第28講圓錐曲線的面積問題(原卷版+解析)

第28講圓錐曲線的面積問題方法總結：1、面積問題的秒殺總結：（1）求三角形的面積需要尋底找高，為了簡化運算，通常優(yōu)先選擇能用坐標直接進行表示的底（或高）。（2）面積的拆分：不規(guī)則的多邊形的面積通常考慮拆分為多個三角形的面積和2、多個圖形面積的關系的轉化：尋找這些圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點，從而可將面積的關系轉化為線段的關系3、面積的最值問題：通常利用公式將面積轉化為某個變量的函數(shù)，再求解函數(shù)的最值，典型例題：例1．（2023·山西呂梁·一模（文））已知橢圓的離心率為，點，是橢圓C的左右焦點，且右焦點與拋物線的焦點重合.(1)求橢圓C的方程；(2)過左焦點且與x軸不重合的直線交橢圓于A，B兩點，求面積的取值范圍.例2．（2023·全國·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知點F既是橢圓的右焦點，又是拋物線的焦點．和在第一象限內交于．(1)求橢圓的標準方程；(2)過的動直線l與交于A，B．直線OA與交于M，N，直線OB與交于P，Q．記四邊形MPNQ的面積為，的面積為．求的最大值．例3．（2023·江西贛州·高三期末（文））已知點M是橢圓C：上一點，，分別為橢圓C的上、下焦點，，當，的面積為5.(1)求橢圓C的方程：(2)設過點的直線和橢圓C交于兩點A，B，是否存在直線，使得與（O是坐標原點）的面積比值為5：7.若存在，求出直線的方程：若不存在，說明理由.例4．（2023·浙江嘉興·高三期末）已知拋物線上的任意一點到焦點的距離比到y(tǒng)軸的距離大.(1)求拋物線C的方程；(2)過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，若三角形ABP的重心G在定直線上，求三角形ABP面積的最大值.例5．（2023·江西贛州·高三期末（理））已知橢圓過點，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)在y軸上是否存在點M，過點M的直線l交橢圓C于A，B兩點，O為坐標原點，使得三角形的面積？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.過關練習：1．（2023·重慶長壽·高三期末）已知曲線過點和．(1)求曲線C的方程，并指出曲線類型；(2)若直線2x－y－2＝0與曲線C的兩個交點為A，B，求△OAB的面積（其中O是坐標原點）．2．（2023·陜西武功·二模（文））已知拋物線上的點到準線的距離為5.(1)求拋物線C的方程；(2)過點的直線與拋物線C交于A，B兩點，與x軸交于點，圓與x軸交于點M，求面積的最小值.3．（2023·福建福州·高三期末）定義：若點，在橢圓上，并且滿足，則稱這兩點是關于M的一對共軛點，或稱點關于M的一個共軛點為.已知點在橢圓，O坐標原點.(1)求點A關于M的所有共軛點的坐標；(2)設點P，Q在M上，且，求點A關于M的所有共軛點和點P，Q所圍成封閉圖形面積的最大值.4．（2023·江西九江·一模（文））在直角坐標系中，已知拋物線的焦點為F，過點F的直線交C于A，B兩點，的最小值為4.(1)求拋物線C的標準方程；(2)若，求面積的最小值.5．（2023·江西九江·一模（理））在直角坐標系中，已知橢圓的右焦點為，過點F的直線交橢圓C于A，B兩點，的最小值為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)若與A，B不共線的點P滿足，求面積的取值范圍．6．（2023·江西上饒·高三階段練習（文））已知橢圓的一個焦點到雙曲線漸近線的距離為，且點在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)若四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC、BD過原點O，直線AC和BD的斜率之積－，證明：四邊形ABCD的面積為定值．7．（2023·浙江溫州·高三開學考試）如圖，過點的直線l交拋物線于A，B兩點.(1)求證：點A，B的縱坐標之積為定值；(2)若拋物線上存在關于直線l對稱的兩點M，N，直線AM，AN分別交x軸于點D，E，求△BDE的面積的取值范圍.8．（2023·四川·成都七中高三開學考試（文））把拋物線沿軸向下平移得到拋物線.