和。0相交Od<r；直線L和圓相切od=r；直線L和（DO相離od>r及

其運用.

7.圓的切線垂直于過切點的半徑及其運用.

8.經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線并利用它解決一些具體問

題.

9.從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分

兩條切線的夾角及其運用.

10.兩圓的位置關(guān)系：d與n和。之間的關(guān)系：外離Od>n+m；外切Od=n+n；相

交=■|r2-ri|<d<ri+r2；內(nèi)切。d=|r）-r2|；內(nèi)含Od<|r2-rt|.

11.正多邊形和圓中的半徑R、邊心距r、中心角。之間的等量關(guān)系并應(yīng)用這個等量

關(guān)系解決具體題目.

12.n°的圓心角所對的弧長為L=@,n°的圓心角的扇形面積是S明彩=匕以及

180360

其運用這兩個公式進行計算.

13.圓錐的側(cè)面積和全面積的計算.

教學(xué)難點

1.垂徑定理的探索與推導(dǎo)及利用它解決一些實際問題.

2.弧、弦、圓心有的之間互推的有關(guān)定理的探索與推導(dǎo)，并運用它解決一些實際問

題.

3.有關(guān)圓周角的定理的探索及推導(dǎo)及其它的運用.

4.點與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用.

5.三點確定一個圓的探索及應(yīng)用.

6.直線和圓的位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用.

7.切線的判定定理與性質(zhì)定理的運用.

8.切線長定理的探索與運用.

9.圓和圓的位置關(guān)系的判定及其運用.

10.正多邊形和圓中的半徑R、邊心距r、中心角9的關(guān)系的應(yīng)用.

11.n的圓心角所對的弧長L=辿及5總域=竺工的公式的應(yīng)用.

180360

12.圓錐側(cè)面展開圖的理解.

教學(xué)關(guān)鍵

1.積極引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、測量、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等數(shù)學(xué)活動探索定理、性質(zhì)、

“三個”位置關(guān)系并推理證明等活動.

2.關(guān)注學(xué)生思考方式的多樣化，注重學(xué)生計算能力的培養(yǎng)與提高.

3.在觀察、操作和推導(dǎo)活動中，使學(xué)生有意識地反思其中的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)

生有條理的思考能力及語言表達能力.

單元課時劃分

本單元教學(xué)時間約需13課時，具體分配如下：

24.1圓3課時

24.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系4課時

24.3正多邊形和圓1課時

24.4弧長和扇形面積2課時

教學(xué)活動、習(xí)題課、小結(jié)3課時

24.1圓

第一課時

教學(xué)內(nèi)容

1.圓的有關(guān)概念.

2.垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧及其

它們的應(yīng)用.

教學(xué)目標

了解圓的有關(guān)概念，理解垂徑定理并靈活運用垂徑定理及圓的概念解決一些實際問

題.

從感受圓在生活中大量存在到圓形及圓的形成過程，講授圓的有關(guān)概念.利用操作幾

何的方法，理解圓是軸對稱圖形，過圓心的直線都是它的對稱軸.通過復(fù)合圖形的折疊方

法得出猜想垂徑定理，并輔以邏輯證明加予理解.

重難點、關(guān)鍵

1.重點：垂徑定理及其運用.

2.難點與關(guān)鍵：探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實際問題.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動）請同學(xué)口答下面兩個問題（提問一、兩個同學(xué)）

1.舉出生活中的圓三、四個.

2.你能講出形成圓的方法有多少種？

老師點評（口答）：（1）如車輪、杯口、時針等.（2）圓規(guī)：固定一個定點，固定

一個長度，繞定點拉緊運動就形成一個圓.

二、探索新知

從以上圓的形成過程，我們可以得出：

在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點0旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點所形成的圖形

叫做圓.固定的端點0叫做圓心，線段0A叫做半徑.

以點0為圓心的圓，記作“。0”，讀作“圓0”.

學(xué)生四人一組討論下面的兩個問題：

問題1：圖上各點到定點（圓心0）的距離有什么規(guī)律？

問題2：到定點的距離等于定長的點又有什么特點？

老師提問幾名學(xué)生并點評總結(jié).

（1）圖上各點到定點（圓心0）的距離都等于定長（半徑r）；

（2）到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上.

因此，我們可以得到圓的新定義：圓心為0,半徑為r的圓可以看成是所有到定點0

的距離等于定長r的點組成的圖形.

