拋物線及其性質(zhì)（六大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（新教材新高考）（解析版）

第07講拋物線及其性質(zhì)

目錄

真題感悟

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)掌握拋物線的定義、幾從近五年的全國(guó)卷的考查情況來(lái)看，

何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2023年北京卷第6題，5分本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，其中標(biāo)準(zhǔn)方程和

(2)掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何2023年〃卷第10題，5分幾何性質(zhì)考查比較頻繁.拋物線是圓

性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、2023年乙卷(文)第13題，5分雉曲線的重要內(nèi)容，新高考主要考查

離心率).2023年/卷第22題，12分拋物線的定義、方程、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線及

(3)了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.其幾何性質(zhì)的應(yīng)用.

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把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線I。不經(jīng)過(guò)點(diǎn)

F）的距離相等的點(diǎn)的軌跡

拋物線及其性質(zhì)

?夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一、拋物線的定義

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（F史I）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn),

定直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

注：若在定義中有尸e/,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為/的垂線，垂足為點(diǎn)尸.

知識(shí)點(diǎn)二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py（p>0）,其中一次項(xiàng)與對(duì)

稱軸一致，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開(kāi)口方向

/yI

圖形zJ

007

標(biāo)準(zhǔn)

=2px(p>。)y1=-2px(p>o)x2=2py{p>0)x2=-2py(p>0)

方程

頂點(diǎn)0(0,0)

范圍x>0,y￡Rx<0,yeRj>0,xeRy<0,xeR

對(duì)稱軸X軸y軸

焦點(diǎn)嗎,。）Fjg,0)廠(0,§F(0,-9

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離心率e—\

__￡P(guān)PP

準(zhǔn)線方程%X=—戶萬(wàn)

22

焦半徑

AF=-X]+EAF

AF=Xj+—12=y^AF=-y,+—

勺1

4（和％）22

【解題方法總結(jié)】

1、點(diǎn)PCX。,為）與拋物線=2px（p>0）的關(guān)系

（1）尸在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）oy；<2p%.

（2）尸在拋物線上oy；=2px0.

（3）尸在拋物線外o巾>2px0.

2、焦半徑

拋物線上的點(diǎn)P5,%）與焦點(diǎn)F的距離稱為焦半徑，若丁=2Px（p>0）,則焦半徑|PF|=x0+孑，

3、p（p>0）的幾何意義

p為焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線/的距離，即焦準(zhǔn)距，p越大，拋物線開(kāi)口越大.

4、焦點(diǎn)弦

若AS為拋物線V=2px（p>0）的焦點(diǎn)弦，4為必），B（x2,y2）,則有以下結(jié)論：

（1）—~~~.

⑵%%=）?

（3）焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式1：=占+%+P，X[+.22Jx]%=P，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)弦取最小值2p,即

所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長(zhǎng)度為2P.

焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式2：\AB\=^~（a為直線4?與對(duì)稱軸的夾角）.

11sin2a

（）的面積公式：MOB」~（為直線相與對(duì)稱軸的夾角）.

4AAOBSZXMUQ=八?a

2sma

5、拋物線的弦

若A3為拋物線V=2px（p>0）的任意一條弦，A（%，x）,3（%2，%），弦的中點(diǎn)為加（無(wú)（）,%）（%?！悖?，則

（1）弦長(zhǎng)公式：|A理=，1+32歸_曰=Ji+gi_必|（左一=左—0）

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(2)%=上

%

(3)直線A8的方程為y-%=M(%-%o)

%

(4)線段A5的垂直平分線方程為y-%=-&(%-%)

P

6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的快速方法(3法)

4

(1)：/=加(4。0)焦點(diǎn)為(4,0),準(zhǔn)線為％=—4

44

cAA

(2)f=心(440)焦點(diǎn)為?烏)，準(zhǔn)線為y=-色

4-4

如y=4/,即尤2=2,焦點(diǎn)為(0,_L),準(zhǔn)線方程為y=--L

41616

7、參數(shù)方程

/=2Px(p>0)的參數(shù)方程為卜=2m2(參數(shù)/CR)

[y=2pt

8、切線方程和切點(diǎn)弦方程

2

拋物線y=2px(p>0)的切線方程為yoy=p(x+x0),(x0,y0)為切點(diǎn)

切點(diǎn)弦方程為%y=p(x+x0)，點(diǎn)(%,為)在拋物線外

與中點(diǎn)弦平行的直線為%y=p(x+x°),此直線與拋物線相離，點(diǎn)(%,%)(含焦點(diǎn))是弦A8的中點(diǎn),

中點(diǎn)弦A8的斜率與這條直線的斜率相等，用點(diǎn)差法也可以得到同樣的結(jié)果.