(1)當時，過拋物線上一點作切線，交拋物線于，兩點，求證：；(2)拋物線上任意一點向拋物線作兩條切線，從左至右切點分別為，.直線交從左至右分別為，兩點.求證：與的面積相等.9．（2023·浙江·模擬預測）如圖，已知橢圓和拋物線，斜率為正的直線與軸及橢圓依次交于、、三點，且線段的中點在拋物線上．(1)求點的縱坐標的取值范圍；(2)設是拋物線上一點，且位于橢圓的左上方，求點的橫坐標的取值范圍，使得的面積存在最大值．10．（2023·云南師大附中高三階段練習（理））已知拋物線：，焦點為F，點Р是上任一點（除去原點），過點P作的切線交準線于點Q．(1)求拋物線在處的切線方程；(2)若點Р在第一象限，點R在準線上且位于點Q右側．①證明：；②求面積的最小值．11．（2023·四川·威遠中學校高三階段練習（文））已知橢圓C：＝1(a>b>0)經過點A，其長半軸長為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設經過點B(-1，0)的直線l與橢圓C相交于D，E兩點，點E關于x軸的對稱點為F，直線DF與x軸相交于點G，記△BEG與△BDG的面積分別為S1，S2，求的最大值.12．（2023·浙江·慈溪中學高三階段練習）已知拋物線，直線與拋物線交于點，，且.(1)求的值.(2)已知點，過拋物線上一動點（點在直線的左側）作拋物線的切線分別交，于點，，記，的面積分別為，，求的最小值.13．（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知點F(1，0)為拋物線的焦點，過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F右側.記△AFG，△CQG的面積為，.(1)求p的值及拋物線的標準方程.(2)求的最小值及此時點G的坐標.14．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：，過點的動直線與拋物線交于不同的兩點、，分別以、為切點作拋物線的切線、，直線、交于點.(1)求動點的軌跡方程；(2)求面積的最小值，并求出此時直線的方程.15．（2023·廣東高州·二模）已知橢圓C：，經過圓O：上一動點P作橢圓C的兩條切線．切點分別記為A，B，直線PA，PB分別與圓O相交于異于點P的M，N兩點．(1)求證：M，O，N三點共線；(2)求△OAB面積的最大值．16．（2023·北京密云·高三期末）已知橢圓過，兩點．設為第一象限內一點且在橢圓上，直線與軸交于點，直線與軸交于點．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)設橢圓的右頂點為，求證：三角形的面積等于三角形的面積；(3)指出三角形的面積是否存在最大值和最小值，若存在，寫出最大值，最小值（只需寫出結論）．17．（2023·江西·高三階段練習（理））已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為F，P為C上的動點，Q為P在動直線y＝t（t＜0）上的投影．當△PQF為等邊三角形時，其面積為．(1)求C的方程；(2)設O為原點，過點P的直線l與C相切，且與橢圓交于A，B兩點，直線OQ與線段AB交于點M．試問：是否存在t，使得△QMA和△QMB面積相等恒成立？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．18．（2023·廣東·執(zhí)信中學高三階段練習）已知橢圓的上頂點到右頂點的距離為，離心率為，過橢圓左焦點作不與軸重合的直線與橢圓C相交于M，N兩點，直線的方程為：，過點作垂直于直線m交直線于點E．(1)求橢圓C的標準方程；(2)①求證線段必過定點P，并求定點P的坐標；②點O為坐標原點，求面積的最大值．19．（2023·河南焦作·一模（理））已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合．(1)求拋物線的方程；(2)過點作斜率不為0的直線交拋物線于，兩點，過，作的垂線分別與軸交于，，求四邊形面積的最小值．20．（2023·浙江·高三開學考試）如圖，已知點在半圓：上一點，過點P作拋物線C：的兩條切線，切點分別為A，B，直線AP，BP，AB分別與x軸交于點M，N，T，記的面積為，的面積為．(1)若拋物線C的焦點坐標為（0，2），求p的值和拋物線C的準線方程：(2)若存在點P，使得，求p的取值范圍．第28講圓錐曲線的面積問題方法總結：1、面積問題的秒殺總結：（1）求三角形的面積需要尋底找高，為了簡化運算，通常優(yōu)先選擇能用坐標直接進行表示的底（或高）。