同時，我們又把

①連接圓上任意兩點的線段叫做弦，如圖線段AC,AB；

②經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖24-1線段AB；

③圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，“以A、C為端點的弧記作AC”，讀

作“圓弧AC”或“弧AC”.大于半圓的?。ㄈ鐖D所示ABC叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧

（如圖所示）AC或叫做劣弧.

④圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.

（學(xué)生活動）請同學(xué)們回答下面兩個問題.

1.圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？

2.你是用什么方法解決上述問題的？與同伴進行交流.

（老師點評）1.圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是直徑，我能找到無數(shù)多條直徑.

3.我是利用沿著圓的任意一條直徑折疊的方法解決圓的對稱軸問題的.

因此，我們可以得到：

圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線.

（學(xué)生活動）請同學(xué)按下面要求完成下題：

如圖，AB是。0的一條弦，作直徑CD,使CDLAB,垂足為M.

(1)如圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？

(2)你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你理由.

(老師點評)(1)是軸對稱圖形，其對稱軸是CD.

(2)AM=BM,AC=BC,AD=BD,即直徑CD平分弦AB,并且平分AB及AOB.

這樣，我們就得到下面的定理：

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩豕械?

下面我們用邏輯思維給它證明一下：

已知：直徑CD、弦AB且CDLAB垂足為M

求證：AM=BM,AC=BC,AD=BD.

分析：要證AM=BM,只要證AM、BM構(gòu)成的兩個三角形全等.因此，只要連結(jié)OA、0B

或AC、BC即可.

證明：如圖，連結(jié)OA、0B,則0A=0B

在RtAOAM和RtAOBM中

OA^OB

OM=OM

ARtAOAM^RtAOBM

...點A和點B關(guān)于CD對稱

關(guān)于直徑CD對稱

，當圓沿著直線CD對折時，點A與點B重合，AC與BC重合，A。與80重合.

AAC=BC,AD=BD

進一步，我們還可以得到結(jié)論:

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(本題的證明作為課后練習(xí))

例1.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弦(即圖中CO,點0是CD的圓心，其中

CD=600m,E為CO上一點，且OE_LCD,垂足為F,EF=90m,求這段彎路的半徑.

分析：例1是垂徑定理的應(yīng)用，解題過程中使用了列方程的方法，這種用代數(shù)方法解

決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握.

解：如圖，連接0C

設(shè)彎路的半徑為R,則0F=(R-90)m

V0E±CD「

11\

.*.CF=-CD=-X600=300(m)F\

222

根據(jù)勾股定理，得：OC=CF+OF0?0

即R2=30()2+(R-90)2解得R=545

這段彎路的半徑為545m.

三、鞏固練習(xí)

教材P86練習(xí)P88練習(xí).

四、應(yīng)用拓展

例2.有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖24-5所示，正常水位下水面寬AB=60m,水

面到拱頂距離CD=18m,當洪水泛濫時，水面寬MN=32m時是否需要采取緊急措施？請說明

理由.

分析：要求當洪水到來時，水面寬MN=32m是否需要采取緊急措施，只要求出DE的

長，因此只要求半徑R,然后運用幾何代數(shù)解求R.

解：不需要采取緊急措施

設(shè)OA=R,在RtZXAOC中，AC=30,CD=18D

2、22M_____E______N

R2=30+(R-18)2R2=900+R2-36R+324—

解得R=34(m)人________B

連接0M,設(shè)DE=x,在RtZ\MOE中，ME=160

34=162+(34-X)2

162+342-68X+X2=342X2-68X+256=0

解得XI=4,X2=64（不合設(shè)）

/.DE=4

，不需采取緊急措施.

五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點評）

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.圓的有關(guān)概念；

2.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.

3.垂徑定理及其推論以及它們的應(yīng)用.

六、布置作業(yè)

1.教材P94復(fù)習(xí)鞏固1、2、3.

2.車輪為什么是圓的呢？

3.垂徑定理推論的證明.

4.選用課時作業(yè)設(shè)計.

第一課時作業(yè)設(shè)計

一、選擇題.

1.如圖1,如果AB為。0的直徑，弦CDLAB,垂足為E,那么下列結(jié)論中，錯誤的是（）.

