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文檔簡介
2022-2023學年上學期佛山市普通高中教學質(zhì)量檢測
高一數(shù)學
2023年1月
本試卷共4頁,22小題.滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項:
1、答卷前,考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上,將條形碼橫
貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.
2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆在答題卡上對應題目后面的答案信息點涂黑;
如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應
位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液.不按以
上要求作答無效.
4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后,請將答題卡交回.
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是
符合題目要求的.
1.如圖,直線/的傾斜角為()
2.已知向量a=(4,-2,3),6=(1,5,x),滿足)_L5,則x的值為()
14
A.2B.-2D.T
3.已知圓的一條直徑的端點分別為片(2,5),巴(4,3),則此圓的標準方程是()
A.(x+3)2+(y+4)2=8B.(x-3)2+(y-4)2=8
C.(x+3)2+(y+4)2=2D.(x-3)2+(^-4)2=2
4.己知向量4=(1,0,6),8=(1,2,0),則A在a上的投影向量是()
5.一個袋子中裝有形狀大小完全相同的6個紅球,〃個綠球,現(xiàn)采用不放回的方式從中依次隨機取出2個
球.若取出的2個球都是紅球的概率為1,則〃的值為()
3
A4B.5C.12D.15
6.已知直線4:工+2”-1=0與/2:(3。-1)1一砂一1=0平行,則實數(shù)。的值為()
A.-B.gC.0或二D.;或1
6/6/
22
7.過點M(2,l)作斜率為1的直線,交雙曲線與—£=1(a>0*>0)于4,B兩點,點M為AB的中點,
則該雙曲線的離心率為()
A.理B.也C.—D.72
22
8.在兩條異面直線“,匕上分別取點E和點A,凡使A&_La,且A&_L乩已知=2,AF=3,
EF=5,AA,=V6,則兩條異面直線”,人所成的角為()
兀兀2兀5兀
A.-B.-C.—D.—
6336
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合
題目要求.全部選對的得5分.有選錯的得0分.部分選對的得2分.
9.對于一個古典概型的樣本空間Q和事件A,B,其中〃(。)=18,〃(A)=9,〃(B)=6,〃(Au3)=12
則()
A.事件A與事件B互斥B.=|
C.事件A與事件后相互獨立D.
''6
X2y2
10.已知曲線C方程為^^+±二1,則C可能是()
25-k9+k
A.半徑為J萬的圓
B.焦點在i上橢圓,且長軸長為后二I
C.等軸雙曲線
D.焦點在y上的雙曲線,且焦總)為2、/2)一16
11.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點/到準線的距離為4,直線/過點尸且與拋物線交于A、8兩點,
若加(根,2)是線段AB的中點,則()
A.m=lB.〃=4C.直線/的方程為y=2x-4D.|AB|=5
12.如圖,已知正方體ABCD-A耳GR棱長為2,點M為CG的中點,點P為底面A4G。上的動點,
A.滿足MP//平面的點P的軌跡長度為3
滿足BPLAM的點P的軌跡長度為立
B.
2
C.存在點尸滿足Q4+PM=4
D.以點8為球心,立為半徑的球面與面44C的交線長為平兀
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.從長度為4,6,8,10的4條線段中任取3條,則這三條線段能構成一個三角形的概率為.
,2、2,、|MN|r-
14.已知圓+(y一6)=廣(廠>0),若圓。與y軸交于M,N兩點,且畫。廣43,則r=
15.已知F是雙曲線C:0一三=1(。>0)的右焦點,尸是C的左支上一動點,A(0,2V3),若,APF
周長的最小值為io,則c的漸近線方程為.
16.圓錐曲線具有豐富的光學性質(zhì),從橢圓的一個集點發(fā)出的光線,經(jīng)過橢圓反射后,反射光線過橢圓的另
一個焦點.如圖,膠片電影放映機的聚光燈有一個反射鏡.它的形狀是旋轉(zhuǎn)橢圓.為了使影片門(電影膠片通過
的地方)處獲得最強的光線,燈絲入,與影片門片應位于橢圓的兩個焦點處.已知橢圓C:三+二=1,
43
橢圓的左右焦點分別為K,F2,一束光線從工發(fā)出,射向橢圓位于第一象限上的。點后反射光線經(jīng)過點A,
4
且tanN4尸£=§,則ZFtPF2的角平分線所在直線方程為_________.