（2）面積的拆分：不規(guī)則的多邊形的面積通?？紤]拆分為多個三角形的面積和2、多個圖形面積的關系的轉化：尋找這些圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點，從而可將面積的關系轉化為線段的關系3、面積的最值問題：通常利用公式將面積轉化為某個變量的函數(shù)，再求解函數(shù)的最值，典型例題：例1．（2023·山西呂梁·一模（文））已知橢圓的離心率為，點，是橢圓C的左右焦點，且右焦點與拋物線的焦點重合.(1)求橢圓C的方程；(2)過左焦點且與x軸不重合的直線交橢圓于A，B兩點，求面積的取值范圍.答案:(1)(2)解析：分析：（1）根據(jù)拋物線的方程可求，根據(jù)離心率可求，再求出后可得橢圓方程.（2）設直線方程為，設，，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消元后利用韋達定理得到面積的表達式，利用換元法和導數(shù)可求面積的最大值.(1)易知拋物線的焦點為，所以，又因為離心率，所以，又因為所以橢圓C的方程為(2)由題意設直線方程為，設，與橢圓方程聯(lián)立消去得：，易知所以，所以因為到直線的距離為所以設，則，設，則，所以在單調遞增，所以，即三角形面積的取值范圍為例2．（2023·全國·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知點F既是橢圓的右焦點，又是拋物線的焦點．和在第一象限內交于．(1)求橢圓的標準方程；(2)過的動直線l與交于A，B．直線OA與交于M，N，直線OB與交于P，Q．記四邊形MPNQ的面積為，的面積為．求的最大值．答案:(1)(2)解析：分析：（1）根據(jù)題意可得，將點K坐標分別代入橢圓和拋物線方程，即可求得a，b值，即可得答案.（2）由（1）知的標準方程為，設直線l的方程為，與拋物線聯(lián)立，結合韋達定理，可得，設設直線MN的方程為，與橢圓聯(lián)立，可得，與拋物線聯(lián)立，可求得，用代替k可得和，進而可得表達式，結合基本不等式，即可得答案.(1)由題可知，解得，所以的標準方程為．(2)由（1）知的標準方程為．設，，直線l的方程為．聯(lián)立，得．由韋達定理得，因為所以．設直線MN的方程為．聯(lián)立，得．聯(lián)立，得．用代替k可得，．所以等號成立當且僅當．故的最大值為．例3．（2023·江西贛州·高三期末（文））已知點M是橢圓C：上一點，，分別為橢圓C的上、下焦點，，當，的面積為5.(1)求橢圓C的方程：(2)設過點的直線和橢圓C交于兩點A，B，是否存在直線，使得與（O是坐標原點）的面積比值為5：7.若存在，求出直線的方程：若不存在，說明理由.答案:(1)(2)存在，解析：分析：（1）根據(jù)焦距可求出c,再根據(jù)以及的面積可求出a,b，即得橢圓方程；（2）設直線方程并和橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關系式，根據(jù)與的面積比值為5：7，得到相關等式，聯(lián)立根與系數(shù)的關系式化簡，即可得到結論.(1)由,由,,故,∴,∴,∴，即橢圓的標準方程為.(2)假設滿足條件的直線存在，當直線的斜率不存在時，不合題意，不妨設直線：，，，顯然，聯(lián)立，得，所以，因為S△OAF2=1即（3），由（1），（3），得（4），將（1）（4）代入（3）得，所以直線的方程為，故存在直線，使得與的面積比值為5：7.【點睛】本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓的位置關系，涉及到橢圓中的三角形面積問題，解答時一般思路是要將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關系式，再將該關系式代入到相關等式中化簡，其中計算量大,多是關于字母參數(shù)的運算，要求計算準確，需要細心和耐心.例4．（2023·浙江嘉興·高三期末）已知拋物線上的任意一點到焦點的距離比到y(tǒng)軸的距離大.(1)求拋物線C的方程；(2)過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，若三角形ABP的重心G在定直線上，求三角形ABP面積的最大值.答案:(1)；(2).