2024年全國初中生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與創(chuàng)新能力競賽初二組決賽試題答案

2024年全國初中生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與創(chuàng)新能力競賽件的情況下將OE繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中以下保持定值的有(B)個.

①CE-CG；②NAFO+NOQ5③四邊形CFOO的面積；@45OCE-S^OCG.

(初二組)決賽試題A

(考試時間：120分鐘滿分：140分)A.1B.2C.3D.4

一、選擇題(本題滿分42分，每小題7分)

二、填空題(本題滿分28分，每小題7分)

1若實(shí)數(shù)a,b滿足。+人=1一百，則(D)

7.警犬日常訓(xùn)練中在跑一段山坡，上山速速是80米分，到達(dá)山頂后再下山，下山的速度是上山速度的3

A.a,。都是有理數(shù)B.a-b的結(jié)果必定為無理數(shù)

倍，如果上、下山的路程相同，那么警犬跑這段山路的平均速度是120米/分

C.a,b都是無理數(shù)D.的結(jié)果可能為有理數(shù)8.已知{%}=尤-㈤(㈤表示不超過％的最大整數(shù)),設(shè)方程4^—2014%={1}的兩個不同實(shí)數(shù)解為了1,

2.小霞同學(xué)定義了兩種新運(yùn)算：D(x)=%+1,R(%)=x-2(%為實(shí)數(shù))，例如：D(2)=2+1=3,R(3)

處則20152X(xi+x2)=-807209

=3-2=1.若。為實(shí)數(shù)，則下列運(yùn)算正確的是(D)

—401

A.2D(Q)=R(2。)B.2R(D(a))=R(D(2a))

9.如果一個各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的四位自然數(shù)〃友/(cWd),滿足2(a-匕)=c+d,則稱這個四位

C.R(2D(a))=2D(R(a))D.R(D(2a))=D(R(2a))

數(shù)為“倍差等和數(shù)”.例如：四位數(shù)5171,?.,7WL2X(5-1)=7+1,，5171是“倍差等和數(shù)”；

3.已知等式----------+------------+------------=1成立，則％,y,z中可能為0的數(shù)有幾個？又如：四位數(shù)6321,???2X(6-3)=2+1,A6321不是“倍差等和數(shù)”.最大的“倍差等和數(shù)”為9731；

(z+%)(z+y)(x+y)(%+z)(y+x)(y+z)

將“倍差等和數(shù)"M=abed的個位數(shù)字去掉后得到一個三位數(shù)，該三位數(shù)和M的個位數(shù)之差能被7整

(C)

1?

A.0,1B.0,1,2C.1D.0除，令G(M)=d-a-屋+b,若------為整數(shù)，則滿足條件的數(shù)M的最小值為5331.

G(M)

4.柯橋區(qū)某學(xué)校開設(shè)了5個STEAM課程，分別為S1、52、S3、54、55,有A、B、C、D.￡共5人一起去

10.在aABC中，AB=10,BC=6,AC=8,點(diǎn)D在線段BC上從點(diǎn)C向B移動，同時，點(diǎn)E在線段AB上由

報名STEAM課程，每人至少報一個課程.已知5、C、。、E分別報名了4、3、3、2個課程，而51、

點(diǎn)B移動，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時運(yùn)動停止，已知它們的運(yùn)動速度相同，連結(jié)AD,CE,則AD+CE的最小

S2、53、S4四個課程中在這5人中分別有1、2、2、3人報名，則這5人中報名參加S5課程的人數(shù)有(A)

值為受.

A.5人B.4人C.3人D.6人

三、(本大題20分)

5.如圖，ZVIBC為等腰直角三角形，ZACB=9Q°.若NAO5=45°,則04、OB、OC之間滿足(D)

11.由淺入深是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法.已知權(quán)方和不等式為《+上2絲土生，當(dāng)且僅當(dāng)q=2時，等號

A.OA2+OB2=OC2B.OA2+OB2=2OC2C.O^+OB^OA-OB=2OC2D.0^+0^+41OA>08=20(^xyx+yxy

成立.那么：若正實(shí)數(shù)x,y,Z滿足x+3y+2z=l,試求衛(wèi)生+二一的最小值.

2y+4zx+2y

解??，%+3y+2z=l,

?*.(x+2y)+(y+2z)=1,

原式J-(y+2x)+—=」+*a+2行尸=4+20

2(y+2x)x+2y22(y+2%)+%+2y

???衛(wèi)生+’一的最小值4+272.

2y+4zx+2y

6.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,CO是△ABC的角平分線.過點(diǎn)O的直線交線段CB于點(diǎn)

D,交線段C4的延長線于點(diǎn)￡,作OGLOE,交的延長線于點(diǎn)G,交線段CA于R在滿足以上條

AZACH=30°,

四、(本大題滿分25分)

,等邊△ABC,

12.如圖1,在四邊形A8CO中，DA=DC,ZADC=9G°,AMC是等邊三角形，點(diǎn)上是直線A5上(異

：.ZCAB=60°,

于點(diǎn)A、B)的動點(diǎn)，點(diǎn)E繞著點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)尸處，連接CF.

