浙教版七年級數(shù)學(xué)下冊專題14解題技巧專題：特殊的因式分解法壓軸題四種模型全攻略(原卷版+解析)

專題14解題技巧專題：特殊的因式分解法壓軸題四種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用整體法提公因式因式分解】 1【考點二十字相乘法因式分解】 3【考點三分組分解法因式分解】 9【考點四因式分解的應(yīng)用】 15【典型例題】【考點一利用整體法提公因式因式分解】例題：（2023春·七年級單元測試）因式分解．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）因式分解：____________．2．（2023春·七年級單元測試）因式分解：=_______________．3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知，，則的值等于________．4．（2023秋·甘肅金昌·八年級?？计谀┮蚴椒纸猓?．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）因式分解：6．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）分解因式：．7．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）因式分解：8．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）分解因式：．9．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）因式分解：．【考點二十字相乘法因式分解】例題：（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）把下列各式因式分解：．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·上海·七年級校聯(lián)考期末）分解因式：．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）因式分解：3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）因式分解：．4．（2023秋·上海嘉定·七年級上海市育才中學(xué)?？计谀┮蚴椒纸猓海?．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）分解因式：(1)(2)6．（2023春·八年級課時練習(xí)）將下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)7．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）分解因式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)8．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）用十字相乘法分解下列因式．(1)(2)(3)(4)(5)(6)【考點三分組分解法因式分解】例題：（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：(1)分解因式；(2)分解因式：；(3)分解因式：.【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：．②拆項法：例如：．仿照以上方法分解因式：(1)；(2)．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）教你一招：把因式分解．解：原式請你仔細閱讀上述解法后，把下列多項式因式分解：(1)；(2)；(3)．3．（2023秋·湖北襄陽·八年級期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多項式用上述方法無法分解，例如，我們細心觀察就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以分解，后兩項也可以分解，分別分解后會產(chǎn)生公因式就可以完整的分解了，具體分解過程如下：這種方法叫分組分解法，請利用這種方法因式分解下列多項式：(1)；(2)；(3)．4．（2022秋·江西新余·八年級統(tǒng)考期末）我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其實分解因式方法還有分組分解法、拆項法等等．（1）分組分解法：將一個多項式適當(dāng)分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．請閱讀以下例題：例1．例2．（2）拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．請閱讀以下例題：例1．請你仿照以上例題的方法，解決下列問題：(1)分解因式：①；②(2)分解因式：．(3)若多項式利用分組分解法可分解為，請求出的值．5．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項式則不能直接用上述兩種方法進行分解，比如多項式．這樣我們就需要結(jié)合式子特點，探究新的分解方法．仔細觀察這個四項式，會發(fā)現(xiàn)：若把它的前兩項結(jié)合為一組符合平方差公式特點，把它的后兩項結(jié)合為一組可提取公因式，而且對前后兩組分別進行因式分解后會出現(xiàn)新的公因式，提取新的公因式就可以完成對整個式子的因式分解．具體過程如下：例1：

分成兩組

分別分解

