湖南省新高考十八校聯(lián)盟2024屆高三年級下冊3月月考數(shù)學(xué)試題+答案解析

2024屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考

業(yè)、/上

數(shù)k學(xué)j”,試\__r卷i

注意專項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如簡改動,

用橡皮擦干靜后，再選涂其他答案標(biāo)號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.）

1-

—FZ—

1.設(shè)復(fù)數(shù)z=l+i,則復(fù)數(shù)z（其中z表示z的共輾復(fù)數(shù)）表示的點在（）上

A.X軸B.y軸c.y=-xD.y=x

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算公式，化解復(fù)數(shù)，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

1_1,1-i?._l-i?._33.

［詳解］復(fù)數(shù)一+z+1—1=/?+：!一尸丁+1-1=彳一彳1,

z1+1+222

所以對應(yīng)的點［T，-1］在直線V=—X上.

故選：C

2.已知貝=耳”是“tana=tan^”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【詳解】若。=夕=萬則tan%tan，不存在，

若tana=tan尸，可得tz=左"+，，故選D

3.已知圓錐的底面圓半徑為6,側(cè)面展開圖是一個半圓面，則該圓錐的體積為（）

第1頁/共20頁

A.1271B,9兀C.3兀D.

3

【答案】C

【解析】

【分析】由圓錐側(cè)面展開圖得圓錐母線，高，再由體積公式計算.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線為/,

由于圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓面，則2口=/兀，

所以/=2尸,

所以圓錐的高/=J/2—,2=，

1

圓錐的體積為％=—兀/?〃

3

故選：C

22

4.已知雙曲線菅—方=1（6>0）的一條漸近線的傾斜角為1,則此雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離

為（）

A.V2B.2C.V6D.34

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)漸近線的傾斜角求出漸近線的斜率，進(jìn)而求得6,再根據(jù)點到直線的距離公式可求出結(jié)果.

【詳解】因為雙曲線，=1伍〉0）的一條漸近線的傾斜角為.，tan[=]

同人2

所以該漸近線的方程為歹=與工，所以;二

解得6=0■或（舍去），所以c=20，

|V3X2A/2-O|

此雙曲線的右焦點坐標(biāo)為（2拒,0）,到一條漸近線氐—3y=0的距離為2.

+（-3）

故選：A

5.一對夫妻帶著3個小孩和一個老人，手拉著手圍成一圈跳舞，3個小孩均不相鄰的站法種數(shù)是（)

A.6B.12C.18D.36

第2頁/共20頁

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)插空法即可求解.

【詳解】將老人位置固定，夫妻兩人在老人左右，此時有A；種站法，

將三個孩子插入兩兩大人之間的空隙中，有A；種站法，

故總的站法有A；A；=12.

故選：B

6.已知遞增的等比數(shù)列｛%｝,%〉0,公比為夕，且%,a3,%成等差數(shù)列，則g的值為（）

A1+V5RV5-1「V5±l?1±V5

2222

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，列出方程求解即得.

【詳解】依題意，％+%=2的，即又?jǐn)?shù)列｛4｝遞增，

而％〉0,則4>1,且1+/=2/,整理得/—q—l=O,解得g=

2

所以q的值為匕且.

2

故選：A

7.已知平面內(nèi)的三個單位向量3、3、入且。年二一，"=口，則""二（）

22

A.0B.C.—D.也或。

222

【答案】D

【解析】

【分析】求出￡、B的夾角、￡、）的夾角，數(shù)形結(jié)合可得出3、"的夾角，利用平面向量數(shù)量積的定義可

求得限）的值.

【詳解】如圖，a=OA>~c=灰,b=OB（或6=近），

第3頁/共20頁

B

C

由=也得cos/COZ=9,又NCO/e[0,可，所以NCQ4=B，

22L」6

—*—*11r--aTT

由。力=—得cosNBCU=—,又NBO/e0,兀，所以N8CU=—,

22L」3

IJT

（或cos/。。/=/,又/。。440,兀],所以NOO/=1）

jrjr

所以B、0夾角為一或一,

62

當(dāng)B、c夾角為:時,則B?己二間?同cos四=；

6????62

TT

當(dāng)5、c夾角為石■時,則石,c=0.

所以譏）=立或0.

2

故選：D.