AZAHC=90°,

(1)ZDAB=____°；

：.HA=HB.

(2)當(dāng)點(diǎn)￡在線段AB上時，如圖2,連接AF.

在RtACHB中，CH=6HB,

①求證：AE=CF；

在RtzMH/中，AF2-AH1=FHZ,

②在線段A8上一定存在一個定點(diǎn)H,滿足A尸2—Hg2=(JWHg+AE)2,請說明理由.

：.AF2-HB2=(FC+CH)2=?HB+AE)2；

(3)當(dāng)點(diǎn)E在直線上時，②中的結(jié)論還成立嗎？說明理由.

(1)解：'：DA=DC,ZADC=90°,(3)解：不一定成立.

當(dāng)點(diǎn)在射線上時，如圖如圖同理尸-序=/

ZDAC=45°,EAB1,2,4442,

:△ABC是等邊三角形，得出A廠2一"32=(/c+cH)2=(J§Hg+AE)2成立；

AZBAC=60°,

AZDAB=ZDAC+ZBAC=\Q5°,

當(dāng)點(diǎn)后在5A延長線上時，如圖3,R?AF2-AH2=F/72,得出A/2_Hg2=(百明一人石產(chǎn)；

故答案為：105；

(2)①證明：:?點(diǎn)E繞著點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)廠處,

同理尸-川尸”得出；

當(dāng)點(diǎn)￡在BA延長線上時，如圖4,A2=2,AF2_HB?=EHB—AE?

；?NEDF=90°,DE=DF,

VZADC=90°,

ZADE=ZCDF,

'：DA=DC,

：./\DAE^/\DCF(SAS),

；.AE=CF；

②理由：延長尸。交AB于點(diǎn)”.

,?ADAE^ADCF,

：.ZDCF=ZDAE=105°.

VZADC=90°,DA=DC,

：.ZDCA=45°,

：.ZFCA=150°,

2024年全國初中生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與創(chuàng)新能力競賽(初二組)決賽試題2024年全國初中生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與創(chuàng)新能力競賽(初二組)決賽試題

.EGCEBnEG_1_V3

五、(本大題滿分25分)FGBFFGV33

在RtZ\A3C中，AC=BC,ZACB=90°,以為斜邊作Rt△研C,ZBEC=90°,再將BE繞點(diǎn)5逆時

?$ABEG_73

針旋轉(zhuǎn)90°得至IJB凡連接成分別交BC,于點(diǎn)G,點(diǎn)。.??--------,

a^BFG，

(1)如圖1,△BEC在右側(cè)，NEBC=30°,AC=2,求△5FG的面積；

._3_9-3V3

S-

(2)如圖2,ZXBEC在右側(cè)，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，求證：DE=CE+DF-,,,BFG_3+°4；

(3)如圖3,△5EC在5C左側(cè)，尸石的延長線過A3的中點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)E在8。的中垂線上時，CE交A5(2)證明：在上截取Z)M=DF,連接AM,CM,

于點(diǎn)H,直接寫出阻皿的值.'.'AB,EF交于點(diǎn)D,

S&BDF

：.ZADM=ZBDF,

?：DM=DF,AD=BD,

：.AADM^ABDF(SAS),

：,AM=BF=BE,ZMAD=ZFBD,

,：ZCAM+ZMAD=45°,ZCBE+ZFBD=45°,

圖1圖2圖3：.ZCAM=ZCBE,

*：AC=BC,AM=BE,

⑴解,"：AC=BC,.,.△CAM^ACBE(SAS),

?**BC=2,：.CM=CE,ZACM=ZBCE,

VZBEC=90°,ZEBC=30°,VZACM+ZBCM=90°,

：.CE=-BC=1,：./MCE=/BCE+NBCM=90°,

2

/.AMCE是等腰直角三角形，

：.BE=YIBC2-CE2=V3,

：.ME=y/2CE,

,?'BE繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得至ljBF,

.'.△BE尸是等腰直角三角形，NEBF=90°,BE=BF=6：.DE=DM+ME=DF+41CE；

13

SAFBF=—BF=—,

皿22

VZBEC=ZEBF=90°,

：.CE//BF,

.ACEGsABFG,

(3)解：作/￡CN=90°,交加延長線于點(diǎn)N,

?:BE繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BF,HErr

：.CE=~i=-=(yl2+I)a,

???4BEF是等腰直角三角形，

：.BE=BF,NBEF=NBFE=45°,VZBEC=ZEBF=90°,

VZBEC=90°,：.HE//BF,

/.ZCEN=45°,：.4DHEs叢DBF,

?；NECN=90°,.HEDE由HEa

???△CEN是等腰直角三角形,BFEFa(1+V2)a

：.CN=CE,NCEN=/CNE=45°,得“E=(&-l)a,

VZECN=ZACB=90°,

：.CH=CE-HE=2a,

：.ZACN=ZBCE,

過點(diǎn)5作ER垂足為點(diǎn)尸，

'：AC=BC,CN=CE,

VZBFE=45°,

：.Rt/\ACN^RtABCE(HL),

???ABFP是等腰直角三角形，

：.AN=BE=BF,/CNA=NCEB=9U0,

,