2.6 利用三角函數(shù)測(cè)高 同步練習(xí)

第二章直角三角形的邊角關(guān)系6利用三角函數(shù)測(cè)高基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)利用三角函數(shù)測(cè)高1.(2020江蘇蘇州中考)如圖，小明想要測(cè)量學(xué)校操場(chǎng)上旗桿AB的高度，他進(jìn)行了如下操作：(1)在點(diǎn)C處放置測(cè)角儀，測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋恰螦CE=α；(2)量得測(cè)角儀的高度CD=a；(3)量得測(cè)角儀到旗桿的水平距離DB=b.利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識(shí)，旗桿的高度可表示為()A.a+btanα B.a+bsinα C.a+btanα D.a2.(2022湖北隨州中考)如圖，已知點(diǎn)B，D，C在同一直線的水平地面上，在點(diǎn)C處測(cè)得建筑物AB的頂端A的仰角為α，在點(diǎn)D處測(cè)得建筑物AB的頂端A的仰角為β，若CD=a，則建筑物AB的高度為()A.atanα?tanβ B.a3.(2022廣西賀州中考)如圖，在小明家附近有一座廢舊的煙囪，為了鄉(xiāng)村振興，美化環(huán)境，政府計(jì)劃把這片區(qū)域改造為公園.現(xiàn)決定用爆破的方式拆除該煙囪，為確定安全范圍，需測(cè)量煙囪的高度AB，因?yàn)椴荒苤苯拥竭_(dá)煙囪底部B處，測(cè)量人員用高為1.2m的測(cè)角器在與煙囪底部B成一直線的C，D兩處地面上，分別測(cè)得煙囪頂部A的仰角∠B'C'A=60°，∠B'D'A=30°，同時(shí)量得CD為60m.煙囪AB的高度為多少米?(精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732)4.(2022內(nèi)蒙古包頭中考)如圖，AB是底部B不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，測(cè)角儀器的高DH=CG=1.5米.某數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量建筑物AB的高度，先在H處用測(cè)角儀器測(cè)得建筑物頂端A處的仰角∠ADE為α，再向前走5米到達(dá)G處，測(cè)得建筑物頂端A處的仰角∠ACE為45°，已知tanα=79，AB⊥BH，H，G，B三點(diǎn)在同一水平線上，求建筑物AB的高度5.(2021甘肅白銀中考)圖1是平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年(1535年)，是明代平?jīng)鲰n王府延恩寺的主體建筑.寶塔建造工藝精湛，與崆峒山的凌空塔遙相呼應(yīng)，被譽(yù)為平?jīng)龉潘半p璧”.某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測(cè)量“大明寶塔的高度”的實(shí)踐活動(dòng)，具體過程如下：方案設(shè)計(jì)：如圖2，寶塔CD垂直于地面，在地面上選取A，B兩處分別測(cè)得∠CAD和∠CBD的度數(shù)(A，D，B在同一條直線上).數(shù)據(jù)收集：通過實(shí)地測(cè)量，地面上A，B兩點(diǎn)的距離為58m，∠CAD=42°，∠CBD=58°.問題解決：求寶塔CD的高度(結(jié)果保留一位小數(shù)).參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60.根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請(qǐng)你完成求解過程.能力提升全練6.(2023山東煙臺(tái)萊陽期中改編)中國(guó)的社會(huì)主義國(guó)家性質(zhì)，走和平發(fā)展道路的戰(zhàn)略抉擇，獨(dú)立自主的和平外交政策，“和為貴”的中華文化傳統(tǒng)，決定了中國(guó)始終不渝奉行防御性國(guó)防政策.如圖，某大樓上豎立一塊國(guó)防政策的宣傳牌，高CD=3m，小亮和小偉要測(cè)量宣傳牌底部D到水平地面的距離(DH的長(zhǎng))，小亮在水平地面A處安置測(cè)傾器，測(cè)得宣傳牌底部D的仰角為22°，小偉在水平地面B處安置測(cè)傾器，測(cè)得宣傳牌頂部C的仰角為45°，兩人合作量得測(cè)傾器的高度AE=BF=1.2m，測(cè)點(diǎn)A和測(cè)點(diǎn)B之間的距離為9m，請(qǐng)根據(jù)以上信息，求宣傳牌底部D到水平地面的距離.(參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)7.(2022甘肅武威中考)灞陵橋位于甘肅省渭源縣城南清源河(渭河上游)上，始建于明洪武初年，因“渭水繞長(zhǎng)安，繞灞陵，為玉石欄桿灞陵橋”之語，得名灞陵橋(如圖1)，該橋?yàn)槿珖?guó)獨(dú)一無二的純木質(zhì)疊梁拱橋.某綜合實(shí)踐研究小組開展了測(cè)量汛期某天“灞陵橋拱梁頂部到水面的距離”的實(shí)踐活動(dòng)，過程如下：方案設(shè)計(jì)：如圖2，點(diǎn)C為橋拱梁頂部(最高點(diǎn))，在地面上選取A，B兩處分別測(cè)得∠CAF和∠CBF的度數(shù)(A，B，D，F(xiàn)在同一條直線上)，在河邊D處測(cè)得地面AD到水面EG的距離DE(C，F(xiàn)，G在同一條直線上，DF∥EG，CG⊥AF，F(xiàn)G=DE).數(shù)據(jù)收集：實(shí)地測(cè)量地面上A，B兩點(diǎn)的距離為8.8m，地面到水面的距離DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°.問題解決：求灞陵橋拱梁頂部C到水面的距離CG(結(jié)果保留一位小數(shù)).參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70.根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請(qǐng)你完成求解過程. 圖1 圖2素養(yǎng)探究全練8.(2022山東煙臺(tái)萊州期中)市政府為實(shí)現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋，2021—2025年擬建設(shè)5G基站三千個(gè).如圖，在斜坡CB上有一建成的基站塔AB，斜坡CB的坡比為1∶2.4.小芳在坡腳C處測(cè)得塔頂A的仰角為45°，然后她沿坡面CB行走了13米到達(dá)D處，在D處測(cè)得塔頂A的仰角為53°.(點(diǎn)A，B，C，D均在同一平面內(nèi)，CE為地平線)參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43(1)求D處的豎直高度；(2)求基站塔AB的高.