解析：分析：（1）根據(jù)題意，拋物線上的任意一點到焦點的距離與到直線的距離相等，然后根據(jù)拋物線的定義即可求得答案.（2）設動點，切點，，進而設出切線方程并代入拋物線方程，結合判別式法和點G在直線上得到的關系，然后取線段AB的中點Q，求出點Q的坐標，最后根據(jù)求得答案.(1)根據(jù)題意，拋物線上的任意一點到焦點的距離與到直線的距離相等，由拋物線的定義可知：，，拋物線C的方程為.(2)設動點，切點，.設過A的切線PA方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去x整理得，，所以，所以切線PA方程為，同理可得切線PB方程為，聯(lián)立解得兩切線的交點，所以有.因為，又G在定直線，所以有，即P的軌跡為，因為P在拋物線外，所以.如圖，取AB中點Q，則，所以，因為，所以，所以，所以當時，.【點睛】本題第（2）問運算量大，一定要注意對根與系數(shù)的關系的應用，另外本題為什么要取點Q，一方面是受點G為三角形的重心的影響，另一方面是為了處理三角形的面積，即有，平常一定要多加訓練，培養(yǎng)自己做題的感覺.例5．（2023·江西贛州·高三期末（理））已知橢圓過點，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)在y軸上是否存在點M，過點M的直線l交橢圓C于A，B兩點，O為坐標原點，使得三角形的面積？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.答案:(1)(2)存在，解析：分析：（1）根據(jù)條件列出相應的方程組，即可求得答案；（2）首先利用三角形的面積結合向量運算，將問題轉化為，然后設直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用根與系數(shù)的關系代入化簡可得答案.(1)由，解得，則橢圓C的方程為；(2)設存在點，由已知條件可知直線l的斜率存在，故可設直線l的方程為，則，由，得，即，由得，∴需滿足，∴，∴，∴，∴，∴滿足.∴，∴點.【點睛】本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓的位置關系，涉及到三角形面積問題，解答的關鍵在于利用面積關系結合向量的運算轉化為點的坐標之間的關系，再化簡求值，計算量較大，需要耐心.過關練習：1．（2023·重慶長壽·高三期末）已知曲線過點和．(1)求曲線C的方程，并指出曲線類型；(2)若直線2x－y－2＝0與曲線C的兩個交點為A，B，求△OAB的面積（其中O是坐標原點）．答案:(1)曲線的方程為，表示橢圓(2)解析：分析：（1）點代入解方程組即可得出結果.（2）利用弦長公式計算即可.(1)曲線C過點和，則解得∴曲線C的方程為，表示橢圓．(2)由得，．設，，則．又O到直線2x－y－2＝0的距離為，∴△OAB的面積為．2．（2023·陜西武功·二模（文））已知拋物線上的點到準線的距離為5.(1)求拋物線C的方程；(2)過點的直線與拋物線C交于A，B兩點，與x軸交于點，圓與x軸交于點M，求面積的最小值.答案:(1)(2)解析：分析：（1）利用定義求出，即可得到拋物線C的方程；（2）設，設直線的方程為：，用韋達定理表示出，得到，利用二次函數(shù)求最值即可.(1)由拋物線C的方程可得其準線方程為，依題意得，解得.∴拋物線C的方程為.(2)依題意可設直線的方程為：，聯(lián)立消去x得.設，則.∴.依題意，∴.∵，∴，即面積的最小值為.3．（2023·福建福州·高三期末）定義：若點，在橢圓上，并且滿足，則稱這兩點是關于M的一對共軛點，或稱點關于M的一個共軛點為.已知點在橢圓，O坐標原點.(1)求點A關于M的所有共軛點的坐標；(2)設點P，Q在M上，且，求點A關于M的所有共軛點和點P，Q所圍成封閉圖形面積的最大值.答案:(1)或(2)解析：分析：（1）利用共軛點的定義列方程求解即可，（2）設直線的方程為，，將直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關系，結合弦長公式表示出，分別求出，到直線的距離，代入，即可求出其最大值(1)設點在橢圓的共軛點為，則，且，解得或，所以點A關于M的所有共軛點的坐標為或(2)因為∥，，所以設直線的方程為，，，將代入中，化簡得，由，得，，所以，設，到直線的距離分別為，因為∥，所以等于，到直線的距離和，所以，所以，令，則在上單調遞減，所以當時，即時，取最大值16，所以當時，的最大值為4．