備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)講義專(zhuān)題08冪函數(shù)與二次函數(shù)

專(zhuān)題08冪函數(shù)與二次函數(shù)【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、冪函數(shù)的定義一般地，（為有理數(shù)）的函數(shù)，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底數(shù)為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自變量，冪為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因變量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)．2、冪函數(shù)的特征：同時(shí)滿(mǎn)足一下三個(gè)條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù)．（3）冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)3、常見(jiàn)的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點(diǎn)4、二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：；（2）頂點(diǎn)式：；其中，為拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)，為對(duì)稱(chēng)軸方程．（3）零點(diǎn)式：，其中，是拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．5、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）單調(diào)性與最值O圖2-9O圖2-8=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，；．O圖2-9O圖2-8（2）與軸相交的弦長(zhǎng)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)和，．6、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處．對(duì)二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則．【方法技巧與總結(jié)】1、冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫(huà)法如下：①當(dāng)時(shí)，其圖象可類(lèi)似畫(huà)出；②當(dāng)時(shí)，其圖象可類(lèi)似畫(huà)出；③當(dāng)時(shí)，其圖象可類(lèi)似畫(huà)出．2、實(shí)系數(shù)一元二次方程的實(shí)根符號(hào)與系數(shù)之間的關(guān)系（1）方程有兩個(gè)不等正根（2）方程有兩個(gè)不等負(fù)根（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為3、一元二次方程的根的分布問(wèn)題一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮：（1）開(kāi)口方向；（2）判別式；（3）對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)．設(shè)為實(shí)系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如表所示．根的分布圖像限定條件在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有實(shí)根在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根4、有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，關(guān)鍵是利用圖像．（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類(lèi)問(wèn)題——?jiǎng)虞S定區(qū)間和定軸動(dòng)區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對(duì)稱(chēng)軸．即注意對(duì)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類(lèi)討論，往往分成：=1\*GB3①軸處在區(qū)間的左側(cè)；=2\*GB3②軸處在區(qū)間的右側(cè)；=3\*GB3③軸穿過(guò)區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對(duì)參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論．（2）對(duì)于二次方程實(shí)根分布問(wèn)題，要抓住四點(diǎn)，即開(kāi)口方向、判別式、對(duì)稱(chēng)軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù)．【典例例題】題型一：冪函數(shù)的定義及其圖像【方法技巧與總結(jié)】確定冪函數(shù)的定義域，當(dāng)為分?jǐn)?shù)時(shí)，可轉(zhuǎn)化為根式考慮，是否為偶次根式，或?yàn)閯t被開(kāi)方式非負(fù)．當(dāng)時(shí)，底數(shù)是非零的．例1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知為冪函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，設(shè)，則，所以，可得，則.故選：B例2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B．C．或 D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)既是冪函數(shù)又是的減函數(shù)，所以解得：.故選：A.例3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】?jī)绾瘮?shù)滿(mǎn)足形式，故，滿(mǎn)足條件，共2個(gè)故選：B變式1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．0或2 C．0 D．2【答案】D【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，符合題意，所以.故選：D.變式2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）冪函數(shù)y＝（m∈Z）的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______.【答案】1【解析】有圖象可知：該冪函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，解得，,故可取，又因?yàn)樵摵瘮?shù)為偶函數(shù)，所以為偶數(shù)，故故答案為：題型二：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【方法技巧與總結(jié)】緊扣冪函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注意為奇數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)，為偶數(shù)時(shí)，為偶函數(shù)．例4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，則使函數(shù)的定義域?yàn)椋以摵瘮?shù)為奇函數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．、或【答案】A【解析】因?yàn)槎x域?yàn)椋?，，又函?shù)為奇函數(shù)，所以，則滿(mǎn)足條件的或.故選:A例5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)中，定義域與值域均為R的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】A.函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)镽；B.函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?；C.函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽；D.函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，故選：C例6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則的值域是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】?jī)绾瘮?shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，，解得，，的值域是.故選：D.變式3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在上的值域．【解析】（1）因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或．又的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以，故．（2）由（1）可知，．因?yàn)椋?，又函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．故在上的值域?yàn)椋兪?．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列結(jié)論中正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，B．冪函數(shù)的圖像不經(jīng)過(guò)第四象限C．當(dāng)指數(shù)取1，3，時(shí)，冪函數(shù)是增函數(shù)D．當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在其整個(gè)定義域上是減函數(shù)【答案】BC【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)指數(shù)時(shí)，冪函數(shù)的圖像不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，所有的冪函數(shù)在區(qū)間上都有定義且，所以?xún)绾瘮?shù)的圖像不可能經(jīng)過(guò)第四象限，故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)α為1，3，時(shí)，是增函數(shù)，顯然C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上是減函數(shù)，但在整個(gè)定義域上不是減函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：BC變式5．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知，若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則取值的集合是______．【答案】【解析】∵，冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，∴是奇數(shù)，且，∴．故答案為：變式6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)是冪函數(shù)，對(duì)任意，，且，滿(mǎn)足，若，，且，則的值：①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④無(wú)法判斷．上述結(jié)論正確的是__（填序號(hào)）．【答案】①【解析】由于函數(shù)是冪函數(shù)，故，解得或．由于對(duì)任意的，，且，滿(mǎn)足，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，不符合題意，故，且函數(shù)為奇函數(shù)．由于，，且，所以，由于函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)和奇函數(shù)，故，所以，所以，故答案為：①變式7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則_______．【答案】【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)為奇函數(shù)，所以或1或3，又因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，故答案為：.題型三：二次方程的實(shí)根分布及條件【方法技巧與總結(jié)】結(jié)合二次函數(shù)的圖像分析實(shí)根分布，得到其限定條件，列出關(guān)于參數(shù)的不等式，從而解不等式求參數(shù)的范圍．例7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知方程的兩根分別在區(qū)間，之內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】.【解析】方程