A.CE=DEB.BC=BDC.ZBAC=ZBADD.AOAD

2.如圖2,（DO的直徑為10,圓心0至lj弦AB的距離OM的長為3,則弦AB的長是（）

A.4B.6C.7D.8

3.如圖3,在。0中，P是弦AB的中點，CD是過點P的直徑，則下列結(jié)論中不正確的是

（）

A.AB±CDB.ZA0B=4ZACDC.AD=BDD.P0=PD

二、填空題

1.如圖4,AB為。0直徑，E是中點，0E交BC于點D,BD=3,AB=10,則AC=

(4)(5)

2.P為。。內(nèi)一點，0P=3cm,。。半徑為5cm,則經(jīng)過P點的最短弦長為；最長

弦長為.

3.如圖5,OE、OF分別為。。的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF,那么(只需寫

一個正確的結(jié)論)

三、綜合提高題

1.如圖24-11,AB為。。的直徑，CD為弦，過C、D分別作CNJ_CD、DM1CD,分別交

AB于N、M,請問圖中的AN與BM是否相等，說明理由.

2.如圖,00直徑AB和弦CD相交于點E,AE=2,EB=6,ZDEB=30°,求弦CD長.

3.（開放題）AB是。。的直徑，AC、AD是。。的兩弦，己知AB=16,AC=8,AD=8,求/

DAC的度數(shù).

答案：

一、1.D2.D3.D

二、1.82.8103.AB=CD

三、1.AN=BM理由：過點。作0E_LCD于點E,則CE=DE,且CN〃0E〃DM.

A0N=0M,AOA-ON^B-OM,D

.\AN=BM.

2.過。作如右圖所示

；AE=2,EB=6,.,.0E=2,

■EF=6OF=1,連結(jié)0D,

在RtZXODF中，42=12+DF2,DF=A/15,；.CD=2而.

3.(1)AC、AD在AB的同旁，如右圖所示:

VAB=16,AC=8,AD=8A/3,

11/、

A-AC=-(-AB)，：.ZCAB=60°o,

222

同理可得NDAB=30°,

AZDAC=30°.

(2)AC、AD在AB的異旁，同理可得：ZDAC=600+30°=90°.

24.1圓（第2課時）

教學(xué)內(nèi)容

1.圓心角的概念.

2.有關(guān)弧、弦、圓心角關(guān)系的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等,

所對的弦也相等.

3.定理的推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，

所對的弦相等.

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等.

教學(xué)目標

了解圓心角的概念：掌握在同圓或等圓中，圓心角、弦、弧中有一個量的兩個相等就

可以推出其它兩個量的相對應(yīng)的兩個值就相等，及其它們在解題中的應(yīng)用.

通過復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)的知識，產(chǎn)生圓心角的概念，然后用圓心角和旋轉(zhuǎn)的知識探索在同圓或

等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組

量都分別相等，最后應(yīng)用它解決一些具體問題.

重難點、關(guān)鍵

1.重點：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對弦也相等及其

兩個推論和它們的應(yīng)用.

2.難點與關(guān)鍵：探索定理和推導(dǎo)及其應(yīng)用.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動）請同學(xué)們完成下題.

已知AOAB,如圖所示，作出繞0點旋轉(zhuǎn)30°、45°、60°的圖形.

老師點評：繞。點旋轉(zhuǎn)，0點就是固定點，旋轉(zhuǎn)30°,就是旋轉(zhuǎn)角/BOB'=30°.

二、探索新知

如圖所示，NA0B的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角.

B

A

（學(xué)生活動）請同學(xué)們按下列要求作圖并回答問題：

如圖所示的。0中，分別作相等的圓心角NAOB和NA'0B'將圓心角NAOB繞圓心

0旋轉(zhuǎn)到NA'OB'的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？

AB=A'B',AB=A'B'

理由：?.?半徑0A與O'A'重合，且NAOB=/A'OB'

...半徑半與OB'重合

:點A與點A'重合，點B與點B'重合

.?.AB與A8,重合，弦AB與弦A'B'重合

AB=A'B',AB=A'B'

因此，在同一個圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等.

在等圓中，相等的圓心角是否也有所對的弧相等，所對的弦相等呢？請同學(xué)們現(xiàn)在

動手作一作.

（學(xué)生活動）老師點評：如圖1,在。0和。0'中，分別作相等的圓心角NA0B和/

A'O'B'得到如圖2,滾動一個圓，使0與0'重合，固定圓心，將其中的一個圓旋轉(zhuǎn)一

個角度，使得0A與0,A，重合.