（2023·江西九江·一模（文））在直角坐標系中，已知拋物線的焦點為F，過點F的直線交C于A，B兩點，的最小值為4.(1)求拋物線C的標準方程；(2)若，求面積的最小值.答案:(1)；(2)4.解析：分析：（1）由題可得，即求；（2）分類討論，利用條件可得，然后利用韋達定理、弦長公式及面積公式可表示，即求；(1)當垂直于x軸時，最小，其最小值為，∴，∴拋物線C的標準方程為.(2)解法一：取，則點M在直線上，且點O為線段的中點.∴.當垂直于x軸時，A，B的坐標分別為，，，當不垂直于x軸時，設其斜率為k，則直線的方程為.則點O到直線的距離，聯(lián)立方程，消去y整理得，則，，∴，綜上可得，面積的最小值為4.解法二：當垂直于x軸時，A，B的坐標分別為，，由，得點P的坐標為，則點P到直線的距離為2，又，所以的面積為，當不垂直于x軸時，設其斜率為，則直線的方程為，設P，A，B的坐標分別為，，，則，，由，得，，即，故點P在直線上，且此直線平行于直線.則點P到直線的距離，聯(lián)立方程，消去y整理得，則，，∴，綜上可得，面積的最小值為4.解法三：取，則點M在直線上，且點O為線段的中點.∴，設直線的方程為，則點O到直線的距離.聯(lián)立方程，消去x整理得，則，，∴，綜上可得，面積的最小值為4.5．（2023·江西九江·一模（理））在直角坐標系中，已知橢圓的右焦點為，過點F的直線交橢圓C于A，B兩點，的最小值為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)若與A，B不共線的點P滿足，求面積的取值范圍．答案:(1)；(2).解析：分析：(1)根據(jù)通徑的性質即可求解；(2)取，則點M在直線上，且點M為線段的中點．得，設AB方程，與橢圓方程聯(lián)立，表示出并求其范圍即可.(1)由右焦點知，，當垂直于x軸時，最小，其最小值為．又∵，解得，，∴橢圓C的標準方程為．(2)解法一：取，則點M在直線上，且點M為線段的中點．∴．當垂直于x軸時，A，B的坐標分別為，，；當不垂直于x軸時，設其斜率為k，則直線的方程為．則點O到直線的距離，聯(lián)立方程，消去y整理得，則，，，，∴，令，則，此時．綜上可得，面積的取值范圍為．解法二：當垂直于x軸時，A，B的坐標分別為，，由，得點P的坐標為，則點P到直線的距離為1，又，∴的面積為，當不垂直于x軸時，設其斜率為k，則直線的方程為，設P，A，B的坐標分別為，，，則，，由，得，，即．故點P在直線上，且此直線平行于直線．則點P到直線的距離，聯(lián)立方程，消去y整理得，則，，，∴，令，則，此時．綜上可得，面積的取值范圍為．解法三：取，則點M在直線上，且點M為線段的中點．∴，設直線的方程為，則點O到直線的距離．聯(lián)立方程，消去x整理得，則，，，，∴，∴，即面積的取值范圍為．6．（2023·江西上饒·高三階段練習（文））已知橢圓的一個焦點到雙曲線漸近線的距離為，且點在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)若四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC、BD過原點O，直線AC和BD的斜率之積－，證明：四邊形ABCD的面積為定值．答案:(1)(2)證明見解析解析：分析：（1）根據(jù)題意列出相應等式，求得，再根據(jù)點（）是橢圓上一點，求得，即得答案；（2）考慮直線斜率是否存在情況，然后設直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關系式，結合可得到，進而表示出四邊形ABCD的面積，化簡可得結論.(1)不妨取左焦點（－c，0），到漸近線的距離為，解得，∴又∵點（）是橢圓上一點，∴，解得因此，橢圓的方程為(2)證明:：當直線AB的斜率不存在時，不妨設，則，又，解得，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨取,則，則,所以;當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為，設點聯(lián)立，得，則因為，得，即，所以，，解得，，原點到直線AB的距離為，因為且所以（定值），綜上述四邊形ABCD的面積為定值．7．（2023·浙江溫州·高三開學考試）如圖，過點的直線l交拋物線于A，B兩點.(1)求證：點A，B的縱坐標之積為定值；(2)若拋物線上存在關于直線l對稱的兩點M，N，直線AM，AN分別交x軸于點D，E，求△BDE的面積的取值范圍.