四、解答題:本題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17._ABC的三個頂點分別為A(l,2),B(3,0),C(4,5),M是AB的中點.
(1)求邊AB上的中線CM所在直線的方程;
⑵求L3cM的面積.
18.每年的11月9日是我國的全國消防日.119為我國規(guī)定的統(tǒng)一火災報警電話,但119臺不僅僅是一部電
話,也是一套先進的通訊系統(tǒng).它可以同中國國土上任何一個地方互通重大災害情報,還可以通過衛(wèi)星調(diào)集
防災救援力量,向消防最高指揮提供火情信息.佛山某中學為了加強學生的消防安全意識,防范安全風險,
特在11月9日組織消防安全系列活動.甲、乙兩人組隊參加消防安全知識競答活動,每輪競答活動由甲、乙
各答一題.在每輪競答中,甲和乙答對與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.已知甲每輪答對的概率為乙
每輪答對的概率為P,且甲、乙兩人在兩輪競答活動中答對3題的概率為2.
12
⑴求P值:
(2)求甲、乙兩人在三輪競答活動中答對4題的概率.
19.已知橢圓C:m+/=i(a>b>o),四點片(一1,1),鳥(0,6),《[1,一[)中恰有三
點在橢圓C上.
(1)求C的方程;
(2)若斜率存在且不為0的直線/經(jīng)過C的右焦點凡且與C交于A、B兩點,設A關于x軸的對稱點為。,
證明:直線過x軸上的定點.
20.在已知數(shù)列{%}中,q=2,%+|=2an-1.
(I)若數(shù)列{4-/}是等比數(shù)列,求常數(shù)r和數(shù)列{%}的通項公式;
⑵若bn=2(%—1)+(―1)”?〃,求數(shù)列也}的前2/7+1項的和s2n+i.
21.黨的二十大報告提出要加快建設交通強國.在我國960萬平方千米的大地之下?lián)碛谐^35(XX)座,總長
接近赤道長度的隧道(約37000千米).這些隧道樣式多種多樣,它們或傍山而過,上方構筑頂棚形成“明洞”
;或掛于峭壁,每隔一段開出“天窗”形成掛壁公路.但是更多時候它們都隱伏于山體之中,只露出窄窄的
出入口洞門、佛山某學生學過圓的知識后受此啟發(fā),為山體隧道設計了一個圓弧形洞門樣式,如圖所示,
路寬為16米,洞門最高處距路面4米.
(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?,求圓弧AB的方程.
(2)為使雙向行駛的車輛更加安全,該同學進一步優(yōu)化了設計方案,在路中間建立了2米寬的隔墻.某貨車裝
滿貨物后整體呈長方體狀,寬2米,高3.6米,則此貨車能否通過該洞門?并說明理由.
22.已知過原點的動直線4與圓C:/+丁一8》+12=0相交于不同的兩點A,B.
(1)求線段AB的中點M的軌跡「的方程;
(2)若直線4:丁=履上存在點尸,使得以點尸為圓心,2為半徑圓與「有公共點,求上的取值范圍.
2022-2023學年上學期佛山市普通高中教學質(zhì)量檢測
高一數(shù)學
2023年1月
本試卷共4頁,22小題.滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項:
1、答卷前,考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上,
將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.
2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆在答題卡上對應題目后面的答
案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.答案不能答在試
卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指
定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不
準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.
4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后,請將答題卡交回.
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,
只有一項是符合題目要求的.
1.如圖,直線/的傾斜角為()
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)傾斜角的定義分析運算.
IT37r
【詳解】由題意可知:直線/的傾斜角為一的補角,即為一.
44
故選:C.
2.已知向量a=(4,-2,3),6=(1,5,x),滿足“工人,則》的值為()
1414
A.2B.-2C.一D.---
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用空間向量垂直的公式計算即可.
【詳解】"_L〃,a=(4,-2,3),b=(l,5,x)
.,.4xl+(-2)x5+3x=0,
解得x=2
故選:A.
3.已知圓的一條直徑的端點分別為片(2,5),4(4,3),則此圓的標準方程是()
A.(x+3)2+(y+4)2=8B.(%-3)2+(y-4)2=8
C.(x+3)?+(y+4)2=2D.(x-3『+(y-4=2
【答案】D
【解析】
【分析】求出圓心坐標以及圓的半徑,即可得出該圓的標準方程.
