2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：設(shè)而不求韋達(dá)定理與三點(diǎn)共線問題（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)設(shè)而不求韋達(dá)定理與三點(diǎn)共線問題（解析

版）

錢而不或書達(dá)定理易三點(diǎn)關(guān)鐵冏題

錢而系求卒達(dá)定理

知識與方法

在圓錐曲線的大題中，將直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立，消去。（或工）整理得出關(guān)于M或妨的一元二次方程

是常規(guī)操作，如果設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)分別是4處%）、?。?，很多時(shí)候我們都不去求這兩個(gè)交點(diǎn)的坐

標(biāo),而是直接根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)會滿足上面得到的關(guān)于以或y）的一元二次方程，借助韋達(dá)定理來計(jì)算其他需要用

到的量，這種處理方法叫做設(shè)而不求.

一般地，若聯(lián)立后得到的關(guān)鍵方程用ax2+bx+c=0（aW0）來表示，其判別式△=b2-4ac，則：

bJac

(3)山一z2|=V(g+c2)2-4工巡2=VA

a2同

（4）就+送=（的+徵）2—2為物=與等；（5）嘉+金=

借助韋達(dá)定理及其推論，我們可以計(jì)算很多關(guān)于◎和芯的具有對稱結(jié)構(gòu)的代數(shù)式.

典型例題

題1（★★★）

設(shè)為曲線上兩點(diǎn)，入與B的橫坐標(biāo)之和為4.

（1）求直線的斜率；

（2）設(shè)〃?為曲線。上一點(diǎn)，。在M處的切線與直線48平行，且求直線AB的方程.

?M

謝2(★★★★)

已知拋物線C.y'2px過點(diǎn)P(l,l),過點(diǎn)(O,])作直線I與拋物線。交于不同的兩點(diǎn)M、N,過點(diǎn)M作c

軸的垂線分別與直線OP、ON交于點(diǎn)A、B,其中。為原點(diǎn).

(1)求拋物線。的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

(2)求證：A為線段■的中點(diǎn).

刷3(2021?北京吃。-****)

已知橢圓氏4+*=l(a>b>0)過點(diǎn)A(0,—2),以4個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為475.

ab

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)P(0,—3)的直線Z斜率為％,交橢圓E于不同的兩點(diǎn)3、。，直線AB交沙=—3于點(diǎn)朋■，直線AC

交"=—3于點(diǎn)N,若+\PN\W15,求k的取值范圍.

?M

強(qiáng)化訓(xùn)練

跟蹤訓(xùn)練［1.(★★★)

已知橢圓。:冬+/=l(a>6>0)的離心率為卓，長軸長為4V2.

(1)求橢圓。的方程；

(2)若直線ky=far+小0/0)與橢圓。交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線過點(diǎn)P(l,0),求k的取值范

［跟蹤訓(xùn)細(xì)2.；(★★★)

已知橢圓C:弓■+a=l(Q>b>0)的離心率為且過點(diǎn)(一

(1)求橢圓。的方程；

(2)過點(diǎn)n(—1-,0)且不與y軸垂直的直線，交橢圓。于P、。兩點(diǎn),點(diǎn)41,0),證明：AP±AQ.

三點(diǎn)共線問題

知識與方法

在解析幾何中，三點(diǎn)共線一般用斜率相等或向量共線來計(jì)算：

⑴斜率相等：4B、。三點(diǎn)共線?心產(chǎn)以?；蛑本€48、的斜率都不存在;

⑵向量共線：A,B,。三點(diǎn)共線^>AB//AC.

_____________________________螃^題

014(★★★★)

已知曲線C：(5—m)x2+(m—2)才=8(mCR).

(1)若曲線。是焦點(diǎn)在2軸上的橢圓，求m的取值范圍；

(2)設(shè)m=4,曲線。與y軸的交點(diǎn)分別為A、B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方),直線沙=for+4與曲線。交于不

同的兩點(diǎn)河、N,直線夕=1與直線交于點(diǎn)G,求證：4G、N三點(diǎn)共線.