BB'B

你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？說一說你的理由？

我能發(fā)現(xiàn):AB=A'B',AB=AB：

現(xiàn)在它的證明方法就轉(zhuǎn)化為前面的說明了，這就是又回到了我們的數(shù)學(xué)思想上去呢

——化歸思想，化未知為己知，因此，我們可以得到下面的定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相攣"

同樣，還可以得到：

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等.

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等.

(學(xué)生活動)請同學(xué)們現(xiàn)在給予說明一下.

請三位同學(xué)到黑板板書，老師點評.

例1.如圖，在。0中，AB、CD是兩條弦，0E1AB,0F1CD,垂足分別為EF.

(1)如果/AOB=/COD,那么0E與OF的大小有什么關(guān)系？為什么？

(2)如果OE=OF,那么AB與CO的大小有什么關(guān)系？AB與CD的大小有什么關(guān)系？

為什么？NA0B與NC0D呢？

分析：(1)要說明OE=OF,只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中說明AE=CF,

即說明AB=CD,因此，只要運用前面所講的定理即可.

(2)V0E=0F,.,.在RSA0E和RtZXCOF中,

又有AO=CO是半徑，ARtAAOE^RtACOF,

.\AE=CF,.\AB=CD,又可運用上面的定理得到AB=CD

解：(1)如果/AOB=NCOD,那么OE=OF

理由是：VZAOB=ZCOD

AAB=CD

VOEXAB,OF±CD

11

.\AE=-AB,CF=-CD

22

/.AE=CF

XVOA=OC

ARtAOAE^RtAOCF

/.OE=OF

(2)如果OE=OF,那么AB=CD,AB=CD,ZAOB=ZCOD

理由是：

VOA=OC,OE=OF

ARtAOAE^RtAOCF

/.AE=CF

XVOE±AB,OF±CD

11

/.AE=-AB,CF=-CD

22

/.AB=2AE,CD=2CF

.\AB=CD

/.AB=CD,ZAOB=ZCOD

三、鞏固練習(xí)

教材P89練習(xí)1教材P90練習(xí)2.

四、應(yīng)用拓展

例2.如圖3和圖4,MN是。0的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點P,ZAPM=

ZCPM.

(1)由以上條件，你認為AB和CD大小關(guān)系是什么，請說明理由.

(2)若交點P在。。的外部，上述結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請

說明理由.

分析：(1)要說明AB=CD,只要證明AB、CD所對的圓心角相等，只要說明它們的一

半相等.

上述結(jié)論仍然成立，它的證明思路與上面的題目是一模一樣的.

解：(1)AB=CD

理由：過0作OE、OF分別垂直于AB、CD,垂足分別為E、F

ZAPM=ZCPM

二/1=/2

OE=OF

連結(jié)OD、0B且OB=OD

.".RtAOFD^RtAOEB

ADF=BE

根據(jù)垂徑定理可得：AB=CD

(2)作OE_LAB,OF±CD,垂足為E、F

,/ZAPM=ZCPN且OP=OP,ZPE0=ZPF0=90°

ARtAOPE^RtAOPF

AOE=OF

連接OA、OB、OC、OD

易證RtZ^OBE絲RtZ\ODF,RtAOAE^RtAOCF

；./l+N2=N3+N4

AAB=CD

五、歸納總結(jié)（學(xué)生歸納，老師點評）

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.圓心角概念.

2.在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們

所對應(yīng)的其余各組量都部分相等，及其它們的應(yīng)用.

六、布置作業(yè)

1.教材P94-95復(fù)習(xí)鞏固4、5、6、7、8.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

第二課時作業(yè)設(shè)計

一、選擇題.

1.如果兩個圓心角相等，那么（）

A.這兩個圓心角所對的弦相等;B.這兩個圓心角所對的弧相等

C.這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等;D.以上說法都不對

2.在同圓中，圓心角NA0B=2/C0D,則兩條弧AB與CD關(guān)系是（）

A.AB=2CDB.AB〉CDC.AB<2CDD.不能確定

3.如圖5,OO中,如果AB=2AC,那么（）.

A.AB=ACB.AB=ACC.AB<2ACD.AB>2AC

（5）（6）

二、填空題

1.交通工具上的輪子都是做圓的，這是運用了圓的性質(zhì)中的一

2.一條弦長恰好為半徑長，則此弦所對的弧是半圓的.

