2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)07 一元二次方程（精講）（解析版）31

考點(diǎn)07.一元二次方程（精講）【命題趨勢(shì)】一元二次方程以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問(wèn)題，年年考查，分值為15分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查，復(fù)習(xí)過(guò)程中要多注意各基礎(chǔ)考點(diǎn)的鞏固，特別是解法中公式法的公式，不要和后續(xù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)公式記混了?！局R(shí)清單】1：一元二次方程的相關(guān)概念（☆☆）1）一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程。2）一般形式：，其中：a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)。3）一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，就是該一元二次方程的解。2：一元二次方程的解法（☆☆☆）1）直接開(kāi)平方法：適合于或形式的方程。2）配方法：（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（2）移項(xiàng)，使方程左邊只含有二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；（3）方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；（4）把方程整理成的形式；（5）運(yùn)用直接開(kāi)平方法解方程。3）因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或。4）公式法：（1）把方程化為一般形式，即；（2）確定的值；（3）求出的值；（4）將的值代入即可。5）根的判別式：一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根，由的符號(hào)來(lái)確定，我們把叫做一元二次方程根的判別式。6）一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系（1）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)（兩個(gè)相等的）實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。3：根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）（☆☆☆）對(duì)于一元二次方程（其中為常數(shù)，），設(shè)其兩根分別為，，則，。4：一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用（☆☆☆）1）利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程解應(yīng)用題步驟和列一元一次方程(組)解應(yīng)用題步驟一樣，即審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答六步．列一元二次方程解應(yīng)用題，經(jīng)濟(jì)類和面積類問(wèn)題是?？純?nèi)容。2）增長(zhǎng)率等量關(guān)系（1）增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)量÷基礎(chǔ)量．（2）設(shè)為原來(lái)量，為平均增長(zhǎng)率，為增長(zhǎng)次數(shù)，為增長(zhǎng)后的量，則；當(dāng)為平均下降率時(shí)，則有。3）利潤(rùn)等量關(guān)系：（1）利潤(rùn)=售價(jià)－成本．（2）利潤(rùn)率=×100％。4）面積問(wèn)題：常用平移法解決面積問(wèn)題。5）碰面問(wèn)題（循環(huán)問(wèn)題）（1）重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊(duì)互相之間都要打一場(chǎng)比賽，總共比賽場(chǎng)次為m?！?支球隊(duì)要和剩下的（n－1）支球隊(duì)比賽，∴1支球隊(duì)需要比（n－1）場(chǎng)∵存在n支這樣的球隊(duì)，∴比賽場(chǎng)次為：n（n－1）場(chǎng)∵A與B比賽和B與A比賽是同一場(chǎng)比賽，∴上述求法有重疊部分.∴m=n（n－1）（2）不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊(duì)，每支球隊(duì)要在主場(chǎng)與所有球隊(duì)各打一場(chǎng)，總共比賽場(chǎng)次m。∵1支球隊(duì)要和剩下的（n－1）支球隊(duì)比賽，∴1支球隊(duì)需要比（n－1）場(chǎng)∵存在n支這樣的球隊(duì)，∴比賽場(chǎng)次為：n（n－1）場(chǎng).∵A與B比賽在A的主場(chǎng)，B與A比賽在B的主場(chǎng)，不是同一場(chǎng)比賽，∴上述求法無(wú)重疊.∴m=n（n－1）【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】1.如果明確了是一元二次方程，就隱含了a≠0這個(gè)條件（當(dāng)a=0時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程）。2.利用因式分解法解方程時(shí)，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時(shí)，不能在兩邊同時(shí)除以含有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過(guò)移項(xiàng),將方程右邊化為0。3.求根公式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的使用條件：a≠0且△=b2-4ac≥0?！竞诵目键c(diǎn)】核心考點(diǎn)1.一元二次方程的相關(guān)概念例1：（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）下列方程是一元二次方程的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程，逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】解：A、，二個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；B、，當(dāng)時(shí)，是一元一次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；C、整理后得，不含二次項(xiàng)，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；D、，是一元二次方程，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，牢記“只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程”是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，此方程可以為_(kāi)______．