【詳解】由題意可知,圓心為線段68的中點,則圓心為C(3,4),
圓半徑為|C用=J(2—3y+(5—4)2=0,
故所求圓的方程為(x—3)2+(y—4/=2.
故選:D.
4.已知向量4=(1,0,6),8=(1,2,0),則6在a上的投影向量是()
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量的概念結(jié)合空間向量的坐標運算求解.
【詳解】由題意可得:=1x1+0x2+73x0=1,a=^12+02+(^)2=2-
a-ba1rI1百'
故0在a上的投影向量為一[蓑=7。=14,°,彳.
故選:C.
5.一個袋子中裝有形狀大小完全相同6個紅球,"個綠球,現(xiàn)采用不放回的方式從中依次
隨機取出2個球.若取出的2個球都是紅球的概率為!,則〃的值為()
3
A.4B,5C.12D.15
【答案】A
【解析】
【分析】利用古典概型概率計算公式列出方程,能求出〃的值.
【詳解】一個袋子中有若干個大小質(zhì)地完全相同的球,其中有6個紅球,〃個綠球,
從袋中不放回地依次隨機取出2個球,取出的2個球都是紅球的概率是,,
3
6x5_1
則(6+”)(5+〃)3,
解得〃=4(負值舍去).
故選:A.
6.已知直線4:x+2ay—l=O與/2:(3a—l)x-@一1=0平行,則實數(shù)。的值為()
1111,、
A.-B.—C.0或/D.孑或1
6/6/
【答案】C
【解析】
【分析】利用兩直線平行可得出關于實數(shù)。的等式與不等式,解之即可.
2〃(3〃-1)=一。1
【詳解】由已知可得〈I),解得。=0或一.
故選:C.
22
7.過點M(2,l)作斜率為1的直線,交雙曲線二—二=1(。>0,。>。)于A,8兩點,點
cTb
M為A8的中點,則該雙曲線的離心率為()
A瓶B.73C.—D.V2
22
【答案】B
【解析】
【分析】設點4(%,凹),3(七,%),代入雙曲線方程后做差,整理,可得關系,再利用
c2="+〃消去h即可求得離心率.
【詳解】設點),8(占,%),
1_2
,兩式做差后整理得萬工?"&=與,
I%,—x2%]+x2b~
-----=1,再+無2=4,y+%=2,
司一工2
Q2
.?.士=二,又02=儲+/,
4b2
1a2
2~c2-a2
得£=也
a
故選:B
8.在兩條異面直線上分別取點4,E和點A,凡使A4,,且A4,,/?.已知4七=2,
A尸=3,EF=5,A4,=46,則兩條異面直線”,〃所成的角為()
7in2兀5兀
A.-B.-C.—D.—
6336
【答案】B
【解析】
【分析】設兩條異面直線”,人所成的角為將等式所=馬+44+4/兩
邊同時平方計算可得答案.
【詳解】如圖,設兩條異面直線。,。所成的角為
AAtla,A4,lb,AE=2,AF=3,EF=5,例=#,
/.EF=EAi+AA+AF,
:端jo?2?2?2.?一????
則EF=(EAi+A,A+AFY=EAl+^A+AF+2%?44+2馬.AF+2AA?AF
.-.52=22+(V6)2+32±2X2X3COS^,
得COSe='或cos0=--(舍去)
22
:.0=-
3
故選:B
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,
有多項符合題目要求.全部選對的得5分.有選錯的得0分.部分選對的得2分.
9.對于一個古典概型的樣本空間。和事件A,8,其中〃(。)=18,〃(A)=9,〃(3)=6,
〃(4°3)=12則()
A.事件A與事件B互斥B.=-
C.事件A與事件豆相互獨立D.P(AB\=-
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)古典概型結(jié)合概率的性質(zhì)以及事件的獨立性分析判斷.
