高等數(shù)學(xué)線性代數(shù)概率與信號與系統(tǒng)公式

1、行列式行列式共有個元素，展開后有項，可分解為行列式；代數(shù)余子式的性質(zhì)：①、和的大小無關(guān)；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為；代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：設(shè)行列式：將上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為，則；將順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)，所得行列式為，則；將主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為，則；將主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為，則；行列式的重要公式：①、主對角行列式：主對角元素的乘積；②、副對角行列式：副對角元素的乘積；③、上、下三角行列式（）：主對角元素的乘積；④、和：副對角元素的乘積；⑤、拉普拉斯展開式：、⑥、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；⑦、特征值；對于階行列式，恒有：，其中為階主子式；證明的方法：①、；②、反證法；③、構(gòu)造齊次方程組，證明其有非零解；④、利用秩，證明；⑤、證明0是其特征值；2、矩陣是階可逆矩陣：（是非奇異矩陣）；（是滿秩矩陣）的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組有非零解；，總有唯一解；與等價；可表示成若干個初等矩陣的乘積；的特征值全不為0；是正定矩陣；的行（列）向量組是的一組基；是中某兩組基的過渡矩陣；對于階矩陣：無條件恒成立；矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均、可逆：若，則：Ⅰ、；Ⅱ、；②、；（主對角分塊）③、；（副對角分塊）④、；（拉普拉斯）⑤、；（拉普拉斯）3、矩陣的初等變換與線性方程組一個矩陣，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：；等價類：所有與等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣、，若；行最簡形矩陣：①、只能通過初等行變換獲得；②、每行首個非0元素必須為1；③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）若，則可逆，且；②、對矩陣做初等行變化，當(dāng)變?yōu)闀r，就變成，即：；③、求解線形方程組：對于個未知數(shù)個方程，如果，則可逆，且；初等矩陣和對角矩陣的概念：①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；②、，左乘矩陣，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；③、對調(diào)兩行或兩列，符號，且，例如：；④、倍乘某行或某列，符號，且，例如：；⑤、倍加某行或某列，符號,且，如：；矩陣秩的基本性質(zhì)：①、；②、；③、若，則；④、若、可逆，則；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）⑤、；（※）⑥、；（※）⑦、；（※）⑧、如果是矩陣，是矩陣，且，則：（※） Ⅰ、的列向量全部是齊次方程組解（轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論）； Ⅱ、⑨、若、均為階方陣，則；三種特殊矩陣的方冪：①、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再采用結(jié)合律；②、型如的矩陣：利用二項展開式； 二項展開式：； 注：Ⅰ、展開后有項；Ⅱ、Ⅲ、組合的性質(zhì)：；③、利用特征值和相似對角化：伴隨矩陣：①、伴隨矩陣的秩：；②、伴隨矩陣的特征值：；③、、關(guān)于矩陣秩的描述：①、，中有階子式不為0，階子式全部為0；（兩句話）②、，中有階子式全部為0；③、，中有階子式不為0；線性方程組：，其中為矩陣，則：①、與方程的個數(shù)相同，即方程組有個方程；②、與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組為元方程；線性方程組的求解：①、對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換（只能使用初等行變換）；②、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；③、特解：自由變量賦初值后求得；由個未知數(shù)個方程的方程組構(gòu)成元線性方程：①、；②、（向量方程，為矩陣，個方程，個未知數(shù)）③、（全部按列分塊，其中）；④、（線性表出）⑤、有解的充要條件：（為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性個維列向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣；個維行向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣；含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)；①、向量組的線性相關(guān)、無關(guān) 有、無非零解；（齊次線性方程組）②、向量的線性表出 是否有解；（線性方程組）③、向量組的相互線性表示 是否有解；（矩陣方程）矩陣與行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組和同解；(例14)；(例15)維向量線性相關(guān)的幾何意義：①、線性相關(guān) ；②、線性相關(guān) 坐標(biāo)成比例或共線（平行）；③、線性相關(guān) 共面；線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若線性相關(guān)，則必線性相關(guān)；若線性無關(guān)，則必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）若維向量組的每個向量上添上個分量，構(gòu)成維向量組：若線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；反之若線性相關(guān)，則也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；向量組（個數(shù)為）能由向量組（個數(shù)為）線性表示，且線性無關(guān)，則(二版定理7)；向量組能由向量組線性表示，則；（定理3）向量組能由向量組線性表示有解； （定理2） 