?M

幽5（★★★★）

已知4B分別為曲線。金+才=1（夕>0?>0）與多軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線Z過點(diǎn)B且與力軸垂直，

a

S為Z上異于B的一點(diǎn)，連接AS交曲線。于點(diǎn)T.

（1）若曲線C為半圓，且T為圓弧檢的三等分點(diǎn)，求S點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如下圖所示，”是以BS為直徑的圓與線段BT的交點(diǎn),試問：是否存在a,使得O、M、S三點(diǎn)共線？若

存在，求出a的值;若不存在，說明理由.

強(qiáng)化訓(xùn)練

跟蹤訓(xùn)練：1.：（★★★★）

已知橢圓車+￥=1的右焦點(diǎn)為F,設(shè)直線。=5與，軸的交點(diǎn)為E,過點(diǎn)F的直線。與橢圓交于4B

54

兩點(diǎn)，河為線段EF的中點(diǎn).

（1）若直線Zi的傾斜角為45°，求△4BW的面積S；

（2）過點(diǎn)口作BN,Z于點(diǎn)N,證明：A、M,N三點(diǎn)共線.

?M

［跟蹤訓(xùn)練2.1(★★★★)

已知橢圓E:考■+卷=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,橢圓的上頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)的連線構(gòu)成一個(gè)面積為四

ab

的等邊三角形.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線l-.x—my+0)與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B,設(shè)點(diǎn)A關(guān)于橢圓長軸的對稱點(diǎn)為4,試

求從、F、B三點(diǎn)共線的充要條件.

械而加靠卒運(yùn)亥建易三龍卷戴網(wǎng)毀

極而系嘉卒運(yùn)案理

知識與方法

在圓錐曲線的大題中，將直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立，消去。(或工)整理得出關(guān)于M或訪的一元二次方程

是常規(guī)操作，如果設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)分別是4處%)、取)，很多時(shí)候我們都不去求這兩個(gè)交點(diǎn)的坐

標(biāo)，而是直接根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)會滿足上面得到的關(guān)于N或5的一元二次方程，借助韋達(dá)定理來計(jì)算其他需要用

到的量，這種處理方法叫做設(shè)而不求.

一般地，若聯(lián)立后得到的關(guān)鍵方程用ax2+bx+c=0(aW0)來表示，其判別式△=b2-4ac,則：

(1)工1+22=-(2)a:a；2=—;

a1a

/62—

9—：------4-c-_=_./------4：—ac=_--V--A--?

（3）|iCi-2：2|=V（21+C2）2—4土巡2=

a2aa21?1

（4）/+曷=（劣1+22）2—2的劣2=b;（5）—+」-="1+電__b_

X

a2/逆2c

借助韋達(dá)定理及其推論，我們可以計(jì)算很多關(guān)于◎和芯的具有對稱結(jié)構(gòu)的代數(shù)式.

典型例題

題1(★★★)

設(shè)為曲線。：夕=(上兩點(diǎn)，入與B的橫坐標(biāo)之和為4.

(1)求直線的斜率；

(2)設(shè)〃?為曲線。上一點(diǎn)，。在M處的切線與直線48平行，且求直線AB的方程.

X:-;=4%

【解析】（1）設(shè)4Q1,%）,L（±2，Z/2）,則x+x=4,且,兩式作差得:（◎+宓2）（g—電）=

t2■2=4y2

4(%j),所以注■:牛=1,故直線AB的斜率為1.

(2)解法1:設(shè)如。，苧),/=專,由⑴可得，詈=1,故g=2,所以河(2,1),

設(shè)直線4B的方程為夕=為+力,聯(lián)立["2:"消去4整理得：X2-4X-4t=0,

[x=4y

判別式A=16+16力>0,故力>—1,

由韋達(dá)定理，/什/2=4,力避2=-4燈yi+y2=Xr+x2+2t=4+2t,幼紡=（2詈）=F

MA=（g—2,%—1）,MB=（^2-2,?/2-1）,因?yàn)锳M±W,所以或?詬=0,

2

即（的-2）（力2—2）+（%—1）（例一1）—X1X2—2（X1+X2）+%加一（%+%）+5=—44—8+1—4—2t+5=

0解得：±=7或一1（舍去），所以直線AB的方程為y—x+7.