3.如圖6,AB和DE是。。的直徑,弦AC〃DE,若弦BE=3,則弦CE=_

三、解答題

1.如圖，在。0中，C、D是直徑AB上兩點，且AC=BD,MC±AB,ND1AB,M、N在。

0±.

(1)求證：AM=BN；

(2)若C、D分別為OA、OB中點，則=成立嗎？

2.如圖，以，ABCD的頂點A為圓心，AB為半徑作圓，分別交BC、AD于E、F,若/

D=50°,求BE的度數(shù)和EF的度數(shù).

3.如圖，NA0B=90°,C、D是AB三等分點,AB分別交OC、OD于點E、F,求證:AE=BF=CD.

答案：

一、1.D2.A3.C

二、1.圓的旋轉(zhuǎn)不變形2.1或23.3

33

三、1.(1)連結(jié)OM、ON,在RtZ\OCM和RtZXODN中OM=ON,OA=OB,

；AC=DB,/.OC=OD,.".RtAOCM^RtAODN,

ZA0M=ZB0N,/.AM=NB

(2)AM=MN=NB

2.BE的度數(shù)為80°,EF的度數(shù)為50°.

3.連結(jié)AC、BD,VC,D是AB三等分點,

.\AC=CD=DB,且/A0C=1x90°=30°，

3

VOA=OC,AZ0AC=Z0CA=75°,

又ZAEC=N0AE+NA0E=45°+30°=75°,

.\AE=AC,

同理可證BF=BD,.\AE=BF=CD

24.1圓（第3課時）

教學(xué)內(nèi)容

i.圓周角的概念.

2.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弦所

對的圓心角的一半.

推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑及其它們

的應(yīng)用.

教學(xué)目標

1.了解圓周角的概念.

2.理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這

條弧所對的圓心角的一半.

3.理解圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所

對的弦是直徑.

4.熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運用.

設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運用數(shù)學(xué)分類思想給

予邏輯證明定理，得出推導(dǎo)，讓學(xué)生活動證明定理推論的正確性，最后運用定理及其推導(dǎo)

解決一些實際問題.

重難點、關(guān)鍵

1.重點：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運用它們解題.

2.難點：運用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理.

3.關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動）請同學(xué)們口答下面兩個問題.

1.什么叫圓心角？

2.圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？

老師點評：（1）我們把頂點在圓心的角叫圓心角.

（2）在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它

們所對的其余各組量都分別相等.

剛才講的，頂點在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點不在圓心上，它在其它

的位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討，要研究，

要解決的問題.

二、探索新知

問題：如圖所示的。0,我們在射門游戲中，設(shè)E、F是球門，設(shè)球員們只能在E尸所

在的。。其它位置射門，如圖所示的A、B、C點.通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)像NEAF、ZEBF>

/ECF這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

現(xiàn)在通過圓周角的概念和度量的方法回答下面的問題.

1.一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有多少個？

2.同弧所對的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？

3.同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？

（學(xué)生分組討論）提問二、三位同學(xué)代表發(fā)言.

老師點評：

1.一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有無數(shù)多個.

2.通過度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對的圓周角是沒有變化的.

3.通過度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半.

下面，我們通過邏輯證明來說明“同弧所對的圓周角的度數(shù)沒有變化，并且它的度

數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半."

(1)設(shè)圓周角NABC的一邊BC是的直徑，如圖所示

???NAOC是△ABO的夕卜角

二ZA0C=ZAB0+ZBA0

V0A=0B

:.ZAB0=ZBA0

???ZA0C=ZAB0

1

???NABC二一ZAOC

2

(2)如圖，圓周角NABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD

的兩側(cè)，那么/ABC=L/AOC嗎？請同學(xué)們獨立完成這道題的

2

說明過程.

老師點評:連結(jié)B0交00于D同理/AOD是△ABO的外角,

NCOD是△BOC的外角，那么就有NAOD=2/ABO,ZD0C=2Z

CBO,因此NA0C=2NABC.

(3)如圖，圓周角NABC的兩邊AB、AC在一條直徑0D的同

側(cè)，那么NABC=1/AOC嗎？請同學(xué)們獨立完成證明.