向量組能由向量組等價（定理2推論）方陣可逆存在有限個初等矩陣，使；①、矩陣行等價：（左乘，可逆）與同解②、矩陣列等價：（右乘，可逆）；③、矩陣等價：（、可逆）；對于矩陣與：①、若與行等價，則與的行秩相等；②、若與行等價，則與同解，且與的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；④、矩陣的行秩等于列秩；若，則：①、的列向量組能由的列向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；②、的行向量組能由的行向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）齊次方程組的解一定是的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；①、 只有零解只有零解；②、 有非零解一定存在非零解；設(shè)向量組可由向量組線性表示為：（題19結(jié)論）（） 其中為，且線性無關(guān)，則組線性無關(guān)；（與的列向量組具有相同線性相關(guān)性）（必要性：；充分性：反證法） 注：當(dāng)時，為方陣，可當(dāng)作定理使用；①、對矩陣，存在， 、的列向量線性無關(guān)；（）②、對矩陣，存在， 、的行向量線性無關(guān)；線性相關(guān)存在一組不全為0的數(shù)，使得成立；（定義）有非零解，即有非零解；，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；設(shè)的矩陣的秩為，則元齊次線性方程組的解集的秩為：；若為的一個解，為的一個基礎(chǔ)解系，則線性無關(guān)；（題33結(jié)論）5、相似矩陣和二次型正交矩陣或（定義），性質(zhì)：①、的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即；②、若為正交矩陣，則也為正交陣，且；③、若、正交陣，則也是正交陣； 注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化；施密特正交化：； ;對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；對于實對稱陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量正交；①、與等價 經(jīng)過初等變換得到；，、可逆；，、同型；②、與合同 ，其中可逆； 與有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)；③、與相似 ；相似一定合同、合同未必相似；若為正交矩陣，則，（合同、相似的約束條件不同，相似的更嚴(yán)格）；為對稱陣，則為二次型矩陣；元二次型為正定：的正慣性指數(shù)為；與合同，即存在可逆矩陣，使；的所有特征值均為正數(shù)； 的各階順序主子式均大于0； ；(必要條件)概率公式整理1．隨機(jī)事件及其概率吸收律：反演律： 2．概率的定義及其計算若對任意兩個事件A,B,有加法公式：對任意兩個事件A,B,有3．條件概率乘法公式全概率公式Bayes公式4．隨機(jī)變量及其分布分布函數(shù)計算5．離散型隨機(jī)變量(1)0–1分布(2)二項分布若P(A)=p*Possion定理有(3)Poisson分布6．連續(xù)型隨機(jī)變量(1)均勻分布(2)指數(shù)分布(3)正態(tài)分布N(m,s2)*N(0,1)—標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 7.多維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)8.連續(xù)型二維隨機(jī)變量(1) 區(qū)域G上的均勻分布，U(G)(2)二維正態(tài)分布9.二維隨機(jī)變量的條件分布 10.隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望X的k階原點(diǎn)矩X的k階絕對原點(diǎn)矩X的k階中心矩X的方差X,Y的k+l階混合原點(diǎn)矩X,Y的k+l階混合中心矩X,Y的二階混合原點(diǎn)矩X,Y的二階混合中心矩X,Y的協(xié)方差X,Y的相關(guān)系數(shù)X的方差D(X)=E((X-E(X))2)協(xié)方差 相關(guān)系數(shù)注：tan和tg都表示正切；ctg和cot都表示余切導(dǎo)數(shù)公式：基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分：一些初等函數(shù)：兩個重要極限：·和差角公式：·和差化積公式：·倍角公式：·半角公式：·反三角函數(shù)性質(zhì)：高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式：中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：曲率：平面與曲面多元函數(shù)的極值及其求法：曲面積分高斯公式：斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關(guān)系：級數(shù)傅立葉級數(shù)：一階線性微分方程：全微分方程：二階微分方程：二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*)式的通解兩個不相等實根兩個相等實根一對共軛復(fù)根二階常系數(shù)非齊次線性微分方程表6.3常用的連續(xù)傅里葉變換對及其對偶關(guān)系 連續(xù)傅里葉變換對相對偶的連續(xù)傅里葉變換對重要連續(xù)時間函數(shù)傅里葉變換連續(xù)時間函數(shù)傅里葉變換重要√11√√√√√√√√√√√√√√

連續(xù)傅里葉變換性質(zhì)及其對偶關(guān)系 連續(xù)傅里葉變換對相對偶的連續(xù)傅里葉變換對重要名稱連續(xù)時間函數(shù)傅里葉變換名稱連續(xù)時間函數(shù)傅里葉變換重要√線性√尺度比例變換對偶性√√時移頻移√時域微分性質(zhì)頻域微分性質(zhì)√時域積分性質(zhì)頻域積分性質(zhì)√時域卷積性質(zhì)頻域卷積性質(zhì)√√對稱性奇偶虛實