天津市濱海七所重點(diǎn)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高一下期末調(diào)研試題含解析

天津市濱海七所重點(diǎn)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高一下期末調(diào)研試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．用長為4，寬為2的矩形做側(cè)面圍成一個(gè)圓柱，此圓柱軸截面面積為（）A．8 B． C． D．2．某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)獎(jiǎng)金投入，若該公司年全年投入研發(fā)獎(jiǎng)金萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)獎(jiǎng)金比上一年增長，則該公司全年投入的研發(fā)獎(jiǎng)金開始超過萬元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．年 B．年 C．年 D．年3．如圖是一個(gè)正四棱錐，它的俯視圖是（）A． B．C． D．4．已知集合，，，則（）A． B． C． D．5．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有一點(diǎn)，則（）A． B． C． D．6．我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚十尺,兩鼠對(duì)穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問幾何日相逢？”現(xiàn)用程序框圖描述,如圖所示,則輸出結(jié)果n=()A．2 B．3 C．4 D．57．已知下列各命題：①兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面：②若真線不平行于平面，則直線與平面有公共點(diǎn)：③若兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無數(shù)條直線：④若兩個(gè)二面角的兩個(gè)面分別對(duì)應(yīng)垂直，則這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ).則其中正確的命題共有（）個(gè)A． B． C． D．8．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的（）A．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得的圖像向左平移.B．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得的圖像向左平移.C．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得的圖像向左平移.D．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得的圖像向右平移.9．在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，若，則△ABC是A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形10．已知向量，，若，則與的夾角為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在平行四邊形中，為與的交點(diǎn)，，若，則__________．12．已知向量，，則的最大值為_______.13．某地甲乙丙三所學(xué)校舉行高三聯(lián)考，三所學(xué)校參加聯(lián)考的人數(shù)分別為200、300、400。現(xiàn)為了調(diào)查聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科的成績，采用分層抽樣的方法在這三所學(xué)校中抽取一個(gè)樣本，已知甲學(xué)校中抽取了40名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，那么在丙學(xué)校中抽取的數(shù)學(xué)成績?nèi)藬?shù)為_________。14．如圖，為了測(cè)量樹木的高度，在處測(cè)得樹頂?shù)难鼋菫?，在處測(cè)得樹頂?shù)难鼋菫?，若米，則樹高為______米.15．已知算式，在方框中填入兩個(gè)正整數(shù)，使它們的乘積最大，則這兩個(gè)正整數(shù)之和是___.16．已知，則的最小值為_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．高一某班以小組為單位在周末進(jìn)行了一次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，且每小組有5名同學(xué)，活動(dòng)結(jié)束后，對(duì)所有參加活動(dòng)的同學(xué)進(jìn)行測(cè)評(píng)，其中A，B兩個(gè)小組所得分?jǐn)?shù)如下表：A組8677809488B組9183？7593其中B組一同學(xué)的分?jǐn)?shù)已被污損，看不清楚了，但知道B組學(xué)生的平均分比A組學(xué)生的平均分高出1分.（1）若從B組學(xué)生中隨機(jī)挑選1人，求其得分超過85分的概率；（2）從A組這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名同學(xué)，設(shè)其分?jǐn)?shù)分別為m，n，求的概率.18．已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為零．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）證明：.19．已知函數(shù)f(x)＝sinωx·cosωx＋cos2ωx－(ω＞0)，直線x＝x1，x＝x2是y＝f(x)圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且|x1－x2|的最小值為.（Ⅰ）求f(x)的表達(dá)式；（Ⅱ）將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間.20．如圖，等腰梯形中，，，，取中點(diǎn)，連接，把三角形沿折起，使得點(diǎn)在底面上的射影落在上，設(shè)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.21．在如圖所示的直角梯形中，，求該梯形繞上底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成幾何體的表面積和體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