9、拋物線的通徑

過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦叫做拋物線的通徑.

對(duì)于拋物線y2=2px[p>0),由A(二,p),B&,一p),可得|AB|=2p,故拋物線的通徑長(zhǎng)為2P.

10、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：%="

0k

11、焦點(diǎn)弦的常考性質(zhì)

已知A小,%)、8(%，必)是過(guò)拋物線丁=29(。>。)焦點(diǎn)廠的弦，M是鉆的中點(diǎn)，/是拋物線的準(zhǔn)線,

MN1.1,N為垂足.

第4頁(yè)共50頁(yè)

（1）以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線/相切，以AF（或2/）為直徑的圓與y軸相切；

（2）FNLAB,FC±FD

2

（3）yxy2=-p

（4）設(shè)皮）_U,。為垂足，則A、（9、。三點(diǎn)在一條直線上

一提升?必考題型歸納

題型一：拋物線的定義與方程

例1.（2023?福建福州?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)P[,2）在拋物線C：J=4x上，則P到C的準(zhǔn)線的距離

為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】拋物線V=4x的準(zhǔn)線為尸-1,

將尸（飛,2）代入產(chǎn)=4尤得%=1,

故尸到準(zhǔn)線的距離為2,

故選：C.

例2.（2023?四川綿陽(yáng)?統(tǒng)考二模）涪江三橋又名綿陽(yáng)富樂(lè)大橋，跨越了涪江和芙蓉溪，是繼東方紅大橋、涪

江二橋之后在涪江上修建的第三座大橋，于2004年國(guó)慶全線通車.大橋的拱頂可近似地看作拋物線

d=-16y的一段，若有一只鴿子站在拱頂?shù)哪硞€(gè)位置，它到拋物線焦點(diǎn)的距離為10米，則鴿子到拱頂?shù)淖?/p>

高點(diǎn)的距離為（）

A.6B.2月C.8g4D.屈

【答案】B

【解析】如圖所示：

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設(shè)鴿子所在位置為點(diǎn)尸（X,y）（x>0,y<0）,

因?yàn)樗綊佄锞€焦點(diǎn)的距離為10米，

所以長(zhǎng)|+4=10,解得y=Y,

貝ijd=-16x（-6）=96,

所以鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c(diǎn)的距離為尸|=次+

|09=2A/33,

故選：B

例3.（2023?內(nèi)蒙古包頭?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線x=2交C于

P,Q兩點(diǎn),C的準(zhǔn)線交無(wú)軸于點(diǎn)R,若尸RLQR,則C的方程為（）

A.y2=4xB.y2=6xC.y2=8xD.y2=12x

【答案】C

【解析】由題可設(shè)拋物線的方程為y2=2px（p>o）,則準(zhǔn)線方程為了=-孑，

可得尸（2,2⑺,Q（2,-21），又PRLQR,

2&-2&=/丫

所以2+“2+'，即。+力=4p,

22、，

解得P=4,

所以C的方程為丁=8北

故選：C

4

變式1.（2023?陜西渭南?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）拋物線y=的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

【答案】B

【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式為Y=：y,

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所以拋物線的焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，

且2P=（,卜5，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為］o,f.

故選：B

變式2.（2023?全國(guó)?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）過(guò)拋物線C：f=2py（p>0）的焦點(diǎn)廠的直線/交C于A,B兩點(diǎn),

若直線/過(guò)點(diǎn)P。,。），且|AB|=8,則拋物線C的準(zhǔn)線方程是（）

3

A.）=-3B.y=-2C.y=~2D.）=T

【答案】D

【解析】因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)歹,費(fèi)）?（1,。），所以直線/的方程為y=-光（x-1）.

4叫

2

整理得/+4p-16=(p—2)(〃2+2p+8)=0,解得p=2,

所以拋物線C的準(zhǔn)線方程是y=-j=-l.

故選：D.

變式3.（2023?廣西防城港?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)42在拋物線丁=4x上,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|Q4|=|。四,

且,AO3的垂心恰好是此拋物線的焦點(diǎn)R則直線的方程是（）

A.x—2=0B.x—3=0C.x-4=0D.x-5=0

【答案】D

【解析】如圖所示，尸（1,。）為oAOB的垂心，下為焦點(diǎn)，

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垂直平分線段43,.,.直線AB垂直于無(wú)軸.

設(shè)A（4產(chǎn),旬，5（4」,Tf）,其中f>0,

戶為垂心，OB±AF,k0B-kAF=-1,

-4t4/.5

即".KrT,解得『二,

二直線AB的方程為x=4產(chǎn)=5,即x-5=0.