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，寫(xiě)出方程，即可求解．【詳解】解：此方程可以為．故答案為：（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程，熟練掌握含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)2的整式方程是一元二次方程是解題的關(guān)鍵．例2：（2022·四川資陽(yáng)·中考真題）若a是一元二次方程的一個(gè)根，則的值是___________．【答案】6【分析】將a代入，即可得出，再把整體代入，即可得出答案．【詳解】∵a是一元二次方程的一個(gè)根，∴，∴，∴，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的定義，整體思想是本題的關(guān)鍵．變式1.（2023·山東泰安·一模）關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為0，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．1 B． C．0 D．【答案】B【分析】據(jù)一元二次方程解的定義得，再解關(guān)于a的方程，后根據(jù)一元二次方程定義確定a的值．【詳解】解：把代入一元二次方程得，解得，而，的值為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，也考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是注意．變式2.（2023·福建福州·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的一元二次方程，若，則該方程必有一個(gè)根是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的根的定義，結(jié)合即可判斷結(jié)果．【詳解】解：∵，當(dāng)時(shí)，，∴該方程必有一個(gè)根是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的定義，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握方程的根的定義：方程的根就是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．核心考點(diǎn)2.一元二次方程的解法例3：（2022·山東聊城·中考真題）用配方法解一元二次方程時(shí)，將它化為的形式，則的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，繼而得出答案．【詳解】解：∵，∴，，則，即，∴，，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．變式1．（2023·山西運(yùn)城·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）配方法是解一元二次方程的一種基本方法，其本質(zhì)是將一元二次方程由一般式化為的形式，然后利用開(kāi)方求一元二次方程的解的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 B．函數(shù)思想 C．轉(zhuǎn)化思想 D．公理化思想【答案】C【分析】先把一般式化為，然后兩邊開(kāi)方，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而解一元一次方程得到一元二次方程的解．【詳解】解：利用配方法把一般式化為，再利用開(kāi)方求一元二次方程的解的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程配方法：用配方法解一元二次方程的過(guò)程實(shí)際上把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程的過(guò)程．變式2．（2023.廣東九年級(jí)期中）（1）請(qǐng)用配方法解方程；（2）請(qǐng)用配方法解一元二次方程．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先將兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；再移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到右邊；左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，將左邊寫(xiě)成完全平方式，最后再直接開(kāi)平方；（2）先將兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；再移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到右邊；左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，將左邊寫(xiě)成完全平方式，最后再直接開(kāi)平方；【詳解】解：（1）兩邊同時(shí)除以2得：，移項(xiàng)得：，兩邊同時(shí)加上得：，配方得：，解得：；（2）兩邊同時(shí)除以得：，移項(xiàng)得：，兩邊同時(shí)加上得：，配方得：，當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，該方程無(wú)實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)睛】本題主要考查用配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確運(yùn)用，在含字母參數(shù)時(shí)要注意是否需要分類討論．例4：（2022·四川涼山·中考真題）解方程：x2－2x－3＝0【答案】【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．【詳解】解：，，或，或，故方程的解為．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、換元法等）是解題關(guān)鍵．變式1．（2023·河南信陽(yáng)·?？既＃┬∶髟诮夥匠虝r(shí)，發(fā)現(xiàn)用配方法和公式法計(jì)算量都比較大，因此他又想到了另外一種方法，快速解出了答案：方法如下：

