2024年湖南省長(zhǎng)沙市雅禮洋湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)三模試題

湖南省長(zhǎng)沙市雅禮洋湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024年中考數(shù)學(xué)三模試題一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng).本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．（3分）2024的相反數(shù)是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）下列運(yùn)算中，結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)2+a2＝2a4 B．3a﹣2a＝1 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．（﹣3a）2＝9a23．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．5．（3分）某單位決定從A，B，C，D四名志愿者中通過(guò)抽簽的方式確定兩名志愿者參加某項(xiàng)活動(dòng)，抽簽規(guī)則：將四名志愿者的名字分別寫在四張完全相同的不透明卡片的正面，把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下名字，再?gòu)氖Ｓ嗟娜龔埧ㄆ须S機(jī)抽取第二張卡片，記下名字．按照抽簽規(guī)則，A，B兩名志愿者同時(shí)被抽中的概率為（）A． B． C． D．6．（3分）如圖所示，△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB，BC，AC相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AD＝6，BE＝4，CF＝8，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．36 B．38 C．40 D．427．（3分）如圖所示的是記錄了某市某周每天最高氣溫的折線統(tǒng)計(jì)圖．在下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）A．這周最高氣溫是30℃ B．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是28℃ C．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是28℃ D．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8．（3分）如圖，已知A（﹣2，0），B為反比例函數(shù)，以AB為直徑的圓的圓心C在y軸上，⊙C與y軸正半軸交于D（0，4），則k的值為（）A．4 B．5 C．6 D．89．（3分）如圖，EF是△ABC的中位線，BD平分∠ABC交EF于點(diǎn)D，若AE＝3，DF＝1，則邊BC的長(zhǎng)為（）A．7 B．8 C．9 D．1010．（3分）如圖，已知開(kāi)口向上的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，則下列結(jié)論正確的有（）①2a+b＝0；②函數(shù)y＝ax2+bx+c的最小值為﹣4a；③若關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝a﹣1無(wú)實(shí)數(shù)根，則；④代數(shù)式（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＜0．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是．12．（3分）分式方程的解為．13．（3分）分解因式：a3﹣a＝．14．（3分）對(duì)于任意兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a，b，定義新運(yùn)算“*”如下：，例如：．若x*y＝2，則的值為．15．（3分）趙州橋始建于隋朝，由匠師李春設(shè)計(jì)建造，屹立千年而不倒，是我國(guó)著名的歷史文物，如圖為某圓弧型石拱橋的側(cè)面圖，橋的跨徑AB＝18m，拱高CD＝5m，則拱橋的半徑為m．16．（3分）如圖，平行于x軸的直線l與函數(shù)和的圖象分別相交于A，B兩點(diǎn)，分別連接AO、BO，則△ABO的面積為．三、解答題（本大題共10小題，共72分）17．（4分）計(jì)算：．18．（4分）先化簡(jiǎn)，再求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣．19．（8分）解不等式組，并直接寫出它的整數(shù)解．20．（8分）為提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)，某校開(kāi)設(shè)了四個(gè)興趣小組，A“健美操”、B“跳繩”、C“剪紙”、D“書法”．為了了解學(xué)生對(duì)每個(gè)興趣小組的喜愛(ài)情況，隨機(jī)抽取了部分同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制出下面不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)結(jié)合圖中的信息解答下列問(wèn)題：（1）本次共調(diào)查了名學(xué)生；（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；C組所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角為度；（3）若該校共有學(xué)生1400人，則估計(jì)該校喜歡跳繩的學(xué)生人數(shù)約是多少？21．（8分）暴雪過(guò)后，校園的兩棵風(fēng)景柏樹(shù)同時(shí)側(cè)傾在一起，如圖，較低的CD正好抵著高樹(shù)AB的中點(diǎn)D．