變式4.（2023?四川綿陽(yáng)?高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知拋物線E:丁=2Px（p>0）的焦點(diǎn)為

F,準(zhǔn)線為/,過(guò)E上的一點(diǎn)A作/的垂線，垂足為B,點(diǎn)C（p,0）,AF與3c相交于點(diǎn)。.若|A典=3怛。，

且,ACD的面積為3啦，則E的方程為（）

A.y2=4尤B.y2=4A/3X

C./=8xD.寸=8島

【答案】C

【解析】設(shè)點(diǎn)A（x。,%）,拋物線E:/=2川的焦點(diǎn)嗚,0）,準(zhǔn)線x=",

由|AF|=3用得：%+勺3（。-與，解得x0=p,不妨令點(diǎn)A在第一象限，則A（p,0p）,AC±FC,如

圖，

因?yàn)閯t制=器=黑=3,即有點(diǎn)。至心軸距離〃冬，

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SAsMSAb-SocFn'ACITFCj'/Cn^nlxfG^P-l^mnMl^MB逐,解得。=4,

2222416

所以E的方程為V=8x.

故選：C

【解題方法總結(jié)】

求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為：

(1)先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點(diǎn)位置：

(2)根據(jù)題目條件列出P的方程

(3)解方程求出尸，即得標(biāo)準(zhǔn)方程

題型二：拋物線的軌跡方程

例4.(2023?高三課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)尸(1,0),直線/:x=-l,若動(dòng)點(diǎn)尸到點(diǎn)尸和到直線/的距離相等，則

點(diǎn)P的軌跡方程是.

【答案】/=4x

【解析】根據(jù)拋物線定義可知，點(diǎn)尸在以尸(1,0)為焦點(diǎn)，直線/:彳=-1為準(zhǔn)線的拋物線上，

所以］=1,0=2,拋物線方程為y2=4x.

故答案為：/=4x.

例5.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在平面坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P和點(diǎn)”(-3,0)、N(3,0)滿足

\MN\-\MP\+MN-NP=0,則動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程為.

【答案】y2=-Ux

【解析】由題意=(6,0),MP=(x+3,y),NP=(x-3,y),

由IMN|?|MP|+MNNP=0得6j(x+3>+y2+6(x-3)=0,

化簡(jiǎn)得V=-12x.

故答案為：y2=-Ux.

例6.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))與點(diǎn)尸(0,-3)和直線、-3=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是.

【答案】x2=-12y

【解析】由拋物線的定義可得平面內(nèi)與點(diǎn)/(0,-3)和直線，-3=。的距離相等的點(diǎn)的軌跡為拋物線，且

網(wǎng)0,-3)為焦點(diǎn)，直線y=3為準(zhǔn)線,

設(shè)拋物線的方程為%2=-2py(p>0),

可知點(diǎn)=3,解得0=6,

所以該拋物線方程是d=-12y,

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故答案為：x2=-Uy

變式5.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo)滿足J(尤_2)2+y1+2],則動(dòng)點(diǎn)/的軌跡

方程為.

【答案】丁="

【解析】設(shè)尸(2,0)，直線/”=-2,則動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)4的距離為川-2)2+利,動(dòng)點(diǎn)M到直線/：x=-2,的距離

為|x+2],又因?yàn)椤坝?2)2+4=1+2],

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以歹(2,0)為焦點(diǎn)，x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，其軌跡方程為尸=84

故答案為：

變式6.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知?jiǎng)狱c(diǎn)"(羽丫)到定點(diǎn)尸(1,。)與定直線元=0的距離的差為1.則動(dòng)點(diǎn)M

的軌跡方程為.

【答案】V=4x(x20),y=0(x<0)(注：；/=2|x|+2x也算對(duì))

【解析】由題意，若xNO時(shí)，問(wèn)題等價(jià)于|MF|=|x+l|,

則J(x-l)2+y2=(x+l)2，化簡(jiǎn)得_/=4x(x>0),

若x<0,，=0也滿足題意.

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為/=4x(xN0),y=0(x<0).

或者根據(jù)題意有IM刊-1m=1,則J(x-1)2+戶|元|=1,化簡(jiǎn)整理得：y2=2|x|+2x.

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為V=21x|+2x.

故答案為：y2=4x(x>0),y=0(x<0)(注：>2=2卬+2%也算對(duì))

變式7.(2023?遼寧沈陽(yáng)?高三沈陽(yáng)二中校考階段練習(xí))點(diǎn)A(L0),點(diǎn)8是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，線段尸8的中點(diǎn)E在

y軸上，且AE垂直PB,則P點(diǎn)的軌跡方程為.