2

老師點評：連結(jié)OA、0C,連結(jié)B0并延長交。。于D,那么/

A0D=2ZABD,NC0D=2NCB0,而NABC=/ABD-/CBO=g/AOD-；Z

COD=-ZAOC

2

現(xiàn)在，我如果在畫一個任意的圓周角/AB'C,同樣可證得它等于同弧上圓心角一半,

因此，同弧上的圓周角是相等的.

從(1)、(2)、(3),我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理：

在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

進一步，我們還可以得到下面的推導(dǎo)：

半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

下面，我們通過這個定理和推論來解一些題目.

例1.如圖，AB是00的直徑，BD是。0的弦，延長BD到C,使AC=AB,BD與CD的

大小有什么關(guān)系？為什么？

分析：BD=CD,因為AB=AC,所以這個aABC是等腰，要證明D是BC的中點，只要連

結(jié)AD證明AD是高或是/BAC的平分線即可.

解：BD=CD

理由是：如圖24-30,連接AD

；AB是的直徑

.*.ZADB=90o即AD_LBC

又?.?AC=AB

.\BD=CD

三、鞏固練習(xí)

1.教材P92思考題.

2.教材P93練習(xí).

四、應(yīng)用拓展

例2.如圖，己知4ABC內(nèi)接于。0,NA、NB、ZC的對邊分別設(shè)為a,b,c,?0

半徑為R,求證：，一=—2—=」一=2R.

sinAsinBsinC

分析：要證明——ci=—h-=」c一=2R,只要證明‘—=2R,——h=2R,」c一=2R,

sinAsinBsinCsinAsinBsinC

ahc

即sinA=—,sinB=—,sinC=—，因此，十分明顯要在直角三角形中進行.

2R2R2R

證明：連接C0并延長交。0于D,連接DB

；CD是直徑

/.ZDBC=90"

又,:ZA=ZD

Be

在RtZ\DBC中，sinD二——，即2R二-----

DCsinA

hc

同理可證：--=2R,--=2R

sinBsinC

sinAsinBsinC

五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點評）

本節(jié)課應(yīng)掌握:

1.圓周角的概念；

2.圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都相等這條弧

所對的圓心角的一半；

3.半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.

4.應(yīng)用圓周角的定理及其推導(dǎo)解決一些具體問題.

六、布置作業(yè)

1.教材P95綜合運用9、10、11拓廣探索12、13.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

第三課時作業(yè)設(shè)計

一、選擇題

1.如圖1,A、B、C三點在上，ZA0C=100°,則/ABC等于（）.

A.140°B.110°C.120°D.130°

2.如圖2,/I、/2、/3、N4的大小關(guān)系是（

A.Z4<Z1<Z2<Z3B.Z4<Z1=Z3<Z2

C.Z4<ZKZ3Z21).Z4<Z1<Z3=Z2

3.如圖3,AD是。。的直徑，AC是弦，OB±AD,若0B=5,且NCAD=30°,則BC等于

).

A.3B.3+V3C.5-ygD.5

二、填空題

1.半徑為2a的。。中，弦AB的長為2百a,貝U弦AB所對的圓周角的度數(shù)是

2.如圖4,A、B是。。的直徑，C、D、E都是圓上的點，則/1+N2=

(4)

3.如圖5,已知4ABC為。0內(nèi)接三角形,BC=1,ZA=60°,則。0半徑為

三、綜合提高題

1.如圖，弦AB把圓周分成1：2的兩部分，已知。0半徑為1,求弦長AB.

2.如圖，已知AB=AC,ZAPC=60°

(1)求證：AABC是等邊三角形.

(2)若BC=4cm,求。0的面積.

A

3.如圖，OC經(jīng)過坐標原點，且與兩坐標軸分別交于點A與點B,點A的坐標為(0,

4),M是圓上一點，ZBM0=120°.

(1)求證：AB為。C直徑.

(2)求。C的半徑及圓心C的坐標.

答案:

一、1.D2.B3.D

二、1.120°或60°2.9003.—

3

三、下)2.(1)證明：VZABC=ZAPC=60°,

又A8=AC,AZACB=ZABC=60°,...△ABC為等邊三角形.

(2)解：連結(jié)0C,過點0作0DJ_BC,垂足為D,

在Rt^ODC中,DC=2,Z0CD=30o,

4r-

設(shè)OD=X,則0C=2x,A4X2-X2=4,：.OC=-<3

3

3.（1）略（2）4,（-273,2）

24.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系（第1課時）

教學(xué)內(nèi)容

1.設(shè)。。的半徑為r,點P到圓心的距離OP=d,則有：點P在圓外Od>r；點P在圓

上<=>d=r；點P在圓內(nèi)Od<r.