救援的小明等想知道高樹(shù)比低樹(shù)高多少（即AB﹣CD的值），就通過(guò)測(cè)量得到了以下數(shù)據(jù)：BC＝10.5米，∠B≈53°，∠C≈45°，應(yīng)用以上的數(shù)據(jù)，求高樹(shù)比低樹(shù)高多少米（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：，）．22．（8分）如圖，⊙O為等腰三角形ABC的外接圓，AB＝AC，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，交過(guò)點(diǎn)A且與BC平行的直線于點(diǎn)H，連結(jié)AG．（1）判斷AH與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若∠BAC＝56°，求∠H和∠BAG的大?。唬?）若GF＝1，tan∠ABC＝2，求OD的長(zhǎng)．23．（8分）近年來(lái)教育部要求學(xué)校積極開(kāi)展素質(zhì)教育，落實(shí)“雙減”政策，瀘縣某中學(xué)把足球和籃球列為該校的特色項(xiàng)目．學(xué)校準(zhǔn)備從體育用品商店一次性購(gòu)買若干個(gè)籃球和足球．若購(gòu)買3個(gè)籃球和2個(gè)足球共490元，購(gòu)買2個(gè)籃球和3個(gè)足球共460元．（1）籃球、足球的單價(jià)各是多少元？（2）根據(jù)學(xué)校實(shí)際需要，需一次性購(gòu)買籃球和足球共100個(gè)．要求購(gòu)買籃球和足球的總費(fèi)用不超過(guò)9200元，且購(gòu)買籃球的數(shù)量不少于足球數(shù)量的一半，請(qǐng)求出最省錢的一種購(gòu)買方案．24．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在x軸上，OC在y軸上，OA＝4，OC＝2，點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且與AB交于點(diǎn)E，連接OD，OE，DE．（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．①求k的值；②點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)△ODE的面積等于△ODP的面積時(shí)，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）延長(zhǎng)ED交y軸于點(diǎn)F，連接AC，判斷四邊形AEFC的形狀，并說(shuō)明理由．25．（8分）【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點(diǎn)P為射線BD、CE的交點(diǎn)．探究CP，BD的位置關(guān)系．【問(wèn)題探究】（1）如圖1，若△ABC和△ADE是等腰直角三角形，求證：CP⊥BD；（2）如圖2，若∠ABC＝∠ADE＝26°，（1）中結(jié)論CP⊥BD是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；【拓展應(yīng)用】（3）在（1）的條件下，AB＝8，AD＝6，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E恰好落在線段AB上，請(qǐng)直接寫出此時(shí)PB的長(zhǎng)度．26．（8分）如圖，拋物線y＝x2﹣bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)為D，直線BD交y軸于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式．（2）設(shè)點(diǎn)P為線段BD上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，D兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)F，連接DF，BF，求△BDF面積的最大值．（3）連接CD，在線段BD上是否存在點(diǎn)Q，使得∠BDC＝∠QCE？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案與試題解析一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng).本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．（3分）2024的相反數(shù)是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：2024的相反數(shù)是﹣2024，故選：B．2．（3分）下列運(yùn)算中，結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)2+a2＝2a4 B．3a﹣2a＝1 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．（﹣3a）2＝9a2【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故此選項(xiàng)不符合題意；B、3a﹣2a＝a，故此選項(xiàng)不符合題意；C、a2?a3＝a5，故此選項(xiàng)不符合題意；D、（﹣3a）2＝9a2，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．3．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：在中，由x﹣1＜0得：x＜1，由x+1≥0得：x≥﹣1，則不等式組的解集為﹣1≤x＜1．故選：A．4．（3分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；C、不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．5．（3分）某單位決定從A，B，C，D四名志愿者中通過(guò)抽簽的方式確定兩名志愿者參加某項(xiàng)活動(dòng)，抽簽規(guī)則：將四名志愿者的名字分別寫在四張完全相同的不透明卡片的正面，把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下名字，再?gòu)氖Ｓ嗟娜龔埧ㄆ须S機(jī)抽取第二張卡片，記下名字．