【詳解】由題意可得:"儲)=霜=/「⑻;喘V,則p(力)=1—p(B)=g,
?.?〃(AuB)="(A)+"(B)—〃(砌,
〃(AB)=〃(A)+〃(5)—〃(AUJB)=3W0,即事件A與事件8不互斥,A錯誤;
可得:=〃(C)—〃(A)+〃(AB)=12,
故
「(砌=嚅=/(a8)=嗡嘰.(碉=i("B)="網(wǎng)=1"(啊='
可知B正確,D錯誤;
又(戲)=P(A)P⑻,
???事件A與事件后相互獨立,C正確;
故選:BC.
io.已知曲線c的方程為——+工=1,則c可能是()
25—k9+k
A.半徑為J廳的圓
B.焦點在x上的橢圓,且長軸長為后二I
C.等軸雙曲線
D.焦點在y上的雙曲線,且焦距為2J2&-16
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)曲線的形狀求出參數(shù)的值或取值范圍,再結(jié)合各曲線的幾何性質(zhì)逐項判斷,可
得出合適的選項.
'25-k=9+k
【詳解】對于A選項,若曲線。為圓,則,八,解得后=8,
25-%>0
此時,曲線。的方程為/+9=17,該圓的半徑為J萬,A對;
25-k>9+k
對于B選項,若曲線。表示焦點在X軸上的橢圓,則,八,解得—9<%<8,
9+^>0
此時,橢圓。的長軸長為2后二I,B錯;
對于C選項,若曲線C為等軸雙曲線,則25-左+9+z=0,無解,C錯;
[9+k>0
對于D選項,若曲線C表示焦點在y軸上的雙曲線,貝叫c,八,解得Z>25,
25-女<0
此時,雙曲線C的焦距為2J9+1+9—25=242%—16,D對.
故選:AD.
11.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點/到準線的距離為4,直線/過點廠且與拋物線交
于A、B兩點,若M(根,2)是線段AB的中點,則()
A.m=\B.,=4C.直線/的方程為y=2x-4D.
|AB|=5
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的兒何性質(zhì)可判斷B;利用點差法求解得直線斜率,從而可判斷C;由
點”(根,2)在直線/上可求得膽,可判斷A;利用弦長公式可判斷D.
【詳解】由題知,。=4,故拋物線方程為y2=8x.
設4(3,x),B(x2,y2),易知石H,則
y:=8王由點差法可得y.也-y一,=---?---
yl=8乙玉一々,+%
又〃(根,2)是線段48中點,所以x+%=4,所以直線/的斜率無資=2
因為直線/過焦點/(2,0),所以/的方程為丁一0=2。-2),即y=2x—4
對于A:將M(m,2)代入y=2x—4可得加=3,A錯誤;
對于B:B正確;
對于C:C正確;
對于D:將y=2x-4代入y2=8》得%2一61+4=0,所以斗+工2=6,所以
|AB|=x,+W+〃=6+4=10,故D錯誤.
故選:BC
12.如圖,已知正方體ABC。一A耳GR棱長為2,點M為CG的中點,點尸為底面
上的動點,貝M)
A.滿足MP//平面BOA的點P的軌跡長度為血
B.滿足BP,AM的點尸的軌跡長度為巫
2
C.存在點尸滿足Q4+PM=4
D.以點B為球心,夜為半徑的球面與面AB。的交線長為半兀
【答案】AD
【解析】
【分析】對選項A,利用面面平行的性質(zhì)證明線面平面,進而求出軌跡長度;
對選項B,建立空間直角坐標系,利用向量垂直求出點P軌跡,進而求出軌跡長度;
對選項C,建立空間直角坐標系,利用距離公式求出點尸軌跡滿足的方程,再結(jié)合二次方程
的判別式,進而判斷不存在這樣的點P;
對選項D,利用等體積法求出球心點8到面做C的距離,進而求出交線長度;
AZ
分別取G2,與G的中點為瓦F,連接EF,MF,ME.
可得:MFH'D,ME//A.B.
又有:MFME=M.
可得:平面/平面
故滿足MPII平面BD4)的點P的軌跡長度為|£/|=72,故答案A正確;
建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz
可得:D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),°(0,0,2),A(2,0,2),(2,2,2),
G(0,2,2),A/(0,2,1).
設尸(x,y,2),可得:A力=(—2,2,1),B^=(x—2,y—2,2),力=(x—2,y,2),
MP=(x,y-2,iy
—>—>
由8P_LAM,可得:AM-8P=2(y—x+l)=0?