解法2:設(shè)。'=5，由⑴可得，魯=1,故g=2,

所以Al(2,l)，設(shè)直線AB的方程為y=x+t,

聯(lián)立｛，二:;1消去U整理得：——4/一4t=0,判別式△=16+16/>0,故t>—l,

由韋達(dá)定理，Xi+x=4：,y+y=x+x+2t=4+2i,

212r2?M

所以AB中點(diǎn)為N(2,2+1),故\MN\=2+t-l=t+l

而\AB\=Vl+12?同一工2I=V2-"16+16t=4,2(1+1),因?yàn)锳MI_，所以\AB\=2\MN\,

故4j2(l+t)=2(t+l),解得t=7或一1(舍去)，所以直線AB的方程為y=x+7.

交y=-3于點(diǎn)N,若+|PN|&15,求k的取值范圍.

【解析】(1)由題意，6=2,四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積S=]x2a義2b=4啰，所以a=西,

、X24

即橢圓石的標(biāo)準(zhǔn)方程為---I——=1

54

⑵設(shè)8(孫")，。(力2,仍)，直線Z的方程為g=k力一3,

直線A3的斜率為"2,其方程為沙竺巳-2,

X1力1

%+2

y7—2

聯(lián)立<，解得：力=—

ly=-3%+2,

62/2

所以|JW|=同理，|PN|=所以|PN|+|PN|=+

仇+2'統(tǒng)+2'%+2統(tǒng)+2'

y=kx—3

聯(lián)立統(tǒng)_消去"整理得：(4+5肥)/-30版+25=0,

一5十4=1

判別式△=900A;2-100(4+5fc2)>0.

25

解得：k<—1或卜>1,由韋達(dá)定理，g+必2=一迎f,XiX2

4：+5k-4+5肥'

X1X

顯然xrx2>0,故為、電同號，而%+2>0,僅+2>0,所以與~同號,

%+2紡+2

2kx1x2—(x1+x2)

故+小+*=*+*=事+M后力任2一k(①1+優(yōu)2)+1

50k30k

4+5/？4+5肥

=|5對，由題意,|「河|十|PN|415,所以|5機(jī)415,故一34〈43,

25昭30fc2

4+5肥4+5“2十,

綜上所述，k的取值范圍為[-3,-1)U(1,3].

強(qiáng)化訓(xùn)練

跟蹤訓(xùn)練[1](★★★)

已知橢圓。：5+/=l(a>6>0)的離心率為卓，長軸長為4V2.

(1)求橢圓。的方程；

(2)若直線l-.y=kx+m(k豐0)與橢圓。交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線過點(diǎn)P(l,0),求k的取值范

圍.

【解析】⑴由題意，橢圓C的離心率6=必/=坐，長軸長2a=4網(wǎng)，所以a=2g,b=2,故橢圓C

的方程為+4=1.

o4

n=kx+m

⑵設(shè)4(力1,S)，_8(劣2,紡)，聯(lián)立2/_消去g整理得：(2fc2+l)a;2+4fcmT+2m2—8=0,

IT+T=1

判別式A=16fc2m2-4(2fc2+l)(2m2-8)>0,化簡得：4(2fc2+l)-m2>0①，

由韋達(dá)定理，/1+/2=一~”1n,沙1+紡=心(力1+電)+2m=2},

2fc2+l2V+1

???

所以AB中點(diǎn)為G(—2mm

2k2+1'2*+l

m

因?yàn)锳B的中垂線過點(diǎn)P(1,O),所以PG，AB,從而一著1——fc=-l,

化簡得：m=—，代入①得:4(2/C2+1)-

解得：k或%>，故k的取值范圍為(一°°,一^^)U+oo).

跟蹤訓(xùn)練/(★★★)

已知橢圓。/+￡=l(a>6>0)的離心率為空，且過點(diǎn)(―手,岑)

(1)求橢圓。的方程；

(2)過點(diǎn)n(-y,0)且不與y軸垂直的直線I交橢圓。于P、Q兩點(diǎn),點(diǎn)4(1,0),證明：AP±AQ.

(Va2-b2V2f—不2

【解析】⑴由題意，??！?2,解得：7―，所以橢圓。的方程為<+/=i.