方程兩根為，若要滿(mǎn)足題意，則，解得，故答案為：.例8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若關(guān)于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】由題意，關(guān)于的方程的一根大于-1，另一根小于-1，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.例9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一個(gè)根在(0，1)內(nèi)，另一個(gè)根在(1，2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】設(shè)f(x)＝x2＋ax＋1，由題意知，解得－<a<－2.故答案為：.變式8．（2023春·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的二次方程有一正數(shù)根和一負(fù)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】由題意知，二次方程有一正根和一負(fù)根，得，解得.故答案為：變式9．（2023春·上海寶山·高三上海市行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且一根小于，一根大于，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】令，因?yàn)殛P(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且一根小于，一根大于，所以，即，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：變式10．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）當(dāng)_________.時(shí)，方程只有正根.【答案】【解析】要使方程有根，則，解得，或，因?yàn)閳D象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，則要使方程只有正根需，解得，綜上所述，.故答案為:.題型四：二次函數(shù)“動(dòng)軸定區(qū)間”、“定軸動(dòng)區(qū)間”問(wèn)題【方法技巧與總結(jié)】“動(dòng)軸定區(qū)間”、“定軸動(dòng)區(qū)間”型二次函數(shù)最值的方法：（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論；（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時(shí)需要結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行分析；（3）將分類(lèi)討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果．例10．（2023春·四川遂寧·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在上單調(diào)，求的取值范圍：(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）由題意可得開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵函數(shù)在上單調(diào)，∴或，解得或，∴的取值范圍為：（2）由題意可得開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸，函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸處取最小值，，若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則，解得：或，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)的最小值為，解得：，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)的最小值為，解得：，綜上，存在實(shí)數(shù)或，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為例11．（2023春·上海楊浦·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)(1)若關(guān)于x的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)a和b的值；(2)若函數(shù)在上的最大值為2，求實(shí)數(shù)a的值．【解析】（1）由已知可得的兩根是，b所以，解得.（2）的對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)取得最大值，故．解得，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)取得最大值，故．解得，不符合題意，舍去；綜上所述：.例12．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)函數(shù)，，若的最大值為15，求實(shí)數(shù)a的值．【解析】（1）由題知，即，解得或．當(dāng)時(shí)，，不是偶函數(shù)，舍去，當(dāng)時(shí)，，是偶函數(shù)，滿(mǎn)足題意，所以．（2）由（1）知，且圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，所以在上是增函數(shù)，則，解得或，又，所以．變式11．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)若在為單調(diào)函數(shù)，求的值；(3)在區(qū)間上的最大值為4，求實(shí)數(shù)的值．【解析】（1）時(shí)，，在上的最大值為，最小值為；（2）在為單調(diào)函數(shù)，區(qū)間在的對(duì)稱(chēng)軸的一邊，即或，或；（3）因?yàn)槭情_(kāi)口向上的，所以和中必有一個(gè)是最大值，若，若，或；綜上，（1）最大值為16，最小值為0；（2）或；（3）或.變式12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域（不用寫(xiě)過(guò)程）；(2)求的最小值的表達(dá)式．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱(chēng)軸為∵∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，則，∴函數(shù)的值域?yàn)椋海?）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上，∵，則有：①當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，②當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，③當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，綜上所述：變式13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知二次函數(shù)滿(mǎn)足且，．(1)求的解析式．(2)設(shè)函數(shù)，．(ⅰ)若在上具有單調(diào)性，求的取值范圍；(ⅱ)討論在上的最小值．【解析】（1）設(shè)二次函數(shù)．由，可得．∵，∴二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為，即，即．∵，∴．聯(lián)立可得解得.故的解析式為．（2）(ⅰ)由條件可知，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為．∵在上具有單調(diào)性，∴或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．(ⅱ)，，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為．當(dāng)時(shí)，∵在上單調(diào)遞減，∴；當(dāng)時(shí)，∵在上單調(diào)遞增，∴；當(dāng)時(shí)，．綜上所述，【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·甘肅平?jīng)觥れo寧縣第一中學(xué)校考一模）關(guān)于x方程在內(nèi)恰有一解，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，不合題意；∴，令，有，，要使在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，∴即可，則，故選：B2．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）關(guān)于的方程的兩根都大于2，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵關(guān)于的方程的兩根都大于2，令，可得，即，求得，故選：B.3．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）若方程的兩實(shí)根中一個(gè)小于，另一個(gè)大于2，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榉匠逃袃筛?，一個(gè)大于,另一個(gè)小于，所以函數(shù)有兩零點(diǎn)，一個(gè)大于，另一個(gè)小于，由二次函數(shù)的圖像可知，，即:解得:故選:A.4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）冪函數(shù)在x（0，+∞）上是減函數(shù)，則m＝（