第二章直角三角形的邊角關(guān)系6利用三角函數(shù)測(cè)高答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.A如圖，延長(zhǎng)CE交AB于F，則四邊形BFCD是矩形.∴BF=CD=a，CF=BD=b.∵tan∠ACF=AFCF，∴AF=btan∴AB=BF+AF=a+btanα.故選A.2.D設(shè)AB=x.在Rt△ABD中，tanβ=ABBD=xBD，∴∴BC=CD+BD=a+xtanβ.在Rt△ABC中，tanα=ABBC=xa3.解析解法一：設(shè)C'B'=xm，在Rt△AC'B'中，∠AC'B'=60°，∴tan60°=AB'x，得AB'=3xm在Rt△AD'B'中，∠AD'B'=30°，∴tan30°=AB'60+x，得AB'=33(60+∴3x=33(60+x)，∴AB=AB'+BB'=3×30+1.2≈53.2(m).答：煙囪AB的高度約為53.2m.解法二：由題意得BB'=DD'=CC'=1.2m，D'C'=DC=60m，∵∠AC'B'是△AD'C'的一個(gè)外角，∴∠D'AC'=∠AC'B'-∠AD'B'=60°-30°=30°.∴∠AD'C'=∠D'AC'=30°.∴D'C'=AC'=60m.在Rt△AC'B'中，∠AC'B'=60°，∴AB'=AC'·sin60°=60×32=30∴AB=AB'+BB'=303+1.2≈53.2(m).答：煙囪AB的高度約為53.2m.4.解析根據(jù)題意可知，∠AED=90°，∠ADE=α，∠ACE=45°，DC=HG=5米，EB=CG=DH=1.5米.設(shè)AE=x米.在Rt△AEC中，∵∠AEC=90°，∠ACE=45°，∴CE=AE=x米.在Rt△AED中，∵DC=5米，∴DE=(x+5)米.∵tan∠ADE=AEDE，tanα=79，∴∴9x=7x+35，∴x=17.5，即AE=17.5米.∵EB=1.5米，∴AB=AE+EB=17.5+1.5=19(米).答：建筑物AB的高度為19米.5.解析設(shè)CD=xm，在Rt△ACD中，AD=CDtan∠CAD在Rt△BCD中，BD=CDtan∠CBD=∵AD+BD=AB，∴x0.90+x1.60≈58，解得x答：寶塔CD的高度約為33.4m.能力提升全練6.解析如圖，延長(zhǎng)EF交CH于點(diǎn)G，易知FG⊥CH.由題意，得EF=AB=9m，AE=BF=GH=1.2m.∵∠CFG=45°，∴∠FCG=45°.∴FG=CG.設(shè)FG=CG=xm，∴DG=CG-CD=(x-3)m.在Rt△EDG中，∠EGD=90°，∠DEG=22°，EG=EF+FG=(9+x)m，∴DG=EG·tan22°，∴x-3≈(9+x)×0.40，解得x≈11.∴DG=x-3=11-3=8(m).∴DH=DG+GH=8+1.2=9.2(m).答：宣傳牌底部D到水平地面的距離為9.2m.7.解析設(shè)CF=xm，在Rt△ACF中，AF=CFtan∠CAF在Rt△BCF中，BF=CFtan∠CBF∵AF-BF=AB，∴x0.50?x0.70=8.8，解得x∴CF=15.4m.∵FG=DE=1.5m，∴CG=CF+FG=15.4+1.5=16.9(m).答：灞陵橋拱梁頂部到水面的距離約為16.9m.素養(yǎng)探究全練8.解析(1)如圖，過點(diǎn)D作DM⊥CE，垂足為M.∵斜坡CB的坡比為1∶2.4，∴DMCM=12.4設(shè)DM=5k米，k>0，則CM=12k米，在Rt△CDM中，CD=13米，由勾股定理得DM2+CM2=CD2，即(5k)2+(12k)2=132，∴k=1(舍負(fù)).∴DM=5米，CM=12米.∴D處的豎直高度為5米.(2)如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F，設(shè)DF=12a米，a>0，則ME=12a米，BF=5a米.∵∠ACE=45°