12a4b

2

(2)由題意,可設(shè)直線1的方程為，=my—：,代入號+/=1消去z整理得：(2病+1)才—去做—當(dāng)=

0,

易得判別式A>0,設(shè)PQl,m),Q(22,92)，則%+%=，W2=~,'

O(ZilTLIX)t/(ZtiiLI.L)

所以⑻+g=f一訴|而，呼產(chǎn)叫做一號("如+六京/j

AP=(a；i-l,yi)，AQ=(22一1,紡)，

故AP?AQ=(0一1)(電-1)+%仇=，逆2—(g+電)+1+的仇

1-18m2216l-18m2+6+9(2m2+l)-16

9(2m2+l)3(2m2+l)9(2m2+l)9(2m2+l)

所以APLAQ.

三點(diǎn)共線問題

知審與方法

在解析幾何中，三點(diǎn)共線一般用斜率相等或向量共線來計(jì)算：

⑴斜率相等：4B、。三點(diǎn)共線0石.=心。或直線力口、的斜率都不存在;

⑵向量共線：A,B,。三點(diǎn)共線^>AB//AC.

C

B

.4

典型例題

腳］4(★★★★)

已知曲線。:(5-m)x2+(m—2)靖=8(m6R).

(1)若曲線。是焦點(diǎn)在。軸上的橢圓，求小的取值范圍；

(2)設(shè)m=4,曲線。與y軸的交點(diǎn)分別為A、B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方)，直線y=for+4與曲線。交于不

同的兩點(diǎn)“、N,直線?/=1與直線BM交于點(diǎn)G,求證：4G、N三點(diǎn)共線.

y2

【解析】(1)原曲線方程可化為

8+81,

5—mm—2

87

曲線。是焦點(diǎn)在力軸上的橢圓，所以>0,解得：—<m<5.

5一館m—2

⑵當(dāng)m=4時(shí)，曲線C的方程為*+2瞋=8,由題意，4(0,2),B(0,-2),

(藍(lán)：2：卜肖去沙整理得：(2k2+l)x2+16kx+24=0,判別式A=32(2肥—3)>0,故/>方,

聯(lián)立

16k24

設(shè)M(x小傷+4),N(g,k22+4)，由韋達(dá)定理，x+x=—~，化便2=-不,

lf122肥+12肥+1

版1+63為

直線方程為g1-2,令^=1解得：%F、，所以已

X1tol+6kXi+6'

^,-l),AN=(,k+2)

故AG=X2X2

要證人、G、N三點(diǎn)共線，只需證Z苕與俞共線,

口、3/1

即證(fcrr+2)=-g成立，化簡得：4kgg=-6(?+22)①

toi+o2

16k

由力1+/2=一和方便2

2fc2+l

網(wǎng)］5(★★★★)

已知人B分別為曲線。：耳+婿=l(y>0,a>0)與2軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線，過點(diǎn)B且與刀軸垂直,

a

S為Z上異于B的一點(diǎn)，連接AS交曲線。于點(diǎn)T.

(1)若曲線C為半圓，且T為圓弧檢的三等分點(diǎn)，求S點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如下圖所示，”是以BS為直徑的圓與線段BT的交點(diǎn),試問：是否存在a,使得。、M、S三點(diǎn)共線？若

存在，求出a的值;若不存在，說明理由.

?M

【解析】(1)當(dāng)曲線。為半圓時(shí)，a=1,由點(diǎn)T為圓弧檢的三等分點(diǎn)得ZBOT=60°或120°,

當(dāng)Z.BOT=60°時(shí)，ASAB=30°,又1=2,所以在ASAB中，|SB|=|4B|?tan30°=卷2,故

弟書

當(dāng)/BOT=120°時(shí)，同理可求得點(diǎn)S的坐標(biāo)為(1,2同)，綜上所述，點(diǎn)S的坐標(biāo)為(1,亨)或