）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1【答案】A【解析】∵冪函數(shù)，∴m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2，或m＝﹣1；又x（0，+∞）時(shí)f（x）為減函數(shù)，∴當(dāng)m＝2時(shí)，m2+m﹣3＝3，冪函數(shù)為y＝x3，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)m＝﹣1時(shí)，m2+m﹣3＝﹣3，冪函數(shù)為，滿(mǎn)足題意；綜上，．故選：A．5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且在上是增函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．和【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，在上是減函數(shù)；所以當(dāng)時(shí)，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，在上是常函數(shù)；所以當(dāng)時(shí)，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),在上是增函數(shù)；所以當(dāng)時(shí)，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),在上是增函數(shù)；故選：D.6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值等于（

）A． B．4 C．8 D．【答案】D【解析】設(shè)冪函數(shù)，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，則．故選：D.7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù)，又，所以，解得，因?yàn)橛煽赏瞥?，而由無(wú)法推出，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B．2 C．1 D．1或2【答案】C【解析】?jī)绾瘮?shù)為偶函數(shù)，，且為偶數(shù)，則實(shí)數(shù)，故選：C二、多選題9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．的值域?yàn)?B．的圖象與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)C．是單調(diào)函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】ACD【解析】函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知的值域?yàn)椋Y(jié)論A錯(cuò)誤，結(jié)論C，D顯然錯(cuò)誤，的圖象與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)論B正確．故選：ACD10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．函數(shù)是偶函數(shù) B．函數(shù)是增函數(shù)C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，則，所以，其定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)；又，所以是增函數(shù)，故B正確；因此當(dāng)時(shí)，，故C正確；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，則，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題11．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（1）函數(shù)的定義域是________，值域是________；（2）函數(shù)的定義域是________，值域是________；（3）函數(shù)的定義域是________，值域是________；（4）函數(shù)的定義域是________，值域是________．【答案】

【解析】（1）冪函數(shù)圖像如圖所示，定義域?yàn)?，值域?yàn)?（2）冪函數(shù)圖像如圖所示，定義域?yàn)?，值域?yàn)?（3）冪函數(shù)圖像如圖所示，定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?（4）冪函數(shù)圖像如圖所示，定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?故答案為：（1）;,（2）;,（3）;,（4）;.12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)是冪函數(shù)，則的值為_(kāi)____．【答案】8【解析】依題意得，，，則，故答案為：813．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若冪函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)______．【答案】【解析】由冪函數(shù)可得，解得或，又因?yàn)楹瘮?shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則a為偶數(shù)，所以．故答案為：14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)在區(qū)間上單調(diào)遞減的冪函數(shù)__________.【答案】（答案不唯一）【解析】由題意知：為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減.故答案為：（答案不唯一）.15．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①；②當(dāng)時(shí)，；③；【答案】（答案不唯一）；【解析】由所給性質(zhì)：在上恒正的偶函數(shù)，且，結(jié)合偶數(shù)次冪函數(shù)的性質(zhì)，如：滿(mǎn)足條件.故答案為：（答案不唯一）16．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，能夠使是奇函數(shù)的一組整數(shù)m，n的值依次是__________．【答案】1，（答案不唯一）【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以?xún)绾瘮?shù)和冪函數(shù)都是奇函數(shù)，所以可以是，可以是.故答案為：1，（答案不唯一）.17．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，如圖：結(jié)合圖象可得：，即，故答案為：，．18．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象如圖所示，則______．（寫(xiě)出一個(gè)正確結(jié)果即可）【答案】（答案不唯一）【解析】由冪函數(shù)圖象知，函數(shù)的定義域是，且在單調(diào)遞減，于是得冪函數(shù)的冪指數(shù)為負(fù)數(shù)，而函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即冪函數(shù)是偶函數(shù)，則冪函數(shù)的冪指數(shù)為偶數(shù)，綜上得：.故答案為：19．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則滿(mǎn)足上述條件的冪函數(shù)可以為_(kāi)_____．【答案】（答案不唯一）【解析】設(shè)冪函數(shù)，由題意，得為奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以（）或（是奇數(shù)，且互質(zhì)），所以滿(mǎn)足上述條件的冪函數(shù)可以為.故答案為：（答案不唯一）.四、解答題20．（2023