8.設(shè)方程2ylog2x|=l的兩根為毛，x2（X1<x2）,則（）

A,0<Xj<1,x2>2B.xx>—

C.0<xxx2<1D.%[+x2>3

【答案】C

【解析】

【分析】首先結(jié)合函數(shù)的圖象和零點存在性定理確定士,馬的范圍，判斷AD；再去絕對值后，即可判斷BC.

【詳解】由題意得，0<Xl<x2,由2"log2x|=l得|k）g2x|L=0,

如圖畫出函數(shù)y=|log2x|和y=的圖象，兩個函數(shù)有2個交點，

第4頁/共20頁

令/(%)=睡2._出(x〉o),則/⑴=-g<0,/(2)=d>0，/0=1-[〉0,

由/[1/(1)<0,/。>/(2)<0得x2e(l,2),故A錯；

由|1。82引0=|log2X」O=0,得llogzZHlogzxhg]，

由西€&1],*2e(l,2),得log2X2+log2Xi=g]-、]<0，

即logz^i/vO，所以0<西》2<1，故c對，B錯，

由x2e(l,2),所以苞+/<3,D錯誤.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是將方程的根的問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，并結(jié)合零點存在性

定理，判斷根的范圍，這是這個題的關(guān)鍵.

二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）

9.下列說法正確的是（）

A.若事件/和事件3互斥，P（AB）=P（4）P⑻

B.數(shù)據(jù)4,7,5,6,10,2,12,8的第70百分位數(shù)為8

C.若隨機(jī)變量J服從N（17,/）,P（17<^<18）=0.4,則尸（J〉18）=0.1

D.已知y關(guān)于x的回歸直線方程為3=0.3-0.7x,則樣本點（2,-3）的殘差為—1.9

【答案】BCD

【解析】

【分析】結(jié)合互斥事件易判斷A錯；將8個數(shù)排序，結(jié)合百分位數(shù)概念可判斷B項；結(jié)合二項分布圖象的

第5頁/共20頁

對稱特征得P(J>18)=P(^>17)-P(17<<^<18)；結(jié)合殘差概念可直接判斷D項.

【詳解】對于A,若事件/和事件2互斥，P(45)=0,未必有P(48)=P(/)P(8),A錯；

對于B,對數(shù)據(jù)從小到大重新排序，即：2,4,5,6,7,8,10,12,共8個數(shù)字，

由8x70%=5.6,得這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為第6個數(shù)8,B正確；

對于C,因為變量自服從N(17Q2),且P(17<JW18)=O.4,

則P傳>18)=P(^>17)-P(17<^<18)=0.5-0.4=0.1,故C正確；

對于D,由3=0.3—0.7X,得樣本點(2,—3)的殘差為—3—(0.3—0.7x2)=—1.9,故D正確.

故選：BCD.

10.設(shè)函數(shù)/(x),g(x)的定義域都為R,且/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A./(x)g(x)是奇函數(shù)

B.是偶函數(shù)

C.若8(%)一/(%)=/+/+1,則/⑴+g⑴=1

D.若函數(shù)/(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞減且/(1)=-1,則滿足—1W/(X—2)W1的X的取值范圍是[1,3]

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷AB,根據(jù)奇偶性的性質(zhì)即可判斷C,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷

D.

■解】令尸(x)=/(x)g(x),則尸(-x)=/(-x)g(f),定義域為R,關(guān)于原點對稱，因為/(X)是奇

函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，

所以/(-x)=-/(x),g(-x)=g(x),所以廠(-x)=-/(x)g(x)=-尸(x),所以1(x)=/(x)g(x)

是奇函數(shù)，A正確；

同樣，令G(x)=/(x)|g(x)|,定義域為R,關(guān)于原點對稱，貝!I

G(-x)=/(-x)|g(-x)|=-/(x)|g(x)|=~G(x),所以G(x)是奇函數(shù),B錯誤；

令x=_]代入且(切_/00=/+》2+1,則g(_i)_/(T=(_i)3+(_]『+]=],

又g(-0=g(l)，/(-I)=-/(1)-所以g(l)+/(l)=l,C正確；

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因為/(X)為奇函數(shù)，又/(1)=—1,所以/(—1)=1,

由于/(x)在(—8,+。)上單調(diào)遞減，要使——2)<1成立，則—1KX—2<1,所以l〈x?3,D正

確.