提取公因式完成分解像這種將一個多項式適當(dāng)分組后，再分解因式的方法叫做分組分解法．分組分解法一般是針對四項或四項以上的多項式，關(guān)鍵在恰當(dāng)分組，分組須有“預(yù)見性”，預(yù)見下一步能繼續(xù)分解，直到完成分解．(1)關(guān)于以上方法中“分組”目的的以下說法中所有正確的序號是______．①分組后組內(nèi)能出現(xiàn)公因式；②分組后組內(nèi)能運用公式；③分組后組間能繼續(xù)分解．(2)若要將以下多項式進行因式分解，怎樣分組比較合適？①______．②______．(3)利用分組分解法進行因式分解：．【考點四因式分解的應(yīng)用】例題：（2023秋·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）我們常用的多項式分解因式方法有：提公因式法，運用公式法．當(dāng)不能直接運用提取公因式法或公式法時，我們可以將某些項通過適當(dāng)?shù)亟Y(jié)合（或把某項適當(dāng)?shù)夭鸱郑┏蔀橐唤M，利用分組來分解多項式的因式，從而達到因式分解的目的，例如：，根據(jù)上面的方法因式分解：(1)；(2)已知，，是的三邊，且滿足，判斷的形狀并說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河南安陽·八年級?？计谀┩趿质且晃幻艽a編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：，，3，，a，分別對應(yīng)六個字：南，愛，我，數(shù)，學(xué)，河，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）A．我愛數(shù)學(xué) B．愛河南 C．河南數(shù)學(xué) D．我愛河南2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，將一張大長方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，其中有2塊是邊長為a厘米的大正方形，2塊是邊長都為b厘米的小正方形，5塊是長為a厘米，寬為b厘米的相同的小長方形，且，觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解為______．3．（2023春·江蘇·七年級期中）小剛同學(xué)動手剪了如圖①所示的正方形與長方形紙片若干張．(1)他用1張1號、1張2號和2張3號卡片拼出一個新的圖形（如圖②）．根據(jù)這個圖形的面積關(guān)系寫出一個你所熟悉的乘法公式，這個乘法公式是______；(2)如果要拼成一個長為，寬為的大長方形，則需要2號卡片______張，3號卡片______張；(3)當(dāng)他拼成如圖③所示的長方形，根據(jù)6張小紙片的面積和等于大長方形的面積可以把多項式分解因式，其結(jié)果是______；(4)小剛又選取了2張1號卡片，3張2號卡片和7張3號卡片拼成了一個長方形，則此長方形的周長為______．4．（2023秋·河南洛陽·九年級統(tǒng)考期末）【閱讀材料】若，求，的值．解：，∴，∴．(1)【解決問題】已知，求的值；(2)【拓展應(yīng)用】已知，，是的三邊長，且，滿足，是中最長的邊，求的取值范圍．5．（2023秋·山東日照·八年級統(tǒng)考期末）閱讀理解并解答：【方法呈現(xiàn)】(1)我們把多項式及叫做完全平方式．在運用完全平方公式進行因式分解時，關(guān)鍵是判斷這個多項式是不是一個完全平方式，同樣地，把一個多項式進行局部因式分解可以來解決代數(shù)式值的最小或最大問題．例如：，，．則這個代數(shù)式的最小值是______，這時相應(yīng)的的值是______．【嘗試應(yīng)用】(2)求代數(shù)式的最小或最大值，并寫出相應(yīng)的的值．(3)已知，，是的三邊長，滿足，且是中最長的邊，求的取值范圍．6．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題：問題：對于形如，這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成的形式．但對于二次三項式，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式中先加上一項，使它與的和成為一個完全平方式，再減去，整個式子的值不變，于是有：．像這樣，先添一適當(dāng)項，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”，利用“配方法”，解決下列問題：(1)分解因式：；(2)若．①當(dāng)a，b，m滿足條件：時，求m的值；②若的三邊長是a，b，c，且c邊的長為奇數(shù)，求的周長．7．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）閱讀下列材料：某?！皵?shù)學(xué)社團”活動中，研究發(fā)現(xiàn)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如：“”，細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，過程為．“社團”將此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請在這種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：(1)分解因式：；(2)已知，，求的值；(3)的三邊a，b，c滿足，判斷的形狀并說明理由．專題14解題技巧專題：特殊的因式分解法壓軸題四種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用整體法提公因式因式分解】 1【考點二十字相乘法因式分解】 3【考點三分組分解法因式分解】 9【考點四因式分解的應(yīng)用】 15【典型例題】【考點一利用整體法提公因式因式分解】例題：（2023春·七年級單元測試）因式分解．【答案】(1)【分析】直接提取公因式，進而利用平方差公式分解因式即可；【詳解】解：，，；【點睛】本題考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）因式分解：____________．【答案】【分析】將y(1-m)變形為-y（m-1），再提取公因式即可．【詳解】∵x（m-1）+y(1-m)=x（m-1）-y（m-1），=（x-y）（m-1），故答案為：（x-y）（m-1）．【點睛】本題考查了因式分解，熟練進行代數(shù)式的變形構(gòu)造公因式是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·七年級單元測試）因式分解：=_______________．【答案】【分析】運用提公因式法分解因式即可．【詳解】解：原式=．故答案為：．【點睛】本題考查了提公因式法分解因式，解決本題的關(guān)鍵是掌握用提公因式法分解因式．3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知，，則的值等于________．【答案】20【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解，最后用整體代入的方法求解．【詳解】解：原式，把，代入得：原式．