【答案】V=4X(XH0)

【解析】設(shè)P5,y),8(利,0),則中點(diǎn)E坐標(biāo)為由f=0得〃z=r,即E(0弓)，

又AE1.PB,

若x=0,則相=0,尸,8重合，直線P3不存在.

所以軌跡方程是V2=4X(XR0).

故答案為：y2=4x(xw0).

變式8.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知?jiǎng)訄A尸與定圓C：(x+2)2+^=1相外切，又與直線x=l相切，那

么動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是

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【答案】尸-8%

【解析】設(shè)圓心P到直線x=l的距離等于r，P（x,y）,由題意可得PC=\+r,即J（x+2>+y2=1+1

-無(wú)，化簡(jiǎn)可得/=-8x.

故答案為：產(chǎn)=-8尤.

變式9.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)動(dòng)圓與定圓尸:（彳-3）2+）/=4相外切，且與直線/:尤=-1相切，

則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.

【答案】r=12x

【解析】由題意可知，圓廠的圓心為尸（3,0）,半徑為2,

由于動(dòng)圓與定圓F：（x-3y+y2=4相外切，且與直線/:x=—l相切，

動(dòng)圓圓心到點(diǎn)F的距離比它到直線/的距離大2,

所以，動(dòng)圓圓心到點(diǎn)F的距離等于它到直線x=-3的距離,

所以，動(dòng)圓圓心的軌跡是以點(diǎn)尸（3,0）為圓心，以直線x=-3為準(zhǔn)線的拋物線，

設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程為V=2px,則光=3,可得。=6,

所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程為V=12x.

故答案為：y2=12x.

變式10.（2023?上海?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)4（1,0）,直線/：尤=-1,兩個(gè)動(dòng)圓均過(guò)點(diǎn)A且與/相切，其圓

心分別為C］、C2,若動(dòng)點(diǎn)/滿足2GM則/的軌跡方程為.

【答案】y2=2x-l

【解析】由拋物線的定義得動(dòng)圓的圓心軌跡方程y2=4x,設(shè)G（a,b）,G（〃?，〃），M（x,y）,根據(jù)

2c2M=C2G+C2A可得a=2x-1,b=2y,利用=4°可求得結(jié)果.由拋物線的定義得動(dòng)圓的圓心軌跡是以

4（1,0）為焦點(diǎn)，直線/：產(chǎn)-1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y2=4x,

設(shè)G（a,6）,C式m,n）,M（x,y）,因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)又滿足2c=GG+。2人，

所以2（x-m,y-〃）=（a-m5b-〃）+（1-:%-"）,即2x=a+l,2y=b,

所以a=2x-l,b=2y,因?yàn)椤?4°,所以.a=4（2x-l）,

所以y2=2x-l,即M的軌跡方程為9=2尤-1.

故答案為：y2=2x-l

變式11.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)4-4,4）、8（4,4）,直線AM與相交于點(diǎn)M,且直線40的

斜率與直線的斜率之差為-2,點(diǎn)M的軌跡為曲線C,則曲線C的軌跡方程為

【答案】x2=4y（x^±4）

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【解析】設(shè)M（x，y）,由題意可得：三-三=-2,化簡(jiǎn)可得曲線C的軌跡方程.設(shè)M（x,y）,由題意可得:

x+4x-4

y-4y-4=

x+4x-4

化為X2=4y.

曲線C的軌跡方程為d=今且（xn±4）.

故答案為：f=4y（x#±4）.

【解題方法總結(jié)】

常見(jiàn)考題中，會(huì)讓我們利用圓錐曲線的定義求解點(diǎn)尸的軌跡方程，這時(shí)候要注意把動(dòng)點(diǎn)尸和滿足焦點(diǎn)

標(biāo)志的定點(diǎn)連起來(lái)做判斷.焦點(diǎn)往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為F的點(diǎn)；（3）

圓心；（4）題上提到的定點(diǎn)等等.當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特

征的點(diǎn)連起來(lái)結(jié)合曲線定義判斷.注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍.

題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問(wèn)題

例7.（2023?江蘇無(wú)錫?校聯(lián)考三模）己如尸（3,3）,/是拋物線丁=4尤上的動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過(guò)/作圓

C:（尤-2）2+9=4的切線，切點(diǎn)為A,貝+的最小值為.