分別取AA,A片的中點為G,H,點p滿足2(y-x+l)=0方程,說明點尸在平面
A4G2內(nèi)的軌跡為一條線段G”,則滿足6尸,A〃的點P的軌跡長度為|G〃|=J5,
故答案B錯誤.
要使E4+PM=4,只需:PM+PA=4.
可得:^x-2)2+y2+4+^x2+(y-2)2+l=4(0<%<2,0<y<2).
化簡可得:48x2+32Ay-104x+48y2-152^+151=0(0<%<2,0<y<2).
則:△=—256(32y2—88y+71)<0,即當0<y<2時,△<().顯然該方程無解,
故不存在這樣的點P,故答案C錯誤.
V4B|C為正三角形,設點B到平面ABC的距離為“,點⑸平面ABC的距離為2.
由等體積法,可得:%一AfftC=V%一ABC?
可得:-X—x(2\/2)2x—d=-x—x23,4即d=
321,2323
故以點B為球心,、歷為半徑的球面與面A4c的交線長為:2xJ(&y_427t=半兀
故答案D正確.
故選:AD
【點睛】(1)與球有關的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時要認真分析圖形,
明確切點和接點的位置,確定有關元素間的數(shù)量關系,并作出合適的截面圖;
(2)用向量方法解決立體幾何問題,樹立“基底”意識,利用基向量進行線性運算,要理解空
間向量概念、性質(zhì)、運算,注意和平面向量類比;
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.從長度為4,6,8,10的4條線段中任取3條,則這三條線段能構成一個三角形的概率
為.
3
【答案】一##0.75
4
【解析】
【分析】利用古典模型概率即可求解.
【詳解】由題可得,取出的三條線段長度的可能性有:
(4,6,8),(4,6,10),(4,8,10),(6,8,10),其
中能構成三角形的有(4,6,8),(4,8/0),(6,8,10),
3
這三條線段能構成一個三角形的概率為二,
4
3
故答案為:-
4
14.已知圓C:(x—以+仆―域=/上>0),若圓c與y軸交于兩點,且黑^=6,
則廠=
【答案】2
【解析】
【分析】首先通過圖=6的關系,得|網(wǎng)=6r,然后根據(jù)圓的垂徑定理構造關于「
的方程,解方程即可求出半徑
【詳解】由題意知C:(x—Ip+Q—與2=/&>0)的圓心。([⑼,半徑為廣,
圓心到y(tǒng)軸的距離為1,
|W|
因為圓C與y軸交于M,N兩點,且5
|MC|=r(r>0),所以卜Gr,
由垂徑定理得,產(chǎn)=『+
3
即產(chǎn);干+一,,解得廠=2.
4
故答案為:2.
22
15.已知產(chǎn)是雙曲線C:?一匕=1何>0)的右焦點,P是。的左支上一動點,
礦3
A(0,26),若AP尸周長的最小值為10,則C的漸近線方程為.
【答案】y=±y/3x
【解析】
【分析】設出廠'(一。,0),運用雙曲線的定義可得歸百一|尸產(chǎn)'|=2a,則_A/>尸的周長為
\PA\+\PF\+\AF\^\PA\+\PF'\+2a+^\2+c2>運用三點共線取得最小值,可得
〃力,。的關系,進而可得漸近線方程.
【詳解】由題意可得A(0,26),尸(c,0),設F(-c,0),
由雙曲線的定義可得|"|一歸尸[=2a,
\PF\^2a+\PF'\,
則.APR的周長為
\PA\+\PF\+\AF\=\PA\+\PF'\+2a+V12+c2>|AF'\+2a+yj\2+c2,
當且僅當AP,9共線時,取得最小值,且為2a+2J12+C?,
由題意可得2。+2712+?=10-即2a+2J12+/+3=10
解得4=1,
則漸近線方程為y=±-x=土也x
a
故答案為:y—±V3x.
16.圓錐曲線具有豐富的光學性質(zhì),從橢圓的一個集點發(fā)出的光線,經(jīng)過橢圓反射后,反射
光線過橢圓的另一個焦點.如圖,膠片電影放映機的聚光燈有一個反射鏡.它的形狀是旋轉(zhuǎn)橢
圓.為了使影片門(電影膠片通過的地方)處獲得最強的光線,燈絲吊,與影片門可應位于橢
22
圓的兩個焦點處.已知橢圓C:二+上=1,橢圓的左右焦點分別為耳,工,一束光線從尸2
43
4
發(fā)出,射向橢圓位于第一象限上的P點后反射光線經(jīng)過點耳,且tan/片桃=§,則/大尸K
【解析】
【分析】先利用同角三角函數(shù)基本關系求出cosN^PE,再在../我/居中利用余弦定理及
橢圓的定義求出夕耳,夕工,進而得到耳心「為直角三角形,利用,.耳心P中角的關系可求
出tan/PQK,再通過%=1求出2點坐標,則直線方程可求.