第①步

第②步

第③步

第④步老師看到后，夸小明很聰明，方法很好，但是有一步做錯(cuò)了，請(qǐng)問(wèn)小明出錯(cuò)的步驟為（填序號(hào)）．【答案】④【分析】由，，解得或，進(jìn)而判斷作答即可．【詳解】解：，，解得或，∴第④步錯(cuò)誤，故答案為：④．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于正確的解一元二次方程．變式2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）解方程：【答案】，【分析】直接開(kāi)方可得或，然后計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵∴或解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于靈活選取適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?：（2023年山東省濰坊市中考數(shù)學(xué)真題）用與教材中相同型號(hào)的計(jì)算器，依次按鍵

，顯示結(jié)果為

．借助顯示結(jié)果，可以將一元二次方程的正數(shù)解近似表示為．（精確到）【答案】【分析】先利用公式法求出一元二次方程的解，再根據(jù)精確度的概念即可得．【詳解】解：一元二次方程中的，則，所以這個(gè)方程的正數(shù)解近似表示為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了近似數(shù)、解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵．變式1.（2023年湖北省黃岡市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的一個(gè)大正方形．設(shè)圖中，，連接，若與的面積相等，則．

【答案】【分析】根據(jù)題意得出，即，解方程得出（負(fù)值舍去）代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵圖中，，∴∵與的面積相等，∴∴∴∴∴解得：（負(fù)值舍去）∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，弦圖的計(jì)算，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．例6：（2023·云南昆明·一模）已知，則的值為_(kāi)_________．【答案】１【分析】設(shè)，原方程化為關(guān)于t的方程，解該方程求得t即的值【詳解】解：設(shè)，由原方程得，解得，或（舍去）所以，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解方程.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理變式1．（2020·湖北荊州市·中考真題）閱讀下列問(wèn)題與提示后，將解方程的過(guò)程補(bǔ)充完整，求出x的值．問(wèn)題：解方程（提示：可以用換元法解方程），解：設(shè)，則有，原方程可化為：，續(xù)解：【答案】，．【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后進(jìn)行檢驗(yàn)確定原方程的解．【詳解】續(xù)解：，，解得，（不合題意，舍去），，，，，經(jīng)檢驗(yàn)都是方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解方程，涉及了無(wú)理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解決本題的關(guān)鍵．換元法的一般步驟：設(shè)元、換元、解元、還元．例7：（2023年山東省濟(jì)南市中考數(shù)學(xué)真題）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的值可以是（寫(xiě)出一個(gè)即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】由于方程有實(shí)數(shù)根，則其根的判別式，由此可以得到關(guān)于的不等式，解不等式就可以求出的取值范圍，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，即，解得：，∴的值可以是．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與判別式的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．變式1．（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）嘉嘉在解方程時(shí)，經(jīng)過(guò)一系列的計(jì)算后得到，，淇淇看了一眼嘉嘉的答案，說(shuō)：“你這一看就不對(duì)，這個(gè)方程只有一個(gè)解．”請(qǐng)你根據(jù)以上敘述，判斷下列結(jié)論正確的是（）A．嘉嘉的解是正確的，因?yàn)樗J(rèn)真計(jì)算了B．淇淇說(shuō)得對(duì)，因?yàn)镃．嘉嘉和淇淇的說(shuō)法都不對(duì)，因?yàn)?，該方程無(wú)解D．由可得該方程有兩個(gè)解，但嘉嘉的結(jié)果是錯(cuò)的【答案】C【分析】求出判別式的符號(hào)，即可得出結(jié)果．【詳解】解：原方程可化為，∵，∴原方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故嘉嘉和淇淇的說(shuō)法都不對(duì)，因?yàn)?，該方程無(wú)解，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式．熟練掌握根的判別式與根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023年甘肅省蘭州市中考數(shù)學(xué)真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則（