【答案】3

【解析】依題意，設(shè)M（尤0,%）,無(wú)o>0,有y：=4x（）,圓C:（x-2>+）?=4的圓心C（2,0）,半徑廠=2,

于是IMA|=JlMCj=-2）2+-4=病=X。，

因此=5+|網(wǎng)，表示拋物線C上的點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離與到定點(diǎn)P的距離的和，

而點(diǎn)尸在拋物線C內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)M是過(guò)點(diǎn)P垂直于y軸的直線與拋物線C的交點(diǎn)時(shí)，天+|MP|取得最小值3,

所以4HMp|的最小值為3.

故答案為：3.

例8.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P（x。,幾）是拋物線V=4x上的動(dòng)點(diǎn)，則應(yīng)M+民-%+1|的

最小值為.

【答案】2-V2/-V2+2

【解析】由題可知，過(guò)拋物線y?=4x上的動(dòng)點(diǎn)九）作直線/：x-y+l=。的垂線交直線于過(guò)點(diǎn)

第12頁(yè)共50頁(yè)

夕（￡。,兀）作y軸的垂線交y軸于Q,交準(zhǔn)線于G點(diǎn)，廠為拋物線焦點(diǎn),

由y2=4x,得P=2,所以歹（1,0）,如圖所示

所以a+四二產(chǎn)=\PQ\+\PM\=\PG\+\PM\-I=\PF\+\PM\-I,

72

當(dāng)且僅當(dāng)尸、尸、M三點(diǎn)共線時(shí)，I尸Q|+|p閭有最小值，即「。+|尸閭=|尸耳+儼閭-1習(xí)皿F|-l（此時(shí)為

點(diǎn)尸到直線/的距離），

所以網(wǎng)1,0）到直線/：x-y+l=O的距離為|〃刊=號(hào)=71,

所以"簽司T二行T'

所以血飛+-%+1]=亞|x0+――p----122-^2.

所以遮為+氏-%+［的最小值為2-JL

故答案為：2-亞

例9.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)="公-3d-4x+5--15尤2+2工+17的最大值

為.

【答案】3亞

【解析】將給定的函數(shù)表達(dá)式變形為/（x）=^（X-2）2+（2X2-1）2-^（X+1）2+（2X2-4）2，

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P（x,2f）到點(diǎn)4（2,1）與8（-1,4）距離之差的最大值，

而點(diǎn)尸的軌跡為拋物線y=2Y,如圖所示，

第13頁(yè)共50頁(yè)

由4、2的位置知直線AB必交拋物線y=2/于第二象限的一點(diǎn)C,

由三角形兩邊之差小于第三邊可知P位于C時(shí)，AM才能取得最大值.

/UUHAS1=7979=372.

故答案為：372.

變式12.（2023?廣西南寧?南寧三中校考模擬預(yù)測(cè)）已知斜率為73的直線/過(guò)拋物線/=2Pxs>0）的焦點(diǎn)廠,

且與該拋物線交于A,8兩點(diǎn)，若|AB|=8,P為該拋物線上一點(diǎn)，。為圓C“+￡|2+（y_i）2=i上一點(diǎn)，則

\PF\+\PQ\的最小值為.

【答案】麗-1/-1+疝J

【解析】由題可知直線AB的方程為了=若（"￡|,設(shè)4（.必）,85,%），則

由，，二若卜一萬(wàn)［消去九整理得12/一20.+3P2=。，，

y2=2px

所以X|+W=第，

所以|4同=%+々+2=學(xué)+°=曰=8,解得P=3,

所以嗚oj,而圓c的圓心c1|』j

因?yàn)閨尸典+|P<引加以CF|TC0=|CF|-I,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)CQ,P,尸在同一條直線上取等號(hào)，且點(diǎn)。位于點(diǎn)C,P之間，如圖所示：

第14頁(yè)共50頁(yè)

所以I尸月+|PQ|的最小值為&6一1.

故答案為：A/10-I.

變式13.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）己知拋物線C:y2=16x,其焦點(diǎn)為R尸。是過(guò)點(diǎn)尸的一條弦，定

點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2,4）,當(dāng)|叢|+|尸產(chǎn)I取最小值時(shí)，則弦PQ的長(zhǎng)是.

【答案】25

【解析】拋物線C:/=16x的焦點(diǎn)廠（4,0）,準(zhǔn)線為x=-4,

如圖，過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線％=-4的垂線尸尸"垂足為P,

則|PF|=|PP],

所以|必+|附=|到+|PP閆H4|,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,P'三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)|咫+|P同取最小值時(shí)，A（2,4）P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,

當(dāng)0=4時(shí),x=l,即尸（1,4）,

4-04

所以”XV，

4

所以直線尸。的方程為y-4=-1）,

4

聯(lián)立"3（）,消y得/-17x+16=0,解得x=l或x=16,

y2=16%

當(dāng)x=l時(shí)，y=4,即。（16,-16）,

所以|尸。|二J（l-16『+（4+16『=25.