【詳解】如圖,設的角平分線與x軸交于點。,
SinZFPF22
tanZFtPF2='^=-,sinZf;PF,+cos/耳PF,=l,Nf;P尸e(0,兀),
cosZF]PF23
3
:.cosN/=;P工=j
設P片=加,Pg=〃,
,lclm2+n2-223m=-
,cosZF,PF、=---------------=一,,2
則,~2mn5,解得,
m+n-4n--
1I2
25
:.PF;=—=PF^+F2F^,即,/8P為直角三角形
,ZEPR3ZFP/S2,ZF.PF,1
?2
又cosZFlPF2=2COS-^-^--1=-,cos-=sin—\^-=—==
(四一鳥]=
COSZPQF2=cosNQPsinNQP6=;,cosZPQF2G(0,7i)
<2)y/5
2,/s—CLsinZ.PQF-,,
sinNPQF,=,tanZPQF2=-----?=2
上25cosZPQF2
當x=l時,;+g=l,得>=±5,;.
3
’2:y—萬=2(無一1),BP4x-2y-l=0
故答案為:4x-2y-l=0
四、解答題:本題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算
步驟.
17.一ABC的三個頂點分別為A(l,2),3(3,0),C(4,5),M是AB的中點.
(1)求邊AB上的中線CM所在直線的方程;
⑵求二3cM的面積.
【答案】(l)2x_y_3=0
(2)3
【解析】
【分析】(1)根據(jù)中點坐標公式結(jié)合直線的兩點式方程運算求解;
(2)根據(jù)點到直線距離公式和兩點距離公式運算求解.
【小問1詳解】
由題意可知:A8的中點M為(2,1),
則邊A8上的中線CM所在直線的方程為二=二二2,即2x-y-3=0.
5-14-2
【小問2詳解】
由⑴可得:1cMi='(4-2)2+(5-1)2=2行,且點B(3,0)到直線CM的距離
|6-0-3|3^5
-丁
故.BCA7的面積S=g|CA7|xd=;x2有*¥=3.
18.每年的11月9日是我國的全國消防日.119為我國規(guī)定的統(tǒng)一火災報警電話,但119臺不
僅僅是一部電話,也是一套先進的通訊系統(tǒng).它可以同中國國土上任何一個地方互通重大災
害情報,還可以通過衛(wèi)星調(diào)集防災救援力量,向消防最高指揮提供火情信息.佛山某中學為
了加強學生的消防安全意識,防范安全風險,特在11月9日組織消防安全系列活動.甲、乙
兩人組隊參加消防安全知識競答活動,每輪競答活動由甲、乙各答一題.在每輪競答中,甲
和乙答對與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.已知甲每輪答對的概率為:,乙每輪答對的
概率為。,且甲、乙兩人在兩輪競答活動中答對3題的概率為
12
(1)求P的值;
(2)求甲、乙兩人在三輪競答活動中答對4題的概率.
【答案】⑴巳3
4
31
⑵一
96
【解析】
【分析】(1)利用相互獨立事件概率的乘法公式列方程求解;
(2)分甲有兩題沒有答對,乙有兩題沒有答對,甲乙各有一題沒有答對三種情況,利用相互
獨立事件的概率以及獨立重復事件的概率的乘法公式求出概率.
【小問1詳解】
設事件A="甲第一輪猜對",事件8="乙第一輪猜對“,事件C="甲第二輪猜對“,事件
。="乙第二輪猜對,
,甲、乙兩人在兩輪競答活動中答對3題的概率為
P(ABCD+ABCD+ABCD+ABCD)
=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(QP(D)+P(A)P(B)P(C)P(方)
「1222-]5
=2—xpx—xn+—x(l-p)x—xn=——
_333'73J12
解得〃=一3或p=5=(舍去)
44
【小問2詳解】
三輪競答活動中甲乙一共答6題,甲、乙兩人在三輪競答活動中答對4題,即總共有2題沒
有答對,
可能甲有兩題沒有答對,可能乙有兩題沒有答對,可能甲乙各有一題沒有答對.