按照抽簽規(guī)則，A，B兩名志愿者同時(shí)被抽中的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：畫樹(shù)狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中則A，B兩名志愿者被選中的結(jié)果有2種，∴A，B兩名志愿者被選中的概率為，故選：B．6．（3分）如圖所示，△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB，BC，AC相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AD＝6，BE＝4，CF＝8，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．36 B．38 C．40 D．42【解答】解：∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB，BC，ACAC相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC，∵AD＝6，BE＝4，CF＝8，∴AF＝6，BD＝4，CE＝8，∴BC＝BE+EC＝12，AB＝AD+BD＝10，AC＝AF+FC＝14，∴△ABC的周長(zhǎng)＝BC+AB+AC＝36．故選：A．7．（3分）如圖所示的是記錄了某市某周每天最高氣溫的折線統(tǒng)計(jì)圖．在下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）A．這周最高氣溫是30℃ B．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是28℃ C．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是28℃ D．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是【解答】解：觀察折線統(tǒng)計(jì)圖知，這周最高氣溫是30℃，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；把一周七天的最高氣溫按從低到高排列，位于中間的氣溫是26℃，即中位數(shù)為26℃，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，符合題意；28℃的氣溫在這周中出現(xiàn)了兩次，次數(shù)最多，即眾數(shù)是28℃，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，故選項(xiàng)D正確，不符合題意；故選：B．8．（3分）如圖，已知A（﹣2，0），B為反比例函數(shù)，以AB為直徑的圓的圓心C在y軸上，⊙C與y軸正半軸交于D（0，4），則k的值為（）A．4 B．5 C．6 D．8【解答】解：設(shè)⊙C與x軸的正半軸的交點(diǎn)為E，連接BE，∵OC⊥AE，A（﹣2，0），∴OA＝OE＝2，∵以AB為直徑的圓的圓心C在y軸上，D（0，4），∴CA＝CB，OD＝4，BE⊥x軸，∴OC是△ABE的中位線，設(shè)OC＝x，則AC＝CD＝4﹣x，BE＝2x，∵AC2＝OC2+OA2，∴（4﹣x）2＝x2+22，解得，∴BE＝2x＝3，∴B（2，3），∴k＝2×3＝6，故選：C．9．（3分）如圖，EF是△ABC的中位線，BD平分∠ABC交EF于點(diǎn)D，若AE＝3，DF＝1，則邊BC的長(zhǎng)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵EF是△ABC的中位線，AE＝3，∴EF∥BC，BC＝2EF，BE＝AE＝3，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD平分∠EBC，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝BE＝3，∵DF＝1，∴EF＝ED+DF＝3+1＝4，∴BC＝8，故選：B．10．（3分）如圖，已知開(kāi)口向上的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，則下列結(jié)論正確的有（）①2a+b＝0；②函數(shù)y＝ax2+bx+c的最小值為﹣4a；③若關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝a﹣1無(wú)實(shí)數(shù)根，則；④代數(shù)式（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＜0．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：由圖象可知，圖象開(kāi)口向上，a＞0，對(duì)稱軸為x＝1，故，即b＝﹣2a，則2a+b＝0，故①正確，符合題意；由圖象可知當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取最小值，將x＝1，代入y＝ax2+bx+c，中得：y＝a+b+c，由圖象可知函數(shù)與x軸交點(diǎn)為（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，故函數(shù)圖象與x軸的另一交點(diǎn)為（3，0），設(shè)函數(shù)解析式為：y＝a（x+1）（x﹣3），故化簡(jiǎn)得：y＝ax2﹣2ax﹣3a，將x＝1，代入可得：y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，故函數(shù)的最小值為﹣4a，故②正確，符合題意；ax2+bx+c＝a﹣1變形為：ax2+bx+c﹣a+1＝0，要使方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則b2﹣4a（c﹣a+1）＜0，將c＝﹣3a，b＝﹣2a，代入得：20a2﹣4a＜0，因?yàn)閍＞0，則20a﹣4＜0，則，綜上所述，故③正確，符合題意；因?yàn)閏＝﹣3a，b＝﹣2a，所以（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝（a+2a）（﹣2a﹣3a）（3a﹣a）＝3a?a?（﹣4a）＝﹣12a3，因?yàn)閍＞0，所以﹣12a3＜0，即（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＜0，故④正確，符合題意；則①②③④正確，故選：D．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是x≥﹣1且x≠2．