故答案為：25.

第15頁(yè)共50頁(yè)

變式14.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)M為拋物線V=2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓元2+（y一封=5上的動(dòng)

點(diǎn)，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和最小值為.

辰-2小T

【答案】

2

【解析】由題可知，拋物線丁=2x的準(zhǔn)線方程為x=-;，焦點(diǎn)坐標(biāo)為歹（；,0）,

由拋物線的定義可知點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離即為|加可-1,

圓+（y-4=5的圓心坐標(biāo)為E（0,4）,半徑為R=石,

故點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和+,

根據(jù)圓的性質(zhì)可知點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和最小值為

舊創(chuàng)p1相片1病-2有一1

\EF\-R——=--------，5——=------------?

112222

故答案為：而一2二-1

2

變式15.（2023?四川南充?高三四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)（1,0）的直線/交拋物線V=4x于48

兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,-1）.設(shè)線段的中點(diǎn)為M,則21Mq+|明的最小值為.

【答案】8

【解析】由題意拋物線/=4尤的焦點(diǎn)為尸（L0）,準(zhǔn)線方程為尸-1,過(guò)點(diǎn)8,4作準(zhǔn)線的垂線,

垂足分別為與，A，取A隹的中點(diǎn)為連接如下圖所示:

第16頁(yè)共50頁(yè)

點(diǎn)c到準(zhǔn)線的距離為4=4,易知四邊形AAB片為直角梯形，則由拋物線的定義可得

\A^=\AF\+\F^=\BiB\+\AAl\=2\MMi\.

即2阿C|+|AB卜2（|MC|+|肋%I"2d=8（當(dāng)MM，C三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)）

即2|MCj+|AB|的最小值為8.

故答案為：8

變式16.（2023.遼寧大連?育明高中?？家荒＃┮阎?幾）是拋物線/=4x上一點(diǎn)，則百xo+|2%-%+13|

的最小值為.

【答案】15-君/一班+15

【解析】由題可知，過(guò)拋物線V=4x上的動(dòng)點(diǎn)尸億，兒）作直線/;2x-y+13=0的垂線交直線于M,過(guò)點(diǎn)

戶（為,九）作，軸的垂線交y軸于Q,交準(zhǔn)線于G點(diǎn)，廠為拋物線焦點(diǎn).

由丁=4彳，得p=2,所以尸（1,0）,如圖所示

12%-%+131

+x=PM+PQ=PM+PG-1=PM+PF-l^

所以-30

當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)、P、”三點(diǎn)共線時(shí)，PM+PQ有最小值，即尸M+PQ=9+P尸-12M尸一1,（為點(diǎn)尸到直

線/的距離）.

所以“1,0）到直線/：2x-y+13=O的距離為

2xl-013|J5

MF=+=

V5V5

第17頁(yè)共50頁(yè)

所以12%-0+13|+%zM尸一1=3若一1,

所以底:。+|2%-%+13卜可12%年+131+4石（3君-1）=15-75.

所以底:。+|2無(wú)。-%+13|的最小值為15-75.

故答案為：15-6.

變式17.（2023?江西南昌?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線尸=人的焦點(diǎn)為歹，過(guò)廠的直線交拋物線于A,

8兩點(diǎn)，則|”|+4忸青的最小值是.

【答案】9

【解析】依題意，

因?yàn)閽佄锞€9=4x的焦點(diǎn)為尸，所以尸（1,0）,p=2

①當(dāng)左斜率存在時(shí)：因?yàn)橹本€交拋物線于A,B兩點(diǎn)，所以上W0,

設(shè)過(guò)尸的直線的直線方程為：y^k（x-l）,4（石,％）,8（々,%），

由拋物線定義得：\AF\=xt+^,\BF\=x2+^,

由，2=g；T）消V整理得：入~2左+4）x+笈2=0,

所以占％=1,即三=1，

玉

所以仙尸|+4忸司=石+4/+—=+—+5>2/^x—+5=9；

2Xyyl

②當(dāng)左不存在時(shí)，直線為x=l,此時(shí)|A同=忸刊=1+§=2,

所以|AF|+4怛司=2+4x2=10；

綜上可知，|AF|+4怛同的最小值為:9.

故答案為：9.

變式18.（2023?上海嘉定?上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？既＃┮阎c(diǎn)尸是拋物線丁=8了上的動(dòng)點(diǎn)，。是圓

PO

（x-2）2+丁=1上的動(dòng)點(diǎn)，則質(zhì)?的最大值是.