）A．－2 B．2 C．－4 D．4【答案】A【分析】由一元二次方程根的情況可得，再代入式子即可求解．【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根∴∴，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．例8：（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）我們可以用以下方法求代數(shù)式的最小值．∵∴∴當(dāng)時(shí)，有最小值．請(qǐng)根據(jù)上述方法，解答下列問(wèn)題：(1)求代數(shù)式的最小值；(2)求代數(shù)式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值時(shí)x的值；(3)求證：無(wú)論x和y取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值都是正數(shù)．【答案】(1)-2(2)當(dāng)時(shí)，有最大值(3)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）據(jù)題中所給方法進(jìn)行求解即可；（2）由題中所給方法可得，然后問(wèn)題可求解；（3）由題意可得，進(jìn)而問(wèn)題可求解．(1)解：由題意得：，∵∴∴當(dāng)時(shí)，有最小值．(2)解：由題意得：，∵∴∴當(dāng)時(shí)，有最大值．(3)解：由題意得：==；∵∴，∴無(wú)論x和y取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值都是正數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查配方法的應(yīng)用及完全平方公式，熟練掌握配方法及完全平方公式是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·四川涼山·中考真題）已知實(shí)數(shù)a、b滿足a－b2＝4，則代數(shù)式a2－3b2＋a－14的最小值是____．【答案】6【分析】根據(jù)a－b2＝4得出，代入代數(shù)式a2－3b2＋a－14中，通過(guò)計(jì)算即可得到答案．【詳解】∵a－b2＝4∴將代入a2－3b2＋a－14中得：∵∴當(dāng)a=4時(shí)，取得最小值為6∴的最小值為6∵∴的最小值6答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握代數(shù)式的性質(zhì)，從而完成求解．變式2．（2023·重慶中考模擬）知識(shí)儲(chǔ)備在求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值時(shí)，除了通過(guò)觀察圖象，還可以通過(guò)配方得到．把二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的右邊配方，得y＝ax2+bx+c＝a（x2+x）+c＝a[x2+2?x+（）2﹣（）2]+c＝a（x+）2+∵a（x+）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值為．解決問(wèn)題：（1）請(qǐng)你通過(guò)配方求函數(shù)y＝x2+的最小值．（2）你能否通過(guò)配方求函數(shù)y＝x+（x＞0）的最小值．?dāng)?shù)學(xué)模型：已知矩形的面積為a（a為常數(shù)，a＞0），當(dāng)該矩形的長(zhǎng)為多少時(shí)，它的周長(zhǎng)最??？最小值是多少？【答案】（1）當(dāng)x＝±1時(shí)，函數(shù)y＝x2+的最小值為2；（2）當(dāng)x＝1時(shí)，y＝x+（x＞0）的最小值為2；數(shù)學(xué)模型：該矩形的長(zhǎng)為時(shí)，它的周長(zhǎng)最小，最小值是4．【分析】(1)根據(jù)完全平方公式，進(jìn)行配方得，即可得到最小值；(2)根據(jù)完全平方公式，進(jìn)行配方得，即可得到最小值；數(shù)學(xué)模型：設(shè)該矩形的長(zhǎng)為x，周長(zhǎng)為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝2（x+）（x＞0），根據(jù)完全平方公式，進(jìn)行配方得到y(tǒng)＝2[（﹣）2+2]＝2（﹣）2+4，即可求出答案．【詳解】（1）＝＝∵，∴當(dāng)x＝±1時(shí)，函數(shù)y＝x2+的最小值為2；（2）y＝x+＝＝（）2+（）2﹣2+2＝（﹣）2+2，∵（﹣）2≥0，∴當(dāng)﹣＝0時(shí)，即x＝1時(shí)，y＝x+（x＞0）的最小值為2；數(shù)學(xué)模型：設(shè)該矩形的長(zhǎng)為x，周長(zhǎng)為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝2（x+）（x＞0），y＝2（x+）＝2[（﹣）2+2]＝2（﹣）2+4，當(dāng)﹣＝0時(shí)，即x＝，y有最大值4，∴該矩形的長(zhǎng)為時(shí)，它的周長(zhǎng)最小，最小值是4．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)完全平方公式，二次函數(shù)的最值，配方法的應(yīng)用，能熟練地運(yùn)用學(xué)過(guò)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解本題的關(guān)鍵．核心考點(diǎn)3.根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）例9：（2022·四川遂寧·中考真題）已知m為方程的根，那么的值為（

）A． B．0 C．2022 D．4044【答案】B【分析】根據(jù)題意有，即有，據(jù)此即可作答．【詳解】∵m為的根據(jù)，∴，且m≠0，∴，則有原式=，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了利用未知數(shù)是一元二次方程的根求解代數(shù)式的值，由m為得到是解答本題的關(guān)鍵．變式1．（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）若是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．【答案】/【分析】由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得，，，然后代入求解即可．【詳解】解：由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得，，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，滿足，．例10：（2023年四川省樂(lè)山市中考數(shù)學(xué)真題）若關(guān)于x的一元二次方程兩根為，且，則m的值為（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，然后即可確定兩個(gè)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程兩根為，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握此關(guān)系是解題關(guān)鍵．變式1．（2022·湖北武漢·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，則（

