2023-2024學(xué)年天津市南開中學(xué)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年天津市南開中學(xué)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列二次根式中，最簡二次根式是（）

A.74%B.V%2+2C.

2.下列運算正確的是（）

A.<3-/3=3B.4A<5-75=4C.732=4D.<3X/2=<6

3.已知直角三角形的兩邊長分別為3和2,則第三邊長為（）

A./5B.713C.1D.VT或百巨

4.下列滿足條件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.三內(nèi)角之比為1：2：3B.三邊長的平方之比為1：2：3

C.三邊長之比為3：4：5D.三內(nèi)角之比為3：4：5

5.若平行四邊形中兩個內(nèi)角的度數(shù)比為1：2,則其中較小的內(nèi)角是（）

A.60°B.90°C.120°D.45°

6.下列說法不正確的是（）

A.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形B.一個角是直角的平行四邊形是矩形

C.對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形D,對角線相等的四邊形是矩形

7.如圖，在正方形網(wǎng)格中，A,B,C,D,E都是格點，貝吐B4C+NCDE的度數(shù)

為（）

A.45°

B.400

C.35°

D.30°

8.如圖，陰影部分表示以直角三角形各邊為直徑的三個半圓所組成的兩個新月形

,已知力C=2,BC=4,則Si+S2=（）

A.4質(zhì)B.847rC.27rD.4

9.在平行四邊形ABC。中，AACB=25°,現(xiàn)將平行四邊形48CD沿EF折疊，使點CG

與點力重合，點。落在G處，則NDFE的度數(shù)（）

A.135°

B.120°

C.115°

D.100°

10.用尺現(xiàn)作圖的方法在一個平行四邊形內(nèi)作菱形4BCD,下列作法錯誤的是（）

11.如圖，菱形4BCD,點4、B、C、。均在坐標(biāo)軸上.乙48c=120。，點4（—3,0）,點E是CD的中點，點P

是。C上的一動點，貝UPD+PE的最小值是（）

A.3B.5C.272D.173

12.如圖，正方形4BC。中，對角線AC、BD交于點0,折疊正方形紙片，使4。落在

BD上，點4恰好與BD上的點F重合，展開后折痕DE分別交2B.2C于點E、G,連結(jié)

GF,給出下列結(jié)論，其中正確的個數(shù)有（）

①N4GD=110.5°；

②S"GD=S^OGD；

③四邊形AEFG是菱形;

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

13.二次根式，2x+1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,貝性的取值范圍為.

14.如圖，正方形。中，。。=1,0A=0B,則數(shù)軸上點4表示的數(shù)是

15.如圖，E為口ABCD的邊4。上任意一點，nZBCD的面積為6,則圖中陰影部分的

面積為.

16.在平面直角坐標(biāo)系中，點4(-3,6)到原點的距禺為.

17.已知：正方形4BCD的邊長為8,點E、F分另I」在力D、CD上，AE=DF=2,BE

與4F相交于點G,點口為BF的中點，連接GH,貝UG”的長為.

18.如圖，已知N4ED=N4CB=90。，AC=BC=3,AE=DE=1,點。在力B

上，連接CE,點M,點N分別為BD,CE的中點，則MN的長為

三、計算題：本大題共1小題，共8分。

19.計算：

⑴⑸—4+今

(2)(AA3+72)2-(2+店)(2—呵.

四、解答題：本題共4小題，共38分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

20.（本小題8分）

僮法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國明代數(shù)學(xué)家程大位.在博法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”

的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地.送行二步與人齊，五尺人高曾記.仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡

嬉.良工高士素好奇，算出索長有幾（注：1步=5尺）

譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時，秋千的踏板就和人

一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，問繩索有多長.”

21.（本小題8分）

(1)已知a,b滿足V2a+6—4+|a+l|=0,求(a+6)2.

y2—4y+4

（2）己知x,y為實數(shù)，且y<，2%一1+，1一2無+2,化簡:-5

22.（本小題10分）

如圖，在RtAABC中，已知N4BC=90。，M是邊力C的中點,過點力作力N//BM,且AN=CM.

（1）求證：四邊形4BMN是平行四邊形;

（2）若NBAC=30。，BC=2,求四邊形力BMN的周長.

23.（本小題12分）

如圖，在RtAABC中，AB=90°,AC=60cm,Nd=60。，點。從點C出發(fā)沿C4方向以4cm/秒的速度向點

4勻速運動，同時點E從點4出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另

一個點也隨之停止運動.設(shè)點。、E運動的時間是t秒（0<tW15）,過點。作DF1BC于點F,連接DE,

EF.

（1）求證：AE=DF；

(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值，如果不能，說明理由;

(3)當(dāng)t為何值時，ADEF為直角三角形？請說明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因為：4、-/4x=2-/%;C、V3x2=V-3|x|；D、

所以這三個選項都不是最簡二次根式.