【答案】-1^

77

【解析】拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為b（2,0）,準(zhǔn)線為/;=-2,

圓（x—2『+y2=i的圓心為網(wǎng)2,0）,半徑廠=1,

第18頁(yè)共50頁(yè)

過(guò)點(diǎn)尸作尸3垂直準(zhǔn)線/,垂足為8,由拋物線的定義可知|尸國(guó)=|尸耳,

設(shè)夕依，九），則嬴，|尸@封尸司一1=|陽(yáng)一1=%+2-1=毛+1,

令1=工0+1,則冗0=%—1,

所以行系=尸產(chǎn)L…3=0K，

所以當(dāng)即f=:時(shí)，J-7（1-%+3取到最大值生區(qū),

t73Vr777

所以JR;:;的最大值為印，

因此瞥行好￥所以相的最大值是冬

故答案為：生女.

7

變式19.（2023?江西校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知產(chǎn)（%,％）,。（々,%）是拋物線f=4y上兩點(diǎn)，且

%+%+2=竽|尸。|，F(xiàn)為焦點(diǎn),則NPFQ最大值為.

【答案】92

【解析】拋物線x?=4y的焦點(diǎn)網(wǎng)0,1）,

由題得，yl+y2+2=yl+l+y2+l=\PF\+\QF\=^y/3\PQ\,

即|尸。|=孝（|相|+|。目），

故c股冏R(shí)城-間「陽(yáng)川附一：（陽(yáng)+阿2

2\PF\-QF\2\PF\-\QF\

第19頁(yè)共50頁(yè)

=|「殲+|Q殲一6歸斗|0同＞2|尸斗|0目一6|產(chǎn)刊也刊=_]_

8\PF\-\QF\-8|PF|-|eF|~~2，

即cosN/*Q"g,因?yàn)镹/NQe（（U）,且余弦函數(shù)在（。㈤內(nèi)單調(diào)遞減,

OJr

故NP尸。4與，當(dāng)且僅當(dāng)|P同=|。同時(shí)成立.

2兀

故答案為：y.

變式20.（2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知P是拋物線/=4x上的動(dòng)點(diǎn)，P到y(tǒng)軸的

距離為4,到圓。:（》+3）2+（丫-3）2=4上動(dòng)點(diǎn)0的距離為4，則4+4的最小值為.

【答案】2

【解析】圓。:。+3）2+（＞一3）2=4的圓心為。（一3,3）,半徑廠=2,

拋物線V=4x的焦點(diǎn)廠（L0）,準(zhǔn)線方程為x=-l,

過(guò)點(diǎn)尸作準(zhǔn)線x=-l的垂線，垂足為P,

因?yàn)槭菕佄锞€V=4x上的動(dòng)點(diǎn)，P到了軸的距離為4，

到圓C:（x+3）2+（y-3）2=4上動(dòng)點(diǎn)。的距離為4，

所以4=|PP|-1=|尸盟-1,4=|尸。2戶。-2,當(dāng)且僅當(dāng)P,Q,C三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，且點(diǎn)。在線段尸C上，

所以4+亂＞尸尸卜l+|PC|—2,

又忸同+|尸。2但。，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)p為線段尸C與拋物線的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，又用=,（一3-1），+（3-0）2=5,

所以4+422,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為線段尸。與拋物線的交點(diǎn)，點(diǎn)。為線段尸C與圓C的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，

所以4+4的最小值為2,

故答案為：2

第20頁(yè)共50頁(yè)

,J

OiFx

x=-l

變式21.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))*

的最小值為_(kāi)___.

【答案】個(gè)

(2、

【解析】易知?jiǎng)狱c(diǎn)尸為■，相的軌跡為拋物線C：/=6%,C的焦點(diǎn)為"，設(shè)尸到。的準(zhǔn)線的距離為d,

…2Q1，…21、2(、2ZQ1\2./cT

=d+\PA\=|PF|+|PA|>\AF\=

02人0”<2)....................八,/<22)2

故的最小值為書(shū)二2.

故答案為：叵0.

2

變式22.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知點(diǎn)M(-3,2)是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn),若拋物線y2=2X的焦點(diǎn)為廠,

點(diǎn)。是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，貝UMQHQH的最小值是_______.

【答案】1/2.5

【解析】

第21頁(yè)共50頁(yè)

拋物線的準(zhǔn)線方程為X=-;，

過(guò)點(diǎn)Q作QQ'垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)。'，

\MQ\-\QF\=\MQ\-\QQ\

顯然，當(dāng)平行于x軸時(shí)，

|MQ|-|紗|取得最小值,此時(shí)。（2,2）,

此時(shí)惘。|一|。司=|2+3|-2+g=g

故答案為：；

變式23.（2023?福建福州?高三福建省福州第八中學(xué)校考階段練習(xí)）已知P為拋物線丁=以上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

。為圓/+（y-4）2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)尸到點(diǎn)。的距離與點(diǎn)p到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值

是.