甲、乙兩人在三輪競答活動中答對4題的概率
2
、3xC;x2x(\131
P21|+C;X2TX-xC?x’3丫X—=——
5+]97-3133,3-496
22.
19.已知橢圓C:0+今=1(。>0>0),四點片(一1,1),£(0,6),片
1’22丁
B中恰有三點在橢圓c上.
⑴求C的方程;
(2)若斜率存在且不為0的直線/經(jīng)過C的右焦點凡且與C交于A、B兩點,設4關于x軸
的對稱點為。,證明:直線8。過x軸上的定點.
22
【答案】(1)土+二=1
43
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】(1)根據(jù)對稱性得到橢圓上的點,再將點代入橢圓方程求解即可.
(2)設直線/:x="+l,徐0,4(不乂),3(々,%),則。a,f),將直線方程和橢圓方
程聯(lián)立,利用韋達定理計算直線80與x軸的焦點坐標即可.
【小問1詳解】
根據(jù)橢圓對稱性,點A4(1,一|)必在橢圓上,
則片(-1,1)不在橢圓上,以0,網(wǎng)在橢圓上,
L2=Ia=2
?>a24b2-,解得<
h=V3
b=g
2
所以。的方程為f二+±v=1
43
小問2詳解】
由(1)得右焦點廠(1,0),
設直線/:x=<y+l,rwO,A(X),^),5(x,,y2),貝|」。(士,-%)
',2
土+匕=]
聯(lián)立J43一,消去]得(3/+4)丁+6)-9=0,
x=ty+i
6t9
則rlI…=一仃川=一仃
又直線8。:y="^口一%)+%,
%一百
令y=0得x=+x,=一)'2(:一-)+(),2+X)£=)科+)代
%+乂2%+x%+x
“―一一)
又%。+XW=.V2(》+1)+X(T2+1)=25%+]=I3f2+4)+]=4
%+M%+X%+,6t
3『+4
即y=0日寸,x=4,
直線B。過x軸上的定點(4,0).
20.在已知數(shù)列{4}中,卬=2,an+l=2an-1.
(1)若數(shù)列{凡-/}是等比數(shù)列,求常數(shù)1和數(shù)列{q}的通項公式;
n
⑵若bn=2(a?-l)+(-l).n,求數(shù)列{2}的前2/1+1項的和S2n+1.
【答案】(1”=1,a,,=2,,-1+1
⑵S2N=22"2-〃一3
【解析】
【分析】⑴由4+1=2%-1,化簡得到%—1=2(4-1),得出{。“一1}時首項為1,公比
為2的等比數(shù)列,求得f=1,進而求得數(shù)列的通項公式;
⑵由⑴得到a=2"+(-1)"-〃,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式和并項求和法,即可求解.
【小問1詳解】
由題意,數(shù)列{4}滿足=24-1,所以。e一1=2(4-1),
又由4=2,可得4—1=1,
所以數(shù)列{4—1}時首項為1,公比為4=2的等比數(shù)列,
又因為數(shù)列{?!耙?}是等比數(shù)列,所以,=1,
可得?!耙?=1.2"T=2"T,
所以數(shù)列{a“}的通項公式為a“=2"T+1.
【小問2詳解】
由⑴知:a“=2"T+l,可得d=2(4-1)+(-1)"-〃=2"+(-1)"〃
所以數(shù)列{勿}的前2〃項的和為:
2
S2n=(2+2++2?")—1+2-3+4+一(2〃-1)+2〃
24—22”)
-----^+(-1+2)+(-3+4)++[-(2n-l)+2n]
1—2
2-(1-22")一o“.
1-2
2n+12n+2n+2
所以52,川=S2n+瓦用=2+7?-2+2'-(2n+l)=2-n-3.
21.黨的二十大報告提出要加快建設交通強國.在我國960萬平方千米的大地之下?lián)碛谐^
35(X)O座,總長接近赤道長度的隧道(約37(XX)千米).這些隧道樣式多種多樣,它們或傍山
而過,上方構筑頂棚形成“明洞”
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