答案:(1)證明見解析；(2)解析：分析：（1）分過點的直線l斜率存在與不存在兩種情況去證明；（2）先求得△BDE的面積的的解析式，再求其取值范圍即可解決.(1)過點的直線l斜率不存在時，方程為，令，，則A，B的縱坐標之積為.過點的直線l斜率存在時，方程可設為，令，由可得，，則綜上，點A，B的縱坐標之積為定值.(2)由題意可知直線MN斜率存在且不為0，直線MN的方程可設為，令，由，可得，則，設，，則中點為，代入得，即，代入，得由，即，可得，則由，，可得，則則故△BDE的面積為又，則故△BDE的面積的取值范圍為【點睛】(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系；(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．8．（2023·四川·成都七中高三開學考試（文））把拋物線沿軸向下平移得到拋物線.(1)當時，過拋物線上一點作切線，交拋物線于，兩點，求證：；(2)拋物線上任意一點向拋物線作兩條切線，從左至右切點分別為，.直線交從左至右分別為，兩點.求證：與的面積相等.答案:(1)見解析(2)見解析解析：分析：（1）根據(jù)給定條件求出拋物線在點處切線方程，再將此切線與拋物線的方程聯(lián)立，計算線段AB中點坐標即可得解.（2）設出過點M的拋物線的切線方程，與拋物線的方程聯(lián)立，借助韋達定理求出點C，D坐標，進而求出直線CD方程，把直線CD與拋物線的方程聯(lián)立，計算線段CD與EF的中點坐標推理作答.(1)當時，，顯然拋物線在點處切線斜率存在，設切線AB方程為，由消去y并整理得：，則，解得，于是得切線AB的方程為：，拋物線，，由消去y并整理得：，顯然，設，則，線段的中點坐標為與切點P重合，即點P是線段AB中點，所以.(2)顯然過點M的拋物線的切線斜率存在，設此切線方程為：，且，由消去y并整理得：，，關于的方程，于是得切線的斜率是方程的兩個不等實根，分別令為，有，切點C的橫坐標是方程的等根，則點，同理可得切點，則直線斜率為，直線：，由消去y并整理得：，即，，設直線CD與拋物線的交點，則，即線段中點橫坐標為，又線段的中點橫坐標為，因此，線段與有相同中點，由題意知，即，因此的底邊與的底邊相等，高都是點M到直線CD的距離，所以與的面積相等，即.【點睛】結論點睛：拋物線在點處的切線斜率；拋物線在點處的切線斜率.9．（2023·浙江·模擬預測）如圖，已知橢圓和拋物線，斜率為正的直線與軸及橢圓依次交于、、三點，且線段的中點在拋物線上．(1)求點的縱坐標的取值范圍；(2)設是拋物線上一點，且位于橢圓的左上方，求點的橫坐標的取值范圍，使得的面積存在最大值．答案:(1)；(2).解析：分析：（1）設直線的方程為，則，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，可求得點的坐標，將點的坐標代入拋物線的方程，可得出，結合可得出的取值范圍，進而可求得的取值范圍，即可得解；（2）設點，計算得出的面積，令，記，則，求導，分析可知函數(shù)在內有唯一的極值點，且為極大值點，結合已知條件可得出關于的不等式組，解出的取值范圍，即可得出點的橫坐標的取值范圍.(1)解：由題意可設直線的方程為，則，聯(lián)立可得，，可得，①設點、，由韋達定理可得，，設點，則，，將點的坐標代入拋物線的方程得，則，代入①可得，可得，解得，因此.因此，點的縱坐標的取值范圍是.(2)解：設點，則點到直線的距離為，，故的面積，②將代入②得，令，記，則，則，因為在上單調遞減，所以，函數(shù)在內有唯一的極值點，且為極大值點，所以，，可得，③因為點在橢圓的左上方，則，④由③④可得，因此，點的橫坐標的取值范圍是.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調性或三角函數(shù)的有界性等求最值．10．（2023·云南師大附中高三階段練習（理））已知拋物線：，焦點為F，點Р是上任一點（除去原點），過點P作的切線交準線于點Q．(1)求拋物線在處的切線方程；(2)若點Р在第一象限，點R在準線上且位于點Q右側．①證明：；②求面積的最小值．答案:(1)(2)①證明見解析；②解析：分析：（1）利用導數(shù)求出斜率，然后可得答案；（2）①設，然后求出的坐標，然后證明即可，②算出和點到切線的距離，然后可得，然后利用導數(shù)求出最小值即可.(1)由得，，則切線斜率為，故切線方程為，即．(2)①設，由（1）得切線斜率為．所以，且切線為，即．令得，即．當時，，；，，滿足．當時，，，所以．