(1,2⑹

⑵解法1:由題意，>1(—a,0),B(a,0)，直線AS不與坐標(biāo)軸垂直，可設(shè)其方程為x=my-0),

222

聯(lián)立；2+3,2=：2消去。整理得：(m+a)y-2may=0,解得：“=°或?軍-2，

2ma=a（病—刈/a（病—/）2ma\

所以以,從而x=my—a

m2+a2TTm2+a2）\m2+a2'mW/

聯(lián)立[二:解得：尸辭，所以S(a,辭),

因?yàn)辄c(diǎn)河在以8s為直徑的圓上，所以SAI，BM,又河是圓與線段BT的交點(diǎn),

所以SAILAT,

2ma

故O、M、S三點(diǎn)共線等價(jià)于OS±BT,即kos-*=-——,a歲—=-1，結(jié)合a>0可解得：a

m磯m-Q)

m2+a2~a

=V2,

所以存在a=2,使得O、M、S三點(diǎn)共線.

解法2:顯然AS的斜率存在且大于0,故可設(shè)直線ZS的方程為y=k(x+a),

聯(lián)立r=卜儂十°)解得：y=2Ra,所以S(a,2%a),故直線OS的斜率kos=—=2k,

[x=aa

22

設(shè)T(①o,yo)，則咨+*=1,所以%=1一居，

aa

1Xp

，一,,_,,_y。yo_Vo_'—薪_1

從而ksr—k?f^BT-；?——27——2r—7

g+ax0-a局―/就一02

所以直線BT的斜率為k=--因?yàn)辄c(diǎn)M是線段AT與以BS為直徑的圓的交點(diǎn)，所以

BTak

,2

S7W,從而kBTkMS=---^—kMS=—l,故直線MS的斜率為kMS—ak

ak

而O、M、S三點(diǎn)共線等價(jià)于kos=kMS,即ak—2k,所以a故存在a使得。、M、S三點(diǎn)

共線.???

強(qiáng)化訓(xùn)練

〔跟暗訓(xùn)練11?J（★★★★）

已知橢圓名+4=1的右焦點(diǎn)為F，設(shè)直線。=5與2軸的交點(diǎn)為E,過點(diǎn)F的直線h與橢圓交于4B

54

兩點(diǎn)，，■為線段EF的中點(diǎn).

（1）若直線。的傾斜角為45°,求△ABM的面積S；

（2）過點(diǎn)B作BN±/于點(diǎn)N,證明：4N三點(diǎn)共線.

【解析】（1）由題意，七（5,0）,F（l,0）,7W（3,0）,設(shè)4（的,%）,四外,統(tǒng)）,

若直線h的傾斜角為45°,則其方程為沙=/-1,

y—x—1

2消去力整理得：9婿+8g-16=0,判別式△=82-4x9x（-16）=640

{x

故S4ABM=y,\FM\'I%—仍|=0一緲1=，彳=8^^.

（2）證法1：當(dāng)g軸時(shí)，易得4M、N三點(diǎn)都在力軸上，故4M、N三點(diǎn)共線,

當(dāng)不與g軸垂直時(shí)，設(shè)其方程為力=mg+1,

x=my+1

聯(lián)立y2_消去必整理得：（4加+5）d+8小沙一16=0,易得判別式△>（）,

IT+T=1

了達(dá)定理，"例=——，幼幼=小

MA—（X—3,幼）,因?yàn)镹（5，U2）,所以麗H=（2,必）,

要證4M、N三點(diǎn)共線，只需證宓與麗共線,即證（g—3）?/2=2%，即（的一3）%—2%=0,也即

（myx+1-3）統(tǒng)一2m=0,故只需證?n陰統(tǒng)一2（%+w）=0

而.「2（%+如=山（-已）-2（七）=。,所以三點(diǎn)共線.

證法2：當(dāng)軸時(shí)，易得A、M、N三點(diǎn)都在c軸上，故A、M、N三點(diǎn)共線，

當(dāng)人不與沙軸垂直時(shí)，設(shè)其方程為t=小沙+1,

x—my+1

聯(lián)立/“一消去c整理得：（4加+5）靖+8館“-16=0,易得判別式△>（）,

由韋達(dá)定理'"片一—'"曲=一—

由題意，N（5,切），

rrp,,L_陰％_2功一（0—3）奶_2%—（?71%+1—3）例