【解答】解：∵有意義，∴x+1≥0且x﹣2≠0，∴x≥﹣1且x≠2，故答案為：x≥﹣1且x≠2．12．（3分）分式方程的解為x＝﹣8．【解答】解：兩邊都乘以（x﹣1）（x+2），得3（x+2）＝2（x﹣1），解得x＝﹣8，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣8時(shí)，最簡(jiǎn)公分母（x﹣1）（x+2）≠0，∴x＝﹣8是原方程的解，故答案為：x＝﹣8．13．（3分）分解因式：a3﹣a＝a（a+1）（a﹣1）．【解答】解：a3﹣a，＝a（a2﹣1），＝a（a+1）（a﹣1）．故答案為：a（a+1）（a﹣1）．14．（3分）對(duì)于任意兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a，b，定義新運(yùn)算“*”如下：，例如：．若x*y＝2，則的值為1012．【解答】解：∵x*y＝2，∴，（x，y不為0），∴x﹣y＝2xy，∴．故答案為：1012．15．（3分）趙州橋始建于隋朝，由匠師李春設(shè)計(jì)建造，屹立千年而不倒，是我國(guó)著名的歷史文物，如圖為某圓弧型石拱橋的側(cè)面圖，橋的跨徑AB＝18m，拱高CD＝5m，則拱橋的半徑為m．【解答】解：如圖，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為r，由題意可知：AB＝18m，OD＝（r﹣5）m，∵OC⊥AB，∴∠ADO＝90°，AD＝BD＝AB＝9（m），則由勾股定理得：OA2＝AD2+OD2，即92+（r﹣5）2＝r2，解得：，故答案為：．16．（3分）如圖，平行于x軸的直線l與函數(shù)和的圖象分別相交于A，B兩點(diǎn)，分別連接AO、BO，則△ABO的面積為2．【解答】解：∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝圖象上，∴S△AOC＝＝3，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝圖象上，∴S△BOC＝＝1，∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝3﹣1＝2．故答案為：2．三、解答題（本大題共10小題，共72分）17．（4分）計(jì)算：．【解答】解：，＝＝2﹣2﹣1++1＝．18．（4分）先化簡(jiǎn)，再求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣．【解答】解：（1﹣）÷＝?＝?＝﹣，當(dāng)a＝﹣時(shí)，原式＝﹣＝﹣3．19．（8分）解不等式組，并直接寫出它的整數(shù)解．【解答】解：，由①得：x≥﹣1，由②得：3x﹣5x＞﹣1﹣3，即﹣2x＞﹣4，∴x＜2，∴不等式組的解集為﹣1≤x＜2，它的整數(shù)解為﹣1，0，1．20．（8分）為提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)，某校開(kāi)設(shè)了四個(gè)興趣小組，A“健美操”、B“跳繩”、C“剪紙”、D“書法”．為了了解學(xué)生對(duì)每個(gè)興趣小組的喜愛(ài)情況，隨機(jī)抽取了部分同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制出下面不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)結(jié)合圖中的信息解答下列問(wèn)題：（1）本次共調(diào)查了40名學(xué)生；（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；C組所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角為72度；（3）若該校共有學(xué)生1400人，則估計(jì)該校喜歡跳繩的學(xué)生人數(shù)約是多少？【解答】解：（1）本次調(diào)查總?cè)藬?shù)為4÷10%＝40（名），故答案為：40；（2）C組人數(shù)為40﹣4﹣16﹣12＝8（名），補(bǔ)全圖形如圖：，故答案為：72；（3）（人），答：該校喜歡跳繩的學(xué)生人數(shù)約是為560人．21．（8分）暴雪過(guò)后，校園的兩棵風(fēng)景柏樹(shù)同時(shí)側(cè)傾在一起，如圖，較低的CD正好抵著高樹(shù)AB的中點(diǎn)D．救援的小明等想知道高樹(shù)比低樹(shù)高多少（即AB﹣CD的值），就通過(guò)測(cè)量得到了以下數(shù)據(jù)：BC＝10.5米，∠B≈53°，∠C≈45°，應(yīng)用以上的數(shù)據(jù)，求高樹(shù)比低樹(shù)高多少米（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：，）．【解答】解：設(shè)DE＝4x米，由題意知，DE⊥BC，∴（米），（米），∵BE+EC＝10.5，∴3x+4x＝10.5，解得：x＝1.5，∴DE＝EC＝6米，BE＝4.5米，在Rt△BDE，Rt△DEC中，由勾股定理得：（米），（米），∵D是AB的中點(diǎn)，∴AB＝2BD＝15米，∴AB﹣CD＝15﹣8.4＝6.6（米），即高樹(shù)比低樹(shù)高6.6米．22．（8分）如圖，⊙O為等腰三角形ABC的外接圓，AB＝AC，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，交過(guò)點(diǎn)A且與BC平行的直線于點(diǎn)H，連結(jié)AG．（1）判斷AH與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若∠BAC＝56°，求∠H和∠BAG的大小；（3）若GF＝1，tan∠ABC＝2，求OD的長(zhǎng)．