故選：ACD

11.已知體積為2的四棱錐P—45CD,底面/BCD是菱形，23=2,尸/=3,則下列說法正確的是()

兀

A.若尸2,平面48cD,則N54D為一

6

B.過點尸作P。工平面48cD,若Z0J.8D,則BDJ_PC

7T

C.尸幺與底面48CD所成角的最小值為一

6

D.若點P僅在平面48CD的一側(cè)，且45，/。，則尸點軌跡長度為3省萬

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用體積公式即可求解A,根據(jù)空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解B,根據(jù)體積公式以及線面角的性

質(zhì)即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解C,根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解D.

【詳解】設(shè)尸到底面的距離為〃，

114

Vrp—AIRJVC^Un=—3S,RC.n-h=3—AB-ADsinZBAD-h=3—hsinZBAD=2,

|TTSIT

則當(dāng)平面時，h=PA=3,則sin/54D=—,即/氏4D為一或一，A錯誤；

266

如圖1,若P。二平面/BCD,ADu平面/BCD,則尸OLBD,又40_LBD,

尸。nZ。=O,0O,Z。u平面R4O,

則平面R4O,R4u平面尸NO,故BDLPZ,又BD工AC,

PZcNC=4尸4ZCu平面口。，

所以平面上4C,PCu平面上4c,5。J_PC,B正確；

設(shè)R4與底面48CD所成角為，，又「PTBCD二個ABCD，=gs，4scoP/sin。=2,

第7頁/共20頁

.八21

則sin6=^---,因為=4sinZS/。W4,貝！Jsin。2—,

由于

TT

則PZ與底面45CD所成角的最小值為一，C正確;

6

:G

133

如圖2,當(dāng)48_L/。，根據(jù)/TBS=§邑BCD力=2，得〃=5，即尸點到底面48C。的距離為5，過/

點作底面45CD的垂線為/,過點尸作POJJ交/于點。，則尸0=J/。？—2。2=

點P的軌跡是以。為圓心，土叵為半徑的圓，軌跡長度為36兀，D正確.

2

故選：BCD

【點睛】方法點睛：立體幾何中與動點軌跡有關(guān)的題目歸根到底

還是對點線面關(guān)系的認(rèn)知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很容易的看出

動點符合什么樣的軌跡（定義），要么通過計算（建系）求出具體的軌跡表達(dá)式，和解析幾何中的軌跡問題并沒

有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.已知關(guān)于x的不等式依-1>0的解集為且則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可求解.

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2a-1>0,1

【詳解】由且IwM,得<1八所以一<aWl.

a-l<0,2

故答案為：

13.已知拋物線J?=2x的弦45的中點的橫坐標(biāo)為2,則弦48的最大值為.

【答案】5

【解析】

【分析】可采用常規(guī)法，分直線斜率不存在和存在兩種情況討論，直線斜率存在時，由韋達(dá)定理和中點公

式可求左/關(guān)系式，結(jié)合弦長公式和基本不等式即可求解；也可設(shè)拋物線的焦點為3則|48|<|4F|+|BF|,

結(jié)合焦半徑公式轉(zhuǎn)化即可求解.

【詳解】方法一i當(dāng)直線48的斜率不存在時，直線48的方程為x=2,代入j?=2x得y=2或y=—2,

所以|AB|=4；

當(dāng)直線48的斜率存在時，顯然不為零，設(shè)直線48的方程為>=履+方，

代入/=2》消〉并整理得人2X2+（2的—2卜+〃=0,

2kb—2

X]+%=----p-

設(shè)/（西,％）,,判別式A=4—8的〉0時有</

2kh-2

因為弦"的中點的橫坐標(biāo)為2,所以-丁=4’所以獷

1^1=4M^\X2-X\=ViTFx"丁="6k；4

kk

當(dāng)且僅當(dāng)g+l=4—g即k2=g時取到等號，

故弦48的最大值為5.

方法二：設(shè)拋物線的焦點為尸,則|4?歸國川+怛川,

第9頁/共20頁

11

又|/產(chǎn)|+忸同=XlH------H----------=%++1，

222

當(dāng)弦48的中點的橫坐標(biāo)為2時，有為+4=4,所以恒a<5,

當(dāng)直線過焦點尸時取到等號，故弦48的最大值為5.

