微專題11導(dǎo)數(shù)解答題之極最值問題(原卷版+解析)

微專題11導(dǎo)數(shù)解答題之極最值問題秒殺總結(jié)1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極最值問題．解題方法是利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系確定單調(diào)區(qū)間，從而求得極最值．只是對含有參數(shù)的極最值問題，需要對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次討論，對導(dǎo)函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求導(dǎo)，確定單調(diào)性，零點的存在性及唯一性等，由于零點的存在性與參數(shù)有關(guān)，因此對函數(shù)的極最值又需引入新函數(shù)，對新函數(shù)再用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求值、證明等操作．例1．（新疆克拉瑪依市2019屆高三三模數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，記的最小值為，求證：．例2．（河南省洛陽市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）試卷）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)討論函數(shù)的極值點的個數(shù).例3．（河北省張家口市2022屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)若，討論函數(shù)的極值點的個數(shù).過關(guān)測試1．（江蘇省泰州市泰興中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，記的最大值為，求證：．2．（北京市海淀區(qū)2022屆高三上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題）函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值；(3)直接寫出的一個值，使恒成立，并證明.3．（年四川省瀘州市2021-2022學(xué)高三第一次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，若x＝0為g（x）的極小值點，求實數(shù)a的取值范圍.4．（云南省昆明市2022屆高三“三診一模”市統(tǒng)測數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)，．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)的極小值點為，且，求的取值范圍．5．（重慶市主城區(qū)2022屆高三上學(xué)期一診學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其中.(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個極值點，，且恒成立（為自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)的取值范圍.6．（第13講雙變量問題-2022年新高考數(shù)學(xué)二輪專題突破精練）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個極值點，，證明：7．（陜西省安康市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個極值點，且這兩個極值點分別為，，若不等式恒成立，求的值.微專題11導(dǎo)數(shù)解答題之極最值問題秒殺總結(jié)1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極最值問題．解題方法是利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系確定單調(diào)區(qū)間，從而求得極最值．只是對含有參數(shù)的極最值問題，需要對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次討論，對導(dǎo)函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求導(dǎo)，確定單調(diào)性，零點的存在性及唯一性等，由于零點的存在性與參數(shù)有關(guān)，因此對函數(shù)的極最值又需引入新函數(shù)，對新函數(shù)再用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求值、證明等操作．例1．（新疆克拉瑪依市2019屆高三三模數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，記的最小值為，求證：．答案:(1)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)證明見解析解析：分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）函數(shù)定義域是，求得導(dǎo)函數(shù)，這里是正數(shù)，引入，利用它的單調(diào)性，得其有唯一零點，是的唯一極小值點，即，由把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)得新函數(shù)的最大值不大于1，證得結(jié)論成立．(1)當(dāng)時，，的定義域是，，當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．(2)由（1）得的定義域是，，令，則，在上單調(diào)遞增，因為，所以，，故存在，使得．當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；故時，取得最小值，即，由，得，令，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故，即時，取最大值1，．例2．（河南省洛陽市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）試卷）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)討論函數(shù)的極值點的個數(shù).答案:(1)；(2)答案見解析.解析：分析：（1）分別求出和，即可求出切線方程；（2）分、和三種情況，分別討論單調(diào)性，即可得到對應(yīng)的極值點的情況.(1)當(dāng)時，定義域為，.因為，所以.所以在點處的切線方程為：.(2)函數(shù)定義域為，.令，.令，得；令，得；所以在上單增，在上單減.所以，所以①當(dāng)時，，令，得；令，得；所以在上單增，在上單減.此時有且只有一個極值點.②當(dāng)時，，令，得；令，得；所以在上單減，在上單增.此時有且只有一個極值點.③當(dāng)時，方程有兩個相異正根，不妨設(shè)，則當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；；當(dāng)時，有；；所以在上單減，在上單增，在上單減，在上單增，此時有三個極值點.綜上所述：當(dāng)或時，有且只有一個極值點；當(dāng)時，有三個極值點.【點睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.例3．（河北省張家口市2022屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)若，討論函數(shù)的極值點的個數(shù).答案:(1)證明見解析(2)答案見解析解析：分析：（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，再二次求導(dǎo)，可求得導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而可得，進(jìn)而可證得結(jié)論，（2）當(dāng)時，可得單調(diào)遞增，無極值點，當(dāng)時，，令，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間和極值，從而分，和求解即可(1)證明：當(dāng)時，.當(dāng)時，，.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)解：當(dāng)時，單調(diào)遞增，無極值點，當(dāng)時，，令，令，則，當(dāng)時，，且，當(dāng)時，方程有唯一小于零的零點，故函數(shù)存在一個極值點；當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，為函數(shù)極小值，所以當(dāng)時，方程無解，函數(shù)無極值點；當(dāng)時，方程有一個解，但當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)無極值點.當(dāng)時，方程有兩解，函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點.