）A．2或6 B．2或8 C．2 D．6【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根先確定m的取值范圍，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，把變形為，再代入得方程，求出m的值即可．【詳解】解:∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∴,∴∵是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∵，又∴把代入整理得,解得,故選A【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，找出關(guān)于m的一元二次方程．變式2．（2023年四川省宜賓中考數(shù)學(xué)真題）若關(guān)于x的方程兩根的倒數(shù)和為1，則m的值為．【答案】2【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【詳解】解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別為a，b，由題意得：，，∴，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解，檢驗(yàn)：，∴符合題意，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·湖北十堰·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，且，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)根的判別式，即可判斷；（2）利用根與系數(shù)關(guān)系求出，由即可解出，，再根據(jù)，即可得到的值．【解析】(1)，∵，∴，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，由根與系數(shù)關(guān)系可知，，，∵，∴，∴，解得：，，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系．例11：（2022·四川涼山·中考真題）閱讀材料：材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，則m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝；x1x2＝．(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩根分別為m、n，求的值．(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t滿足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系直接進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系先求出，，然后將進(jìn)行變形求解即可；（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系先求出，，然后求出s-t的值，然后將進(jìn)行變形求解即可．【解析】(1)解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，∴，．故答案為：；．(2)∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的兩根分別為m、n，∴，，∴(3)∵實(shí)數(shù)s、t滿足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的兩個(gè)根，∴，，∵∴或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上分析可知，的值為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形計(jì)算，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出或，是解答本題的關(guān)鍵．變式1．（2023·廣東河源·統(tǒng)考三模）a、b為兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，，則的值等于（）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得：，是方程的兩個(gè)根，即：，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，代入代數(shù)式求值即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，是方程的兩個(gè)根，即：，，，原式．故選：A．核心考點(diǎn)4.一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用例12：（2022·四川眉山·中考真題）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬(wàn)元，2021年投入資金1440萬(wàn)元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長(zhǎng)率相同．(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率；(2)2021年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用為每個(gè)80萬(wàn)元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個(gè)小區(qū)改造費(fèi)用增加15%．如果投入資金年增長(zhǎng)率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個(gè)老舊小區(qū)？【答案】(1)20%(2)18個(gè)【分析】（1）先設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)2019年投入資金2021年投入的總資金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的資金年增長(zhǎng)率求出2022年的投入資金，然后2022年改造老舊小區(qū)的總費(fèi)用要小于等于2022年投入資金，列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意得：，解這個(gè)方程得，，，經(jīng)檢驗(yàn)，符合本題要求．答：該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為20%．（2）設(shè)該市在2022年可以改造個(gè)老舊小區(qū)，由題意得：，解得．∵為正整數(shù)，∴最多可以改造18個(gè)小區(qū)．答：該市在2022年最多可以改造18個(gè)老舊小區(qū)．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的等量關(guān)系和相應(yīng)的不等關(guān)系，列出正確的方程和不等式．變式1.（2022·重慶·中考真題）學(xué)校連續(xù)三年組織學(xué)生參加義務(wù)植樹(shù)，第一年共植樹(shù)400棵，第三年共植樹(shù)625棵．設(shè)該校植樹(shù)棵數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，下列方程正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】第一年共植樹(shù)400棵，第二年植樹(shù)400（1+x）棵，第三年植樹(shù)400（1+x）2棵，再根據(jù)題意列出方程即可．【詳解】第一年植樹(shù)為400棵，第二年植樹(shù)為400（1+x）棵，第三年400（1+x）2棵，根據(jù)題意列出方程：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，屬于增長(zhǎng)率的常規(guī)應(yīng)用題，解決此類題目要多理解、練習(xí)增長(zhǎng)率相關(guān)問(wèn)題．例13.（2022·江蘇常州·中考真題）第十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-14）會(huì)徽的主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素，展現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國(guó)古代的計(jì)數(shù)符號(hào)寫(xiě)出的八進(jìn)制數(shù)3745．八進(jìn)制是以8作為進(jìn)位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有0~7共8個(gè)基本數(shù)字．八進(jìn)制數(shù)3745換算成十進(jìn)制數(shù)是，表示ICME-14的舉辦年份．(1)八進(jìn)制數(shù)3746換算成十進(jìn)制數(shù)是_______；(2)小華設(shè)計(jì)了一個(gè)進(jìn)制數(shù)143，換算成十進(jìn)制數(shù)是120，求的值．【答案】(1)2022(2)9【分析】（1）根據(jù)八進(jìn)制換算成十進(jìn)制的方法即可作答；（2）根據(jù)n進(jìn)制換算成十進(jìn)制的方法可列出關(guān)于n的一元二次方程，解方程即可求解．(1)，故答案為：2022；(2)根據(jù)題意有：，整理得：，解得n=9，（負(fù)值舍去），故n的值為9．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算以及一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，根據(jù)題意列出關(guān)于n的一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．變式1.（2023·重慶沙坪壩·?？级＃㎞K中學(xué)秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)上安排了8行12列的鮮花儀仗隊(duì)，后來(lái)又增加了69人，使得隊(duì)伍增加的行、列數(shù)相同，設(shè)增加了x行，則可列方程為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)游行隊(duì)伍的總?cè)藬?shù)=行數(shù)×列數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程．【詳解】解：依題意，得．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找到等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．例14：（2022·黑龍江·中考真題）2022年北京冬奧會(huì)女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？（