2.不在同一直線上的三個點確定一個圓.

3.三角形外接圓及三角形的外心的概念.

4.反證法的證明思路.

教學(xué)目標

1.理解并掌握設(shè)。。的半徑為r,點P到圓心的距離OP=d,則有：點P在圓外Od>r；

點P在圓上Od=r；點P在圓內(nèi)Od〈r及其運用.

2.理解不在同一直線上的三個點確定一個圓并掌握它的運用.

3.了解三角形的外接圓和三角形外心的概念.

4.了解反證法的證明思想.

復(fù)習(xí)圓的兩種定理和形成過程，并經(jīng)歷探究一個點、兩個點、三個點能作圓的結(jié)論

及作圖方法，給出不在同一直線上的三個點確定一個圓.接下去從這三點到圓心的距離逐

漸引入點P到圓心距離與點和圓位置關(guān)系的結(jié)論并運用它們解決一些實際問題.

重難點、關(guān)鍵

1.重點：點和圓的位置關(guān)系的結(jié)論：不在同一直線上的三個點確定一個圓其它們的

運用.

2.難點：講授反證法的證明思路.

3.關(guān)鍵：由一點、二點、三點、四點作圓開始導(dǎo)出不在同一直線上的三個點確定一

個圓.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動）請同學(xué)們口答下面的問題.

1.圓的兩種定義是什么？

2.你能至少舉例兩個說明圓是如何形成的？

3.圓形成后圓上這些點到圓心的距離如何？

4.如果在圓外有一點呢？圓內(nèi)呢？請你畫圖想一想.

老師點評：(1)在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點0旋轉(zhuǎn)一周，另一個

端點A所形成的圖形叫做圓；圓心為0,半徑為r的圓可以看成是所有到定點0的距離等

于定長r的點組成的圖形.

(2)圓規(guī)：一個定點，一個定長畫圓.

(3)都等于半徑.

(4)經(jīng)過畫圖可知，圓外的點到圓心的距離大于半徑；圓內(nèi)的點到圓心的距離小于

半徑.

二、探索新知

由上面的畫圖以及所學(xué)知識，我們可知：

設(shè)。0的半徑為r,點P到圓心的距離為0P=d

則有：點P在圓外=>d>r

點P在圓上=>d=r

點P在圓內(nèi)=d<r

反過來，也十分明顯，如果d>r=>點P在圓外；如果d=r=>點P在圓上；如果d〈r=

點P在圓內(nèi).

因此，我們可以得到：

設(shè)。。的半徑為r,點P到圓的距離為d,

則有：點P在圓外Od>r

點P在圓上Od=r

占D力T面氐人/妙

這個結(jié)論的出現(xiàn)，對于我們今后解題、判定點P是否在圓外、圓上、圓內(nèi)提供了依據(jù).

下面，我們接下去研究確定圓的條件：

(學(xué)生活動)經(jīng)過一點可以作無數(shù)條直線，經(jīng)過二點只能作一條直線，那么，經(jīng)過一

點能作幾個圓？經(jīng)過二點、三點呢？請同學(xué)們按下面要求作圓.

(1)作圓，使該圓經(jīng)過已知點A,你能作出幾個這樣的圓？

(2)作圓，使該圓經(jīng)過已知點A、B,你是如何做的？你能作出幾個這樣的圓？其圓

心的分布有什么特點？與線段AB有什么關(guān)系？為什么？

(3)作圓，使該圓經(jīng)過已知點A、B、C三點(其中A、B、C三點不在同一直線上)，

你是如何做的？你能作出幾個這樣的圓？

老師在黑板上演示：

(1)無數(shù)多個圓，如圖1所示.

(2)連結(jié)A、B,作AB的垂直平分線，則垂直平分線上的點到A、B的距離都相等，

都滿足條件，作出無數(shù)個.

其圓心分布在AB的中垂線上，與線段AB互相垂直，如圖2所示.

(3)作法：①連接AB、BC；

②分別作線段AB、BC的中垂線DE和FG,DE與FG相交于點0；

③以0為圓心，以0A為半徑作圓，。。就是所要求作的圓，如圖3所示.