故答案為：20．【點睛】本題考查了提公因式法和利用平方差公式分解因式，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·甘肅金昌·八年級?？计谀┮蚴椒纸猓骸敬鸢浮?；【分析】原式變形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．5．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）因式分解：【答案】【分析】先把原式化為，再提取公因式分解因式即可．【詳解】解：【點睛】本題考查的是提取公因式分解因式，掌握“公因式的確定以及提取公因式的方法”是解本題的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）分解因式：．【答案】【分析】直接提取公因式即可．【詳解】解：原式【點睛】本題主要考查了提公因式法分解因式，重點是正確確定公因式．7．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）因式分解：【答案】【分析】直接提取公因式進行分解因式即可．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．8．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）分解因式：．【答案】【分析】根據(jù)提公因式法分解因式求解即可【詳解】解：【點睛】此題考查了提公因式法分解因式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分解因式的方法．9．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）因式分解：．【答案】【分析】先提取公因式，然后化簡即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查因式分解，掌握提公因式法是解決因式分解的關(guān)鍵．【考點二十字相乘法因式分解】例題：（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）把下列各式因式分解：．【答案】【分析】根據(jù)十字相乘法，分解因式即可求解．【詳解】解：【點睛】本題考查了分解因式，掌握十字相乘法分解因式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·上?！て吣昙壭Ｂ?lián)考期末）分解因式：．【答案】．【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法繼續(xù)分解即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查了用提公因式法和十字相乘法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）因式分解：【答案】【分析】首先提取公因式，再根據(jù)十字相乘法進行因式分解．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了提公因式法和十字相乘法分解因式，靈活使用各種方法對多項式進行因式分解是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）因式分解：．【答案】【分析】先提取公因式，然后再運用十字相乘法因式分解即可．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和十字相乘法是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023秋·上海嘉定·七年級上海市育才中學(xué)?？计谀┮蚴椒纸猓海敬鸢浮俊痉治觥肯忍崛」蚴絘，再用十字相乘法分解，最后再用平方差公式分解．【詳解】解：．【點睛】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個因式都不能再分解為止．5．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）分解因式：(1)(2)【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可；（2）根據(jù)十字相乘法因式分解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查的是因式分解的十字相乘法，解題關(guān)鍵是掌握十字相乘法的運算規(guī)律．6．（2023春·八年級課時練習(xí)）將下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）用十字相乘法，分解因式即可；（2）用十字相乘法，分解因式即可；（3）用十字相乘法，分解因式即可．【詳解】（1）解：∵，即，∴；（2）解：∵，即，∴；（3）解：，∵，即，∴原式．【點睛】本題主要考查了利用十字相乘法分解因式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握十字相乘法：常數(shù)項為正，分解的兩個數(shù)同號；常數(shù)項為負，分解的兩個數(shù)異號．二次項系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負數(shù)，則提出負號，分解括號里面的二次三項式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負號添上．7．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）分解因式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）十字相乘法分解因式即可；（2）十字相乘法分解因式即可；（3）十字相乘法分解因式即可；（4）十字相乘法分解因式即可；（5）十字相乘法分解因式即可；（6）十字相乘法分解因式即可．【詳解】（1）解：∴；（2）解：∴；（3）解：∴；（4）解：∴；（5）解：∴；（6）解：∴．【點睛】本題主要考查了因式分解，熟練掌握十字相乘法是解此題的關(guān)鍵．8．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）用十字相乘法分解下列因式．(1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）用十字相乘法分解因式即可；（2）用十字相乘法分解因式即可；（3）用十字相乘法分解因式即可；（4）用十字相乘法分解因式即可；（5）用十字相乘法分解因式即可；（6）將看作一個整體，用十字相乘法分解因式即可．