故答案為：5

oc-BocBsin(a+p)

14.已知cos(a+/?)=-g,coscr+cos/?=1,貝！Jcos-----cos......-

22sina+sin〃

【答案】①.y##0.5②.|

【解析】

【分析】（1）利用余弦的二倍角公式以及兩角和與差的余弦公式求解;

（2）利用正弦的二倍角公式以及兩角和與差的正弦公式求解;

【詳解】由cos（a+〃）=—；得2cos2乞2—1=—則cos?乞2

因為cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny,cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny,

所以cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy,

..ccBex,—B

令x+y=a,x一y二夕o，貝1x=2”二2

a-B

所以cosa+cos^=2cos-----cos

2J

.ct—BocB1

貝ijcos-----cos------=-

222

a—B3a+B

所以cos-----=—cos......-

222

因為sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny,sin(x-=sinxcosy-cosxsiny9,

所以sin(x+y)+sin(x-y)=2sinxcosy,

.0ria+0cc—B

令x+y=—y=/?,貝Ix=2〃=2

a+Boc—B

所以sina+sin/3=2sin------cos......-

22

a+BB

又因為sin(a+2sin------cos......-

22

第10頁/共20頁

c.a+Ba+Ba+B

sin(a+￡)2sm-cos-cos—乙

sina+sin夕2sin+cos~cos"夕3'

222

故答案為：y；y.

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

15.在如圖所示的AZ8C中，有

TT

(2)直線繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一與48的延長線交于點。，若一5。為銳角三角形，48=2,求CD

6

長度的取值范圍.

【答案】(1)5=.|

(2)(73,473)

【解析】

【分析】(1)方法一：移項平方再結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可得COS8=L,則得到N5大??；方法二:

2

D1

利用二倍角的正弦、余弦公式得sin—二—,則得到角5大??；

22

(2)利用余弦定理得再利用正弦定理得一走一+1，再結(jié)合//CS范圍和正切函數(shù)

tanZACB

的性質(zhì)即可得到3范圍.

【小問1詳解】

方法一：由Jcos：+1_si*=0得產(chǎn)手I=sidB，兩邊同時平方可得：

cosB+1.,

---=sm-fi,由sin25+COS25=1，

2

整理得2cos2^+cosB-1=0-解得cosB=,或cosB=-1,

2

第11頁/共20頁

又540,兀），則8=（

方法二:jcos：+[一5111g=0,則jcos2:一2sin：cosg=0,

得以）$烏=0或sinO=L又B.O,兀），則0=巴，B=~.

222263

【小問2詳解】

jI2jIjIjI

由（1）得乙4BC=—,則NCAD=—，由題可知N8CD=—,則/。=—,

3366

設(shè)5C=a,則50=5。=。，

由余弦定理有CZ）2=8。2+3。2—28C.ADCOSNCBD，所以CD=6a，

由正弦定理有生AB

SUL4sinZACB

所以2siM^m^-+ZACBj^cosZACB+sinZACB樞

a—________—______1____________±_—____________________________—____________p]

sinZACBsinZACBsinZACBtanZACB

71

0<ZACB<

2

因為445c為銳角三角形，貝嗎得？"吟

0<Y，

）

（也]

所以tan/ZCHw——,+。,則

I3JtanZACB

所以CD=y/3a=——-——+V3e

tanZACB

即CD的取值范圍為

22

16.已知橢圓沙：二=1（?！?〉0）的右頂點為4左焦點為尸，橢圓水上的點到歹的最大距離是短

a2b2

第12頁/共20頁

半軸長的百倍，且橢圓少過點Jgj.記坐標(biāo)原點為。，圓E過。、/兩點且與直線x=6相交于兩個不同

的點PQ（P,0在第一象限，且P在0的上方），=直線QZ與橢圓平相交于另一個點A

（1）求橢圓平的方程;

（2）求的面積.

22

【答案】（1）—+^-=1

43

40

（2）—

7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合點在橢圓上即可求解，

（2）根據(jù)切線的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)，可得。（6,4）,即可求解斜率，進(jìn)而可得直線QZ方程，即可聯(lián)立直

線與橢圓方程求解B點坐標(biāo)，根據(jù)弦長公式以及點到直線的距離公式即可求解面積.