因為在第一象限，所以，，故．綜上，．②由①得，，點到切線的距離為，所以，令，，則，所以當，；當，．故當時，取最小值．所以當時，取最小值．11．（2023·四川·威遠中學校高三階段練習（文））已知橢圓C：＝1(a>b>0)經過點A，其長半軸長為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設經過點B(-1，0)的直線l與橢圓C相交于D，E兩點，點E關于x軸的對稱點為F，直線DF與x軸相交于點G，記△BEG與△BDG的面積分別為S1，S2，求的最大值.答案:(1)(2)解析：分析：（1）按照題目所給的條件，可以直接算出結果；（2）將直線方程設為橫截式，用水平底鉛錘高表達面積，將其表示為關于的函數(shù)，利用對勾函數(shù)求其最值.(1)由已知的a=2，假設橢圓的方程為，將點代入橢圓方程，得b=1，∴橢圓方程為.(2)作圖如下：設過點B的直線方程為（依題意，并且存在），點，，則；聯(lián)立方程；解得：，…①…②，直線FD的方程為：，令y=0解得：，將①②并，帶入，解得x=-4，即點；，，，，由于點D與點E必然在x軸的兩邊，與異號，∴=，，當且僅當m=2時，取得最大值.12．（2023·浙江·慈溪中學高三階段練習）已知拋物線，直線與拋物線交于點，，且.(1)求的值.(2)已知點，過拋物線上一動點（點在直線的左側）作拋物線的切線分別交，于點，，記，的面積分別為，，求的最小值.答案:(1)1；(2)2.解析：分析：（1）將代入拋物線方程，求得，坐標，根據(jù)坐標滿足拋物線方程即可求得結果；（2）聯(lián)立直線DE的方程與拋物線的方程，由切線可知，進而得直線DE的方程為，將DE的方程與AM的方程聯(lián)立得，同理可得，易得，可知，利用二次函數(shù)性質可得解.(1)將代入拋物線方程，得，即，由，即，解得.(2)設點，，設直線DE的方程為，將與拋物線方程聯(lián)立，得到，由，可得，即直線DE的方程為.由已知得直線AM的方程為，將DE的方程與AM的方程聯(lián)立得，同理可得，易得，由，，則，所以，而.故.故的最小值為2，此時.【點睛】本題考查拋物線方程的求解，以及拋物線中三角形面積的最值問題；解決問題的關鍵是構造面積關于點坐標之間的函數(shù)關系，屬綜合題.13．（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知點F(1，0)為拋物線的焦點，過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F右側.記△AFG，△CQG的面積為，.(1)求p的值及拋物線的標準方程.(2)求的最小值及此時點G的坐標.答案:(1)2，；(2)最小值1＋，G(2，0).解析：分析：(1)由拋物線的性質可得：，由此能求出拋物線的準線方程；(2)設，，，，，，重心，，令，，則，從而得直線的方程，代入拋物線方程求出B，由重心在軸上，得到C和G，進而得直線的方程，從而得Q的坐標，由此結合已知條件能即能求出結果．(1)由題意得＝1，即p＝2.∴拋物線的標準方程為；(2)設，，，，，，重心，，令，，則，由于直線過，故直線的方程為，代入，得：，，即，，，又，，重心在軸上，，，，，，直線的方程為，得，，在焦點的右側，，，令，則，，當時，取得最小值為，此時．【點睛】本題考查實數(shù)值、拋物線標準方程的求法，考查三角形的面積的比值的最小值及相應點的坐標的求法，考查拋物線、直線方程、重心性質、弦長公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．14．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：，過點的動直線與拋物線交于不同的兩點、，分別以、為切點作拋物線的切線、，直線、交于點.(1)求動點的軌跡方程；(2)求面積的最小值，并求出此時直線的方程.答案:(1)(2)1，解析：分析：（1）設，，分別求出以為切點的切線方程，聯(lián)立兩切線方程表示出點的坐標，再設直線的方程為：，與拋物線的方程聯(lián)立，代入可得點的軌跡方程；

（2）由（1）知和到直線的距離，利用三角形面積公式求得面積，可求得S的最小值和直線的方程.(1)設，，，則以A為切點的切線為，整理得：，同理：以為切點的切線為：，聯(lián)立方程組：，解得，設直線的方程為：，聯(lián)立方程組，整理得：，恒成立，

由韋達定理得：，，故，所以點的軌跡方程為；(2)解：由（1）知：，

