【數(shù)學(xué)】一元一次方程的應(yīng)用第2課時盈不足問題課件-2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級上冊

5.3一元一次方程的應(yīng)用第五章一元一次方程第2課時盈不足問題北師大版?七年級上冊課外閱讀

盈，即盈余；不足，即虧損。盈不足術(shù)是中國古算中解決問題的一種特別的方法，在西方稱為“雙假設(shè)法”，即對任何數(shù)學(xué)問題，先設(shè)一數(shù)為答案，驗算其解是否合理，相合則為問題的解，否則或有盈余，或有不足，再次通過假設(shè)驗算即可獲得答案。知識點(diǎn)盈不足問題典例1

(教材P149·改編)《九章算術(shù)》“盈不足”章第一題：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價各幾何？題目大意：幾個人合伙買東西，若每人出8錢，則會多出3錢；若每人出7錢，則還少4錢。合伙人數(shù)、物品的價格分別是多少？解：解法一：若設(shè)人數(shù)為x，請完成下列表格(其他未知量用含x的代數(shù)式表示)：有關(guān)量每人出8錢每人出7錢人數(shù)x

出錢總數(shù)

物價

7x＋47x8x－38xx根據(jù)

不變，列方程為

。

解這個方程，得x＝

。

所以物價為

＝

。

答：合伙人數(shù)、物品的價格分別是

人，

錢。53

7

53

8x－3

7

8x－3＝7x＋4

物價

典例1

(教材P149·改編)《九章算術(shù)》“盈不足”章第一題：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價各幾何？題目大意：幾個人合伙買東西，若每人出8錢，則會多出3錢；若每人出7錢，則還少4錢。合伙人數(shù)、物品的價格分別是多少？變式1

(教材P150練習(xí)T1)隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤。問人、銀各幾何？(選自《算法統(tǒng)宗》)題目大意：幾個人分銀子，若每人分7兩，則剩余4兩；若每人分9兩，則差8兩。有多少個人？有多少兩銀子？(用2種解法)

典例2有一所寄宿制學(xué)校，開學(xué)安排宿舍時，如果每間宿舍安排4人，將會空出5間宿舍；如果每間宿舍安排3人，就有100人沒宿舍可住，那么在學(xué)校住宿的學(xué)生有多少人？解：解法一(直接設(shè)未知數(shù))：設(shè)在學(xué)校住宿的學(xué)生有x人。根據(jù)宿舍數(shù)量不變，可列方程為

。

解得

。

答：在學(xué)校住宿的學(xué)生有

人。

解法二(間接設(shè)未知數(shù))：設(shè)學(xué)校共有宿舍y間。根據(jù)學(xué)生人數(shù)不變，可列方程為

。

解得

。

所以

。

答：在學(xué)校住宿的學(xué)生有

人。

460

4(y－5)＝4(120－5)＝460

y＝120

4(y－5)＝3y＋100

460

x＝460

思考：請比較典例2和變式2中，直接設(shè)未知數(shù)和間接設(shè)未知數(shù)，哪種更簡便？

C

A

4.我國明朝珠算家程大位的名著《算法統(tǒng)宗》中，記載了這樣一道題：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚得幾丁?！?/p>

大意為：有100個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完。問大、小和尚各有多少人。設(shè)大和尚有x人，則可列方程為

。

5.冰墩墩是2022年北京冬季奧運(yùn)會的吉祥物，將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，體現(xiàn)了追求卓越、引領(lǐng)時代，以及面向未來的無限可能。某學(xué)校購進(jìn)了一批冰墩墩吉祥物分給各班，若每班分4個，則剩余2個；若每班分5個，則還缺16個。求這個學(xué)校有多少個班級。解：設(shè)這個學(xué)校有x個班級。根據(jù)題意，得4x＋2＝5x－16。解得x＝18。答：這個學(xué)校有18個班級。6.幾個人共同種一批樹苗，如果每人種13棵，則缺4棵樹苗；如果每人種11棵，又剩下6棵樹苗未種。求這批樹苗的棵數(shù)。解：設(shè)x人參與種樹。根據(jù)題意，得13x－4＝11x＋6。解得x＝5。所以13x－4＝13×5－4＝61。答：這批樹苗有61棵。7.將一筐蘋果分給小朋友們，如果每人分4個蘋果，則多6個蘋果；如果每人分5個蘋果，則最后一個小朋友只能分4個，問有多少個小朋友？多少個蘋果？

答：有7個小朋友，34個蘋果。所以蘋果總數(shù)為4×7＋6＝34(個)。解得x＝7。根據(jù)題意，得4x＋6＝5(x－1)＋4。解：設(shè)有x個小朋友，則共有蘋果(4x＋6)個。8.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作，其中記載了這樣一道數(shù)學(xué)問題：

今有共買物，人出六，盈二；

人出五，不足三。問人數(shù)、物價各幾何？題目大意：幾個人合伙購買物品，每人出6錢，會多出2錢；

每人出5錢，又差3錢。問人數(shù)、物品價格各是多少？