【解答】解：（1）AH與⊙O相切，理由如下：∵⊙O為等腰△ABC的外接圓，AB＝AC，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵AH∥BC，∴AH⊥AD，∵AO為⊙O的半徑，∴AH是⊙O的切線，即AH與⊙O相切；（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝56°，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝28°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAD＝90°﹣28°＝62°，∵CF⊥AB，∴∠BCF＝90°﹣∠ABC＝90°﹣62°＝28°，∵AH∥BC，∴∠H＝∠BCF＝28°，∴∠BAG＝∠BCF＝28°；（3）設(shè)BD＝a，則BD＝CD＝a，BC＝2BD＝2a，在Rt△ABD中，tan∠ABC＝＝2，∴AD＝2a，∵∠AGC＝∠ABC，∴tan∠AGC＝tan∠ABC＝2，在Rt△AGF中，GF＝1，tan∠AGC＝＝2，∴AF＝2GF＝2，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB＝＝，∴AC＝AB＝，BF＝AB﹣AF＝，在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF2＝BC2﹣BF2＝，在Rt△ACF中，由勾股定理得：CF2＝AC2﹣AF2＝＝5a2﹣4，∴＝5a2﹣4，整理得：，解得：a1＝，a2＝0（不合題意，舍去），∴AD＝2a＝，設(shè)OD為x，連接OB，如下圖所示：則OA＝OB＝AD﹣OD＝，在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB2＝OD2+BD2，即，解得：x＝，故OD的長(zhǎng)為．23．（8分）近年來(lái)教育部要求學(xué)校積極開(kāi)展素質(zhì)教育，落實(shí)“雙減”政策，瀘縣某中學(xué)把足球和籃球列為該校的特色項(xiàng)目．學(xué)校準(zhǔn)備從體育用品商店一次性購(gòu)買若干個(gè)籃球和足球．若購(gòu)買3個(gè)籃球和2個(gè)足球共490元，購(gòu)買2個(gè)籃球和3個(gè)足球共460元．（1）籃球、足球的單價(jià)各是多少元？（2）根據(jù)學(xué)校實(shí)際需要，需一次性購(gòu)買籃球和足球共100個(gè)．要求購(gòu)買籃球和足球的總費(fèi)用不超過(guò)9200元，且購(gòu)買籃球的數(shù)量不少于足球數(shù)量的一半，請(qǐng)求出最省錢的一種購(gòu)買方案．【解答】解：（1）設(shè)籃球的單價(jià)是x元，足球的單價(jià)是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：籃球的單價(jià)是110元，足球的單價(jià)是80元；（2）設(shè)購(gòu)買m個(gè)籃球，則購(gòu)買（100﹣m）個(gè)足球，根據(jù)題意得：，解得：≤m≤40．設(shè)學(xué)校購(gòu)買籃球和足球的總費(fèi)用為w元，則w＝110m+80（100﹣m），即w＝30m+8000，∵30＞0，∴w隨m的增大而增大，又∵≤m≤40，且m為整數(shù)，∴當(dāng)m＝34時(shí)，w取得最小值，此時(shí)100﹣m＝100﹣34＝66（個(gè)）．答：最省錢的一種購(gòu)買方案為：購(gòu)買34個(gè)籃球，66個(gè)足球．24．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在x軸上，OC在y軸上，OA＝4，OC＝2，點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且與AB交于點(diǎn)E，連接OD，OE，DE．（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．①求k的值；②點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)△ODE的面積等于△ODP的面積時(shí)，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）延長(zhǎng)ED交y軸于點(diǎn)F，連接AC，判斷四邊形AEFC的形狀，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）①∵四邊形ABCO是矩形，∴∠BCO＝∠B＝∠AOC＝90°，∵OC＝2，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，∴D（1，2），∵反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，∴k＝1×2＝2；②∵OC＝2，D（1，2），∴CD＝1，∵D，E都在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴S△COD＝S△AOE＝1，∵OA＝4，∴AE＝，∴S△ODE＝2×4﹣×1×2﹣﹣＝，∵點(diǎn)P在x軸上，∴設(shè)P（x，0），∴S△ODP＝＝，解得：x＝±，∴P（，0）或（﹣，0）；（2）連接AC，四邊形AEFC是平行四邊形，理由如下：由題意得：D（，2），E（4，），設(shè)EF的函數(shù)解析式為：y＝ax+b，則，解得，∴OF＝，∴CF＝OF﹣2＝＝AE，又∵CF∥AE，∴四邊形AEFC是平行四邊形．25．（8分）【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點(diǎn)P為射線BD、CE的交點(diǎn)．探究CP，BD的位置關(guān)系．【問(wèn)題探究】（1）如圖1，若△ABC和△ADE是等腰直角三角形，求證：CP⊥BD；（2）如圖2，若∠ABC＝∠ADE＝26°，（1）中結(jié)論CP⊥BD是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；【拓展應(yīng)用】（3）在（1）的條件下，AB＝8，AD＝6，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E恰好落在線段AB上，請(qǐng)直接寫出此時(shí)PB的長(zhǎng)度．【解答】（1）證明：設(shè)AB、CP交于點(diǎn)O，如圖1；∵△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AD＝AE，AB＝AC，∴，∴∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠DAB＝∠CAE，∴△ADB∽△AEC，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠OAC＝90°，∴∠ACE+∠AOC＝90°，∵∠BOP＝∠AOC，∴∠ABD+∠BOP＝90°，∴