綜上，當(dāng)時，函數(shù)存在一個極值點，當(dāng)時，函數(shù)無極值點，當(dāng)時，函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點.過關(guān)測試1．（江蘇省泰州市泰興中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，記的最大值為，求證：．答案:(1)在上單調(diào)遞減．(2)證明見解析解析：分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）由題知，設(shè)，進(jìn)而得在存在唯一零點且的最大值，再結(jié)合可得.(1)當(dāng)時，，設(shè)，則，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減．(2)，設(shè)，則．當(dāng)時，的定義域為在上單調(diào)遞減，因為所以．又因為的圖象是不間斷的，且在上單調(diào)遞減，所以在存在唯一零點，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以的最大值由得，所以，從而原命題得證．2．（北京市海淀區(qū)2022屆高三上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題）函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值；(3)直接寫出的一個值，使恒成立，并證明.答案:(1)(2)(3)，證明見解析解析：分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得最小值；（3）取，構(gòu)造函數(shù)，即證恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值即可證得結(jié)論.(1)由，知，切點為求導(dǎo)，則切線斜率所以切線方程為：，即(2)求導(dǎo)，，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即函數(shù)在上的最小值為.(3)取，下面證明恒成立，即證恒成立，令，即證恒成立求導(dǎo)，（i）當(dāng)時，，，此時所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即成立（ii）當(dāng)時，令，，因為，，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，綜上可知，恒成立，即恒成立3．（年四川省瀘州市2021-2022學(xué)高三第一次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，若x＝0為g（x）的極小值點，求實數(shù)a的取值范圍.答案:(1)答案見解析；(2).解析：分析：（1）先求導(dǎo)，再對利用導(dǎo)數(shù)分兩種情況求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出，令，則，令，再對分兩種情況討論分析得解.(1)解：，令，則，①當(dāng)時，，②當(dāng)時，時，，時，；綜上，當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；(2)解：，則，，令，則，令，則，當(dāng)時，，，故，是減函數(shù)，所以.①當(dāng)，即時，，即在上是減函數(shù)，不符合是極小值，舍去；②當(dāng)，即時，因為是減函數(shù)，且，，所以，使得，當(dāng)時，，即是增函數(shù)，所以，即在上是增函數(shù)；當(dāng)時，，使得，是減函數(shù)，故，從而是增函數(shù)，所以，即在上是減函數(shù).綜上，的取值范圍是.4．（云南省昆明市2022屆高三“三診一?！笔薪y(tǒng)測數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)，．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)的極小值點為，且，求的取值范圍．答案:(1)(2)解析：分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程；（2）對的值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，再根據(jù)題意解不等式得出的取值范圍．(1)由可得，，由可得，即曲線在點處的切線方程為(2)若時，；即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值點為由，可得，解得.若時，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則極小值點為.由可得，，此時不等式組無解.若時，，函數(shù)無極值點.若時，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的極小值點為，由，可得，解得.綜上，5．（重慶市主城區(qū)2022屆高三上學(xué)期一診學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其中.(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個極值點，，且恒成立（為自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)的取值范圍.答案:(1)答案見解析；(2)．解析：分析：（1）示出導(dǎo)函數(shù)，在定義域內(nèi)分類討論確定的正負(fù)，得單調(diào)區(qū)間；（2）由有兩個不等實根得出的一個范圍，同時得出的關(guān)系，計算化為的函數(shù)，不等式變形后，引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性后可得不等式的解，即得的范圍．(1)的定義域是，，時，時，，時，，的減區(qū)間，增區(qū)間是；時，或時，，時，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；時，恒成立，的增區(qū)間是，無減區(qū)間；時，或時，，時，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；(2)，由題意有兩個不等正根，，，又，，所以，，，由題意，，設(shè)，則，在上遞減，又，所以由，得．綜上，．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查極值點有關(guān)的問題，解題方法由導(dǎo)函數(shù)為0得出極值點的性質(zhì)，同時得出參數(shù)的一個范圍，計算有關(guān)極值點的代數(shù)式，化簡不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性得出不等式的解，從而得出結(jié)論，本題屬于較難題．6．（第13講雙變量問題-2022年新高考數(shù)學(xué)二輪專題突破精練）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個極值點，，證明：答案:(1)答案不唯一，具體見解析(2)證明見解析解析：分析：（1）函數(shù)求導(dǎo)后，分子為含參的二次三項式，結(jié)合，我們可以從和結(jié)合開口方向和兩根的大小來討論；（2），為函數(shù)的兩個極值點，我們可以通過結(jié)合韋達(dá)定理，找到，的關(guān)系，帶入到要證明的不等式中，然后通過整理，化簡成一個關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再通過換元，構(gòu)造函數(shù)，通過求解函數(shù)的值域完成證明.(1)，設(shè)．，，①當(dāng)時，，，則，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時，，的零點為，，且，令，得，或，令，得，在，上單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增，③當(dāng)時，，的零點為，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．(2)證明：由（1）知，當(dāng)時，存在兩個極值點，不妨設(shè)，則，要證：，只要證，只需要證，即證，設(shè)，，設(shè)函數(shù)，，，，，在上單調(diào)遞減，則，又，則，則，從而．【點睛】(1)含參的二次三項式再進(jìn)行分類討論的時候，如果二次項含參數(shù)，在討論有根無根的情況下要兼顧到開口方向以及兩根大小的比較；(2)如果函數(shù)在求導(dǎo)完以后，是一個分子上含有二次三項式，不含指數(shù)、對數(shù)的式子，那么函數(shù)的極值點關(guān)系，可以使用韋達(dá)定理來表示.7．（陜西省安康市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個極值點，且這兩個極值點分別為，，若不等式恒成立，求的值.答案:(1)答案見解析(2)解析：分析：（1）求導(dǎo)，然后分，，，討論研究單調(diào)性；（2）由（1）兩個極值點分別是1和，不妨設(shè)，，代入，然后轉(zhuǎn)化