【詳解】（1）解：∴；（2）解：∴（3）解：∴（4）解：∴（5）解：∴（6）解：∴．【點睛】本題主要考查了用十字相乘法分解因式，正確分解二次項系數(shù)及常數(shù)項是解題關(guān)鍵．有時要把某個字母看作常數(shù)或把某個多項式看作一個整體．【考點三分組分解法因式分解】例題：（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：(1)分解因式；(2)分解因式：；(3)分解因式：.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先運用平方差公式，再提取公因式即可；（2）先移項，再提取公因式，再逆用完全平方公式，最后提取公因式即可；（3）先移項，再提取公因式，再逆用完全平方公式，平方差公式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點睛】本題考查利用提取公因式法，公式法進行因式分解，能夠?qū)煞N方法靈活運用是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：．②拆項法：例如：．仿照以上方法分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）采用分組法，結(jié)合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）將原式先變形為，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是理解分組分解法，熟練掌握平方差公式，完全平方公式．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）教你一招：把因式分解．解：原式請你仔細閱讀上述解法后，把下列多項式因式分解：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）首先將原式進行分組得到原式，再利用公式法分解因式即可．（2）首先將原式進行分組得到原式，再利用公式法分解因式即可．（3）首先將原式進行分組得到原式，再利用公式法分解因式即可．【詳解】（1）解：，，；（2）解：；（3）解：；【點睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．3．（2023秋·湖北襄陽·八年級期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多項式用上述方法無法分解，例如，我們細心觀察就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以分解，后兩項也可以分解，分別分解后會產(chǎn)生公因式就可以完整的分解了，具體分解過程如下：這種方法叫分組分解法，請利用這種方法因式分解下列多項式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）將前兩項分為一組，后兩項分為一組，分別因式分解，再提取公因式即可；（2）對前三項利用完全平方公式因式分解，再整體運用平方差公式分解即可；（3）前兩項加1，后三項減1，分別構(gòu)建完全平方式，然后再運用平方差公式因式分解即可．【詳解】（1）解：（2）（3）【點睛】本題考查因式分解中分組分解，靈活根據(jù)公因式或公式法對原式進行合理的分組是解題關(guān)鍵．4．（2022秋·江西新余·八年級統(tǒng)考期末）我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其實分解因式方法還有分組分解法、拆項法等等．（1）分組分解法：將一個多項式適當(dāng)分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．請閱讀以下例題：例1．例2．（2）拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．請閱讀以下例題：例1．請你仿照以上例題的方法，解決下列問題：(1)分解因式：①；②(2)分解因式：．(3)若多項式利用分組分解法可分解為，請求出的值．【答案】(1)①②(2)(3)，【分析】（1）①將前兩項利用平方差公式分解因式，進而利用提取公因式法分解因式得出答案；②利用分組分解法先將原式整理為，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）利用拆項法先將原式變形為，然后再利用完全平方公式和平方差公式進行因式分解即可；（3）利用多項式乘以多項式法則進行運算，然后比較系數(shù)即可獲得答案．【詳解】（1）解：①原式；②原式；（2）原式；（3），∵，∴，比較系數(shù)可得，．【點睛】此題主要考查了拆項法以及分組分解法分解因式，讀懂題目材料并理解所給做法是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項式則不能直接用上述兩種方法進行分解，比如多項式．這樣我們就需要結(jié)合式子特點，探究新的分解方法．仔細觀察這個四項式，會發(fā)現(xiàn)：若把它的前兩項結(jié)合為一組符合平方差公式特點，把它的后兩項結(jié)合為一組可提取公因式，而且對前后兩組分別進行因式分解后會出現(xiàn)新的公因式，提取新的公因式就可以完成對整個式子的因式分解．具體過程如下：例1：

分成兩組

分別分解

提取公因式完成分解像這種將一個多項式適當(dāng)分組后，再分解因式的方法叫做分組分解法．分組分解法一般是針對四項或四項以上的多項式，關(guān)鍵在恰當(dāng)分組，分組須有“預(yù)見性”，預(yù)見下一步能繼續(xù)分解，直到完成分解．(1)關(guān)于以上方法中“分組”目的的以下說法中所有正確的序號是______．①分組后組內(nèi)能出現(xiàn)公因式；②分組后組內(nèi)能運用公式；③分組后組間能繼續(xù)分解．(2)若要將以下多項式進行因式分解，怎樣分組比較合適？①______．②______．(3)利用分組分解法進行因式分解：．【答案】(1)(2)①，②；(3)【分析】(1)根據(jù)閱讀材料解答即可；(2)運用分組分解法直接作答即可；(3)運用分組分解法直接作答即可．【詳解】（1）解：從材料可知：“分組”的目的是：①分組后組內(nèi)能出現(xiàn)公因式；②分組后組內(nèi)能運用公式；③分組后組間能繼續(xù)分解；故正確的序號是，故答案為：；（2）解：①，②，故答案為：①，②；（3）解：【點睛】本題考查了因式分解，能夠靈活運用分組分解法進行因式分解是解答本題的關(guān)鍵．