因此符合條件的只有B選項.

故選：B.

根據(jù)最簡二次根式的定義進(jìn)行解題即可.

本題考查的是最簡二次根式的概念，被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次

根式，叫做最簡二次根式.

2.【答案】D

【解析】解：4/3-73=0,所以力選項不符合題意；

B.4<5-75=3/5,所以B選項不符合題意；

C.y[324-78=V32+8=2,所以C選項不符合題意；

Z).V~3XV~2=V3X2=V-6,所以D選項符合題意.

故選：D.

根據(jù)二次根式的減法運算對4B選項進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對C選項進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根

式的乘法法則對。選項進(jìn)行判斷.

本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則是解決問題的關(guān)

鍵.

3.【答案】D

【解析】解：3是直角邊時，第三邊=瑞22+32=K

3是斜邊時，第三邊=V32—22=V-5,

所以，第三邊長為，石或

故選：D.

分3是直角邊和斜邊兩種情況討論求解.

本題考查了勾股定理，是基礎(chǔ)題，難點在于要分情況討論.

4.【答案】D

【解析】解：4因為根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出三個角分別為30度，60度，90度，所以是直角三角

形，故不符合題意；

8、因為其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故不符合題意；

C、因為其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故不符合題意；

。、因為根據(jù)三角形內(nèi)角和公式得三個角中沒有90。角，所以不是直角三角形，故符合題意.

故選D

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及勾股定理的逆定理進(jìn)行分析，從而得到答案.

本題考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理或三角形的內(nèi)角和定理來判定.

5.【答案】A

【解析】解：設(shè)平行四邊形中兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是x°，2犬，

則久+2x=180,

解得：%=60,

其中較小的內(nèi)角是：60°.

故選：A.

首先設(shè)平行四邊形中兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是x°,2久。，由平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，即可得方程x+2%=

180,繼而求得答案.

此題考查了平行四邊形的性質(zhì).注意平行四邊形的鄰角互補(bǔ).

6.【答案】D

【解析】解：4兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；故原說法正確；

3、一個角是直角的平行四邊形是矩形，故原說法正確；

C、對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，故原說法正確；

。、對角線相等的四邊形不一定是矩形，故原說法錯誤；

故選：D.

根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形的判定分別對各個選項進(jìn)行判斷即可得到答案.

本題考查了平行四邊形、矩形、菱形的判定；熟練掌握平行四邊形和特殊平行四邊形的判定是解題的關(guān)

鍵.

7.【答案】A

【解析】解：如圖：連接AD,

由題意得：AB//CF//DE,

???Z-BAC=Z.ACF,Z.FCD=乙CDE,

由勾股定理得：

AD2=32+I2=10,

CD2=I2+32=10,

AC2=42+22=20,

AD2+CD2=AC2,

.?.△ac。是直角三角形，

?-,乙ADC=90°,

???AD=CD=/IO,

ADAC=/-ACD=45°,

.-.ZBXC+乙CDE=AACF+乙DCF=^ACD=45°,

故選：A.

連接4D,根據(jù)題意可得：AB//CF//DE,從而可得ABAC=N4CF,乙FCD=MDE,然后根據(jù)勾股定理的

逆定理證明△力CD是直角三角形，從而可得乙4DC=90。，最后根據(jù)4D=CD=JTU，可得=

^ACD=45。，從而利用等量代換即可解答.

本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o

助線是解題的關(guān)鍵.

8.【答案】D

【解析】M：AC=2,BC=4,

AB2=AC2+BC2=20,

Si+S2=半圓BC面積+半圓月C面積+S“BC-半圓4B面積

1BC,1AC11AB,

=,兀（區(qū)產(chǎn)+2兀（彳）2+2-AC-]71'（彳）2

115

=1兀+2TT+x2x4-2兀

=4,

故選：D.

根據(jù)勾股定理及圖形關(guān)系表示出Si+S2即可.

本題考查勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

9.【答案】C

【解析】解：???將平行四邊形2BC0沿EF折疊，使點C與點4重合，點。落在G處，AACB=25。，

.-./.EAC=/-ECA=25°,4FEC=AFEA,

.-./.AEC=180°-(NE4c+/-ECA}=180°-(25°+25°)=130°,

11

???4FEC=^AEC=/130°=65°,

???四邊形2BCD是平行四邊形，

AD//BC,

：.乙DFE=180°-/.FEC=180°-65°=115°,

NDFE的度數(shù)為115。.

故選：C.

首先根據(jù)折疊找到對應(yīng)相等的角=NEC4=25。，4FEC=4FEA,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可算出

乙AEC,進(jìn)而可得NFEC的度數(shù)，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得NDFE.

本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及折疊變換，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)折疊后哪些角是對應(yīng)相等的.