【答案】V17-1/-1+A/T7

【解析】由題可知，拋物線產(chǎn)=4x的準(zhǔn)線方程為x=-l,焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸（1,0）,

圓/+（k4『=1的圓心坐標(biāo)為E（0,4）,半徑為R=l,

設(shè)點(diǎn)尸到拋物線準(zhǔn)線的距離為PP,則PP=P尸，i^PP'+PQ=PF+PQ,

所以當(dāng)動(dòng)點(diǎn)。，尸位于線段E尸上時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)尸到拋物線準(zhǔn)線的距離之和最小，

此時(shí)尸P+PQ=EF-R=JF7-1.

第22頁(yè)共50頁(yè)

故答案為：歷-1.

拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，利用這一定義可以把相等長(zhǎng)度的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，

從而把兩條線段長(zhǎng)度之和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題或點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，即在解題中掌握“拋物線

的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線上的點(diǎn)到定直線（并非準(zhǔn)線）距離的最值問(wèn)題用參數(shù)法或切線法求解.

題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問(wèn)題

例10.（2023?四川樂(lè)山?統(tǒng)考三模）已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,過(guò)點(diǎn)尸的直線交C于P,

Q兩點(diǎn)，PH□于H,若|"刊=|尸同，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△PW與的面積之比為（）

A.6B.8C.12D.16

【答案】C

【解析】依題意，由于H,^\PH^\PF\=\HF\,即是正三角形，ZPFx=ZFPH=60,

而％2,0）,則直線PQ的方程為y=?x-2）,

由［'J,。-2）,消去丫并整理，得3x2-20x+12=0,

U=8x

2

令尸（不，%），。（%2，%），解得七=6,%2=§，又準(zhǔn)線/：X=-2,

Q

因止匕IPF|=&+2=8,|QF|=%+2=耳，

第23頁(yè)共50頁(yè)

1

q-|PF|29sin60解

所以△PFH與的面積之比?也=Y^--------------=丹=12.

5OFQ1|2F|.|OF|sin60|x2

故選：C.

例11.（2023?山東青島?統(tǒng)考二模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/過(guò)拋物線。：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)尸，與。及

其準(zhǔn)線依次交于AB,C三點(diǎn)（其中點(diǎn)8在AC之間），若|AF|=4,怛。=2怛同，則Q4B的面積是（）

A.73B.拽C.273D.巫

33

【答案】B

【解析】過(guò)點(diǎn)8作垂直于準(zhǔn)線，垂足為過(guò)點(diǎn)A作4V垂直于準(zhǔn)線，垂足為N,

設(shè)準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)P,

如圖，

則忸閭=忸司,網(wǎng)=|"|=4,

在，MBC中，忸。=2忸h，所以忸C|=2忸閭,所以NMCB=30。,

在，4VC中，|AC|=2|4V|=8,

所以|AC=|AF|+|CF|=8,所以|CF|=8—|A目=4.

又軸，ZMCB=30°,所以歸耳=Jc/1=2.

又拋物線D-y2=lpx,則+'］，/聲］，

所以|PF|=5+5=0=2,所以拋物線》產(chǎn)=4x,點(diǎn)*1,0).

因?yàn)?MCB=30。，所以直線A3的斜率k=-0,

則直線AB：y=-g(x-l),

y2=4x

與拋物線方程聯(lián)立r-八,消y并化簡(jiǎn)得3%2一10%+3=0,

y=-6(1(-1)

第24頁(yè)共50頁(yè)

設(shè)點(diǎn)人阮,%）,*%,%）,則%+4=可，

貝|]|陽(yáng)=忸司+網(wǎng)=忸閭+|訓(xùn)=%+"|+尤2+$&+々+°=，2若.

又直線曲'=-51）可化為6x+y-g=0,

則點(diǎn)0到直線AB的距離d=上史=立，

y/3+i2

在zc1,4DIj116V34^

所以ZOAB=-|AB|-C?=-X—X—=^—.

故選:B.

例12.（2023?北京」01中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線/：y=-1,定點(diǎn)尸（0,1）,P是直線X-y+&=0上的動(dòng)點(diǎn),

若經(jīng)過(guò)點(diǎn)憶P的圓與/相切，則這個(gè)圓的面積的最小值為（）

71

A.—B.兀C.3兀D.4兀

2

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心為M,則圓心到尸的距離等于到直線/的距離，

故知的軌跡為拋物線，拋物線方程