福建省莆田一中等三校中學(xué)新高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

福建省莆田一中等三校中學(xué)新高考數(shù)學(xué)一模試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，分別為所對的邊，若函數(shù)有極值點，則的范圍是（）A． B．C． D．2．某三棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．已知菱形的邊長為2，，則（）A．4 B．6 C． D．4．直三棱柱中，，，則直線與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．5．若（），，則（）A．0或2 B．0 C．1或2 D．16．陀螺是中國民間最早的娛樂工具，也稱陀羅.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某個陀螺的三視圖，則該陀螺的表面積為（）A． B．C． D．7．已知隨機變量滿足，，.若，則（）A．， B．，C．， D．，8．已知為虛數(shù)單位，實數(shù)滿足，則()A．1 B． C． D．9．某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體中最長的棱長為（）．A． B． C．1 D．10．已知圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．已知a，b∈R，，則（）A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a12．函數(shù)的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)實數(shù)，若函數(shù)的最大值為，則實數(shù)的最大值為______.14．在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過點（3,4），則該雙曲線的準(zhǔn)線方程為_____．15．已知x，y滿足約束條件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0，則16．直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是________________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是遞增的等比數(shù)列，，且、、成等差數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，，求數(shù)列的前項和.18．（12分）已知四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，丄底面.（1）證明：平面平面；（2）過的平面交于點，若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值.19．（12分）已知橢圓，上頂點為，離心率為，直線交軸于點，交橢圓于，兩點，直線，分別交軸于點，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求證：為定值．20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)分別交于兩點（與原點不重合），求的最小值.21．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是.（1）寫出的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點、的極坐標(biāo)分別為和，直線與曲線相交于，兩點，射線與曲線相交于點，射線與曲線相交于點，求的值.22．（10分）已知點為圓：上的動點，為坐標(biāo)原點，過作直線的垂線（當(dāng)、重合時，直線約定為軸），垂足為，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求點的軌跡的極坐標(biāo)方程；（2）直線的極坐標(biāo)方程為，連接并延長交于，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析：由已知可得有兩個不等實根.考點：1、余弦定理；2、函數(shù)的極值.【方法點晴】本題考查余弦定理，函數(shù)的極值，涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題轉(zhuǎn)化為有兩個不等實根，從而可得.2、C【解析】

作出三棱錐的實物圖，然后補成直四棱錐，且底面為矩形，可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球為同一個球，然后計算出矩形的外接圓直徑，利用公式可計算出外接球的直徑，再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實物圖如下圖所示：將其補成直四棱錐，底面，可知四邊形為矩形，且，.矩形的外接圓直徑，且.所以，三棱錐外接球的直徑為，因此，該三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積，解題時要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實物圖，并分析三棱錐的結(jié)構(gòu)，選擇合適的模型進行計算，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.3、B【解析】

根據(jù)菱形中的邊角關(guān)系，利用余弦定理和數(shù)量積公式，即可求出結(jié)果．【詳解】如圖所示，菱形形的邊長為2，，∴，∴，∴，且，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.．4、A【解析】

設(shè)，延長至，使得，連，可證，得到（或補角）為所求的角，分別求出，解即可.【詳解】設(shè)，延長至，使得，連，在直三棱柱中，，，四邊形為平行四邊形，，（或補角）為直線與所成的角，在中，，在中，，在中，，在中，，在中，.

故選：A.【點睛】本題考查異面直線所成的角，要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可，屬于中檔題.5、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的模的運算列方程，解方程求得的值.【詳解】由于（），，所以，解得或.故選：A【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)模的運算，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可，【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖：上部是底面半徑為1，高為3的圓柱，下部是底面半徑為2，高為2的圓錐,幾何體的表面積為：，故選：C【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】

根據(jù)二項分布的性質(zhì)可得：，再根據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為隨機變量滿足，，.所以服從二項分布，由二項分布的性質(zhì)可得：，因為，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：，在上單調(diào)遞減，所以.故選：B【點睛】本題主要考查二項分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.8、D【解析】，則故選D.9、B【解析】

首先由三視圖還原幾何體，進一步求出幾何體的棱長．【詳解】解：根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示，所以，該四棱錐體的最長的棱長為．故選：B．【點睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體，考查運算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

將圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，求得圓心為.根據(jù)圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱，則圓心在漸近線上，.再根據(jù)求解.【詳解】已知圓，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心為.因為雙曲線，所以其漸近線方程為，又因為圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱，則圓心在漸近線上，所以.所以.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程及對稱性，還有雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.11、C【解析】

兩復(fù)數(shù)相等，實部與虛部對應(yīng)相等.【詳解】由，得，即a，b＝1．∴b＝9a．故選：C．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性，可排除D；求得及，由導(dǎo)函數(shù)符號可判斷在上單調(diào)遞增，即可排除AC選項.【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù)，故排除D.又，易知當(dāng)時，；又當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，所以，綜上，時，，即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，故排除A，C.故選：B【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)，則當(dāng)時，，即.當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，由，轉(zhuǎn)化為，令，用導(dǎo)數(shù)法求其最大值即可.【詳解】因為，又當(dāng)時，，即.當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，由等價于，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，，則，又，得，因此的最大值為.故答案為：【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.14、【解析】

代入求解得,再求準(zhǔn)線方程即可.【詳解】解：雙曲線經(jīng)過點,,解得,即．又,故該雙曲線的準(zhǔn)線方程為：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了雙曲線的準(zhǔn)線方程求解,屬于基礎(chǔ)題.15、3【解析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再由y=2x-z表示直線在y軸上的截距最大即可得解.【詳解】x，y滿足約束條件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0，畫出可行域如圖所示.目標(biāo)函數(shù)z=2x-y，即平移直線y=2x-z，截距最大時即為所求.2y+1=0x-y-1=0點A（12，z在點A處有最小值：z＝2×1故答案為：32【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決此類問題的基本方法．16、【解析】因為sinα∈[－1，1]，所以－sinα∈[－1，1]，所以已知直線的斜率范圍為[－1，1]，由傾斜角與斜率關(guān)系得傾斜角范圍是．答案：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出的值，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可得出數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求得，然后利用裂項相消法可求得.【詳解】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為，由題意及，知.、、成等差數(shù)列成等差數(shù)列，，，即，解得或（舍去），.數(shù)列的通項公式為；（Ⅱ），.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項的求解，同時也考查了裂項求和法，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）見證明；（2）【解析】

（1）先證明等腰梯形中，然后證明，即可得到丄平面，從而可證明平面丄平面；（2）由，可得到，列出式子可求出，然后建立如圖的空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量為，平面的法向量為，由可得到答案．【詳解】（1）證明：在等腰梯形，，易得在中，，則有，故，又平面，平面，，即平面，故平面丄平面.（2）在梯形中，設(shè)，，，，而,即，.以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖的空間坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，由得，取，得，，同理可求得平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了兩平面垂直的判定，考查了利用空間向量的方法求二面角，考查了棱錐的體積的計算，考查了空間想象能力及計算能力，屬于中檔題．19、（Ⅰ）；（Ⅱ），證明見解析．【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意列出關(guān)于，，的方程組，解出，，的值，即可得到橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點，，點，，易求直線的方程為：，令得，，同理可得，所以，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入上式，化簡即可得到．【詳解】（Ⅰ）解：由題意可知：，解得，橢圓的方程為：；（Ⅱ）證：設(shè)點，，點，，聯(lián)立方程，消去得：，，①，點，，，直線的方程為：，令得，，，，同理可得，，，把①式代入上式得：，為定值．【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、定值問題的求解；關(guān)鍵是能夠通過直線與橢圓聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，利用韋達(dá)定理化簡三角形面積得到定值；考查計算能力與推理能力，屬于中檔題．20、（Ⅰ）直線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）2.【解析】

（Ⅰ）由定義可直接寫出直線的極坐標(biāo)方程，對曲線同乘可得：，轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為；（Ⅱ）分別聯(lián)立兩直線和曲線的方程，由得，由得，則，結(jié)合三角函數(shù)即可求解；【詳解】（Ⅰ）直線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為由曲線的極坐標(biāo)方程得，所以的直角坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得所以.與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得所以.所以.所以當(dāng)時，取最小值2.【點睛】本題考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，極坐標(biāo)中的幾何意義，屬于中檔題21、（1）線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）.【解析】試題分析：（1）（1）利用cos2θ+sin2θ=1，即可曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程，進而利用即可化為極坐標(biāo)方程，同理可得曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）由過的圓心，得得，設(shè)，，代入中即可得解.試題解析：（1）曲線的普通方程為，化成極