10.【答案】A

【解析】解：4由作法得2D=BC,而4D//BC,則四邊形48CD為平行四邊形，所以4選項符合題意；

A由作法得B2=BC,DA=DC,則AaDC0△48D,所以AB=2。，則四邊形48CD為菱形，所以B選項

不符合題意；

C.由作法得B4=BC,AD=AB=AC,則△ABC為等邊三角形，所以△4CD為等邊三角形，則四邊形

ABCD為菱形,所以C選項不符合題意；

D由作法得28=4。，CB=CD,則所以BA=BC,則四邊形4BCD為菱形，所以。選項

不符合題意.

故選：A.

在4選項中只能證明四邊形2BCD為平行四邊形，利用作法和菱形的判定方法可得到B、C、。選項中四邊形

ABCD為菱形.

本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)

把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定.

11.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意得，E點關(guān)于x軸的對稱點是BC的中點E',連接DE'交4C與點P,此時PD+PE有最

???四邊形4BCD是菱形，N4BC=120。，點4（一3,0）,

OA=OC=3,乙DBC=60°,

■■■ABCD是等邊三角形，

DE'=。。=3,

即PD+PE的最小值是3,

故選：A.

根據(jù)題意得，E點關(guān)于x軸的對稱點是BC的中點E',連接。E'交4c與點P,此時PD+PE有最小值，求出此

時的最小值即可.

本題主要考查菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.【答案】B

【解析】解：???四邊形ABC。是正方形，

.-./.GAD=4ADO=45°,

1

由折疊的性質(zhì)可得：乙40G==22.5°,

???乙AGD=180°-Z.GAD-Z.ADG=112.5°,

故①錯誤.

由折疊的性質(zhì)可得：AE=EF,乙AEG=4FEG,

在和AFEG中，

AE=FE

???乙AEG=乙FEG,

EG=EG

??.△ZEG0ZkFEG(S/S),

AG=FG,

???Z.GOF=90°,

:?在Rt△G。/7中，AG=FG>GO,

???S*GD>S^OGD，故②錯誤?

??.AAGE=AGAD+AADG=67.5°=^AED,

AE=AG9

又AE=FE、AG=FG,

.?.AE=EF=GF=AG,

???四邊形/EFG是菱形，故③正確.

設(shè)。F=a,

???四邊形4EFG是菱形,且4AED=67.5。,

??.Z.FEG=Z.FGE=67.5°,

???乙EFG=45°,

又(EFO=90°,

??.Z,GFO=45°,

???GF=EF=V_2a,

???Z.EFO=90°,乙EBF=45°,

/.BF=EF=GF=1a,即=1。產(chǎn)，

黑=苧，故④正確；

DrZ

故選：B.

①由四邊形2BCD是正方形，可得NG4D=乙4。。=45。，又由折疊的性質(zhì)，可求得乙4DG的度數(shù)，從而求

得N4GD；

②證明AAEG名△FEG得4G=FG,由FG>OG即可得；

③由折疊的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)，易得A4EG是等腰三角形，由2E=FE、4G=FG即可得證；

④設(shè)。F=a,先求得NEFG=45。，從而知BF=EF=GF=JIOF.

此題考查的是正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)等知識.此題綜

合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

13.【答案】%>-|

【解析】解：???二次根式"HPT在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

2%+1>0,

解得xN

故答案為：x>—

先根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于久的不等式，求出X的取值范圍即可.

本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解答此題的關(guān)鍵.

14.【答案】-涯

【解析】解：：OB=MF+12=/2,

OA=OB=V_2,

???點4在數(shù)軸上原點的左邊，

???點4表示的數(shù)是-，

故答案為：-

在直角三角形中根據(jù)勾股定理求得。8的值，即。a的值，進(jìn)而求出數(shù)軸上點a表示的數(shù)

本題考查了實數(shù)與數(shù)軸、勾股定理的綜合運用.

15.【答案】3

【解析】解：???平行四邊形ABCD面積為6,

S&EBC=2^SIABCD=]X6=

故答案為：3.

由點E是平行四邊形4BCD中邊4。上的任意一點，可得AEBC與口4BCD等底等高，繼而可得S"BC=

2^BABCD■

此題考查了平行四邊形的性質(zhì).注意△EBC與口ABCD等底等高.

16.【答案】3y/~5

【解析】解：過力作ABlx軸于B,

點4的坐標(biāo)為(一3,6),

4B=6,OB=|-3|=3,

OA=7AB2+OB2=,62+32=3"，

.?.點4(-3,6)到原點的距離為3棟，

故答案為3隗.