分別討論當(dāng)圓柱的高為4時(shí)，當(dāng)圓柱的高為2時(shí)，求出圓柱軸截面面積即可得解.【詳解】解：當(dāng)圓柱的高為4時(shí)，設(shè)圓柱的底面半徑為，則，則，則圓柱軸截面面積為，當(dāng)圓柱的高為2時(shí)，設(shè)圓柱的底面半徑為，則，則，則圓柱軸截面面積為，綜上所述，圓柱的軸截面面積為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱軸截面面積的求法，屬基礎(chǔ)題.2、B【解析】試題分析：設(shè)從2015年開始第年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，由已知得，兩邊取常用對(duì)數(shù)得，故從2019年開始，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B.【考點(diǎn)】增長率問題，常用對(duì)數(shù)的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用．在實(shí)際問題中平均增長率問題可以看作等比數(shù)列的應(yīng)用，解題時(shí)要注意把哪個(gè)數(shù)作為數(shù)列的首項(xiàng)，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出通項(xiàng)，列出不等式或方程就可求解．3、D【解析】

根據(jù)正四棱錐的特征直接判定即可.【詳解】正四棱錐俯視圖可以看到四條側(cè)棱與頂點(diǎn),且整體呈正方形.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正四棱錐的俯視圖,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】由題意得，因?yàn)?，所以，所以，故，故選C.5、D【解析】

根據(jù)任意角三角函數(shù)定義可求得；根據(jù)誘導(dǎo)公式可將所求式子化為，代入求得結(jié)果.【詳解】由得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查任意角三角函數(shù)值的求解、利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值問題；關(guān)鍵是能夠通過角的終邊上的點(diǎn)求得角的三角函數(shù)值.6、C【解析】開始，輸入，則，判斷，否，循環(huán)，，則，判斷，否，循環(huán)，則，判斷，否，循環(huán)，則，判斷，是，輸出，結(jié)束.故選擇C.7、B【解析】

①利用平面的基本性質(zhì)判斷.②利用直線與平面的位置關(guān)系判斷.③由面面垂直的性質(zhì)定理判斷.④通過舉反例來判斷.【詳解】①兩兩相交且不共點(diǎn)，形成三個(gè)不共線的點(diǎn)，確定一個(gè)平面，故正確.②若真線不平行于平面，則直線與平面相交或在平面內(nèi)，所以有公共點(diǎn)，故正確.③若兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)，若垂直交線的直線則垂直另一個(gè)平面，垂直另一平面內(nèi)所有直線，若不垂直與交線，也與另一平面內(nèi)垂直交線的直線及其平行線垂直，也有無數(shù)條，故正確.④若兩個(gè)二面角的兩個(gè)面分別對(duì)應(yīng)垂直，則這兩個(gè)二面角關(guān)系不確定，如圖：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角D-AA1-F與二面角D1-DC-A的兩個(gè)半平面就是分別對(duì)應(yīng)垂直的，但是這兩個(gè)二面角既不相等，也不互補(bǔ)．故錯(cuò)誤..故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，還考查了推理論證和理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

利用三角函數(shù)的平移和伸縮變換的規(guī)律求出即可.【詳解】為了得到函數(shù)的圖象，先把函數(shù)圖像的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的倍到函數(shù)y＝3sin2x的圖象，再把所得圖象所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度得到y(tǒng)＝3sin（2x+）的圖象.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，正弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

由正弦定理，記，則，，，又，所以，即，所以.故選：A.10、D【解析】∵，，⊥，∴，解得．∴．∴，又．設(shè)向量與的夾角為，則．又，∴．選D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)向量加法的三角形法則逐步將待求的向量表示為已知向量.【詳解】由向量的加法法則得：所以，所以故填：【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.12、.【解析】

計(jì)算出，利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，并求出的最大值，可得出的最大值.【詳解】，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)，等號(hào)成立，因此，的最大值為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量模的最值的計(jì)算，涉及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及三角恒等變換思想的應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.13、80【解析】