在上面的作圖過程中，因為直線DE與FG只有一個交點0,并且點。到A、B、C三個點的

距離相等(中垂線上的任一點到兩邊的距離相等)，所以經(jīng)過A、B、C三點可以作一個圓,

并且只能作一個圓.

即：|不在同一直線上的三個點確定一個圓.

也就是，經(jīng)過三角形的三個頂點可以做一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓.

外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心.

下面我們來證明：經(jīng)過同一條直線上的三個點不能作出一個圓.

證明：如圖，假設(shè)過同一直線L上的A、B、C三點可以作一

P

個圓，設(shè)這個圓的圓心為P,那么點P既在線段AB的垂直平分線11,

L,又在線段BC的垂直平分線Lz,即點P為L與L點，而匕_1上12

L1L,這與我們以前所學(xué)的“過一點有且只有一條直線與已知直

線垂直”矛盾.

ABC

所以，過同一直線上的三點不能作圓.

上面的證明方法與我們前面所學(xué)的證明方法思路不同，它不是直接從命題的已知得出

結(jié)論，而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立（即假設(shè)過同一直線上的三點可以作一個圓），由此經(jīng)

過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到命題成立.這種證明方法叫做反

證法.

在某些情景下，反證法是很有效的證明方法.

例1.某地出土一明代殘破圓形瓷盤，如圖所示.為復(fù)制該瓷盤確定其圓心和半徑，

請在圖中用直尺和圓規(guī)畫出瓷盤的圓心.

分析：圓心是一個點，一個點可以由兩條直線交點而成，因此，只要在殘缺的圓盤上

任取兩條線段，作線段的中垂線，交點就是我們所求的圓心.

作法：（1）在殘缺的圓盤上任取三點連結(jié)成兩條線段；/

（2）作兩線段的中垂線，相交于一點.（\

則o就為所求的圓心.一c

三、鞏固練習(xí)

教材P100練習(xí)1、2、3、4.

四、應(yīng)用拓展

例2.如圖，己知梯形ABCD中，AB/7CD,AD=BC,AB=48cm,CD=30cm,高27cm,求作

一個圓經(jīng)過A、B、C、D四點，寫出作法并求出這圓的半徑（比例尺1：10）

分析：要求作一個圓經(jīng)過A、B、C、D四個點，應(yīng)該先選三個點確定一個圓，然后證

明第四點也在圓上即可.要求半徑就是求0C或0A或0B,因此，要在直角三角形中進行,

不妨設(shè)在RtAEOC中，設(shè)OF=x,則0E=27-x由OC=OB便可列出，這種方法是幾何代數(shù)解.

作法分別作DC、AD的中垂線L、m,則交點0為所求aADC的外接圓圓心.

VABCD為等腰梯形，L為其對稱軸

V0B=0A,.?.點B也在。。上

/.?0為等腰梯形ABCD的外接圓

設(shè)OE=x,則0F=27-x,VOC=OB

A/152+X2=7（27-X）2+242

解得：x=20

0C=V152+202=25,即半徑為25m.

五、歸納總結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點評）

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1?點和圓的位置關(guān)系：設(shè)。。的半徑為r,點P到圓心的距離為d,則

"點P在圓外Od>r；

，點尸在圓上=

點P在圓內(nèi)

2.不在同一直線上的三個點確定一個圓.

3.三角形外接圓和三角形外心的概念.

4.反證法的證明思想.

5.以上內(nèi)容的應(yīng)用.

六、布置作業(yè)

1.教材P110復(fù)習(xí)鞏固1、2、3.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

第一課時作業(yè)設(shè)計

一、選擇題.

1.下列說法：①三點確定一個圓；②三角形有且只有一個外接圓；③圓有且只有一

個內(nèi)接三角形；④三角形的外心是各邊垂直平分線的交點；⑤三角形的外心到三角

形三邊的距離相等；⑥等腰三角形的外心一定在這個三角形內(nèi)，其中正確的個數(shù)有

（）

A.1B.2C.3D.4

2.如圖，RtAABC,ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,則它的外心與頂點C的距離為（）.

3.如圖，AABC內(nèi)接于。0,AB是直徑，BC=4,AC=3,CD平分NACB,則弦AD長為（）

A.-V2B.-C.V2D.3

22

二、填空題.

1.經(jīng)過一點P可以作個圓；經(jīng)過兩點P、Q可以作個圓，圓心在

—上；經(jīng)過不在同一直線上的三個點可以作個