過4作力81式軸于B,根據(jù)坐標(biāo)的定義，AB=6,。8=|-3|=3,根據(jù)勾股定理即可求得。4

此題主要考查了點的坐標(biāo)和勾股定理，準(zhǔn)確找出B點才是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】5

【解析】解：???四邊形ABCD為正方形，

ABAE==90°,AB=AD,

DAF^,

AB=AD

乙BAE=AD

.AE=DF

:.&NBE義'DAF^SAS),

??.Z.ABE=Z-DAF,

???乙ABE+/-BEA=90°,

???^DAF+ABEA=90°,

???乙AGE=乙BGF=90°,

???點H為BF的中點，

1

??.GH=^BF,

vBC=8,CF=CD-DF=8-2=6

??.BF=BC2+CF2=10

??.GH=5

故答案為：5

根據(jù)正方形的四條邊都相等可得45=AD,每一個角都是直角可得NB4E==90。，然后利用“邊角

--1

邊”證明△力DAF得4ABE=^DAF,進(jìn)一步得乙4GE=乙BGF=90°,從而知GH=^BF,利用勾股

定理求出的長即可得出答案.

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余等知識，掌握三角形全等的

判定方法與正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】半

【解析】解：連接。N,延長DN交AC于F，連3尸,

???△ACB^\L4E7)是等腰直角三角形，/.AED=AACB=90°,DE=AE,AC=BC,

???AEAD=Z.EDA=ABAC=45°,

???DE//AC,

???乙DEN=乙FCN,

在△7)￡'和△FCN中，

?DNE=乙FNC

\EN=NC,

l乙DEN=乙FCN

???△OEN^FCN(4S2),

??.DE=FC,DN=NF,

???AE=FC,

???M是中點，

???MN是△BDF的中位線，

??.MN=加,

???Z.EAD=ABAC=45°,

???/.EAC=乙4cB=90°,

在△CAE和ABCF中，

AC=BC

Z-EAC=Z.FCB=90°,

AE=FC

???△CAE^LBCF(SAS),

???BF=CE,

MN=：CE,

???AAED=乙ACB=90°,AC=BC=3,AE=DE=1,

.??△4?！旰?ABC是等腰直角三角形,

??.LEAD=^BAC=45°,

???^EAC=90°,

???CE=VAE2+AC2=Vl2+32=V10，

MN=^CE=乎

故答案為：手.

延長DN交AC于F,連BF,根據(jù)DE〃AC,可證△EDNgACFN,可得。E=CF,求出DN=FN,FC=

ED,得出MN是中位線，再證△口!￡1會ABCF,得出BF=CE,即可解題；推出NACE=Z_CBF,求出

NCBF+NBCE=90。，即可得出答案.

本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證AEDN也△。尸村和小

CAE^LBCG是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】解：4，"^+卷

=4逅-<2+72

=4-\/-2；

(2)(<3+，1)2-(2+，■司(2-后

=3++2—4+5

=6+2y/~6.

【解析】本題考查了二次根式的混合運算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵.

(1)先把每一個二次根式化成最簡二次根式，然后再進(jìn)行加減計算即可；

(2)利用平方差公式和完全平方公式，即可解答.

20.【答案】解：設(shè)繩索有x尺長，

由題意得：1。2+(久+1-5)2=/,

解得：x=14.5,

即繩索長14.5尺.

【解析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，理解題意，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵.設(shè)繩索有x尺長,

由勾股定理得出方程，解方程即可.

21.【答案】解：(l)，2a+6-4+|a+1|=0,

...2a+b-420,。+120,

*'?2a+b—4=0,a+l=0.

???a=-1,b=6,

??.(a+b)2=(-l+6)2=25；

(2)y<V2%—1+V1—2%+2,

v2%—1>0,1—2%>0,

???2x—1=0,

解得，x=2f

???y<2,

y<2,則y—2V0,

原式=

把x=3代入得，=晝=子

【解析】(1)根據(jù)絕對值的非負(fù)性，二次根式的非負(fù)性計算出a,6的值，代入計算即可求解；

(2)根據(jù)二次根式的非負(fù)性可算出％,y的值和取值范圍，再結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可求解.

本題主要考查絕對值，二次根式的非負(fù)性，二次根式的性質(zhì)化簡，乘方運算，掌握二次根式的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

22.【答案】(1)證明：???N2BC=90。，M是邊4C的中點，

1

??.BM=^AC=CM,

???AN=CM,

??.AN=BM,

XvAN//BM,

???四邊形ABMN是平行四邊形；

(2)解：v^ABC=90°,ABAC=30°,BC=2,

??.AC=2BC=4,

1

...AN=BM=^AC=2,

在RtAABCdp,由勾股定理得：AB=y/AC2-BC2=V42-22=2<3,

由(1)可知，四邊形2BMN是平行四邊形，

MN=AB=2<3,

四邊形ABMN的周長=2AB+2AN=2x273+2x2=4+4A<3.

【解析】（1）利