）A．8 B．10 C．7 D．9【答案】B【分析】設(shè)有x支隊(duì)伍，根據(jù)題意，得，解方程即可．【詳解】設(shè)有x支隊(duì)伍，根據(jù)題意，得，解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考一模）黑龍江省中學(xué)生排球錦標(biāo)賽共進(jìn)行了110場(chǎng)雙循環(huán)比賽，則參加比賽的隊(duì)伍共有（）A．8支 B．9支 C．10支 D．11支【答案】D【分析】根據(jù)題意列一元二次方程解應(yīng)用題求解即可．【詳解】設(shè)參加比賽的隊(duì)伍共有x支，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，(不符合題意，舍去)，∴參加比賽的隊(duì)伍共有11支．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，分析題意列方程是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023.湖北九年級(jí)期中）注意：為了使同學(xué)們更好地解答本題，我們提供了一種解題思路，你可以依照這個(gè)思路按下面的要求填空，完成本題的解答，也可以選用其他的解題方案，此時(shí)不必填空，只需按解答題的一般要求進(jìn)行解答．參加一次商品交易會(huì)的每?jī)杉夜局g都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，共有多少家公司參加商品交易會(huì)？設(shè)共有x家公司參加商品交易會(huì)．（Ⅰ）用含x的代數(shù)式表示：每家公司與其他家公司都簽訂一份合同，由于甲公司與乙公司簽訂的合同和乙公司與甲公司簽訂的合同是同一份合同，所以所有公司共簽訂了份合同；（Ⅱ）列出方程并完成本題解答．【答案】（Ⅰ）（x﹣1），x（x﹣1）；（Ⅱ）10家【分析】（1）理解題意，列出代數(shù)式即可；（2）根據(jù)“所有公司共簽訂了45份合同”得到等量關(guān)系，列出方程并求解即可．【詳解】解：（Ⅰ）每家公司與其他（x﹣1）家公司都簽訂一份合同，所有公司共簽訂了x（x﹣1）份合同，故答案為：（x﹣1），x（x﹣1）；（Ⅱ）根據(jù)題意列方程得：x（x﹣1）＝45，解得x1＝10，x2＝﹣9（舍去）檢驗(yàn)：x＝﹣9不合題意舍去，所以x＝10．答：共有10家公司參加商品交易會(huì)．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例15：（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，用長(zhǎng)為的柵欄圍成一個(gè)面積為的矩形花圃．為方便進(jìn)出，在邊上留有一個(gè)寬的小門(mén)．設(shè)的長(zhǎng)為，根據(jù)題意可得方程（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】解：設(shè)的長(zhǎng)為，則，根據(jù)面積為列出方程即可．【詳解】解：設(shè)的長(zhǎng)為，則，根據(jù)題意得：，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題中等量關(guān)系，列出方程．變式1.（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考二模）浦江桃形李是地方名果，是浦江縣的特產(chǎn)之一．請(qǐng)你運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，根據(jù)素材，幫果農(nóng)解決問(wèn)題．信息及素材素材一在專業(yè)種植技術(shù)人員的正確指導(dǎo)下，果農(nóng)對(duì)桃形李的種植技術(shù)進(jìn)行了研究與改進(jìn)，使產(chǎn)量得到了增長(zhǎng)，根據(jù)果農(nóng)們的記錄，2020年桃形李平均每株產(chǎn)量是35千克，2022年達(dá)到了50.4千克，每年的增長(zhǎng)率是相同的．素材二一般采用的是長(zhǎng)方體包裝盒．素材三果農(nóng)們通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，顧客也很愿意購(gòu)買(mǎi)美觀漂亮的其它設(shè)計(jì)的包裝紙盒．(1)任務(wù)1：求桃形李產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率．(2)任務(wù)2：現(xiàn)有長(zhǎng)，寬的長(zhǎng)方形紙板，將四角各裁掉一個(gè)正方形（如圖1），折成無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒（如圖2）．為了放下適當(dāng)數(shù)量的桃形李，需要設(shè)計(jì)底面積為的紙盒，計(jì)算此時(shí)紙盒的高．(3)任務(wù)3：為了增加包裝盒的種類，打算將任務(wù)2中的紙板通過(guò)圖3的方式裁剪，得到底面為正六邊形的無(wú)蓋紙盒（如圖4），求出此時(shí)紙盒的高．（圖中實(shí)線表示剪切線，虛線表示折痕．紙板厚度及剪切接縫處損耗忽略不計(jì)）