【小問1詳解】

l[a=2c.

依題有Q+C=V§6，又/一/=/=（Q+C）（Q—C）=/二'（a—c”人,所以,拒,

22

所以橢圓少的方程為4+2=1,

又點11,萬]在橢圓少上，所以■為+=

解得c=l,

22

所以橢圓少的方程為土+匕=1.

43

【小問2詳解】

設(shè)“6,力），外〉為〉0,<9（0,0）,4（2,0）,

因為|尸0|=|。4],所以力7。=2,①

（yp+yn'}

圓E過點o與/且與直線x=6相交于兩個不同的點尸，Q,則圓心￡的坐標(biāo)為1,—,

I2J

I77vI72y

又忸。|=|￡P(guān)|,所以F+（6—咪+上也，

NI2J丫12,

第13頁/共20頁

解得4為=24,②

（另法一：設(shè)直線x=6與x軸交于點G,則有|G4||GO|=|GQ||GP|,

又|G4|=4,|G0|=6,所以_^歹0=24,②

yp+

另法二：由|。4|=盧。知，^Q=6-1,yF+ye=10,②）

由①②解得力＞=6,＞°=4,

所以0（6,4）,=2^=1,

所以直線。4的方程為y=x—2,

與橢圓方程聯(lián)立消去丁得7——16x+4=0，

一2

解得B點的橫坐標(biāo)xB=—,

所以3kJ（—l『+仔.％一詞=應(yīng)＞6—＞竺餐

|-2|廣

又O到直線。/的距離d=J；）2+]2=Y2,

，辿1,行=竺

所以△008的面積s=?4

277

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中求值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何

特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可

首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值.

17.如圖，在四棱錐P—48CD中，AB//CD,48=4,CD=2,BC=2,PC=PD=3,平面PC。，

第14頁/共20頁

平面/BCD,PD1BC.

(1)證明：BC1平面PCD；

(2)若點。是線段PC的中點，M是直線Z0上的一點，N是直線尸。上的一點，是否存在點M,N使得

=撞?請說明理由.

9

【答案】(1)證明見解析

(2)不存在，理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，進(jìn)而可得線線垂直，根據(jù)線面垂直的判定即可求解

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解異面直線的距離，即可求解.

【小問1詳解】

如圖，取CD的中點O,因為尸C=PO=3,則尸

因為平面PCD,平面48CD,平面PC。。平面48CD=CD,POu平面PCD,

所以平面48CD,

又BCu平面48CZ),

所以POIBC,又BC，PD,POu平面尸CD,尸。U平面PC。，PDcPO=P,

因為尸。=尸。=3,。為CD的中點，。。=1,所以尸。=,尸。2_。。2=2&,

過點。作0E〃8c交AB于點E,則由工平面PCD,CDu平面PCD，可得BCVCD,

則以。為原點，OE,OC,OP分別為x軸、f軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

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則。（0,0,0）,^（2,-3,0）,20,-,,0（0,—1,0）,P（0,0,272）,

所以而=1—2彳,行］,麗=(0,1,2后)，AD=(-2,2,0),

設(shè)與而，歷都重直的向量為為=(x/,z),

3

nAQ=-lx+—y+也z=0,戶小

則《r得＜

V2

五-DP=y+2A/2Z=0,z~/，

令)=4,則為=(6,4,—收)

設(shè)直線AQ與直線DP的距離為d,

|皿小卜12+8|_202下

則1=\AD\-cosAD,n

|H|-J36+16+2—99

則不存在點M和N使得MN=2區(qū)

9

18.已知函數(shù)/(x)=xlnx的導(dǎo)數(shù)為/'(x).

(1)若/(x)之日-1恒成立，求實數(shù)A的取值范圍；

(2)函數(shù)/(x)的圖象上是否存在三個不同的點2(西,必)，B(x2,y2),。(/，%)(其中占</<七且

Xi，%,七成等比數(shù)列)，使直線/C的斜率等于/'(%)?請說明理由.

【答案】(1)(—8『

(2)不存在，理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意參變分離可得，\nx+->k,進(jìn)而可得仙+工>k,即可求解；

xIXJmin

(2)根據(jù)題意，可設(shè)公比為q(4>l),貝！|，￡=/修，結(jié)合題意可得

為3=七皿f皿=/+,2%)-1%八切=1+1叫=1+1叫+1%，從而有

工3_X]X3-Xxq_1

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q(政1+J；)1m]+inq+hU],化簡得Ing，.+；=0,設(shè)函數(shù)"(x)=Inx—日>1)，討

論其零點個數(shù)求解.