由題意，求得甲乙丙三所學(xué)校抽樣比為，再根據(jù)甲學(xué)校中抽取了40名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，即可求解丙學(xué)校應(yīng)抽取的人數(shù)，得到答案.【詳解】由題意知，甲乙丙三所學(xué)校參加聯(lián)考的人數(shù)分別為200、300、400，所以甲乙丙三所學(xué)校抽樣比為，又由甲學(xué)校中抽取了40名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，所以在丙學(xué)校應(yīng)抽取人.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣概念及其應(yīng)用，其中解答中熟記分層抽樣的概念，以及計(jì)算的方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

先計(jì)算，再計(jì)算【詳解】在處測(cè)得樹頂?shù)难鼋菫?，在處測(cè)得樹頂?shù)难鼋菫閯t在中，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，也可以用正余弦定理解答.15、.【解析】

設(shè)填入的數(shù)從左到右依次為，則，利用基本不等式可求得的最大值及此時(shí)的和.【詳解】設(shè)在方框中填入的兩個(gè)正整數(shù)從左到右依次為，則，于是，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí).故答案為：15【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

運(yùn)用基本不等式求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，所以最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的運(yùn)用求最小值，需要滿足一正二定三相等.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）先設(shè)在B組中看不清的那個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù)為x，分別求得兩組的平均數(shù)，再由平均數(shù)間的關(guān)系求解.（2）先求出從A組這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名同學(xué)所有方法數(shù)，再用列舉的方法得到滿足求的方法數(shù)，再由古典概型求解.【詳解】（1）設(shè)在B組中看不清的那個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù)為x由題意得解得x=88所以在B組5個(gè)分?jǐn)?shù)超過85的有3個(gè)所以得分超過85分的概率是（2）從A組這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名同學(xué)，設(shè)其分?jǐn)?shù)分別為m，n，則所有共有共10個(gè)其中滿足求的有:共6個(gè)故|的概率為

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平均數(shù)和古典概型概率的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18、（Ⅰ）2，4；（Ⅱ）證明見解析，；（Ⅲ）證明見解析.【解析】

（Ⅰ）直接給n賦值求出，的值；（Ⅱ）利用項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)，再利用定義法證明數(shù)列是等比數(shù)列，即得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，再利用等比數(shù)列求和證明不等式.【詳解】（Ⅰ），令，得，，；令，得，即，，．證明：（Ⅱ），①，②②①得：，，，從而當(dāng)時(shí)，，④③④得：，即，，．又由（Ⅰ）知，，，．?dāng)?shù)列是以2為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.于是.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列性質(zhì)的證明和通項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列求和和放縮法證明不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1）f(x)＝sin.（2）【解析】試題分析：（1）先利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，再利用周期公式即可求得正解；（2）根據(jù)圖像變換求出的表達(dá)式，再利用符合函數(shù)法求得遞減區(qū)間.試題解析：(1)f(x)＝sin2ωx＋×－＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin，由題意知，最小正周期T＝2×＝，T＝＝＝，所以ω＝2，∴f(x)＝sin.(2)將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到y(tǒng)＝sin的圖象，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝sin的圖象．所以g(x)＝sin.由，得所以所求的單調(diào)減區(qū)間為20、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接、、、、，可知、均為等邊三角形，可證明出平面，從而得出，再證明出四邊形為平行四邊形，可得出，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，從而可得出，再利用線面垂直的判定定理可證明出平面；（2）過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，證明出平面，可得知二面角的平面角為，計(jì)算出直角三角形三邊邊長，即可求出，即為所求.【詳解】（1）如下圖所示，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接、、、、，在等腰梯形中，，，，為的中點(diǎn)，所以，，又，則，為等邊三角形，同理可知為等邊三角形，為的中點(diǎn)，，，，平面，平面，，由于和是邊長相等的等邊三角形，且為的中點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，.在等腰梯形中，且，則四邊形為平行四邊形，、分別為、的中點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，且，則四邊形為平行四邊形，，，，平面；（2）過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，由于點(diǎn)在平面內(nèi)的射影點(diǎn)在上，則平面平面，由（1）知，，又平面平面，平面，平面，平面，