【考點四因式分解的應(yīng)用】例題：（2023秋·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）我們常用的多項式分解因式方法有：提公因式法，運用公式法．當(dāng)不能直接運用提取公因式法或公式法時，我們可以將某些項通過適當(dāng)?shù)亟Y(jié)合（或把某項適當(dāng)?shù)夭鸱郑┏蔀橐唤M，利用分組來分解多項式的因式，從而達到因式分解的目的，例如：，根據(jù)上面的方法因式分解：(1)；(2)已知，，是的三邊，且滿足，判斷的形狀并說明理由．【答案】(1)(2)等腰三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題干中的方法進行分組分解因式即可；（2）利用分組法分解因式，然后得出，即可判斷三角形的形狀．【詳解】（1）（2）等腰三角形，理由如下：∴∴∴∴∵a，b，c是的三邊，∴，∴，∴∴是等腰三角形．【點睛】題目主要考查分組分解因式及提公因式與公式法分解因式，等腰三角形的定義等，理解題意，深刻理解題干中的分組分解法是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河南安陽·八年級?？计谀┩趿质且晃幻艽a編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：，，3，，a，分別對應(yīng)六個字：南，愛，我，數(shù)，學(xué)，河，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）A．我愛數(shù)學(xué) B．愛河南 C．河南數(shù)學(xué) D．我愛河南【答案】D【分析】先把代數(shù)式分解因式，再對照密碼手冊求解．【詳解】解：，所以，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是：我愛河南故選：D．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，分解因式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，將一張大長方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，其中有2塊是邊長為a厘米的大正方形，2塊是邊長都為b厘米的小正方形，5塊是長為a厘米，寬為b厘米的相同的小長方形，且，觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解為______．【答案】【分析】利用大長方形的面積等于兩個大正方形、兩個小正方形、五個長方形的面積和，從而得解．【詳解】解：大長方形面積為，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，利用等面積法進行因式分解是解題關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇·七年級期中）小剛同學(xué)動手剪了如圖①所示的正方形與長方形紙片若干張．(1)他用1張1號、1張2號和2張3號卡片拼出一個新的圖形（如圖②）．根據(jù)這個圖形的面積關(guān)系寫出一個你所熟悉的乘法公式，這個乘法公式是______；(2)如果要拼成一個長為，寬為的大長方形，則需要2號卡片______張，3號卡片______張；(3)當(dāng)他拼成如圖③所示的長方形，根據(jù)6張小紙片的面積和等于大長方形的面積可以把多項式分解因式，其結(jié)果是______；(4)小剛又選取了2張1號卡片，3張2號卡片和7張3號卡片拼成了一個長方形，則此長方形的周長為______．【答案】(1)(2)2，3(3)(4)【分析】（1）利用圖②的面積可得出這個乘法公式是，（2）由如圖③可得要拼成一個長為，寬為的大長方形，即可得出答案，（3）由圖③可知矩形面積為，利用面積得出，（4）首先根據(jù)題意得到長方形的面積，然后分解因式，進而求解周長即可．【詳解】（1）這個乘法公式是，故答案為：；（2）由如圖③可得要拼成一個長為，寬為的大長方形，則需要2號卡片2張，3號卡片3張，故答案為：2，3；（3）由圖③可知矩形面積為，所以，故答案為：；（4）長方形的面積為，∴周長為：，故答案為：．【點睛】本題考查因式分解的幾何應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合的方法．4．（2023秋·河南洛陽·九年級統(tǒng)考期末）【閱讀材料】若，求，的值．解：，∴，∴．(1)【解決問題】已知，求的值；(2)【拓展應(yīng)用】已知，，是的三邊長，且，滿足，是中最長的邊，求的取值范圍．【答案】(1)1(2)【分析】（1）將拆分成和，再根據(jù)完全平方公式配方解答；（2）先根據(jù)閱讀材料求出，的值，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解答．【詳解】（1），將拆分成和，可得，根據(jù)完全平方公式得：，∴，，∴，（2）∵，根據(jù)完全平方公式得：，，∴，，∴，，∵是中最長的邊，∴，即的取值范圍．【點睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，根據(jù)完全平方公式進行配方是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·山東日照·八年級統(tǒng)考期末）閱讀理解并解答：【方法呈現(xiàn)】(1)我們把多項式及叫做完全平方式．在運用完全平方公式進行因式分解時，關(guān)鍵是判斷這個多項式是不是一個完全平方式，同樣地，把一個多項式進行局部因式分解可以來解決代數(shù)式值的最小或最大問題．例如：，，．則這個代數(shù)式的最小值是______，這時相應(yīng)的的值是______．【嘗試應(yīng)用】(2)求代數(shù)式的最小或最大值，并寫出相應(yīng)的的值．(3)已知，，是的三邊長，滿足，且是中最長的邊，求的取值范圍．【答案】(1)2，；(2)有最大值，相應(yīng)的的值為；(3)．【分析】（1）利用非負數(shù)的性質(zhì)確定代數(shù)式的最值；（2）先提出負號，再變形，最后確定最值；（3）變形等式，利用非負數(shù)的性質(zhì)，求出、的值，再利用三角形的三邊關(guān)系確定邊長的取值范圍．【詳解】（1）解：∵代數(shù)式∴代數(shù)式的最小值是，