到直線的距離為：，

∴，

∴時，取得最小值，此時直線的方程為.【點睛】思路點睛：本題考查直線與拋物線的交點相關問題，涉及到拋物線的切線和三角形的面積的最值，直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系．屬中檔題.15．（2023·廣東高州·二模）已知橢圓C：，經過圓O：上一動點P作橢圓C的兩條切線．切點分別記為A，B，直線PA，PB分別與圓O相交于異于點P的M，N兩點．(1)求證：M，O，N三點共線；(2)求△OAB面積的最大值．答案:(1)證明見解析；(2).解析：分析：（1）根據(jù)圓的對稱性，設在第一象限，討論、斜率不存在或為0、斜率存在且不為0兩種情況，再設切線方程并聯(lián)立橢圓，由及韋達定理，求證即可證結論.（2）同（1）設在第一象限，，，討論、斜率不存在或為0、斜率存在且不為0兩種情況，分別求△OAB面積情況，注意斜率存在且不為0時，根據(jù)P在、上求直線的方程，再聯(lián)立橢圓方程，應用韋達定理、弦長公式、點線距離公式及三角形面積公式得到關于所設參數(shù)的表達式，最后應用基本不等式求范圍確定面積的最大值.(1)由圓的對稱性，不妨設在第一象限，若斜率不存在，則直線為，所以，則另一條切線為(即斜率為0)，此時；若、斜率存在且不為0時，設切線方程為，聯(lián)立橢圓方程有，整理得，所以，整理得，且，所以，又，故，即；綜上，有，又M，N兩點圓O上，即，由圓的性質知：是圓O的直徑，所以M，O，N三點共線，得證；(2)同（1），由圓的對稱性，設在第一象限，，，當時，；當時，、斜率都存在且不為0，令為，聯(lián)立橢圓并整理得：，由，整理得，所以，又在橢圓上，則，故，所以直線的方程為，化簡得，即；同理可得：直線的方程為，又在直線、直線上，則，所以直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得：，又，則，故，所以，，又不共線，，，而O到直線的距離，所以，令，，且，即或，所以，則，當且僅當時等號成立，此時；綜上，，當時△OAB面積的最大值.【點睛】關鍵點點睛：第二問，分類討論切線、斜率情況分別求三角形面積，在斜率存在且不為0時，設點坐標及切線方程求直線、，再由在直線上求直線關于m、n的方程，聯(lián)立橢圓及在圓上，結合韋達定理、弦長公式等求三角形面積表達式，最后應用基本不等式求范圍.16．（2023·北京密云·高三期末）已知橢圓過，兩點．設為第一象限內一點且在橢圓上，直線與軸交于點，直線與軸交于點．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)設橢圓的右頂點為，求證：三角形的面積等于三角形的面積；(3)指出三角形的面積是否存在最大值和最小值，若存在，寫出最大值，最小值（只需寫出結論）．答案:(1)，；(2)證明見解析；(3)存在最大值，且最大值為.解析：分析：(1)根據(jù)橢圓過的點的坐標可得，進而求出c，即可得出結果；(2)設點，利用兩點坐標求出直線MA、MB的方程，求出點P、Q的坐標，進而表示出，利用分析法證明即可；(3)由(2)可得，進而可得，令，利用導數(shù)求出即可得出結果.(1)由題意知，橢圓C：過點，所以，所以，所以橢圓C的方程為：，離心率為；(2)由題意知，，設點，得，所以直線MA的方程為：，直線MB的方程為：，所以，所以，故，，要證，只需證，只需證，只需證，又點在橢圓上，所以，即，所以；(3)三角形MPQ的面積存在最大值.由(2)知，，，得，，令，則，令，函數(shù)單調遞增，令，函數(shù)單調遞減，所以，即當時，有最大值，且最大值為，無最小值.所以三角形MPQ的面積存在最大值，無最小值，且最大值為.17．（2023·江西·高三階段練習（理））已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為F，P為C上的動點，Q為P在動直線y＝t（t＜0）上的投影．當△PQF為等邊三角形時，其面積為．(1)求C的方程；(2)設O為原點，過點P的直線l與C相切，且與橢圓交于A，B兩點，直線OQ與線段AB交于點M．試問：是否存在t，使得△QMA和△QMB面積相等恒成立？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．答案:(1)(2)存在，解析：分析：（1）設，根據(jù)等邊三角形的面積公式得到，再根據(jù)拋物線的定義得到，即可得到，從而求出，即可得到拋物線方程；（2）設，，