【答案】(1)；(2)；(3)；【分析】（1）設(shè)桃形李產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為，則2021年的產(chǎn)量為千克，2022年的產(chǎn)量為千克，由2022年的產(chǎn)量解方程即可；（2）由圖1可得裁掉正方形的邊長(zhǎng)即為圖2長(zhǎng)方體盒子的高，設(shè)裁掉正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)長(zhǎng)方體紙盒的底面積列方程求解即可；（3）設(shè)底面正六邊形為，底面正六邊形的邊長(zhǎng)為，紙盒的高為，連接、、，和交于點(diǎn)，和交于點(diǎn)，所在直線交長(zhǎng)方形紙板的邊于點(diǎn)、，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求得為的直角三角形，可得其兩直角邊的長(zhǎng)度；結(jié)合等邊三角形的判定和性質(zhì)再求得左右兩側(cè)小三角形的高，然后根據(jù)長(zhǎng)方形紙板的長(zhǎng)和寬建立方程求解即可；【詳解】（1）解：設(shè)桃形李產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為，由題意得：，，解得：，（不符合題意舍去），∴桃形李產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為；（2）解：設(shè)裁掉正方形的邊長(zhǎng)為，由題意得：，，，解得：，（不符合題意舍去），∴此時(shí)紙盒的高為；（3）解：如圖設(shè)底面正六邊形為，

連接、、，和交于點(diǎn)，和交于點(diǎn)，所在直線交長(zhǎng)方形紙板的邊于點(diǎn)、，設(shè)底面正六邊形的邊長(zhǎng)為，紙盒的高為，∵正六邊形的每條邊相等，每個(gè)內(nèi)角都為，∴為等腰三角形，，∴，由正六邊形的性質(zhì)可得平分，∴，∴，∴直角三角形中，，同理可得直角三角形中，∵，，∴，∵左側(cè)小三角形頂點(diǎn)的角度=，∴左側(cè)小三角形為邊長(zhǎng)的等邊三角形，根據(jù)圖形的上下對(duì)稱可得與長(zhǎng)方形紙板的左右兩邊垂直，∴為等邊三角形的