2024年高考數(shù)學(xué)小題訓(xùn)練：導(dǎo)數(shù)（原卷）

小題核心考點精練06導(dǎo)數(shù)沖刺2024年高考(原卷)

題型大全

目錄

【題型一】切線與公切線問題

【題型二】函數(shù)單調(diào)性討論

【題型三】函數(shù)極值和最值問題

【題型四】函數(shù)不等式問題

【題型五】恒成立與能成立問題

【題型六】函數(shù)的零點與方程的根問題

【題型七】雙變量和極值點偏移問題

知識溫習(xí)

1.指數(shù)均值不等式與對數(shù)均值不等式

(1)指數(shù)均值不等式：對于實數(shù)a,b,定義為a,b的指數(shù)平均數(shù)，則

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立)

/[\

//?

飛ax

(2)對數(shù)均值不等式：對于a,b兩個正數(shù)的對數(shù)平均線，則有

4ab<a~h<^-（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立）

Ina-In/72

7.微分中值定理

定理1：(羅爾定理)如果函如(X)滿足以下條件

(1)在閉區(qū)間[a,可上連續(xù)，⑵在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，⑶f(a)=f(b),

則在(a,b)內(nèi)至少存在一個點&使得

/W=o

定理2：(拉格朗日中值定理)如果f(x)滿足以下條件

(1)在閉區(qū)間［a,連續(xù)，(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，

則在(a,6)內(nèi)至少存在一個點。使得

b-a

推論：如果在(a,b)內(nèi)恒有/'(x)=0,則在(a,b)內(nèi)/(x)為常數(shù).

拉格朗日中值定理圖示

定理3：(柯西中值定理)如果/'(x)、g(x)滿足以下條件

(1)在閉區(qū)間［a,“連續(xù)，⑵在開區(qū)間(a,6)內(nèi)可導(dǎo)，且g(x)bO,

則在(a,b)內(nèi)至少存在一點。使得

/⑸-/⑷/患)

g(b)—g(a)g'C)

【注意】(1)以上3個中值定理，特別時拉格朗日中值定理建立了函數(shù)在區(qū)間上的變化(改

變量)與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)一點處導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，從而使我們能夠利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)在區(qū)間上

的整體性態(tài).

(2)羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊形式，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的拓展

形式.

8.泰勒公式

泰勒(Taylor)公式的主要作用是用多項式逼近函數(shù)和近似計算，對應(yīng)的分別時帶有皮亞

諾余項的泰勒公式和帶有拉格朗日余項的泰勒公式。

帶有皮亞諾余項的泰勒公式

若函數(shù)/(x)在點與處存在直至n階導(dǎo)數(shù)，則有

xX+xxx+_x2n

/()=/(0)f'(o^~o)o)+,?,+~~~—+O((x-x0))

2!n\

用得比較多的是在x°=0時的特殊形式:

/(x)=/(O)+f\x}x+中/+…+f^O)x?+o(x〃)

2!n\

它稱為帶有皮亞諾余項的麥克勞林公式.

常用的泰勒公式(帶有皮亞諾余項)

2n

(1)ex=1+XH----1---1---Fo(x〃)，

2!n\

婷v5

⑵sinx=x-+W+…+(—1嚴7^^+°(/),

3!5!(2〃-1)!

Jv4i

(3)COSX=1—土+二+…+(―1)〃+。(％2〃+1),

2!4!(2/7)!

工32

(4)tanx=x+x5+—Fo(x"'),

丫2v3x〃

(5)ln(l+x)=x--1----1---F(―1)H1---1-o(xn),

23n

\a-ia(a+l)2a(a—1)…(a—“+1),、

(6)(1+x)=l+ca:+------%+--?+-----------------xn+o(xn),

2!n\

1

(7)----=1+x+x29+—\-xn+o(x"),

1-x

由泰勒公式，我們得到下列常用的不等式：

xx2x

e>l+x9e>l+x+—x(x>0)9e>ex,ln(l+x)<x,lnx<x-l,vl+x<l+—,

323

Xxx

sinx<x<tanx[x>0),sinx>x--(x>0),cosx>l--,tanx>x+—(x>0).

*高中常用的泰勒公式(麥克勞林公式)如下：

-v3產(chǎn)

⑴=l+x+—+—+o(x3),(2).sinx=x--+o(x3)

2423

(3).cosx=1-+o(x4),(4).ln(l+x)=x-+o(x3),

(5).(1+x)。-—―X2+o(12>⑹.——=1+x+x2+x3+o(x3).

2!1-x

8.切線放縮

1.指數(shù)放縮

(1)放縮成一次函數(shù)：ex>x+\,ex>ex,ex>x,

(2)放縮成類反比例函數(shù)：ex<—(x<Q),ex<--(x<0),

1-xX

(3)放縮成二次函數(shù)：>l+x+1x2(x>0),

2.對數(shù)放縮

⑴放縮成一次函數(shù)：Inx<x-l,ln(l+x)<x,Inx<x;

(2)放縮成二次函數(shù)：ln(l+x)<x-1x2(-l<x<0),

Inx<x2-x,ln(l+x)>x--x2(x>0);