【小問1詳解】

/(x)>Ax-1恒成立即xlwc>kx-\恒成立，

又x>0,所以lnx+工2友恒成立，

x

今且(工)=1政+工(工〉0),所以8’(%)=工_3=^7^，

XXXX

當(dāng)0<x<l時，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>l時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)x=l時，g(x)取到極小值也是最小值，且g(l)=L

所以左<1,

故實數(shù)片的取值范圍為(—8』.

【小問2詳解】

x1,x2,x3成等比數(shù)列且Xj<x2<x3,

設(shè)公比為q(q>l),則X2="1，x3=q~xx,

,

/(x)=xlnx求導(dǎo)得/'(x)=l+lnx,所以/(x2)=l+lnx2=1+1叫+1%，

直線AC的斜率為上&=￡1nx「'J叫=&2一)一1為

工3_X]工3一匹q—1

若存在不同的三點A,B,C使直線ZC的斜率等于/'(%)，

則有央1%+21*1叫》叫明,

妙-1

2-l

整理成Inq—'a公=0.

丫2_114x1)

令"(.丫)=向一三有紅>：!)，則A(x)=1-2=「『20,

x+1X(X+1)XIX+1)

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2_]

所以/z（x）=lnx—三二在x>l時單調(diào)遞增，而力。）=0,

X+1

a2-l

故方程Inq-4一=0在q>1時無實數(shù)解，

q+1

所以不存在不同的三點/,8,c,使直線AC的斜率等于r（x2）.

a2-l

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是根據(jù)斜率關(guān)系式得到Inq-11=0,再利用導(dǎo)函數(shù)得到其單

調(diào)性，則得到結(jié)論.

19.2023年10月11日，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉團(tuán)隊成功構(gòu)建255個光子的量子計算機(jī)原型機(jī)“九章三號”

求解高斯玻色取樣數(shù)學(xué)問題比目前全球是快的超級計算機(jī)快一億億倍.相較傳統(tǒng)計算機(jī)的經(jīng)典比特只能處于

0態(tài)或1態(tài)，量子計算機(jī)的量子比特（qubit）可同時處于0與1的疊加態(tài)，故每個量子比特處于0態(tài)或1

態(tài)是基于概率進(jìn)行計算的.現(xiàn)假設(shè)某臺量子計算機(jī)以每個粒子的自旋狀態(tài)作為是子比特，且自旋狀態(tài)只有上

旋與下旋兩種狀態(tài)，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子間的自旋狀態(tài)相互獨立.現(xiàn)將兩個初始狀態(tài)

均為疊加態(tài)的粒子輸入第一道邏輯門后，粒子自旋狀態(tài)等可能的變?yōu)樯闲蛳滦?，再輸入第二道邏輯門后，

粒子的自旋狀態(tài)有P的概率發(fā)生改變，記通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數(shù)為X.

（1）若通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數(shù)為2,且0=工，求兩個粒子通過第一道邏輯門

3

后上旋粒子個數(shù)為2的概率；

（2）若一條信息有“（〃>1,"eN*）種可能的情況且各種情況互斥，記這些情況發(fā)生的概率分別為Pi，

夕2，…，Pn>則稱*=/（，1）+/（22）+…+/（P"）（其中/（x）=—xlog2X）為這條信息的信息燧.試

求兩個粒子通過第二道邏輯門后上旋粒子個數(shù)為X的信息嫡H；

（3）將一個下旋粒子輸入第二道邏輯門，當(dāng)粒子輸出后變?yōu)樯闲Ｗ訒r則停止輸入，否則重復(fù)輸入第二道

邏輯門直至其變?yōu)樯闲Ｗ?，設(shè)停止輸入時該粒子通過第二道邏輯門的次數(shù)為丫（7=1,2,3,…，n,

-）.證明：當(dāng)〃無限增大時，y的數(shù)學(xué)期望趨近于一個常數(shù).

參考公式：0<9<1時，limqn=0,limnq=0.

n—>+coH—>+oo

4

【答案】（1）-

9

⑵3