⑶放縮成類反比例函數(shù)：Inx>l--,lnx>@二O(x>1),

Xx+1

Inx<—―(0<x<1),ln(l+x)>%,

x+11+x

2x2x

ln(l+x)>-----(x>0),ln(l+x)<------(-1<x<0),

1+x1+x

(4)放縮成對勾函數(shù)：Inx<—(x--)(x>l),lnx>—(x--)(0<x<l),

2x2x

Inx<y[x—-r=(x>l),lnx>Vx<X<1),

3.三角函數(shù)放縮

1211

sinx<x<tanx(x>0)sinx>x~~x1一—x2<cosx<1——sin2x

,22

4.指對放縮

-Inx>(x+1)-(x-1)=2

x>0,x>sinx

x<0,x<sinx

各個擊破

【題型一】切線與公切線問題

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)=的圖象上存在不同的兩點4,5,使

得曲線歹=/（%）在點48處的切線都與直線x+2y=0垂直，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-00,1-72）B.（l-V2,0）C.[-OO,1+42）D.（0,1+0）

r2

2.（2024?云南曲靖?一模）已知Q〉0,若點尸為曲線G0二5+辦-機與曲線G：歹=2/欣

的交點，且兩條曲線在點尸處的切線重合，則實數(shù)加的取值范圍是（）

C.一叫/JD.（-（?,2e]

3.（2023?四川涼山?一模）函數(shù)/（冷=92+。山》在區(qū)間（1,2）的圖象上存在兩條相互垂直的

切線，則。的取值范圍為（）

A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(-2,0)D.(-3,-2)

【題型二】函數(shù)單調(diào)性討論

4.（2023?山西?模擬預(yù)測）已知實數(shù)滿足lna=g,Z?=31og72,6°=7，則（）

A.c>a>bB.b>a>c

C.a>c>bD.a>b>c

5.（2024?四川德陽?二模）已知°=41113”,6=3兀,。=4111兀3,則a也c的大小關(guān)系是（）

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c

6.（2023?陜西西安三模）若函數(shù)/（x）=，-依+lnx在區(qū)間（l,e）上單調(diào)遞增，則。的取值

范圍是（）

A.[3,+oo)B.(-8,3]C.[3,e2+l]D.

7.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)了=/（無）是定義域為R的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時,

〃“=》+三+1.若函數(shù)V=/（x）在口,+8）上的最小值為3,則實數(shù)a的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【題型三】函數(shù)極值和最值問題

8.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=ae2x+6e*+2x有2個極值點，則（）

A.0<a<—B.b>0C.a<4bD.b>2a

16

9.（2024?四川綿陽?三模）若函數(shù)/（無）=："2一尤+41M"0）有唯一極值點，則下列關(guān)系

式一定成立的是（）

A.a>0,b<0B.a<0,b>0C.ab<-D.ab>0

4

10.（2023?陜西西安?模擬預(yù)測）若函數(shù)/（x）=2sinox?>0）的圖象在區(qū)間上只有

一個極值點，則口的取值范圍是（）

3333

A.—<。<3B.一C.—D.co>—

2222

1L（2023廣西?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=（尤-2）e，-#+2a尤-20,若有兩個不同

的極值點和馬（再<馬），且當(dāng)0<x<x?時恒有/（無）<-2"，則。的取值范圍是（）

C.[e,e2]D.（0,e）

【題型四】函數(shù)不等式問題

13

12.（2024?全國?模擬預(yù)測）^a=ln4,ft=tan—+tanl,c=—,貝［j（）

22

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

13.（2023?河南開封?模擬預(yù)測）已知。=g,c=ln4

Z,=e'r—,則（）

3

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

2-2

14.（2024?遼寧?一模）設(shè)〃=—,b=2-e3,c;=1-e"i」（）

3

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

171.1

15.（2023?全國?模擬預(yù)測）設(shè)。=忑，b=c（DS—,c=o3sm—,則下列正確的是（）

1833

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【題型五】恒成立與能成立問題

16.(2024?陜西?二模)Vxe[l,2],有l(wèi)nx+f-1N0恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為()

X

A.[e,+oo)B.[1,+?)C.■|,+001D.[2e,+oo)

17.(2324高三下?山東荷澤?階段練習(xí))若對于任意正數(shù)x，7,不等式x(l+lnx”xlny-即恒

成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

111「11」11

—C.—,+℃D.—,+?

e-ejbe"))

18.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=e*+(e+l)x-a(aeR),g(x)=x?+2x.若存在

xe[0,l],使得/(x)=g(x)成立,則實數(shù)°的最大值是()

A.2e-2B.e-2C.e+1D.2e+l

19.(2023?四川成都?模擬預(yù)測)若關(guān)于x的不等式(e-l)(lna+x)2W-l在xe[0,l]內(nèi)有解,

則實數(shù)。的取值范圍是()

A[B.卜1

D.2e，e

【題型六】函數(shù)的零點與方程的根問題

20.(2024?全國?模擬預(yù)測)若函數(shù)/(x)=e*-尤+。-2有兩個零點，則實數(shù)。的取值范圍是

()

A.(-oo,l]B.(-oo,0]C.(一。,0)D.(-oo,l)

21.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=2'-京-b恰有一個零點七,且6〉左〉0,則不

的取值范圍為()

(1—ln21(ln2)<l-ln21(ln2

ln2)(l-ln2j(ln2)11-ln2)

22.(2024?全國?模擬預(yù)測)若函數(shù)/(x)=%e、-x-Inx+a-2有兩個零點，則實數(shù)。的取值范

圍是()

A.(—0,1]